16УДК 519.853
DOI: 10.31453/kdu.ru.978-5-7913-1172-6-2021-63-72
Руденко Ольга Валентиновна Rudenko Olga Valentinovna
Доцент Associate Professor Крамаренко Андрей Александрович Kramarenko Andrey Aleksandrovich
Ассистент Assistant
Кубанский государственный технологический университет
Kuban State Technological University
ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ ЖЕЛАТЕЛЬНОСТИ ХАРРИНГТОНА ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ СЛОЖНЫХ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ
ПРОДУКТОВ ПИТАНИЯ
APPLICATION OF THE HARRINGTON DESIRE FUNCTION IN DESIGNING COMPLEX MULTI-COMPONENT FOOD
Аннотация. В статье рассматривается вопрос об автоматизации проектирования и оптимизации сложных многокомпонентных продуктов питания с помощью методов математического программирования. Методы проектирования пищевых продуктов, основанные на обобщенном критерии моделирования с одним вектором показателей качества смеси, приводят к постановке задачи квадратического программирования. Определение универсального показателя качества можно осуществить с помощью несимметричных функций желательности Харрингтона. Применение критерия с заданными нижним и верхним допустимыми уровнями потребления по каждому из показателей качества позволяют учитывать отклонения в сторону недостаточности или передозировки пищевых веществ. Одним из возможных выражения для функций желательности такого вида является применение произведения кривых Гомперца для выражения частных критериев сбалансированности. Применение данной методики на примере разработки рецептуры зефира с добавлением яблока и облепихи для достижения оптимальной сбалансированностью нутриентов позволило значительно улучшить процент сбалансированности смеси.
Abstract: The article discusses the issue of design automation and optimization of complex multicomponent food products using mathematical programming methods. Food design methods based on generalized modeling criteria with one vector of mixture quality indicators lead to the formulation of a quadratic programming problem. Determination of the universal quality indicator
XIIIМеждународная научно-практическая конференция can be carried out using the asymmetric Harrington desirability functions. The application of the criterion with the specified lower and upper permissible levels of consumption for each of the quality indicators allows one to take into account deviations in the direction of insufficiency or overdose of nutrients. One of the possible expressions for desirability functions of this kind is the use of the product of Gompertz curves to express particular criteria of balance. The use of this methodology on the example of the development of a marshmallow formulation with the addition of apple and sea buckthorn to achieve an optimal balance of nutrients has significantly improved the percentage of balance of the mixture.
Ключевые слова, функция желательности Харрингтона, моделирование, задача квадратического программирования, проектирование сложных многокомпонентных продуктов питания.
Keywords: Harrington desirability function, modeling, quadratic programming problem, design of complex multicomponent food products.
В настоящее время одной из главных проблем при проектировании новых пищевых продуктов является получение сбалансированного по химическому составу и пищевой ценности готового продукта. При разработке новых рецептур большое значение имеет также возможность моделировать потребительские характеристики готовых изделий и прогнозировать их пищевую ценность. С развитием информационных технологий задачи по моделированию многокомпонентных рецептурных смесей решаются с помощью методов математического программирования. Преимуществом автоматизированного проектирования является возможность регулирования их состава путем изменения соотношения отдельных компонентов для достижения требуемого уровня сбалансированности.
В последнее время задачи, связанные с моделированием многокомпонентных рецептурных смесей пищевых продуктов, решают с помощью методов математического программирования. Задача заключается в отыскании весовых коэффициентов и масс компонентов смеси с использованием одного или нескольких критериев оптимальности [1,2].
При формализации проектируемой рецептуры показатели качества всех продуктов образуют матрицу Aij=(aij) размером nxN, где i=1...n - это
«Научные междисциплинарные исследования» количество продуктов, j=1...N- количество показателей качества (белки, жиры,
углеводы и т.д.). Если от каждого ингредиента взять вес xj (1 ~ ] ~ п) и составить рецептуру продукта, то по гипотезе аддитивности соответствующие показатели
п
С ] - X а1]Х]
качества продукта вычисляются по формуле: ]-1 , образуя вектор
С - (С1'С2' • • •'Сп } или С — А'Х . При этом величины xj не могут быть отрицательными. Кроме того, из ограниченности рецептурных компонентов следует, что веса должны удовлетворять неравенствам:
О < Х1 < «1,0 < Х2 < «, • ,0 < Хп < тп, где значения ш! задаются.
