CC BY
90
Оригинальная статья / Original article УДК 621.311
http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2018-2-131-141
ПРИМЕНЕНИЕ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА ДЛЯ РАСЧЕТА УСТАНОВИВШЕГОСЯ РЕЖИМА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ СЕТИ
© Р.В. Солопов1, А.С. Самульченков2
Филиал ФГБОУ ВО «Национальный исследовательский университет «МЭИ», Российская Федерация, 214013, г. Смоленск, Энергетический проезд, д. 1.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Разработка метода расчета установившихся режимов электрической сети (УР ЭС) с использованием генетического алгоритма (ГА). МЕТОДЫ. Предложен метод расчета УР ЭС с использованием генетических алгоритмов. РЕЗУЛЬТАТЫ. Показана принципиальная возможность применения ГА для расчета УР ЭС. Составлен алгоритм и программа для расчета УР ЭС методом ГА. Проведена верификация результатов расчетов методом ГА с результатами расчета традиционными итерационными методами математического анализа. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Разработан альтернативный метод расчета УР ЭС, достоинством которого является высокая точность расчетов при значительном снижении требований к вычислительным ресурсам. Ключевые слова: расчет режима сети, генетический алгоритм, установившийся режим, методы расчета установившегося режима, электрические сети.
Информация о статье. Дата поступления 27 декабря 2017 г.; дата принятия к печати 07 февраля 2018 г.; дата онлайн-размещения 27 февраля 2018 г.
Формат цитирования: Солопов Р.В., Самульченков А.С. Применение генетического алгоритма для расчета установившегося режима электрической сети // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 2. С. 131-141. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-2-131-141
APPLICATION OF GENETIC ALGORITHM FOR ELECTRIC CIRCUIT STEADY-STATE RESPONSE CALCULATION R.V. Solopov, A.S. Samulchenkov
Smolensk branch of National Research University "Moscow Power Engineering Institute", 1, Energeticheskiy Proezd, Smolensk, 214013, Russian Federation
ABSTRACT. The PURPOSE of the paper is to develop a method of electric circuit steady state response calculation (ECSSR) using a genetic algorithm (GA). METHODS. A method is proposed for ECSSR calculation using genetic algorithms. RESULTS. We have shown the possibility in principle to use a genetic algorithm for ECSSR calculation. An algorithm and a program for ECSSR calculation by the genetic algorithm method have been developed. The calculation results obtained through the use of the genetic algorithm method have been verified by the calculation results received with the use of traditional iterative methods of mathematical analysis. CONCLUSION. An alternative method of ECSSR calculation has been developed. Its advantage is high calculation accuracy under significantly reduced requirements for computing resources.
Keywords: computing response of a circuit, genetic algorithm, steady state, methods of computing steady state response, electric circuits
Article info. Received December 27, 2017; accepted February 07, 2018; available online February 27, 2018.
For citation: Solopov R.V., Samulchenkov A.S. Application of genetic algorithm for electric circuit steady-state response calculation. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2018, vol. 22, no. 2, pp. 131-141. (In Russian). DOI: 10.21285/1814-3520-2018-2-131-141
Введение
Расчет установившегося режима электрической сети является актуальной задачей в электроэнергетике как на этапе
проектирования, так и в процессе эксплуатации. Точность и достоверность расчетов обеспечивают правильное функционирова-
1
Солопов Роман Вячеславович, кандидат технических наук, доцент кафедры электроэнергетических систем, e-mail: [email protected]
Roman V. Solopov, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Electrical Power Systems, e-mail: [email protected]
2Самульченков Антон Сергеевич, студент, e-mail: [email protected] Anton S. Samulchenkov, Student, e-mail: [email protected]
ние элементов электрическом сети и энергосистемы в целом.
Расчет установившихся режимов представляет собой определение всех параметров установившегося режима при известных параметрах системы (схемы соединения элементов, сопротивления линий, трансформаторов и т.д.) и режимных параметрах [1]. Расчет УР ЭС в реальных условиях только с использованием электроэнергетических законов (Закон Ома, Законы Кирхгофа для токов и напряжений и закон Джоуля-Ленца для мощностей) невозможен. В связи с этим расчет установившихся режимов сложных электрических систем связан с большими математическими и вычислительными трудностями. Именно по этой причине поиск наиболее оптимальных методов расчета установившихся режимов является важной задачей [1-5].
