CC BY
130
1
СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО
ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Статья подготовлена в рамках проведения инженерных расчетов конструктивов, разрабатываемых в Российском институте радионавигации и времени для глобальной навигационной спутниковой системы ГЛОНАСС. Рассматриваются основы методов решения уравнений физики в механических системах автоматизированного проектирования с помощью методов конечных элементов, излагаются достоинства и недостатки метода, предлагаются возможные способы ликвидации недостатков путем создания принципиально новых алгоритмов, основанных на векторном методе конечных элементов.
Метод конечных элементов (МКЭ) - один из самых известных методов решения уравнения физики, реализованных в механических САПР. В настоящее время он является стандартом при решении задач механики твердого тела посредством численных алгоритмов. В основе метода лежит дискретизация объекта с целью решения уравнений механики сплошной среды в предположении, что эти соотношения выполняются в пределах каждой из элементарных областей. Эти области называются конечными элементами. В пределах конечного элемента назначаются свойства ограничиваемого им участка объекта и описываются поля интересующих величин. Параметры из второй группы назначаются в узлах элемента, а затем вводятся интерполирующие функции, посредством которых соответствующие значения можно вычислить в любой точке внутри элемента или на его границе. Задача математического описания элемента сводится к тому, чтобы связать действующие в узлах факторы. Имея математический аппарат для получения матриц жесткости конечных элементов, приведения нагрузок, приложенных к поверхности или в объеме элемента к усилиям в узлах, а также решения обратных задач: вычисления полей деформаций и напряжений в объеме элемента на базе перемещений в узлах, можно построить алгоритм МКЭ.
Использование метода конечных элементов требует решения системы уравнений равновесия вида
где и и Я - соответственно векторы обобщенных перемещений и нагрузок, К - глобальная матрица жесткости, обычно симметричная, положительно определенная и разреженная.
Применение теории графов при разложении матрицы жесткости широко освещалось в зарубежной технической литературе ([2, 3]). Что же касается решения проблем, возникающих при моделировании процессов, описываемых векторными переменными (в частности, задачи газо- и гидродинамики), до сих пор не существует единообразного подхода к их решению.
В 1980 г. в статье Ж.С. Неделека [6] были представлены новые семейства неконформных конечных элементов - конечные элементы на кубах и тетраэдрах. Эти семейства являются конформными в пространствах И(го1;, й) и Н(&у, й), что позволило предложить использование этих элементов для аппроксимации уравнений Максвелла и
Общие теоретические сведения
Ки=Я,
(1)
Теория графов и метод конечных элементов
некоторых других [4]. Сейчас такие элементы в том или ином виде используются во многих инженерных системах [1].
В настоящее время существует два основных направления развития конечно-элементного анализа: узловой и векторный. Несмотря на имеющиеся различия, узловой и векторный методы конечных элементов имеют общую идеологию. В частности, эта общая идеология проявляется в методологии решения краевых задач методом конечных элементов (как скалярным, так и векторным). Оно состоит из следующих этапов:
1. переход от исходной постановки к эквивалентной вариационной;
2. дискретизация области решения (т.е. ее разбиение на геометрически конечные элементы);
3. выбор интерполяционных функций, определяющих свойства решения;
4. генерация системы линейных алгебраических уравнений;
5. решение сгенерированной системы уравнений [4].
Несмотря на то, что общие принципы векторного и узлового методов конечных элементов достаточно схожи, между ними имеется существенное геометрическое различие: в узловом МКЭ неизвестные величины ассоциированы с вершинами (т.е. точками дискретизации области), а в векторном - с ребрами, т.е. отрезками, соединяющими точки дискретизации. Как следствие, возникает необходимость в использовании других структур данных и других методах работы с ними. В частности, если для нумерации вершин элементов в узловом МКЭ используются простые методы построения прямой нумерации, то в векторном, как правило, используется глобальная нумерация ребер и соответствующий алгоритм ее построения [4] (см. рисунок).
построить список вершин, СЫСЛЛЫХ С I - ой
Если ребро1 уе 1 = (V. лг,) ещё не чану мер овжо,
Рисунок. Алгоритм построения глобальной нумерации ребер
В современных системах автоматизированного проектирования используется узловой метод конечных элементов с некоторыми допущениями. Дискретизация областей сложной формы производится путем разбиения на треугольники (двумерный случай) или тетраэдры (трехмерный случай).
При создании систем автоматизированных инженерных расчетов используются такие элементы вычислительной математики, как построение разреженных матриц (глобальные матрицы жесткости в SolidWorks / COSMOSWorks и других системах) [7].
