Применение бесконечнолинейной трехфазной СМО для исследования процесса изменения числа лиц, застрахованных в Пенсионном фонде, при нестационарном входящем потоке Текст научной статьи по специальности «Математика»

2008

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика

№ 2(3)

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

УДК 681.142.2

И.Р. Гарайшина

ПРИМЕНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНОЛИНЕЙНОЙ ТРЕХФАЗНОЙ СМО ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ ЧИСЛА ЛИЦ, ЗАСТРАХОВАННЫХ В ПЕНСИОННОМ ФОНДЕ,

ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ ВХОДЯЩЕМ ПОТОКЕ

Предлагается модель процесса изменения численности лиц, застрахованных в Пенсионном фонде, при этом рассматриваются три категории населения: работающие лица до достижения пенсионного возраста, занятые в экономике пенсионеры, неработающие пенсионеры. Изучаются основные характеристики указанного процесса.

Ключевые слова: трехфазная система, модель процесса изменения численности лиц, Пенсионный фонд.

1. Построение математической модели

Всех лиц, застрахованных в Пенсионном фонде, разобьём на три категории: к первой отнесём тех, кто занимается трудовой деятельностью до достижения пенсионного возраста, ко второй - занятых в экономике лиц пенсионного возраста, к третьей - неработающих пенсионеров. Для моделирования процесса изменения числа застрахованных лиц используем бесконечнолинейную трехфазную систему массового облуживания - полагаем, что застрахованный находится на г-й фазе обслуживания, если в данный момент принадлежит г-й категории (г=1, 2, 3). На вход системы поступает пуассоновский поток с интенсивностью X(t), имеющей смысл среднего числа лиц, застрахованных за единицу времени. Считаем, что продолжительность пребывания лица на каждой фазе есть экспоненциально распределенная случайная величина с параметрами ^, ц2, Из соответственно. Вероятность перехода заявки с первой фазы на вторую равна r, со второй на третью - r2, с первой на третью - r3.

Состояние данной системы определим трехмерным вектором (г, j, к}, где г, j, к

- количество заявок на 1-й, 2-й и 3-й фазах.

Изменение данного вектора во времени образует марковский процесс {i(t),j(t),k(t)} .Обозначим

P(i, j, k, t ) = P(i(t ) = i, j (t ) = j, k ( t ) = k ).

Распределение P(i, j, к, t) удовлетворяет уравнению

= Мt)P(i -1, j, k, t) + (i +1)P(i +1, j -1, k, t) + r3 ^ (i + 1)P(i +1, j, k -1, t ) +

+(1 - Г - r3 ) ^ ( i +1) P( i +1, j, k, t ) + г2ц 2 ( j +1) P(i, j +1, k -1, t ) +

+ (1 - r2 ) Й2 ( j +1 )P(i, j +1, k, t) + Из (k + 1)P(i, j, k +1, t) (1)

и заданным начальным условиям

P(i, j, k, t0 ) = P0 0', j, k) .

2. Исследование математической модели

Обозначим интенсивность входящего потока на страхование X (г) = Хр(г), где X

- бесконечно большая величина, не зависящая от t, и рассмотрим предельный, при

{/(г) у (г) к (г))

Х — ж , процесс для последовательности процессов -------,----,----}.

(X X X ]

Теорема 1. При Х —— ж предельный процесс {а(г), Р(г), у(г)} для последова-

/г(г) у (г) к (г))

тельности случайных процессов } является детерминированной

(X X X ]

трехмерной вектор-функцией:

(* л а (г) = е-^ | р (5) ds + а0еЦ1*°

в (г ) = | | р (u ) ew“ du + а0ецА e(^2 w )s ds + p0e^2t° ) e

-\^2*

Y(t) = e M |(s) + г2ц2P(s))ds + Yoe

где ао =а (го), Ро = Р (го), У о = У (го).

Доказательство. Обозначим 1 = 6 и выполним в (1) замену

X

т = х , 7'е = у, к6 = г , -3Р(г, у, к, г) = п(х, у г, г, б) ,

б3

тогда уравнение (1) примет вид дп( х, у, z, г, г)

dt

+ (Xp(t) + X^x + Хц 2y )(x, y, z, t, s) =

(2)

= Хр(г )п( х - г, у, z, г, г) + г1ц1Х( х + г)п( х + 6, у -г, z, г, г) +

+г3ц1Ц(х + б) п(х + 6, у, z -6, г, б) + (1 - г1 - г3)ц1Х(х + б)п(х + 8, у, г, г, г) +

+г2ц2ЦУ + г)п(х,у + г,z -г,г,г) + (1 -г2)ц2Цу + г)п(х,у + 6,г,г,г) +

+ц3Цг + б)п(х, у, г + 6,г, б).