При расчете установившегося режима решается задача построения соот-
ветствующей математической модели, описывающей все физические процессы [1, 3, 6, 7], происходящие в электрической сети с заданными допущениями, которая представляется системой нелинейных алгебраических уравнений. Модели реальных электрических систем описываются системой нелинейных алгебраических уравнений высокого порядка, что вызывает определенные трудности, связанные с точностью расчета электронно-вычислительных машин ЭВМ.
На следующем этапе ставится задача выбора метода решения полученной системы нелинейных алгебраических уравнений. Наиболее распространенными являются итерационные методы расчета [1, 3, 6, 7]. В последнее время стали применяться методы расчета, основанные на идеях искусственного интеллекта (нейронные сети) [8, 9].
Применение итерационных методов и нейронных сетей для расчета УР ЭС
Итерационные методы (или методы последовательных приближений) [1, 6, 7] являются общепризнанными, они нашли широкое практическое применение при расчете установившихся режимов электрической сети. К итерационным методам относятся: метод простой итерации, метод Зейделя, метод Ньютона и его модификации, градиентный метод и др. [6, 7].
Для решения нелинейных систем уравнений вычислительной способности методов простой итерации и Зейделя не всегда достаточно, поэтому на практике эти методы применяются редко и используются для расчета режима простых электрических сетей.
С теоретической точки зрения метод Ньютона является наиболее привлекательным, но его практическое применение наталкивается на определенные трудности: - вычисление на каждой итерации матрицы ¥'(хк) из т2 частных производных, где т - порядок системы;
- решение системы линейных уравнений на каждом шагу;
- вычисление обратной матрицы Якоби Р'(хк)-1 при отказе от линеаризации системы на каждом шагу;
- проблема нахождения хорошего начального приближения. Зачастую приходится использовать градиентные методы для определения удовлетворительного приближения к решению, а уже после вести расчет методом Ньютона;
- функции, входящие в систему, должны быть дважды непрерывно дифференцируемы и ранг матрицы Якоби должен быть равен ее размеру [6, 7].
При всех вышеперечисленных недостатках метод Ньютона до сих пор остается основным для расчета установившихся режимов электрической сети ввиду высокой скорости сходимости (при хороших начальных приближениях достаточно произвести 3-5 итераций) и благодаря вычислительным возможностям современных ЭВМ.
Как было отмечено ранее, реальные электрические сети имеют сложную нелинейную структуру, анализ и моделирование которых традиционными (итерационными) методами требуют больших ресурсов ЭВМ. Вместе с тем использование итерационных методов для оперативных расчетов также малоэффективно ввиду больших временных затрат, связанных с вычислительной громоздкостью данных методов [9]. Именно эти обстоятельства вызывают необходимость внедрения новых современных способов расчета установившихся режимов электрических сетей. С этой точки зрения перспективным является направление, связанное с применением методов искусственного интеллекта, в частности, искусственных нейронных сетей (ИНС), которые получили достаточно широкое распространение в промышленно развитых странах [8].
Принцип действия ИНС основан на аппроксимации входных данных посредством уже имеющихся данных (обучающей выборки) различных режимов работы электроэнергетической системы (ЭЭС). Модель ЭЭС реализуется на базе многослойной нейронной сети, которая связывает искомые параметры с заданными посредством явной функциональной зависимости. Это позволяет отказаться от итерационных схем расчета, хотя требует обязательного предварительного обучения ИНС [9].
Достоинства нейронных сетей:
- хорошо обученная нейросеть обладает способностью не только правильно реагировать на входные данные, предъявленные в процессе обучения, но и справ-
Применение генетического
Генетические алгоритмы наряду с ИНС являются новой и малоизученной областью исследований, основные понятия и принципы работы которых заимствуются из биологической теории естественного отбора и теории эволюции.