Для достижения цели необходимо задать величины показателей качества
смеси Ьор^| (1<|<^, которые образуют вектор эталона Ь . В качестве эталонного значения содержания пищевых нутриентов можно использовать рекомендуемые нормы потребления пищевых веществ по Санитарно-эпидемиологическим требованиям или по другой нормативной документации. В связи с тем, что при данных ингредиентах невозможно полное соответствие указанным нормам и требованиям, необходим расчёт такого вектора x , при котором вектор показателей качества смеси отличается от эталонного вектора на минимально возможную величину
I (Х )-
А • Х - Ь
^ Ш1П
(1)
Такой подход приводит к постановке задаче квадратического программирования, где управляющим параметром является вектор x . Органолептические свойства, требования технологии и т.д. формулируются в виде ограничений на допустимое множество значений вектора x.
Показатель сбалансированности К рецептурной смеси в поставленной задаче выражается для удобства в процентах и вычисляется по формуле:
К -100% •
1
1 п
к ]-1
/
л
2
^ - 1
Л У
2
XIIIМеждународная научно-практическая конференция Недостатком оптимизации с одним эталоном является определение
соответствия показателей качества только по одному вектору, указывающему
середину интервала оптимальности. Определение универсального показателя
качества можно осуществить с помощью несимметричных функций
желательности Харрингтона. В основе построения этой обобщённой функции
лежит идея преобразования натуральных значений частных откликов в
безразмерную шкалу желательности или предпочтительности.
Традиционная функция желательности симметрична и в ее центре должна
находиться величина bopt как норма физиологических потребностей в энергии и
пищевых веществах. Но такая модель обобщенного критерия не учитывает того,
что показатели индивидуальной потребности каждого человека имеют
нормальное распределение, т.е. потребности 95% человека находятся в пределах
двух стандартных отклонений от средней величины потребностей.
Следовательно, уровень потребления требует применения не одной величины
Ьор^ а двух: Ьор^ - нижней границы доверительного интервала адекватного
уровня; bopt2 - верхней границы. Кроме того, верхний и нижний допустимые
уровни потребления можно трактовать как величины Ьтт и Ьтах.
В работах ведущих преподавателей нашего вуза [3,4] предложен
обобщенный критерий моделирования рецептур многокомпонентных продуктов
питания с заданными нижним и верхним допустимыми уровнями потребления
по каждому из показателей качества.
Таким образом, функция желательности должна иметь вид, показанный на
рис.1: отклонения в сторону недостаточности и в сторону передозировки могут
быть в разной мере нежелательны и адекватный уровень потребления может
находиться в некотором доверительном интервале.
Рис.1. Предлагаемая функция желательности: Ьтш - нижний допустимый уровень потребления; ЬорЙ - нижняя граница доверительного интервала адекватного уровня; bopt2 - верхняя граница; Ьтах - верхний допустимый уровень потребления.
Шкала желательности делится в диапазоне от 0 до 1 на пять зон:
1 зона: К = 0 - очень плохо, неприемлемый дефицит;
2 зона: от 0 до 1 - плохо, дефицит;
3 зона: К=1 - хорошо, оптимальное содержание;
4 зона: от 1 до 0- неудовлетворительно, передозировка;
5 зона: К=0 - очень плохо, неприемлемая передозировка.
Одним из возможных выражений для функций желательности такого вида является применение произведения кривых Гомперца для выражения частных
критериев:
\ - е - г (Ь - 5 )-еи (Ь1 - w )
К (Ь )= е е е
(3)
где параметры г, s, и, w (свои для каждого показателя) имеют следующий примерный смысл (рис.1): s - середина левого подъёма, w - середина правого спада, г - обратно пропорциональна крутизне левого подъёма, и - обратно пропорциональна крутизне правого спада. Параметры г, б, и, w, п, т рассчитываются средствами математического пакета МаШСАО .
Из частных критериев (3) получим обобщённый критерий К в мультипликативной модели:
к (ъ )= 100%П^К (ъ )
i=1 , (4)
который является целевой функцией и показателем сбалансированности рецептурной смеси, выражаемый в процентах.
Рассмотрим применение данной методики на примере разработки рецептуры зефира с добавлением яблока и облепихи для достижения оптимальной сбалансированностью нутриентов. Данные для эталонных значений брались исходя из средних показаний по белкам, жирам, углеводам и энергетической ценности для уже имеющихся разработок зефира (табл. 1). Все расчеты проводились в программе MathCAD.
