Применение дисперсионных формул материалов в субмиллиметровом диапазоне длин волн Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

Оптика, оптико-электронные приборы и системы

УДК 535.32

ПРИМЕНЕНИЕ ДИСПЕРСИОННЫХ ФОРМУЛ МАТЕРИАЛОВ В СУБМИЛЛИМЕТРОВОМ ДИАПАЗОНЕ ДЛИН ВОЛН

Диана Георгиевна Макарова

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,

ул. Плахотного, 10, аспирант кафедры наносистем и оптотехники СГГА, тел. (383)343-91-11, e-mail: diana_ssga@mail.ru

Виктор Сергеевич Ефремов

Сибирская государственная геодезическая академия, 630108, Россия, г. Новосибирск,

ул. Плахотного, 10, кандидат технических наук, доцент кафедры наносистем и оптотехники СГГА, тел. (383)343-91-11, e-mail: ews49@mail.ru

Рассмотрены известные дисперсионные формулы оптических материалов применительно к субмиллиметровому диапазону спектра. Определены формулы дисперсии и их коэффициенты, пригодные для определения в инженерном приближении показателей преломления материалов, используемых в оптических устройствах субмиллиметрового диапазона спектра.

Ключевые слова: показатель преломления материала, дисперсионная формула, коэффициенты дисперсионной формулы.

APPLICATION OF DISPERSIVE FORMULAS OF MATERIALS IN THE SUBMILLIMETRIC RANGE OF LENGTHS OF WAVES

Diana G. Makarova

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., the postgraduate student faculty nanosistem and optotechnics SSGA, tel. (383)343-91-11, e-mail: diana_ssga@mail.ru

Victor S. Efremov

Siberian State Academy of Geodesy, 630108, Russia, Novosibirsk, 10 Plakhotnogo St., Cand. Tech. Sci., the senior lecturer faculty nanosistem and optotechnics SSGA, tel. (383)343-91-11, e-mail: ews49@mail.ru

Known dispersive formulas of optical materials with reference to a submillimetric range of a spectrum are considered. Formulas of a dispersion and their factors suitable for definition in engineering approximation of parameters of refraction of materials used in optical devices of a submil-limetric range of a spectrum are determined.

Key words: a parameter of refraction of a material, the dispersive formula, factors of the dispersive formula.

В последние годы происходит интенсивное освоение терагерцевого (тера-герцевых частот 10 —10 Гц) диапазона спектра электромагнитного излучения, что соответствует диапазону длин волн от 3 до 0,03 мм. Частью терагерце-

122

Оптика, оптико-электронные приборы и системы

вого диапазона является интервал длин волн от 1 до 0,1 мм, которые принято называть субмиллиметровыми.

Разработка и совершенствование источников и приемников излучения для этого диапазона спектра привело к созданию приборов различного назначения: терагерцевых спектрометров, терагерцевых сканеров для систем безопасности и др.

На основе известных принципов и материалов разрабатывается элементная база приемных (оптических) устройств, как для всего терагерцевого диапазона, так и для субмиллиметрового интервала. В их конструкции используются тера-герцевые оптические элементы, такие как, терагерцевые дифракционные решетки, фокусирующие рупоры, узкополосные резонансные mesh-фильтры и т. д. В ряде случаев требуется применение линз, призм и других диспергирующих элементов.

Увеличение характеристик оптических систем (угла поля зрения, относительного отверстия) применением только отражающих поверхностей невозможно, какой бы сложности не была их форма. Требуется применение компенсаторов с преломляющими поверхностями.

Разработка оптической элементной базы связана с расчетом оптических систем на компьютерах по пакетам прикладных программ (ППП) ZEMAX, SYNOPSYS и др. Эти ППП требуют введения конструктивных параметров радиусов, толщин и показателей преломления материалов.

Вычисление показателей преломления материалов в субмиллиметровом диапазоне представляет проблему. Длина волны излучения на 2-3 порядка превышает длину волны визуального диапазона спектра. Известные дисперсионные формулы и их коэффициенты предназначены для материалов, прозрачных в визуальном диапазоне спектра, еще позволяют рассчитать показатель преломления для ближнего ИК диапазона (примерно до 2 мкм), но на больших длинах волн они вносят большую ошибку.

Разработчики программ предусмотрели возможность замены коэффициентов дисперсионных формул для непредвиденных случаев. Вопрос стоит в выборе формул и определения коэффициентов, наиболее точно описывающих изменение показателя преломления материала в перспективных диапазонах спектра.