Генетические алгоритмы (ГА) - это адаптивные методы поиска, в которых используется аналог механизма генетическо-
ляться с любыми другими наборами данных из допустимого пространства входных сигналов [8];
- для расчета установившегося режима уже обученной ИНС требуются незначительные вычислительные и временные ресурсы;
- сравнительно маленькая погрешность расчета при удачно обученной и правильно сформированной ИНС для конкретной ЭЭС.
Недостатки нейронных сетей:
- обучение нейронных сетей нужно производить с помощью численных экспериментов с математической моделью или с помощью имеющихся реальных параметров установившегося режима функционирующей электрической сети;
- размер обучающей выборки велик - от нескольких 100 до нескольких 1000 различных режимов, учитывающих характерные особенности только рассматриваемой ЭЭС;
- отсутствие возможности универсализации метода расчета установившихся режимов ЭЭС посредством ИНС.
В настоящее время неразрешен-ность проблем обучения и оптимального выбора структуры искусственной нейронной сети является наиболее существенным фактором, предопределяющим отсутствие возможности применения данного метода для расчета реальных электрических сетей.
В данной работе предложена новая методика расчета установившегося режима электрической сети с применением генетического алгоритма (ГА).
•ритма для расчета УР ЭС
го наследования и аналог естественного отбора при сохранении биологической терминологии в упрощенном виде [10, 11, 12]. ГА получили широкое распространение применительно к решению оптимизационных задач [5, 11, 13] ввиду того, что основная идея поиска решений с помощью ГА -это определение наиболее приспособленной особи среди множества особей от-
дельно взятого поколения путем поэтапного видоизменения начального поколения, подчиняющегося основным принципам теории естественного отбора. Основными понятиями ГА являются:
• Аутбридинг - способ создания родительской пары, при котором она формируется из максимально различающихся индивидуумов.
• Ген - параметр рассматриваемого объекта.
• Естественный отбор - операция отбора наиболее приспособленных индивидуумов для создания популяции нового поколения.
• Инбридинг - способ создания родительской пары, при котором она формируется из максимально близких индивидуумов.
• Кодирование - процедура представления вектора значений параметров рассматриваемой системы в виде хромосом.
• Кроссовер (кроссинговер, рекомбинация) - один из основных генетических операторов, при котором два индивидуума обмениваются своими частями.
• Мутация - один из основных генетических операторов, при котором происходит случайное изменение одного или нескольких генов.
• Панмиксия - способ выбора родительской пары, при котором индивидуумы выбираются случайным образом.
• Поколение - один цикл эволюционной популяции.
• Популяция - совокупность индивидуумов.
• Функция приспособленности -значение целевой функции, вычисляемое для каждой особи и характеризующее шансы на дальнейшее выживание в условиях естественного отбора.
• Хромосома - последовательность генов, характеризующая особь (индивидуума).
ГА использует принципы взаимодействия совокупности искомых решений, представленных в виде хромосом аналогично принципам взаимодействия индиви-
дуумов в природе, поэтому, предварительно корректно сформулировав условие поставленной задачи (расчет установившегося режима электрической сети) с помощью ГА, можно отыскать решение, соответствующее не только нормальному режиму работы, но и являющееся оптимальным ввиду специфики применяемой методики. Для ГА, в отличие от традиционных методов решения, не важен вид рассматриваемой функции, так как ГА работает не с самой функцией, а с ее значениями в определенных точках. По этой причине для решения технических задач, требующих больших вычислительных ресурсов, ГА предпочтительнее традиционных методов расчета ввиду отсутствия накладываемых ограничений на рассматриваемую функцию и выполнения трудоемких пошаговых алгебраических операций, таких как вычисление производных.
