CC BY
218
УДК 621.391
ПРИМЕНЕНИЕ ДИСКРЕТНОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ФИЛЬТРАЦИИ ЗОНДИРУЮЩИХ РАДИОЛОКАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ ОТ АДДИТИВНЫХ ПОМЕХ
Б.В. Матвеев, Д.Ю. Крюков, Ю.С. Курьян, К.О. Левенков
Представлены результаты исследования возможности применения дискретного вейвлет-преобразования для очистки зондирующих сигналов от аддитивных помех. Проведена оценка качества очистки посредством сравнения восстановленного сигнала с исходным при помощи визуального наблюдения временных диаграмм и измерения вероятностных характеристик
Ключевые слова: дискретное вейвлет-преобразование, зондирующий сигнал, подповерхностная радиолокация
В настоящее время метод высокоточного дистанционного зондирования является одним из самых распространённых методов исследования природной среды и земных ресурсов. Системы подповерхностного радиолокационного зондирования обладают высокой разрешающей способностью (особенно по дальности), что позволяет измерить толщину сравнительно тонких слоев [1]. Принцип работы таких систем основан на облучении исследуемого объекта (цели) специальным зондирующим сигналом, который после взаимодействия с объектом попадает в приёмник радиотехнической системы (РТС) в виде отражённого сигнала (эхо-сигнала). Затем, путём анализа изменения параметров принятого (отражённого) сигнала по сравнению с переданным можно в реальном масштабе времени получить достоверную информацию о подповерхностных слоях, оценить их размеры, электрические характеристики и расстояние до них.
Как правило, амплитуда (или мощность) принимаемого сигнала мала, а сам сигнал имеет случайный характер. Малая мощность сигнала объясняется большим расстоянием до объекта и поглощением энергии сигнала при его распространении. Случайный характер сигнала является следствием флуктуа-ций отраженного сигнала за счет многолучевого распространения радиоволн, хаотических изменений амплитуд сигнала и ряда других факторов [2]. В результате принимаемый сигнал по виду, интенсивности и характеру изменения во времени похож в приёмном тракте на шумы и помехи. Поэтому одной из важнейших задач при обработке зондирующих радиолокационных сигналов является их очистка от шумов с минимальными потерями важной информации. В настоящее время для обработки сигналов существует множество методов, таких как спектральный анализ, фильтрация, аппроксимация в различных базисах, а также вейвлет-анализ. Преимущество
Матвеев Борис Васильевич - ВГТУ, канд. техн. наук, профессор, тел. 8-960-138-4561
Крюков Дмитрий Юрьевич - ВГТУ, студент, e-mail: KryukovDY@bk.ru
Курьян Юрий Сергеевич - ВГТУ, студент, e-mail: kuryanus@yandex.ru
Левенков Кирилл Олегович - ВГТУ, студент, e-mail: kirlevenkov@mail.ru
вейвлет-анализа заключается в том, что имеется возможность для изучения высших частот, а также для удаления шума, сжатия и сглаживания [3].
Целью данной работы является исследование свойств дискретного вейвлет-преобразования и его адаптация к применению для очистки зондирующих радиолокационных сигналов от шумов.
Известно [1], что структура зондирующего сигнала в значительной мере определяет качественные показатели РТС, а именно помехозащищенность, точность измерений, разрешающую способность, сложность и др. Для обеспечения этих показателей к зондирующим сигналам предъявляется ряд требований, которые зачастую являются противоречивыми. Поэтому, выбор оптимальной формы зондирующего радиолокационного сигнала представляет собой весьма сложную задачу.
В качестве отражённого зондирующего сигнала, содержащего радиолокационную информацию, был выбран видеоимпульсный сигнал (рис. 1), состоящий из отдельных гармонических составляющих:
, ,, .2 а1«>'£т«
2() а«,1£т«
-IA
n =0
■e
(1)
где I - количество экспонент, А , т, а 1, а 2 - известные коэффициенты, характеризующие формы информационных пиков отражённого видеоимпульса.