Раскладывая функции п( х ±г, у ±г, z ±г, г, г) в ряд по приращениям аргументов с точностью до о(б), запишем

V ’0

dt

+ (p(t) + ^!X+X^2y)n(x’y,z,t>£) = ^p(t)^п(X,y,z,t,s)-dn(Х’дУ’z,t,s) sj+

+Г1Ц1Х| xn(X,y,z,t,s)+—(хл(X,У,z,t,s))s- xdn(X’•y’z,t,s) S | + Г3ц1х[ xn(x,y,z,t,s) +

V dx dy ) \

d / / чч 5П(x,y,z,t,s) ^ , . ( , ,

+---(xn(x,y,z,t,s))-x---------------s 1+ (1-rj -r3)^jAl xn(x,y,z,t,s)+

dx dz ) ^

+-d (xn( X, y, z,t ,s))sl+T1^1'k{ y n(x, y, z,t ,s)+ ^ (n( x, y z,t ,s))s-у dn( x’ yz,t ,s) £V

dx J V dy dz Z

+(!-Г2) Й2^ У n( X, y, z, t, s) + dy (n( x, y, z,t ,s))sj+

+ц3х( zn(x,y,z,t,s) +—(zn(x,y,z,t,s))s|+o(s).

V dz )

Выполнив несложные преобразования и обозначив limп(x,y,z,t,s) = n(x, y, z,t),

£——0

получим при s ^ 0 следующее уравнение:

dn( x,y, z, t) = ^^p^^ ) _ ^ ^ y ^ (^ _

dt dx

д d

~^T{lHlx - H2yMX y> Zt)} T~{({lx + И2r2y - Изz)n(X У z>1)} ,

dy dz

которое является вырожденным уравнением Фоккера - Планка для плотности п(x, y, z, t) распределения вероятностей значений трехмерного диффузионного процесса с коэффициентами переноса (p(t) -^x), (г1ц1 x -ц2у) и

(г3ц1х + ц2ггУ - Изz) и коэффициентами диффузии, равными нулю. Обозначим полученный детерминированный процесс {а (t), ß(t), у (t)}.

В силу полученных коэффициентов, имеющих смысл средней локальной скорости изменения процесса, а (t), ß (t) и у (t) удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений

V (t) = p(t) -^a (y),

<ß' (t) = riHia (t)-H 2ß (t), (3)

У (t) = r3H!a (t) + r2H2ß (t)-H3 Y (t), решение которой имеет вид (2). Теорема доказана.

i(t) j(t)

Далее проведем исследование процесса отклонения процессов -----------------, -----,

X X

k ((^ от найденных средних a(t), ß (t) и y(t). Для этого рассмотрим предель-

X

ный, при Х^<х>, процесс для последовательности

\i{t)-Xa(t) j(t)-Xßt) k(t)-Xy{t^ (4)

4x ’ Jx ’ Jx }

и докажем следующее утверждение.

Теорема 2. При Х^ж предельный процесс {x(t),y(t),z(t)} для последовательности (4) является трехмерным гауссовским диффузионным процессом с коэффициентами переноса

A (x, У, z, t) = -^x , A2 (x, y, z,t) = r^x - Ц2У ,

A3 ( x, y, z, t,) = x + Г2Ц 2 У -Из z (5)

и диффузии

B11(t) = P(t) + Hia(t), B22 (t) = riHia (t) + H2P (t) >

B33 (t) = r3^1a (t) + ^P (t) + Н3 Y (t) >

B12 (t) = -r1^1a(t) , B13 (t) = -r3^1a(t) , B23 (t) = -rlV2e(t) • (6)

