CC BY
98
УДК 550.388.2
А.В. Мышерин ПРИМЕНЕНИЕ ФИЛЬТРА КАЛМАНА ДЛЯ ОЦЕНКИ ПОЛНОГО ЭЛЕКТРОННОГО СОДЕРЖАНИЯ ИОНОСФЕРЫ ПО ДАННЫМ GPS НАБЛЮДЕНИЙ
Рассматривается вопрос применения фильтрации Калмана как системы оценки коэффициентов в разложении полного электронного содержания ионосферы. Алгоритм построен исходя из реально имеющихся данных, полученных с помощью системы GPS. Приведены некоторые результаты численных экспериментов.
An application of Kalman filter as systems of estimation of an ionospheric total electron content is considered. An algorithm is constructed from really available GPS data. Some issues of numerical experiments are shown.
Задачей работы является диагностика состояния ионосферы, которой уделяется большое значение в различных программах геофизических и космических исследований. Свойства ионосферы таковы, что она изменяет траекторию радиосигналов от спутников, являясь источником ошибок измерений, проводимых на Земле. Измерение и анализ этих ошибок позволяет оценивать некоторые параметры ионосферы, которые помогают больше понять её природу, построить наиболее точную её модель. Актуальность этой проблемы подкрепляется тем фактом, что состояние ионосферы тесно связано с некоторыми физическими явлениями, имеющими место на Земле и в околоземном пространстве, в частности, с землетрясениями, так как смещение земной коры и изменение полного электронного содержания ионосферы наблюдаются в одном месте. Поэтому наблюдение за динамикой состояния ионосферы очень важно. Полное электронное содержание (ПЭС) — это основной параметр, характеризующий состояние ионосферы. Использование эффекта группового запаздывания позволяет измерять полное электронное содержание ионосферы. Если спутник излучает модулированные радиоволны двух частот, то возможно определить разности кажущихся расстояний (псевдодальностей) AL=L1-L2. Разность расстояний AL=L1-L2 пропорциональна ПЭС ионосферы Nh.
Использование эффекта запаздывания радиоволн для мониторинга ионосферы стало возможным благодаря созданию высокоточной навигационной системы GPS. С появлением в 1994г. глобальной навигационной системы GPS (Global Positioning System) появился новый инструмент, который позволяет проводить измерения задержек радиосигналов непрерывно в планетарном масштабе. Стандартно для определения ПЭС по GPS данным используется метод наименьших квадратов, точнее, метод сингулярных разложений — модификация метода, обусловленная специфическим видом матрицы данных. С его помощью
141
Вестник КГУ. 2005. Вып. 1—2. Сер. Информатика и телекоммуникации. С. 140 — 145.
142
оценивается вариация ПЭС на суточном интервале. Этот метод, по сути, является сглаживающим и не может работать в режиме реального времени. Поэтому стоит задача уточнения значения ПЭС и поиска алгоритма, способного работать в реальном времени. Предложено использовать в качестве такого алгоритма фильтр Калмана.
Фильтр Калмана — это рекуррентная система оценки параметров, впервые рассмотренная в работе Калмана и Бьюси в 1961 году. Позднее (1967) теория была существенно развита Фалбом. Приложения фильтра Калмана разнообразны и многочисленны, этот метод получил широкое распространение на Западе, а в России он в основном использовался для обработки метеорологических данных. Общая терия фильтрации Калмана приводится в [1] (непрерывный случай) и в [2] (дискретный случай). Примеры применения фильтра можно найти в [4, 8 — 11]. Пусть входная последовательность имеет вид:
у*=Н*\*+Ц* , (1)
где Н* — прямоугольная Мхг — матрица, с помощью которой значения Л* пересчитываются в сигнальный вектор в** = НА*; ц* — отсчеты вектора помехи, которые будем полагать не только независимыми и имеющими нулевое среднее, но и нормально распределенными.
