Применение байесовского подхода построения логистической регрессии при обработке результатов испытаний на стойкость элементов авиационных конструкций Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Ovil Aviation High Technologies

Vol. 21, No. 02, 2018

АВИАЦИОННАЯ И РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКАЯ ТЕХНИКА

УДК 519.254

DOI: 10.26467/2079-0619-2018-21-2-132-142

ПРИМЕНЕНИЕ БАЙЕСОВСКОГО ПОДХОДА ПОСТРОЕНИЯ ЛОГИСТИЧЕСКОЙ РЕГРЕССИИ ПРИ ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ НА СТОЙКОСТЬ ЭЛЕМЕНТОВ АВИАЦИОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Н.Ю. 1СОМРАКОВ1, С.М. МУЖИЧЕК2, А.А. СКРЫННИКОВ2

1 ЦНИИ ВВКО Минобороны России, г. Тверь, Россия 2 Государственный научно-исследовательский институт авиационных систем,

г. Москва, Россия

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проекты 16-08-00464а, 18-08-00060а

При решении задач прогнозирования стойкости элементов авиационных конструкций при столкновении с птицами, крупным градом, посторонними предметами необходимо знать зависимость вероятности пробития преграды от характеристик ударника и скорости удара. Результаты опытов имеют вид дихотомической переменной, имеющей лишь два возможных значения (преграда пробита или нет), поэтому искомая зависимость может быть представлена в виде логистической регрессии, задаваемой интегральной функцией логистического распределения. Для оценки параметров логистической регрессии при малом количестве опытов целесообразно использовать байесовский подход. Одной из составляющих байесовской оценки параметров является расчёт функции правдоподобия. Полученные выражения функции правдоподобия и её логарифма использовались для оценки параметров логистической регрессии методом максимального правдоподобия, который реализован с использованием метода Ньютона. Приведена расчётная итерационная схема метода максимального правдоподобия. По результатам опытных данных получены оценки, которые используются для сравнения с результатами, полученными с применением байесовского подхода. Рассмотрен частный случай - байесовская оценка параметра сдвига логистической кривой при заданном значении параметра масштаба, а также общий случай - оценка параметров сдвига и масштаба. В качестве априорного распределения для параметра сдвига использовано нормальное распределение, а для параметра масштаба - классическое (двухпараметрическое) гамма-распределение. Точечная оценка параметров логистической регрессии осуществлялась по модальному значению апостериорного распределения. Использование модального, а не среднего значения, позволило значительно сократить объём расчётов за счёт того, что в этом случае нет необходимости вычислять интегральную вероятность в знаменателе формулы Байеса.

Ключевые слова: бинарная регрессия, логистическая регрессия, функция правдоподобия, точечная оценка параметров, байесовский подход, стойкость элементов авиационных конструкций.

ВВЕДЕНИЕ

При проведении испытаний на стойкость элементов авиационных конструкций к внешним неблагоприятным воздействиям часто в качестве результатов опытов фиксируются альтернативные исходы - бинарные переменные: 1 - «успех», 0 - «неудача». Например, при действии ударника по дюралевой преграде фиксируется факт пробития; при действии ударника по топливному баку фиксируется факт возгорания и т. д. Задачей таких испытаний является определение вероятности «успешного» исхода в зависимости от условий опыта.

Например, при оценке стойкости элемента конструкции к действию ударника необходимо определить зависимость вероятности пробития преграды от скорости ударника при заданных значениях всех остальных параметров, характеризующих ударник и преграду. В этом случае независимая переменная х - скорость ударника; зависимая переменная у принимает зна-

Vol. 21, No. 02, 2018

Ovil Aviation High Technologies

чение 1, если ударник пробил преграду, и 0 в противном случае. По результатам опытов путём статистической обработки полученных данных необходимо определить значение скорости, при которой с вероятностью 0,5 ударник пробивает преграду, значения скоростей, при которых пробитие преграды становится практически невозможным и практически достоверным событиями, а также в целом - найти зависимость, по которой для произвольного значения скорости ударника можно найти вероятность пробития преграды. Эта зависимость должна изменяться в пределах от 0 до 1 и быть неубывающей функцией, поэтому в качестве такой зависимости может быть использована функция распределения F(x) некоторой непрерывной случайной величины Х, так как функция распределения обладает всеми этими свойствами. На практике чаще всего используют логит- и пробит-функции (соответственно функции распределения логистического и нормального распределения), а также кусочно-линейную зависимость (функцию распределения равномерно распределённой случайной величины) [7]. Преимущество ло-гит-функции (логистической регрессии) заключается в том, что она вычисляется проще по сравнению с пробит-функцией, а по сравнению с кусочно-линейной - лучше отражает физику процесса [9, 10].