Также известно, что в современных системах инженерного расчета используется следующий ряд допущений:
• для каждого конечного элемента при наличии перемещений (углов поворота) в узлах и аппроксимирующей функции рассчитываются деформации. Если элементы линейные, то деформации в пределах элементов постоянные, если элементы параболические, то деформации изменяются линейно;
• при необходимости значения параметров в узлах смежных элементов усредняются с последующим пересчетом напряжений в пределах каждого элемента;
• распределенные нагрузки программно заменяются эквивалентными, сосредоточенными в узлах.
Существуют и другие допущения, более подробно изложенные в специальной литературе, посвященной конкретным программам [1, 7]. Все это приводит к не всегда точным расчетам, а также к часто встречающейся расходимости алгоритмов решения задач.
В памяти компьютера конечно-элементные модели обычно хранятся в векторной форме, т.е. в виде координат совокупности точек, задающих элементы модели. Операции конструирования также выполняются над моделями в векторной форме. В целях уменьшения системных требований в современных САПР выбирается наиболее компактная модель в виде совокупности связанных базовых элементов формы, которая преимущественно и используется для хранения и обработки информации об изделиях в системах конструктивной геометрии [8]. Таким образом, современные САПР используют векторный вид хранения данных для реализации узлового, или скалярного метода конечных элементов.
Перспективы развития алгоритмов на базе МКЭ
Ввиду возрастающих аппаратных мощностей современных серверов и рабочих станций, а также улучшаемого математического аппарата в сфере вычислительной математики полагается возможным разработать комплекс алгоритмов инженерного расчета на основе векторного метода конечных элементов. Очевидно, что в связи с переходом от узлов к ребрам возникает необходимость в построении принципиально новой математической модели, основанной на применении в конечно-элементном анализе теории графов.
Теория графов нашла практическое применение в вычислительной технике в середине 70-х гг. прошлого века. Широкое применение она уже получила при исследовании так называемой проблемы оптимизации, возникающей при конструировании компиляторов. Кроме того, одним из основных направлений в вычислительной технике является построение эффективных алгоритмов и анализ их сложности, и теория графов (а в общем случае, и комбинаторный анализ) предоставляет большие возможности для построения таких алгоритмов [9].
В ходе осуществления большого количества инженерных расчетов в Российском институте радионавигации и времени (ОАО «РИРВ») нами было показано, что даже самые современные системы автоматизированного проектирования и инженерного расчета сегодня не дают необходимой для соответствия стандартам предприятия точности [10]. Вследствие этого возникает необходимость в поиске новых алгоритмов расчета, инновационном прикладном математическом моделировании и оптимизации проектных решений в сфере проведения инженерных расчетов на предприятии.
В связи с вышеизложенными особенностями, достоинствами и недостатками алгоритмов на базе метода конечных элементов, реализованных в современных САПР, в настоящее время создается программа по разработке алгоритмов инженерного расчета на основе векторного метода конечных элементов. Основные этапы реализации программы:
• исследование современных САПР и алгоритмов, в них реализованных;
• исследование последних достижений в сфере вычислительной математики, в частности, векторного МКЭ и возможности его применения в сфере инженерных расчетов радиоэлектронных конструктивов;
• разработка алгоритма конечно-элементной дискретизации простейших конструктивов;
• программная реализация алгоритма конечно-элементной дискретизации.
Данная программа ориентирована на создание методики расчета тепловых режимов радиоэлектронных конструктивов. Методика основана на математических методах
теории графов, применяемых в алгоритмах векторного метода конечных элементов.
Литература
1. Алямовский А.А., Собачкин А.А., Одинцов Е.В., Харитонович А.И., Пономарев Н.Б. SolidWorks. Компьютерное моделирование в инженерной практике. - СПб: БХВ-Петербург, 2005.
2. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. -М.: Мир, 1984.
3. Писсанецки С.Технология разреженных матриц. - М.: Мир,1988.
4. Баландин М.Ю., Шурина Э.П. Векторный метод конечных элементов: Учеб. Пособие. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2001.
5. Рычков С.П. Алгоритмы метода конечных элементов. - СПб: BHV, 2006.
6. Nedelec J.C. Mixed Finite Elements in R3 // Numer. Math.- 1980. - Vol. 35. - №3. - Р. 315-341.
7. Алямовский А.А. SolidWorks/COSMOSWorks. Инженерный анализ методом конечных элементов. - М.: ДМК-Пресс, 2004.
8. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.
9. Свами М., Тхуласимаран К. Графы, сети и алгоритмы: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984.
10. Боголюбов Д. А., Кармановский Н.С. Исследование тепловых режимов различных радиоэлектронных конструктивов с помощью системы COSMOSWorks // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. - 2007. - Выпуск 44. Современные технологии.