1 п я -
0 6 -
П 4
0 2 -
0 -0 ?
50
100 150
Время, t
200
Рис. 1. Отражённый зондирующий сигнал
Далее будем полагать, что воздействие помехи на отражённый сигнал имеет аддитивный характер, что свойственно для большинства реальных информационных каналов связи. Тогда, модель зашумлен-ного сигнал имеет вид:
5 (!) = | (!) + 1 • ц (!), (2)
где I (!) - полезный информационный сигнал, I -уровень шума, ц (!) - шумовой сигнал.
В радиотехнике и связи адекватной математической моделью, позволяющей с достаточной точностью описать реальные помехи является случайный процесс с гауссовским законом распределения. Обусловлено это тем, что случайные процессы часто являются результатом суперпозиции большого числа независимых или слабо зависимых равномерно малых слагаемых. Плотность распределения суммы этих слагаемых при неограниченном увеличении их числа как угодно близко приближается к гауссовско-му закону распределения независимо от того, какие законы распределения имеют эти слагаемые [4].
Для примера рассмотрим наиболее интересный с практической точки зрения случай, когда помеха является белым гауссовским шумом (БГШ), т.е. стационарной случайной последовательностью с нулевым математическим ожиданием, абсолютно некоррелированной и с дисперсией, равной единице.
Временное представление отражённого зондирующего сигнала при аддитивном воздействии БГШ, в соответствии с формулой (2), изображено на рис. 2.
100 150 200 250
Время. 1
Рис. 2. Аддитивная смесь отражённого зондирующего
сигнала с белым гауссовским шумом
Существует два основных теоретических подхода к очистке сигнала от шума посредством вейвлет-анализа. Первый основан на том, что вейвлет-преобразование позволяет разложить анализируемый сигнал на аппроксимирующие коэффициенты, которые представляют сглаженный сигнал, и детализирующие коэффициенты, описывающие высокочастотные составляющие. Следовательно, шумовая компонента в большей степени отражается в детализирующих коэффициентах. Поэтому при удалении шума обрабатывают обычно только детализиру-
ющие коэффициенты. Второй подход заключается в предположении, что шумовая компонента представляет собой сигнал меньший по модулю, чем основной. Поэтому лучший способ удаления шума заключается в том, чтобы сделать нулевыми значения коэффициентов, меньшие некоторого порогового значения. Эта процедура называется пороговой обработкой (трешолдингом) коэффициентов [3].
В общем случае вейвлет-преобразование одномерного сигнала - это его представление в виде обобщенного ряда или интеграла Фурье по системе базисных функций [5]:
У оъ () = УI — I, (3)
1а V о 0
сконструированных из материнского (исходного) вейвлета у (!), обладающего определенными свойствами за счет операций сдвига во времени ъ и изменения временного масштаба а. Множитель обеспечивает независимость нормы этих функций от масштабирующего параметра а .
Однако, при непрерывном изменении параметров а и ъ для расчета вейвлет-спектра необходимы большие вычислительные затраты, что значительно увеличивает время обработки информации. Поэтому целесообразно перейти к дискретному вейвлет-преобразованию. При этом необходима не только дискретизация этих параметров при сохранении возможности восстановления сигнала из его преобразования, но и сам сигнал необходимо дискретизировать по времени.
Дискретизация зашумленного сигнала (рис. 2) производиться на основании теоремы Котельникова (теоремы отчетов), в соответствии с которой исходный непрерывный сигнал 5 (!), спектр которого
ограничен частотой ¥ М , полностью и однозначно определяется последовательностью своих мгновенных значений, отсчитываемых через интервалы времени Д = 1/2¥ М с частотой дискретизации
¥ > 2¥ г д — лг м ■
Простой математической моделью, описывающий дискретизированный сигнал с шагом Д!, является совокупность отсчетных импульсов бесконечно малой длительности:
N -1
5 Д (!) = 2 5 0 • Д )5 (! -1 • Д),
(4)
где 5 (!) - дельта-функция.