Известны дисперсионные формулы [1-4]: Шотта, Зелльмейера № 1-5, Герцбергера, Конради и две формулы из Handbook of Optics [2]. Кроме этих «основных» формул, существует много их разновидностей.

Рассмотрим возможность использования данных формул для расчета показателей преломления в субмиллиметровом диапазоне спектра.

Формула Шотта:

п2 = ад + a4Z2 + 32Z 2 + 4 + a4Z 6 + agZ 8. (1)

123

Оптика, оптико-электронные приборы и системы

Требуемые коэффициенты для визуального диапазона спектра имеются в большинстве каталогов изготовителей стекла. В России формула (1) имеет вид:

п2 — А± + А2Х2 -Ъ А3Х 2 + А4Х 4 + АдА 6 + АбХ 8.

Константы от А1 до А6 для каждой марки стекла приведены в «Каталоге стекла СССР-ГДР».

Формулы Зелльмейера № 1, 3, 5 соответственно отличаются количеством уточняющих членов:

п2 - 1 —

'W '\2 Ьг'12 Л 2 _ K^X , K2X , K3X " x2—l1 1 a2—l2 1 x2—l3 ; (2)

л 2 Т/ 'i 2 Т/ 'i 2 Т/ 'i 2 1x - k2X I K3X 1 K4X , —l1 1 x2—l2 1 x2—l3 1 a2—l4; (3)

7 ^ 2 7^2 7 'I 2 7^2 1 k2X I K3X I K4X I K5X + x2—l2 1 a2—l3 1 x2—l4 1 a^l^ (4)

где Li = li2;

l - длины волн, соответствующие полосам поглощения среды. Формула Зелльмейера № 2

п2 - 1 — А +

-Xl

+

В2

a2—х2

где 11 и 12 - длины волн, соответствующие полосам поглощения среды. Формула Зелльмейера № 4 [3, с. 10-14]

п

— А +

BX2

x2—c

+

da2

A2-E.

Формула Герцбергера:

п2 — А + BL + CL2 + DA2 + EX4 + FA6,

(5)

(6)

(7)

где

L —

X—0,028

Данная формула не может быть применена для терагерцевого диапазона спектра, поскольку при расчете L используется постоянная величина 0,028, что соответствует длине волны 0,167 мкм [5].

Формула Конради:

А

B

П — По +- + —.

X X

(8)

124

Оптика, оптико-электронные приборы и системы

Формула Конради полезна для применения в тех случаях, когда количество данных весьма ограничено. Например, если имеется только три пары значений: длина волны - показатель преломления.

Формулы (9) и (10) из [2]

п2=А + р,В_с)-^2; (9)

П2 = a + -^--D^2. (Х2-С) (10)

Формулы (9) и (10) имеют отрицательный дискриминант за счет величины значения третьего члена D12 при значениях 1 больше 100 мкм.

Общие замечания по использованию дисперсионных формул:

- большинство известных формул были разработаны для визуального диапазона спектра, в основном для силикатного стекла, и содержат в виде константы длину волны, соответствующую полосе поглощения среды;

- наличие в формулах длины волн, соответствующих полосам поглощения материала, усложняет процесс вычислений, так как в основном в субмиллиметровой области спектра используются кристаллические материалы с различными свойствами, в том числе и полосами поглощения;

- для практического использования наиболее интересны участки дисперсионного графика с «нормальной» дисперсией показателя преломления. Участки графика, соответствующие полосам поглощения материала или расположенные вблизи них, с точки зрения коррекции хроматизма нежелательны.

Для анализа выберем дисперсионные формулы (1), (6), (8). Рассмотрим возможность их использования в субмиллиметровом диапазоне спектра. Для примера выберем материалы с показателями преломления, лежащими на границах и в центре интервала возможных значений показателей преломления: кремний (П1=200мкм = 3,4165), кварц (п1=200мкм = 2,117) и полиэтилен (п1=200мкм = 1,5137).

Показатели преломления этих материалов определенные по выбранным дисперсионным формулам с известными коэффициентами [1] приведены в табл. 1.

Из табл. 1 видно, что сходимости результатов расчета показателей преломления у разных материалов, рассчитанных по разным дисперсионным формулам, нет. Некоторые показатели не могут быть определены из-за отрицательных значений дискриминантов в формулах.