При решении практических задач с использованием ГА обычно выполняют следующие этапы [12, 14, 15]:
- выбор способа представления решения - вид решения задачи напрямую зависит от представления начальных данных, которые для решения ряда задач иногда приходится кодировать (бинарный код, код Грея и др.);
- разработка операторов случайных изменений - выбирают один из способов формирования родительских пар исходя из характеристик параметров решаемой задачи, после производится выбор операторов воспроизведения и мутации, они предварительно видоизменены таким образом, чтобы наиболее удачно функционировали в совокупности применительно к решению конкретной задачи;
- определение способов «выживания» решений - разработка наиболее соответствующего оптимальному в рамках рассматриваемой задачи метода отбора (селекции) и условий «выживания» для особей с наилучшими или наихудшими показателями функции приспособленности;
- создание начальной популяции решений - случайная генерация заданного количества хромосом популяции начально-
го поколения, гены которых являются численными эквивалентами случайных решений, значения которых соблюдены в рамках допустимых ограничений.
По своей сути ГА схож с итерационными методами - это случайным образом сгенерированная начальная популяция, состоящая из определенного количества хромосом (совокупности решений) с помощью последовательного применения определенной совокупности операторов селекции, воспроизведения потомства, мутации, после каждого из которых образуется промежуточная популяция, видоизменяется и уже следующее поколение имеет лучшие показатели приспособленности в сравнении с предыдущим, по разнице между которыми можно оценивать рентабельность применения ранее составленного алгоритма применительно к конкретной задаче. Но существенным и выгодным отличием ГА от
традиционных методов является лояльность к математической строгости рассматриваемых функций, описывающих математическую модель рассматриваемой задачи. В связи с этим для расчета одного поколения ГА, эквивалентного одной итерации выполняемой традиционными методами расчета, требуется значительно меньше вычислительных затрат, что значительно экономит временные ресурсы и ресурсы ЭВМ. Недостатком ГА, по сравнению с традиционными методами, является отсутствие универсальности решения для широкого круга задач, обусловленное индивидуальностью составленного алгоритма применительно к решению однородных задач.
На основании метода ГА разработан алгоритм расчета установившегося режима электрической сети (рис. 1) с учетом характерных особенностей рассматриваемого круга задач.
_±_
7. Расчет функции приспособленности для каждой из хромосом нового поколения и средней по поколению/ Calculation of the adaptation function for each of the chromosomes of the new generation and the mean over the generation
Нет/No 8. Выполнение критериев остановки расчета / Execution of calculation stopping criteria
Да/Yes , r
9. Результаты расчета / Calculation results
Рис. 1. Алгоритм расчета УР ЭС методом ГA Fig. 1. Algorithm for ECSSR calculation using the genetic algorithm method
Формирование начальной совокупности производится случайным образом по номинальным данным сети из допустимого диапазона значений. Функция приспособленности составляется на основании баланса мощности, записанного в виде уравнения узловых потенциалов в матричной форме [5]. Критерии мутации рассчитываются на основании исходных данных для электрической сети по специально разработанным алгоритмам. Формирование нового поколения производится на основании применения оператора селекции «турнирный отбор». Расчет ведется до выполнения
критериев остановки, значения которых задаются пользователем.
Законы электротехники накладывают определенные ограничения на полученные результаты, что является отличительной особенностью применения ГА в области электроэнергетики.
На основании данного алгоритма разработана программа расчета УР ЭС. Скриншот программы представлен на рис. 2.
Для примера рассмотрен расчет установившегося режима 6-узловой схемы электрической сети [8], представленной на рис. 3.
Рис. 2. Программа расчета УР ЭС методом ГА Fig. 2. Program for ECSSR calculation using the genetic algorithm method
Результаты расчета УР ЭС
Расчет производился с применением разработанного метода ГА для рассматриваемой электрической сети. В качестве сравнения использовались данные, полученные с помощью программы РаБ^тЗ, принцип работы которой основан на расчете итерационными методами (табл. 1 -3).
По методике оценки скорости алгоритмов изложенной в [16] асимптотическая сложность расчета генетическим алгоритмом по времени выполнения меньше в 10-70 раз по сравнению с итерационными методами [6, 7] при стремлении размера входных данных к бесконечности.