Таблица 1. Данные о химическом составе продуктов, используемых для производства зефира «яблоко-облепиха» (содержание, г/г)
Ингредиенты Б Ж У Ккал Пектин Р-каротин Витамин С
Яблоки 0,004 0,002 0,098 0,42 0,01 0,0003 0,0001
Облепиха 0,012 0,054 0,057 0,82 0,026 0,0015 0,002
Яйцо куриное 0,011 0,002 0,01 0,048 0 0 0
Сахар 0 0 0,998 0,387 0 0 0
Сахарная пудра 0 0 0,998 0,387 0 0 0
Пектин 0,035 0 0,093 0,52 1 0 0
Эталон (дефицит) 0,001 0,004 0,5 0,1 0,001 0,00001 0,0001
Эталон (нижняя граница) 0,002 0,006 0,6 0,35 0,01 0,0002 0,00045
Эталон (верхняя граница) 0,004 0,008 0,7 0,45 0,02 0,0005 0,0009
Эталон (передозировка) 0,01 0,012 0,998 0,6 0,2 0,001 0,02
В последних 4-х строках таблицы указаны показатели дефицита и передозировки пищевых веществ в продукте (рис.2):
ш. -= а . , -"плохо" дефицит В2. - А , . , - "хорошо-тт"
] п-4;]+1 Т J и-3;] + 1 г
вз = \ , . , - хорошо-шах
] п-2._|-1 г
В4. := А ...- ПЛОХО
] и-1,1+1
передозировка Рис.2. Вектор-столбцы эталонов
68
Проектирование рецептуры начинаем при помощи несимметричных функций желательности Харрингтона. В результате получаем графики, на которых по оси х изображен диапазон оптимального содержания пищевых веществ. По оси у располагается шкала желательности. В качестве примера приведены графики оптимального содержания белка и жиров (рис.3,4). На рисунке 4 уже можно выделить границы 3-ей зоны оптимального содержания каждого нутриента в проектируемом продукте.
Несимметричные функции желательности Харрингтона (по абсциссе х - содержание г белков, жиров и др.):
Рис.3. Представление каждого частного критерия функции желательности
Далее создаем функции кг(|,х) - содержание нутриентов в смеси и К(х) -обобщенный критерий сбалансированности продукта (рис.5).
Рис.5. Вид функции сбалансированности смеси в программе MathCAD
Расчёт оптимального состава смеси производился с учетом начального приближения для веса, взятого из данных о прототипе, выбранным путем экспертной оценки вариантов. Для присутствия в рецептуре каждого компонента необходимо после слова Given задать необходимые ограничения. С помощью встроенного оператора максимизации получаем значения вектора Х - вес каждого продукта рецептурной смеси в процентах и значение самого показателя К(Х) (рис.6).
К(Х) = 99.304 <-- показатель сбалансированности смеси, %
Рис.6. Расчеты рецептуры и обобщенного показателя сбалансированности
продукта К(Х)
70
Для сравнения используем алгоритм проектирования продукта только с одним эталон-вектором и показателем сбалансированности в виде (2) (рис.7).
Рис.7. Расчет рецептуры с одним эталон-вектором
При проектировании с помощью методов квадратического программирования была получена другая рецептура (вектор Хрг содержит процентное содержание продуктов в смеси) с меньшим значением показателя сбалансированности.
Заключение
Автоматизированное проектирование рецептур позволяет заметно ускорить процессы расчёта и оптимизации состава многокомпонентных продуктов питания, создавать продукты с заранее заданным химическим составом, пищевой ценностью и функциональной направленностью. Применение несимметричных функции Харрингтона позволяют получить качественную методику для проектирования многокомпонентных пищевых продуктов с обеспечением оптимального набора и соотношения рецептурных компонентов. На примере компьютерного моделирования рецептуры зефира можно увидеть, что алгоритм с применением функций желательности Харрингтона позволяет с помощью изменения весового соотношения, теоретическим путем, а не практическим, увеличить коэффициент сбалансированности.
XIIIМеждународная научно-практическая конференция Методология может найти применение в высших учебных заведениях при
подготовке бакалавров, магистров и аспирантов, в научных исследованиях, а
также в производственной деятельности инженера-технолога.
Библиографический список:
1. Автоматизированное проектирование сложных многокомпонентных продуктов питания: учебное пособие / Е.И. Муратова, С.Г. Толстых, С.И. Дворецкий, О.В. Зюзина, Д.В. Леонов. - Тамбов : Изд-во ФГБОУ ВПО «ТГТУ», 2011.
2. Липатов Н.Н. Предпосылки компьютерного проектирования продуктов и рационов питания с заданной пищевой ценностью // Хранение и переработка сельхозсырья. 1995. №3. С. 4-9.
3. Шаззо Р.И., Кулиева Р.Г., Усатиков С.В., Кашкарова К.К. Квалиметрические аспекты оптимизации многокомпонентных продуктов для детского питания // Хранение и переработка сельхозсырья, 2010. №9. С.44 -46.
4. Усатиков С.В., Шаззо А.Ю. Показатель сбалансированности продуктов по аминокислотному составу // Изв. ВУЗов. Пищевая технология, 1995. №№3-4. С.67-68.
5. Мусина О.Н., Лисин П.А. Системное моделирование многокомпонентных продуктов питания // Техника и технология пищевых производств, 2012. №4. С.32-37.
© О.В. Руденко, А.А. Крамаренко, 2021