Одним из возможных решений данной проблемы может быть применение некоторых из известных формул с новыми, рассчитанными именно для рассматриваемого диапазона, коэффициентами дисперсионных формул. Для рассмотрения выберем формулы Шотта (1), Зелльмейера № 4 (6) и Конради (8). В качестве опорных значений примем определенные Рендалом и Роуклиффом с использованием частотно-спектральной техники показатели преломления в диапазоне от 67,8 до 588 мкм [2].

125

Оптика, оптико-электронные приборы и системы

Таблица 1

Показатели преломления трех материалов, определенные по выбранным дисперсионным формулам с известными коэффициентами

Материал Дисперсионная формула 1, мкм

100 125 166,7 200 250 333,3

Кремний (1) 30,3277 37,8303 50,3682 60,3909 75,4489 100,547

(6) 7,4793 7,4396 7,4104 7,3994 7,3904 7,3836

(8) 2,3566 2,3566 2,3566 2,3566 2,3567 2,3567

Кварц (1) - - - - - -

(6) 2,1608 2,1560 2,1523 2,1508 2,1496 2,1487

(8) 2,3566 2,3566 2,3566 2,3566 2,3567 2,3567

Поли этилен (1) - - - - - -

(6) 2,4282 2,4282 2,4282 2,4282 2,4282 2,4282

(8) 1,5583 1,5583 1,5582 1,5582 1,5582 1,5582

Определим значения коэффициентов этих формул для кремния:

1. Значения коэффициентов ao, ai, a2 для формулы Шотта (1) для кремния. Формулу (1) преобразуем к виду, ограничившись тремя членами:

2 Ь Эд — П2 — 0.

Составим систему уравнений для трех длин волн:

(3i А,2 + 2 + Эд — п? — 0;

| э1 ^2 + а2^^2 + ао— П2 — 0; (11)

Val^2 + а2^з2 + Э0 — п2 — 0 ■

Решать системы уравнений (11), (12), (13) будем при одинаковых условиях:

11 = 100 мкм, П1 = 3,4185,

12 = 200 мкм, n2 = 3,4165,

13 = 333,3 мкм, п3 = 3,4155.

В результате получим следующие значения коэффициентов для выражения (1): а0 = 11,67; а1 = 0; а2 = 168,03.

2. Значения коэффициентов А, В, D формулы Зелльмейера № 4 (6) для кремния.

Формулу (6) преобразуем к виду:

А(^2 — С)(^2 — Е) + В^2(^2 — Е) + D^2(^2 — с) — п2(^2 — с)(^2 — е) — 0.

126

Оптика, оптико-электронные приборы и системы

Составим систему уравнений для трех длин волн:

"А(Х| - С)(>,| - Е) + В^|(Х| - Е) + Dk|(^| - С) --n|(X| - С)(Х| - е) = 0 ;

А(^2 - С)(^ - Е) + В^| - Е) + D^ - С) -

-п|(Х|-С)(Х|-Е) = 0; ( )

А(^3 - С)(Х| - Е) + В^(х| - е) + DX|(Xf - С) --n|(X| - С)(Х,| - е) = 0 .

В результате получим следующие значения коэффициентов для формулы (6): A = 11,85; B = 0,14; D = -0,32.

3. Значения коэффициентов n0, A, B для формулы Конради (8) для кремния.

Формулу (8) преобразуем к виду: АА3’5 + В^ + n0Af’5 - n^f’5 = 0.

Составим систему уравнений для трех длин волн:

ГаА3’5 + ВАХ + по^’5 — n^’5 = 0;

] AXf’5 + ВХ| + noXf’5 - n|Xf’5 = 0; (13)

+ В^з + n0^3 - n3^3 = 0.

В результате получим следующие значения коэффициентов для формулы (8): n0 = 3,41; A = 0,53; B = -6863,89.

Аналогичным способом определим коэффициенты дисперсионных формул для кварца и полиэтилена. Сравним точность рассчитанных значений показателей преломления относительно измеренных у трех материалов по трем дисперсионным формулам с найденными коэффициентами.

Кремний имеет наиболее высокий показатель преломления в субмиллиметровом диапазоне длин волн. В табл. 2 приведены измеренные (пизм) и рассчитанные (пр) по формулам (1), (6), (8) значения показателей преломления кремния с найденными коэффициентами. Определена абсолютная (Ап) и относительная (Дп/пизм) погрешность рассчитанных значений.