1 2

Доказательство. Обозначим — = s и выполним в (1) замену вида

X

is2 = a(t) + sx , js2 =Р(t) + sy , ks2 =y(t) + sz, -1- P(i, j, k, t) = H(x, y, z, t, s),

s3

тогда уравнение (1) можно представить как

dH ( x, y, z,t ,s) a '(t ) dH ( x, y, z,t ,s) _ P '(t ) dH ( x, y, z,t ,s) y'{t ) dH ( x, y, z,t ,s) +

dt dt dx dt dy dt dz

+(Xp(t )+X^(a(t )+sx)+X^2 (P(t )+sy)+X^3 (y (t )+sz))H ( x, y, z,t ,s)=Xp(t ) H ( x-s, y, z,t, s)+

+r1^1X(a(t )+s( x+s)) H ( x+s, y-s, z,t ,s) + (a (t )+s( x+s)) H ( x+s, y, z-s,t,s)+

+(1-ri -r3 ) ^lX(a (t )+s( x+s)) H ( x+s, y, z, t, s) + r2ц 2X(P(t )+s( y+s))n( x, y+s, z-s ,t ,s)+

+(1-r2)ц2X(P(t)+s(У+s))H(x,y+s,z,t,s) + ц3Х(y(t)+s(z+s))H(x,y,z+s,t,s).

Раскладывая функции H (x ±s, y ±s, z ±s,i,s) в ряд по приращениям аргументов

с точностью до o(s2 ) после приведения подобных слагаемых с учетом формул (3)

и обозначив lim H ( x, y, z,t ,s)=H (x, y, z,t ), получим при s^-0 уравнение £——0

dH(x,y,z,t) д , Л TT. . d u Wiv

-----;------= {-HixlH(xУ,z,t) - — {(1H1x -H2У)H(X У> Z1 )}-

dt dx dy

d u w,, м 1/ /\\32H(x, y, z,t)

-T- {(^3^1x + Г2И2 У-Изz )H (x, y, z, t )}+ - (p(t) + H!a (t ))-—-------+

dz 2 dx2

+1 (r1H1a(t)+H2p(t))d H(x’2y’z,t) + 1(r3Hia(t)+r2^2p(^)+^3Y))d 2 dy 2 dz

2 H ( x, y, z, t) d 2 H ( x, y, z, t ) d 2 H ( x, y, z, t )

-Ш1 a{t)--------—--------r3^3a(t )---------------W 2 P(t )----^--------->

dxdy dxdz dydz

которое является уравнением Фоккера - Планка для плотности H(x, y, z, t) распределения вероятностей значений трехмерного диффузионного процесса {x(t), y(t), z (t)} с коэффициентами переноса (5) и диффузии (6). Теорема доказана.

Процессы х(1), у(1) и г (7) являются гауссовскими и определяются системой трёх стохастических дифференциальных уравнений:

'йX(г)=-ц1х(г )йг+ст11 (г )йм^ (г),

< йу(г) = {г1^1х(г)-^2У(г)) +^21 (г)йЦ (г) + ^22 (г)^2 (г),

^ (г)=(г3ц1х(г )+г2ц2 у(г )-ц3 2 (г))+ст31 (г )йш1 (г )+ст32 (г )й^2 (г )+ст33 (г )й^3 (г), решение которой имеет вид

х{1) = е"*' |Х0еЦЛ + | СТП (^е^ <3м>1 (5)| , у(г) = е|у0еЦ2'° + Г[Ц[ | х^е^ ¿5 + | Ст21 (яУ2* йЦ (5) + | Ст22 О)^2"dw1 (5)1,

I 10 10 10 J

Г / / /

2(г) = е-^3^ Г г0е^3^0 + г3ц1 |х(я)еЦз*¿5 + г2ц2 |у(я)е^3*¿5 + |ст31 (я)е^3*dwí (я) +

I !0 ?0 к

+ | Ст32 (5)е^3^dw2 (5) + | Ст33 (5)е^3^ dw3 (5)1 , (7)

*0 *0 )

где х (г0) = х0 , у (г0) = у0 , г (г0) = г0, (г), w2 (г) и w3 (г) - независимые стан-

дартные винеровские процессы, а параметры агу определяются коэффициентами диффузии (6) следующим образом:

1 вШ

(')’

*11 () =>/В11 ) , °21 (*) = , СТ22 (' ) ^1В22 () - I1

л/В11 (') V В1

(/) В13 (1) _ (*) В11 (t) В23 ) - В12 (^)В13 (^)

СТ31 (г) = , °32 (*) = I . 2=^ ,

7^7(0 ^М0((((0-£Щ

СТ33 (г) = В33 (() - В2 () ( ()В23 (г) - £12 (*)в{3 (г))

£„(г) вп (г)(ви (г)£22 (г)-£2(г)) '

Используя явные выражения процессов х (г), у (г), г (г) (7) и свойства стандартных винеровских процессов, можно получить корреляционные и кросскорре-ляционные функции рассматриваемых процессов. Вследствие большого объёма выкладок приведем лишь окончательные выражения (при нулевых начальных условиях).