Систему базисных вейвлет-функций, формула (3), следует преобразовать путем дискретизации параметров а и Ь через степень двойки [5]:
У л (!) = -Д=У (2~т! - к ), (5)
л/2 т
где а = 2т , Ь = к • 2т , т и к - целые числа. В этом случае плоскость а , Ь превращаются в соответ-
!=1
ствующую сетку т , к .Параметрт является параметром масштаба.
Тогда, окончательно, прямое дискретное вейвлет-преобразование сигнала 5 Д (!) задается путем вычисления коэффициентов по следующей формуле:
С тк = I 5 Д (! ) •У тк (! ).
(6)
Вейвлет-коэффициенты определяются путем суммирования скалярного произведения на вейвлет-функцию заданного вида.
Для определения вейвлет-коэффициентов С т1 нами была использована программа математического моделирования МаШса^ имеющая в своем составе встроенные функции прямого и обратного вейвлет-преобразования на основе материнского вейвлета Добеши 4. При этом вейвлет-преобразование происходит с большой скоростью и можно осуществить практическое исследование различных сигналов [5].
На рис. 3 показана вейвлет-спектрограмма за-шумлённого зондирующего сигнала, который в соответствии с формулой (4) был представлен дискретной последовательностью своих мгновенных значений в количестве N = 2п0 (при п 0 = 8, N = 256).
Рис. 3. Вейвлет-спектрограмма зашумлённого зондирующего радиолокационного сигнала
Из представленного на рис. 3 трехмерного вейвлет-спектра, составленного из коэффициентов С тк видно, что при фиксированном значении
т вейвлеты имеют одинаковые масштабы и лишь смещаются по времени. При увеличении параметра т на единицу масштаб увеличивается в два раза и вейвлеты растягиваются. Таким образом, при различных значениях параметра масштаба т ширина вейвлет-функций Утк (! ) так же различна и выбором
сдвига по времени Ь = к • 2т обеспечивается пере-
крытие всего временного интервала сигнала для каждого из возможных значений т .
Для того, чтобы очистить зашумлённый зондирующий сигнал необходимо по найденному вектору коэффициентов С тк осуществить обратное дискретное вейвлет-преобразование с подавлением коэффициентов при быстрых (высокочастотных) слагаемых ряда [5]:
5 В С ) = I Сткк •У тк 0 ). (7)
т ,к
В нашем случае число отсчетов дискретизиро-ванного сигнала составляет N = 2п 0, поэтому наибольшее значение параметра масштаба т в формуле (5) будет равно п 0 -1. Максимальное значение
к для текущего т определяется как к = 2п 0 т -1.
Таким образом, число слагаемых ряда (7), которые необходимо подавить, можно представить в виде:
I = 2(п0-1)-т... N -1. (8)
Очевидно, что при т = 0 восстановление происходит без подавления высокочастотных составляющих и зашумленный сигнал полностью совпадает с восстановленным. При увеличении параметра т расширяется полоса подавления составляющих в вейвлет-спектре, что эквивалентно пропусканию сигнала через фильтр низких частот с уменьшающейся полосой пропускания, и следовательно росту подавления шума (высокочастотных компонентов сигнала).
Для того, чтобы оценить качество очистки зондирующего сигнала от аддитивной помехи необходимо сравнить исходный сигнал (рис. 1) с восстановленным. При сравнении сигналов устанавливается степень их взаимного соответствия по форме. Для действительных сигналов сравнение означает выявление равномасштабного подобия временных диаграмм сравниваемых сигналов.
Сравнение сигналов может осуществляться и на основе анализа значения коэффициента корреляции. При этом, чем ближе к единице значение коэффициента корреляции, тем больше сигналы подобны друг другу по форме. Проведем измерение коэффициента корреляции для выборок исходного и восстановленного зондирующих сигналов, при различных значениях параметра т .