Рис. 3. Схема электрической сети Fig. 3. Electrical network schematic diagram
Таблица 1
Результаты расчета зависимых переменных установившегося режима применительно к рассматриваемой 6-узловой схеме электрической сети
Table 1
Calculation results of steady-state mode dependent variables as applied to the 6-node _power circuit diagram under consideration_
№ узла / Node no. Генетический алгоритм / Genetic algorithm RastrWin3 / RastrWin3 Расхож Discre цение / pancy
Модуль напряжения, кВ / Voltage module, kV Фаза, градусы / Phase, degrees Модуль напряжения, кВ / Voltage module, kV Фаза, градусы / Phase, degrees Модуль напряжения, кВ / Voltage module, kV Фаза, градусы / Phase, degrees
1 230 0 230 0 0 0
2 115,00 1,53 114,98 1,57 -0,02 0,04
3 110,27 -2,70 110,25 -2,75 -0,02 -0,05
4 222,11 -2,55 222,06 -2,59 -0,05 -0,04
5 96,20 -5,67 96,18 -5,72 -0,02 -0,05
6 213,89 -3,78 213,80 -3,74 -0,09 0,04
Таблица 2
Результаты расчета параметров установившегося режима применительно к рассматриваемой 6-узловой схеме электрической сети
Table 2
Calculation results of steady-state mode parameters as applied to the 6-node power circuit _diagram under consideration_
№ Линии / Line no. Генетический алгоритм/ Genetic algorithm RastrWin3 / RastrWin3 Расхождение / Discrepancy
Активная мощность, МВт / Active power, MW Реактивная мощность, МВАр / Reactive power, MVAr Активная мощность, МВт / Reactive power, MVAr Реактивная мощность, МВАр / Reactive power, MVAr Активная мощность, МВт / Active power, MW Реактивная мощность, МВАр / Reactive power, MVAr
1-4 -66,965 -29,511 -67,895 -29,589 -0,927 -0,078
4-1 65,872 25,593 66,775 25,577 0,903 -0,016
1-б -77,440 -52,271 -76,892 -52,781 0,548 -0,51
б-1 75,064 43,756 74,524 44,296 -0,54 0,54
б-4 32,523 31,557 31,134 32,159 -1,389 0,602
4-б -33,061 -33,487 -31,660 -34,043 1,401 -0,556
б-5 -5,602 -16,503 -5,830 -16,456 -0,228 0,047
5-б 1,381 3,668 1,439 3,654 0,058 -0,014
5-2 73,816 25,771 74,270 25,383 0,454 -0,388
2-5 -83,685 -41,624 -84,220 -41,366 -0,535 0,528
2-3 -15,561 0,045 -15,806 0,175 -0,245 0,130
3-2 14,877 -1,144 15,100 -1,309 0,223 -0,165
4-3 -24,419 -22,044 -24,991 -21,515 -0,572 0,529
3-4 6,076 5,456 6,219 5,324 0,143 -0,132
Таблица 3
Результаты расчета потерь и потребляемой мощности установившегося режима применительно к рассматриваемой 6-узловой схеме электрической сети
Table 3
Calculation results of losses and consumed power of the steady-state mode
as applied to the 5-node power circuit diagram under consideration
Генетический алгоритм / Genetic algorithm RastrWin3 / RastrWin3 Расхождение / Discrepancy
Активная мощность, МВт / Active power, MW Реактивная мощность, МВАр / Reactive power, MVAr Активная мощность, МВт / Active power, MW Реактивная мощность, МВАр / Reactive power, MVAr Активная мощность, МВт / Active power, MW Реактивная мощность, МВАр / Reactive power, MVAr
Потери мощности в электрической сети / Power losses in electrical network
14,752 33,366 14,861 33,559 0,107 0,193
Потребляемая мощность электрической сети / Power consumption
144,752 82,166 144,861 82,359 0,107 0,193
Выводы
Применение генетического алгоритма для расчета установившегося режима электрической сети является достойной альтернативой как традиционным методам расчета, так и ИНС.