Корреляционная функция процесса х(г):

К1 (*1> *2 ) = М (х (г1) х (*2 )) =

шт^ ¿2) / а

= е-^1 +'2) | е2^ Р (5) + Н1е-^ | р(м)е^!“^5 .

Кросскорреляционная функция процессов х(г) и у(): *12(Н, Ч) = м (х (^1) У (Ч)) =

г1^1 е-м Й2 -Й1

е ^ | (р(5) + ц1а(5))е2№ds-

ш1п(?1,?2) А

- е-^2 | (р (5 ) + Ц 2а (5 ))+^2) * 45

к

Корреляционная функция процесса у():

*2 (*1. *2 ) = М ( У (*1) У (*2 )) =

( „2.

-^2^1

Г1 И И 2 -И I

I *12 ¿2 )е^2"* -

Г 2Ц2 ™п( ,/2 )

| а(я)(('2-) -е-^2(-0)) +

Й2 -И1 ,0

ш1п(/1,?2 )

+ е-ц^2 | (^а (5) + Н2Р (5 ))е2^2 ds

%

Кросскорреляционная функция процессов х(г) и г (г):

*13 (г1> г2 ) = М ( х (г1 ) г (г2 )) =

= е"^3'2

гзИ1

тт(^ ,¡2 )

Л

+

IЯ1 ((1,5ds -е | а(5)^5

V ¡0 ¡0

*2 ^

+ Г2И2 I*12 (*1> *К''^ • *23 (*1. *2 ) = М (У (*1 ) 2 (*2 )) =

*0 /

= е-^2

Г3Ц1 |Я12 (5,г1 )е^3^^5 + Г2Ц2 |Л2 (5,г1 ^5 -

шт(л,?2)

Г1ГзИ1 ^-^2^1 Г ((М2“М-1 М - е(М2-М1 )-^

тт( ,?2 )

х е(мз +м-1 >а-г2ц2е-Ц2^' | е(^2+Цзр(л)ds .

*0

Корреляционная функция процесса г (г):

*3 (г 1. г2 ) = М ( г (г1 ) г (г2 )) =

= е

Г3Ц1 IЯ13 (5,г1 )е^3^^5 + Г2Ц2 IЛ23 (5,г1 )е^3^^5 -V ?0 ?0

0

-e-^i

Ґ min(|,t2}(е(ц3)ii - e(m)s)e(m+w)sa(s)ds + ^ГзИ‘И2 X

Из-Hi to H2-Hi

min(t1 ¿2) , ^(M-3-^1 )?1 ~(M-3-^1)s e(^3 -^2 )?1 +(^2-^1)s - e(^3 + ^2 )s ^

X

u

J а (s)

ДИ1 +^3 )s

- Є 3 rW Є 3 Г2'! 'r2 ri' - eX'

Из-Иі Из-И2

ds -

+ r2гзИіИ2 min(r‘,t2}/2 +«)s ( (M3-М2M -e(M3-М2)s)(s)-

Из -H2 t0 V '

min(H2) 2Ms

- J e (la (s ) + r2H 2ß (S ) + И3 Y (S )) •

*0

Таким образом, в силу замены (4) процесс изменения численности застрахованных лиц имеет вид

{i(t), j(t), k(t)} = {(t) + {{x(t), ) + yfky(t), Xy(t) + yfkz(t)},

где детерминированные функции а (t), ß(t), у (t) определяются формулами (3), а x(t), y (t), z (t) - гауссовские случайные процессы, имеющие вид (7).

ЛИТЕРАТУРА

1. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968. 354 с.

2. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. М.: Наука, 1987. 336 с.

3. Саати Т. Элементы теории массового обслуживания. М.: Сов. радио, 1971. 570 с.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 29 сентября 2007 г.