Как следует из формулы (1), доступный для наблюдения сигнал содержит не только полезную информацию (сигнальный вектор), но и
некоторую аддитивную помеху. Путь к тому же последовательность \і, \2,..., Лі,_образуется согласно следующему уравнению сообщения:
\i=Bi\i-l+Vi/ (2)
где В* — детерминированная гхг — матрица; V* — независимые отсчеты шума, придающие поведению Л1, Л2, _ случайный характер.
Само понятие «фильтр» подразумевает рекуррентный алгоритм, когда данные обрабатываются последовательно во времени по мере поступления выборочных значений. Задача заключается в оценивании Лп по всем имеющимся данным к моменту времени п. Критерием оценивания является минимум среднеквадратического отклонения. Для определения оптимальной оценки необходимо вычислить условное математическое ожидание:
Л п = М(Л п ІУ п , у п-^.^ у 1 } .
Такой алгоритм можно построить исходя из свойств случайных величин, входящих в уравнения (1) —(2). Для рассматриваемого случая фильтр Калмана описывается формулами:
Л і = В* Л і-1 + С і (у і - Н і В і л і-1 ) ; (3)
К и =[(в і К лі-іВі + К V* )-1 + ВТК пі В і
(4)
С * = К и Н ІК-1 , (5)
где К^, Кп*, К\*, — корреляционные матрицы, две первые из которых характеризуют шумы, а последняя — точность фильтрации векторного параметра Л*. Матрица К имеет размерность гхг, — гхг, Кп* — Мх№
С* — матрица размера гхМ, являющаяся матричным коэффициентом усиления фильтра Калмана.
Сущность фильтрации Калмана заключается в том, что текущая оценка на каждом шаге получается из априорной оценки путем добавления корректирующего члена. Для начала работы алгоритма помимо характеристик случайных величин V и п необходимо знать априорную оценку Л0 и матрицу К\0 — корреляционную матрицу априорного распределения оцениваемых параметров.
Вернемся к проблеме оценки ПЭС ионосферы. На рис. 1 показана геометрия измерения задачи.
Рис. 1. Геометрия измерения задачи
Задержка измеряется относительно неподвижного приемника и движущегося спутника:
АУ (£) = МхЫН^)/С08%(Ь) + АП С +е. (6)
Выбирается суточный период (Т=24 ч), и в качестве модели используется разложение М по гармоникам в функции местного времени ЬТ в подыоносферных точках:
Н = —(ЬТ -14);
124 ’
МН(0 = % + а1 С08(Н) + а2 С08(2Н) +... + а„ С08(пН) +
+Ъ1 8т(Н) + Ь2 8т(2Н) +... + Ъп 8т(иН) + (7)
+ с1Аф + с2АфН + с3Аф2 .
144
В нашем случае n равно шести. С учетом этого уравнение (6) представляет систему уравнений, в которой неизвестными являются 16 коэффициентов разложения ионосферной задержки и аппаратурные поправки A ПС (по числу спутников). Система уравнений является переопределенной и стандартно решается методом сингулярных разложений. В процессе решения системы одновременно рассчитываются коэффициенты a¡, b¡, c¡ и А) ПС (аппаратурные поправки для всех наблюдаемых спутников) и по найденным значениям восстанавливается абсолютная величина ПЭС над станцией наблюдения на суточном интервале.
Фильтр строился исходя из реально имеющихся данных. Это обусловило и выбор моделей для фильтрации. Предположим, что коэффициенты изменяются по формуле:
\¡=\¡-i+v¡ , (8)
т. е. текущие коэффициенты (все 16 коэффициентов помещены в вектор А) равны предыдущим с некоторой погрешностью, которая пред-
ставляет собой дискретный белый шум с корреляционной матрицей:
K v=a VI . (9)
Здесь I — единичная матрица соответствующей размерности. Такое предположение обосновано тем, что фильтр Калмана можно рассматривать как рекуррентный метод наименьших квадратов (вывод рекуррентного МНК можно найти в [3]), тогда в (2) матрица B = I.