Таблица 2

Измеренные и рассчитанные показатели преломления для кремния

1, мкм пизм п Ап пр пизм Ап/пизм Аn/nизм, %

По формуле (1): а0 = 11 ,67; а1 = 0; а2 = 168,03

100,0 3,4185 3,4185 0,0000 0,0000 0,00

125,0 3,4180 3,4177 0,0003 0,0001 0,01

166,7 3,4170 3,4170 0,0000 0,0000 0,00

200,0 3,4165 3,4167 0,0002 0,0006 0,06

250,0 3,4160 3,4165 0,0005 0,0002 0,02

333,3 3,4155 3,4163 0,0008 0,0002 0,02

127

Оптика, оптико-электронные приборы и системы

Окончание табл. 2

1, мкм пизм п An Пр Пизм Ап/пизм An/n^j^ %

По формуле (6): A = 11,85; B = 0;14 D = -0,32

100,0 3,4185 3,4183 0,0002 4,4757E-05 0,00

125,0 3,4180 3,4175 0,0005 0,0001 0,02

166,7 3,4170 3,4169 0,0001 0,0000 0,00

200,0 3,4165 3,4166 0,0001 0,0000 0,00

250,0 3,4160 3,4165 0,0005 0,0001 0,01

333,3 3,4155 3,4163 0,0008 0,0002 0,02

По формуле (8): n0=3,41; A=0,53; B=-6863,89

100,0 3,4185 3,4146 0,0039 0,0011 0,11

125,0 3,4180 3,4139 0,0041 0,0011 0,12

166,7 3,4170 3,4130 0,0039 0,0012 0,12

200,0 3,4165 3,4125 0,0039 0,0011 0,11

250,0 3,4160 3,4121 0,0039 0,0011 0,11

333,3 3,4155 3,4115 0,0039 0,0011 0,11

На рис. 1 приведены графики изменения показателя преломления кремния в субмиллиметровом диапазоне длин волн, измеренные и рассчитанные по дисперсионным формулам.

Рис. 1. Графики изменения показателей преломления кремния в субмиллиметровом диапазоне длин волн:

1 - измеренный, 2 - по формуле (1), 3 - по формуле (6), 4 - по формуле (8)

128

Оптика, оптико-электронные приборы и системы

Кварц имеет показатель преломления, расположенный в середине интервала значений показателей преломления материалов, прозрачных в субмиллиметровом диапазоне длин волн. В табл. 3 приведены измеренные (пизм) и рассчитанные (пр) по формулам (1), (6), (8) значения показателей преломления кварца с найденными коэффициентами. Определена абсолютная (Ап) и относительная (Лп/пизм) погрешность рассчитанных значений.

Таблица 3

Измеренные и рассчитанные показатели преломления кварца

1, мкм пизм пр Ап пр пизм Ап/пизм Аn/nизм, %

По формуле (1): а0 = 4,44; а1 = 0; а2 = 830,33

100,0 2,132 2,1267 0,0053 0,0025 0,25

125,0 2,125 2,1197 0,0053 0,0025 0,25

166,7 2,122 2,1142 0,0078 0,0037 0,37

200,0 2,117 2,1120 0,0050 0,0025 0,24

250,0 2,114 2,1102 0,0038 0,0018 0,18

333,3 2,113 2,1089 0,0041 0,0019 0,19

По формуле (6): A = 11,85; B = 0,14; D = -0,32

100,0 2,132 2,1335 0,0015 0,0007 0,07

125,0 2,125 2,1266 0,0016 0,0008 0,08

166,7 2,122 2,1212 0,0008 0,0004 0,04

200,0 2,117 2,1191 0,0021 0,0010 0,10

250,0 2,114 2,1173 0,0033 0,0016 0,16

333,3 2,113 2,1159 0,0029 0,0014 0,14

По формуле (8): п0 = 2,11; A = 1,75; B = 68638

100,0 2,132 2,1344 0,0024 0,0011 0,11

125,0 2,125 2,1271 0,0021 0,0010 0,10

166,7 2,122 2,1217 0,0003 0,0001 0,01

200,0 2,117 2,1194 0,0024 0,0011 0,11

250,0 2,114 2,1173 0,0033 0,0016 0,16

333,3 2,113 2,1154 0,0024 0,0011 0,11

На рис. 2 приведены графики изменения показателя преломления кварца в субмиллиметровом диапазоне длин волн, измеренные и рассчитанные по дисперсионным формулам.