Числовые значения коэффициента корреляции Я для различных т :
Значение Коэффициент
параметра т корреляции Я
0 0,5618
1 0,7335
2 0,8142
3 0,9076
4 0,7519
5 0,5646
со
6 0,1888
7 0,1888
Анализируя полученные результаты можно заключить, что наилучшее качество очистки зондирующего сигнала от шума посредством дискретного вейвлет-преобразования достигается при значении параметра т — 3. В этом случае исходный и восстановленный зондирующие сигналы наиболее близко совпадают по форме, и сохраняется возможность получения важной радиолокационной информации. Дальнейшие попытки удаления шума, т. е. увеличение значения параметра т приводят к недопустимым искажениям формы отражённого зондирующего сигнала, о чем свидетельствует снижение коэффициента корреляции.
На рис. 4 изображены временные зависимости исходного зондирующего сигнала и восстановленного при значении параметра Ш = 3.
Рис. 4. Временное представление исходного зондирующего видеоимпульса (показан пунктиром) и восстановленного при значении параметра т — 3 (сплошная кривая)
В представленной работе была исследована возможность применения дискретного вейвлет-преобразования для фильтрации зондирующих сигналов от помех аддитивного характера. Разработана экспериментальная математическая модель, позволяющая на практике реализовать процедуру очистки отражённого зондирующего сигнала и оценить качество восстановления.
Таким образом, вейвлет-анализ в данной статье описывается с позиций использования его как инструмента, с помощью которого можно получить важную радиолокационную информацию в условиях действия помех. В перспективе аппарат вейвлет-анализа можно применить для построения современной автоматизированной системы распознавания зондирующих радиолокационных сигналов.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) проект №13-08-97538-р. центр. а.
Литература
1. Финкельштейн М.И., Мендельсон В. Л., Кутев В. А. Радиолокация слоистых земных покровов. Под ред. М.И. Финкельштейна. М., «Сов. радио», 1977, 176 с.
2. Бакулев П. А. Радиолокационные системы. Учебник для вузов. - М.: Радиотехника, 2004, 320 с., ил.
3. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвле-ты в MATLAB. - М.: ДМК Пресс, 2005. - 304 с., ил.
4. Филипский Ю.К. Случайные процессы в радиотехнике. - 2-е изд., перераб. и доп. - К.: Вища школа, 1986. -126 с.: ил.
5. Яковлев А.Н. Введение в вейвлет-преобразования: Учеб. пособие. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. - 104 с.
6. Штарк Г.-Г. Применение вейвлетов для ЦОС. Москва: Техносфера, 2007. - 192 с.
7. Цифровой алгоритм высокоточной оценки частоты гармонического сигнала на фоне аддитивных помех [Текст] / Д.С. Гнездилов, В.А. Сладких, В.М. Стопкин, Б.В. Матвеев // Вестник Воронежского государственного технического университета. - 2013. - Т. 9. - № 3-1. - С. 124-126.
8. Daubechies I. Comm. Pure Appl. Math. 41 906 (1988); IEEE Trans.Inform. Theory 36 961 (1990); Ten Lectures on Wavelets (CBMS Lecture Notes Series) (Philadelphia: SIAM, 1991).
Воронежский государственный технический университет
APPLICATION DISCRETE WAWELET TRANSFORM TO FILTER PROBING RADAR SIGNALS
FROM ADDITIVE NOISE
B.V. Matveev, D.Yu. Kryukov, Yu.S. Kuryan, K.O. Levenkov
The results of the study the possibility of using discrete wavelet transform to clean sounding signals from additive noise. Evaluated by comparing the quality of treatment by reduction of the signal at the source by visual observation and measurement of waveform probabilistic characteristics
Key words: discrete wavelet transform, the probe signal, subsurface radar