В отличие от итерационных методов правильная конфигурация основных операторов ГА позволяет избежать большого количества трудоемких алгебраических операций и не накладывает никаких ограничений на рассматриваемую систему нелинейных уравнений. Поэтому вычислительные и временные ресурсы, связанные с реализацией расчета посредством ГА меньше ресурсов, затраченных на расчет с помощью традиционных методов.
Основными недостатками ИНС в сравнении с ГА являются отсутствие возможности универсализации методов расчета и определенные сложности обучения нейронной сети, связанные в первую очередь с тем, что еще до расчета установившегося режима электрической сети (РУР-ЭС) с помощью ИНС нужно знать парамет-
ры большого количества режимов работы рассматриваемой электрической сети. Следовательно, для оперативных расчетов функционирующей электрической сети обучающую выборку для ИНС можно формировать с помощью показаний приборов, а на этапах проектирования электрической сети обучающая выборка будет состоять из результатов, полученных на основании расчетов режимов итерационными методами, что является бессмысленным при учете среднего количества режимов, требующихся для обучения ИНС.
Полученные результаты свидетельствуют о возможности разработки и внедрения универсальных алгоритмов расчета на основе ГА применительно к РУРЭС. Погрешность расчета, небольшая в сравнении с общепризнанными итерационными методами, является следствием плохой обусловленности рассматриваемой системы нелинейных уравнений, описывающих работу ЭЭС.
Библиографический список
1. Аюев Б.И., Давыдов В.В., Ерохин П.М., Неуймин В.Г. Вычислительные модели потокораспределения в электрических системах. М.: Изд-во Флинта, 2008. 256 с.
2. Идельчик В.И. Электрические системы и сети. М.: Энергоатомиздат, 1989. 592 с.
3. Кавченков В.П., Солопов Р.В. Алгоритм комплексной оптимизации режимов электроэнергетической системы с использованием обобщенных критериев подобия // Программные продукты и системы. 2013. № 1. 23 с.
4. Solopov R., Kavchenkov V., Doletskaya L., Kiselev V. Effective solution of large-scale optimization problems using the similarity criteria // International Journal of Applied Engineering Research. 2017. No. 12. Р. 3539-3541.
5. Solopov R.V. Criterion complex optimization in electric-power systems // Russian Electrical Engineering. 2017. No. 5. P. 280-284.
6. Ортега Д., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Изд-во Мир, 1975. 560 с.
7. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994. 544 с.
8. Баламетов А.Б., Халилов Э.Д. О применении нейронных сетей при расчетах установившихся режимов электрических сетей // Проблемы энергетики. 2009. № 1 c. 21 - 31
9. Хохлов М.В. Расчеты установившихся режимов ЭЭС с использованием нейронных сетей. В кн.: Новые информационные технологии в задачах оперативного управления электроэнергетическими системами. Екатеринбург: Уральское отделение Российской академии наук (УрО РАН), 2002. С. 102-126.
10. Панченко Т.В. Генетические алгоритмы. Астрахань: Издательский дом «Астраханский университет», 2007. 87 с.
11. Yuancheng Li, Yiliang Wang and Bin Li. A hybrid artificial bee colony assisted differential evolution algorithm for optimal reactive power flow // Electrical Power and Energy Systems. 2013. No. 52. P. 25-33.
12. Sina Tabakhi, Parham Moradi and Fardin Akhlagh-ian. An unsupervised feature selection algorithm based on ant colony optimization // Engineering Applications of Artificial Intelligence. 2014. No. 32. P. 112-123.
13. Манусов В.З., Павлюченко Д.А. Оптимизация режимов электроэнергетических систем на основе эволюционных вычислений // Проблемы энергетики. 2002. № 1-2. С. 12-19.
14. Гладков Л.А., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Генетические алгоритмы. М: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 320 с.
15. Gajendra Sahu and Kuldeep Swarnkar. Review of Reactive Power Optimization Using Evolutionary Computation Techniques // Advance in Electronic and Electric Engineering. 2014. No. 4. P. 73-82.
16. Кнут Д. Искусство программирования: в 3 т. / Пер. с англ. М.: Вильямс, 2006. 720 c.