129

Оптика, оптико-электронные приборы и системы

Рис. 2. Графики изменения показателей преломления кварца в субмиллиметровом диапазоне длин волн:

1 - измеренный, 2 - по формуле (1), 3 - по формуле (6), 4 - по формуле (8)

Полиэтилен имеет низкий показатель преломления в субмиллиметровом диапазоне длин волн. В табл. 4 приведены измеренные (пизм) и рассчитанные (пр) по формулам (1), (6), (8) значения показателей преломления полиэтилена с найденными коэффициентами. Определена абсолютная (Ап) и относительная (Лп/пизм) погрешность рассчитанных значений.

Таблица 4

Измеренные и рассчитанные показатели преломления полиэтилена

1, мкм пизм пр Ап пр пизм Лп/пи Аn/nизм, %

По фо' рмуле (1): ао = 2,29; а1 = 0; а2 = -23,22

100,0 1,5132 1,5140 0,0008 0,0005 0,05

125,0 1,5131 1,5137 0,0006 0,0004 0,04

166,7 1,5138 1,5135 0,0003 0,0002 0,02

200,0 1,5137 1,5134 0,0003 0,0002 0,02

250,0 1,5136 1,5133 0,0003 0,0002 0,02

333,3 1,5136 1,5133 0,0003 0,0002 0,02

130

Оптика, оптико-электронные приборы и системы

Окончание табл. 4

1, мкм Пизм пр Дп Пр Пизм Дп/Пи Ап/л-изм %

По формуле (6): A = 2,3; B = 0; D = -0,01

100,0 1,5132 1,5167 0,0035 0,0023 0,23

125,0 1,5131 1,5167 0,0036 0,0024 0,24

166,7 1,5138 1,5166 0,0028 0,0019 0,18

200,0 1,5137 1,5166 0,0029 0,0019 0,19

250,0 1,5136 1,5165 0,0029 0,0019 0,19

333,3 1,5136 1,5165 0,0029 0,0019 0,19

По формуле (8): п0 = 1,51; A = -2,36; B = -713846,15

100,0 1,5132 1,5577 0,0445 0,0294 2,9407

125,0 1,5131 1,5238 0,0107 0,0070 0,7071

166,7 1,5138 1,5077 0,0061 0,0040 0,4029

200,0 1,5137 1,5045 0,0092 0,0060 0,6077

250,0 1,5136 1,5034 0,0102 0,0067 0,6738

333,3 1,5136 1,5039 0,0097 0,0064 0,6408

На рис. 3 приведены графики изменения показателя преломления полиэтилена в субмиллиметровом диапазоне длин волн, измеренные и рассчитанные по дисперсионным формулам.

1,56

1,55

1,54

1,53

1,52

1,51

1,5

П

■2

----------1--------------1-------------1--------------1-------------1-------------4 1

100 125 166,7 200 250 333,3

мкм

1

3

Рис. 3. Графики изменения показателей преломления полиэтилена в субмиллиметровом диапазоне длин волн:

1 - измеренный, 2 - по формуле (1), 3 - по формуле (6), 4 - по формуле (8)

131

Оптика, оптико-электронные приборы и системы

На основе полученных результатов можно сделать некоторые выводы:

- определение показателей преломления материалов в субмиллиметровом диапазоне длин волн в области нормальной дисперсии по известным дисперсионным формулам возможно;

- точность рассчитанных значений показателей преломления по трем опорным точкам в области нормальной дисперсии достаточна для инженерных расчетов оптических систем;

- для материалов с большим значением показателя преломления меньшую погрешность обеспечивали формулы Шотта и Зелльмейера № 4;

- для материалов со средним значением показателя преломления меньшую погрешность обеспечивали формулы Зелльмейера № 4 и Конради;

- для материалов с низким значением показателя преломления меньшую погрешность обеспечивали формулы Шотта и Зелльмейера № 4.

Таким образом, можно предположить, что формула Зелльмейера № 4 наиболее точно описывает изменение показателей преломления материалов в субмиллиметровом диапазоне длин волн в области нормальной дисперсии.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Инструкция пользователя [Электронный ресурс]. - Режим доступа: www.zemax.com /help/ Manual.pdf.

2. M. Bass. Handbook of Optics. The McGraw-Hill Companies, 1995. - 1606 p.

3. E.D. Palik. Handbook of Optical Constants of Solids. Vol 1, Academic Press, New York, 1985. - 724 p.

4. E.D. Palik. Handbook of Optical Constants of Solids. Vol 2, Academic Press, New York, 2010. - 1024 p.

5. Слюсарев Г.Г. Расчет оптических систем. - Л.: Машиностроение, 1975. - 640 с. Получено 02.03.2012

© Д.Г. Макарова, В.С. Ефремов, 2012

132