В нашем случае аппаратурные поправки считались известными, поэтому их можно сразу убрать из значений задержки. Уравнение наблюдения имеет вид:
y¡=HA і+пі, (10)
где Hi — рямоугольная Nx16 матрица, элементы строк которой строятся в соответствии с (6)-(7), п — отсчеты вектора помехи, которые будем полагать не только независимыми и имеющими нулевое среднее,
но и нормально распределенными. Корреляционная матрица вектора П имеет вид:
Kni =а21і . (11)
Трудность заключается в том, что матрица Hi имеет нефиксированную размерность, т. е. число строк в ней на каждый момент может быть различным. Это объясняется тем, что количество строк этой матрицы соответствует количеству спутников, фиксировавшихся станцией в данный момент. Формулы (8) —(11) полностью описывают модель входной последовательности. Таким образом, становится возможным применить формулы (3) —(5). В качестве априорных оценок коэффициентов принимаем значения, рассчитанные за прошлые сутки, также с их помощью можно вычислить матрицу КА0 — корреляционную матрицу априорного распределения оцениваемых параметров.
Все алгоритмы были реализованы в виде программ. Как результат были обработаны данные с четырех станций: BOR1, HERS, LAMA, MATE, полученные в течение года результаты представлены в виде графиков. Здесь приведены графики только для станции BOR1, т. к.
она была наиболее обеспечена данными. На всех графиках изображена суточная вариация ПЭС (ось У), ось X — время, интервал дискретизации — 10 минут. Пунктирной линией представлены графики данных, обработанных стандартным методом, сплошной — с помощью фильтра Калмана.
1 января 1997
1 апреля 1997
1 июля 1997
1 февраля 1997
1 мая 1997
1 августа 1997
1 марта 1997
1 июня 1997
1 сентября 1997
1 октября 1997
1 ноября 1997
Рис. 2. Результаты фильтрации по станции ВОИ1
1 декабря 1997
145
146
Расхождение со стандартными данными здесь объясняется тем, что метод наименьших квадратов сам по себе является сглаживающим (постобработка дает только один набор коэффициентов на сутки), здесь же мы имеем свой, уточненный, набор коэффициентов на каждый момент времени. Работа позволяет улучшить качество обработанных данных и получить уточненное значение ПЭС в любой момент времени. Помимо этого применение рекуррентного алгоритма позволяет неограниченно увеличивать объем обрабатываемых данных.
Список литературы
1. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.
2. Балакришнан. А.В. Теория фильтрации Калмана. М.: Мир, 1988.
3. Льюнг Л. Идентификация систем: Теория для пользователя. М.: Наука, 1991.
4. Справочник по прикладной статистике / Под ред. Э. Ллойда и У. Ледермана. М.: Финансы и статистика, 1990.
5. Лаговский А.Ф., Воротникова О.В. Теория случайных процессов. Калининград: Изд-во КГУ, 2001.
6. Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000.
7. Розанов Ю.А. Случайные процессы. М.: Наука, 1971.
8. Радиотехнические системы / Под ред. Ю.М. Казаринова. М.: Высшая школа, 1990.
9. Климова Е.Г. Численные эксперименты по усвоению метеорологических данных с помощью субоптимального фильтра Калмана / / Метеорология и гидрология. 2003. № 10.
10. Herring T.A., Davis J.L., Shapiro I.I. Geodesy By Radio Interferometry: The Application ofKalman Filtering to the Analysis of Very Long Baseline Interferometry Data. // Journ. of Geophys. Research, Vol. 95, №. B8, P. 12,561—12, 581, August 10, 1990.
11. Ruffini G., Cucurull L., Flores A., Rius A. A PIM-Aided Kalman Filter for GPS Tomography of the Ionospheric Electron Content. // Phys. Chem. Earth (C), Vol. 24, No. 4, pp. 365—369, 1999.
Об авторе
А.В. Мышерин — аспирант, КГу.
УДК 621.372.542
В А. Пахотин, АА. Власов
МЕТОДИКА ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ИМПУЛЬСНОГО СИГНАЛА В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Представлена оригинальная методика оценки параметров импульсного сигнала при прохождении импульсов в радиотехнических цепях. Основой методики являются цифровые методы в теории оптимального приема.
Вестник КГУ. 2005. Вып. 1 — 2. Сер. Информатика и телекоммуникации. С. 145 — 152.