References
1. Ayuev B.I., Davydov V.V., Yerokhin P.M., Neuymin V.G. Vychislitel'nye modeli potokoraspredeleniya v eh-lektricheskih sistemah [Computational models of flow distribution in electric systems]. Moscow: Flint's Publ., 2008, 256 p. (In Russian).
2. Idelchik V.I. Elektricheskie sistemy i seti [Electrical systems and networks]. Moscow: Energoatomizdat Publ., 1989, 592 p. (In Russian).
3. Kavchenkov V.P., Solopov R.V. An algorithm of complex power system optimization with the use of generalized similarity criteria. Programmnye produkty i sistemy. [Software and Systems], 2013, no. 1, 23 p.
4. Solopov R., Kavchenkov V., Doletskaya L., Kiselev V. Effective solution of large-scale optimization problems using the similarity criteria. International Journal of Applied Engineering Research, 2017, no. 12, pp. 3539-3541.
5. Solopov, R.V. Criterion complex optimization in electric-power systems. Russian Electrical Engineering, 2017, no. 5, pp. 280-284.
6. Ortega D., Reynboldt V. Iteracionnye metody resh-eniya nelinejnyh sistem uravnenij so mnogimi neizvest-nymi [Iterative methods for solving nonlinear equation systems with many unknowns]. Moscow: World Publ., 1975, 560 p. (In Russian).
7. Amosov A.A., Dubinsky Yu.A., Kopchenova N.V. Vychislitel'nye metody dlya inzhenerov [Computing methods for engineers]. Moscow: Publishing house the Higher school, 1994, 544 p. (In Russian).
8. Balametov A.B., Khalilov E.D. About application of neural networks at calculations of the established modes of electric networks. Problemy ehnergetiki [Proceedings of the higher educational institutions. Energy Sector Problems], 2009, no. 1 pp. 21-31. (In Russian).
9. Hohlov M.V. Raschety ustanovivshihsya rezhimov EES s ispol'zovaniem nejronnyh setej [Calculations of EPS steady-state modes with use of neural networks]. In the book: New information technologies in tasks of operational management of electrical power systems. Yekaterinburg: OURO RAHN Publ., 2002, pp. 102-126. (In Russian).
10. Panchenko T.V. Geneticheskie algoritmy [Genetic algorithms]. Astrakhan: Astrakhan University publishing house, 2007, 87 p. (In Russian).
11. Yuancheng Li, Yiliang Wang and Bin Li. A hybrid artificial bee colony assisted differential evolution algorithm for optimal reactive power flow. Electrical Power and Energy Systems, 2013, no. 52, pp. 25-33.
12. Sina Tabakhi, Parham Moradi and Fardin Akhlagh-ian. An unsupervised feature selection algorithm based
on ant colony optimization. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 2014, no. 32, pp. 112-123.
13. Manusov V.Z., Pavlyuchenko D.A. Optimization of electrical power system modes on the basis of evolutionary calculations. Problemy ehnergetiki [Proceedings of the higher educational institutions. Energy Sector Problems], 2002, no. 1-2, pp. 12-19. (In Russian).
14. Gladkov L.A., Kureychik V.V., Kureychik V.M. Ge-neticheskie algoritmy [Genetic algorithms]. Moscow: FIZMATLIT Publ., 2006, 320 p. (In Russian).
15. Gajendra Sahu and Kuldeep Swarnkar. Review of Reactive Power Optimization Using Evolutionary Computation Techniques. Advance in Electronic and Electric Engineering, 2014, no. 4, pp. 73-82.
16. Knut D. The art of computer programming, 2006, 720 p. (Russ. ed.: Iskusstvo programmirovania. Moscow, Vilams Publ., 2006, 720 p.)
Критерии авторства
Солопов Р.В., Самульченков А.С. имеют на статью равные авторские права и несут равную ответственность за плагиат.
Authorship criteria
Solopov R.V., Samulchenkov A.S. have equal author's rights and bear equal responsibility for plagiarism
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии интересов.
Conflict of interests
конфликта The authors declare that there is no conflict of interests
regarding the publication of this article.