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ЛОГИСТИЧЕСКОЙ РЕГРЕССИИ МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ

Рассмотрим в качестве функции F(x.) = P{у. = 1} логистическую функцию. Ло-

гит-преобразование представляет собой логарифм отношения вероятности того, что случайное событие произойдёт, к вероятности того, что это событие не произойдёт (логарифм отношения шансов: ln(P{у. = 1}/ P{у. = 0})). Для линейного логит-преобразования

F (x .) 1 - F (х .)

откуда

ln:—ттг^: = Ь0 + ,

e bo+biX

F(x.) =-——; 1 - F(x.) =-. (1)

V 1 + gb> +^lX, ' v 1 + e bo +b,x, V '

Выражение F(x.) можно записать в виде

Р (х.) =-1-- . (2)

Использование логистического распределения (2) позволяет выразить его параметры - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение - через коэффициенты /0 и / • Сопоставляя выражение (2) и стандартную форму записи логистического распределения [1]

Р (х) = —^, (3)

1 + е ^

где £ и а - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение соответственно, получим

Civil Aviation High Technologies

Vol. 21, No. 02, 2018

p

s =

(4)

Так как плотность логистического распределения симметрична относительно математического ожидания, то, решая (1) при Е (х) = 0,5, найдём

x = -

b0 £

И наоборот:

bo

А

-p£ . л/3 s '

p

V3

(5)

(6) (7)

s

Стандартная форма записи логистической кривой удобна тем, что значение X соответствует скорости, при которой в 50 % случаев наблюдается положительный исход и в 50 % случаев - отрицательный исход; при скоростях X — 3а и менее практически всегда наблюдается отрицательный исход, а при скоростях X + 3а и более практически всегда наблюдается положительный исход.

Оценка неизвестных параметров 30 и /1 по данным выборки может быть проведена с

использованием метода максимального правдоподобия, предполагая, что наблюдения независимы [2].

С учётом (1) функция правдоподобия будет иметь вид

e b0 +b1xi yi ' 1 ' 1-y

1 + e b0 +b1xi 1 + e b0 +b1xi

п

Ь(х1,...,хп,У1,...,уп; Ьо, А) = ПЕXТ [1 — Е(х .)]1-у =

г=! п

= П

г=1

а логарифм функции правдоподобия -

п г

1пЬ(х1,...,хп,У1,...,уп;/3^/31) = ^у(/0 + /31хг) - 1п 1 + е

1

Продифференцируем логарифм функции правдоподобия по переменным /0 и /1:

(8)

b0+bx,

b0 +ß,x, Л JJ0 +ß1xi

b0 +bx, '

д ln L = (1 + e 0 1 x) - e

dbo 1 + e

д ln L = ^xt (y . (1 + eb0 +bix-) - ebQ+bix-) db1 =|=1 1 + e b0 +bix-

Vol. 21, No. 02, 2018

и приравняем производные нулю:

Ovil Aviation High Technologies

n y (1 + eb0 +b1X. ) _ eb0 +b1x.

=i i + ebo 1 ^ •

bo +blX,

(y (1 + eßo+bx) _ eßo+ßiX) =

E 1 + e b0 +b1X. = '

(9)

Полученная система нелинейных уравнений может быть решена относительно переменных /0 и / методом Ньютона. Обозначим

А) =

d ln L

fM' А) =

д ln L ~3ß~

В соответствии с методом Ньютона [3]

+1) / ч(А)

bo

А

bo b1

_ J _

Ш, А) fM' A)

(k)

k = 0,1,

где J - матрица Якоби:

J-1 =

_1_

J

J =

df1 df1

dbo db1

df2 df2

dbo db1

df1 df1

dbo df db1 df

dbo db1

J 1=

f df

dbo db1 dß, db,

1 "0

Элементы матрицы Якоби рассчитываются следующим образом:

д21п Ь д21п Ь1 ( п - ьо+/х,

J =

dbo2

д2 ln L д2 ln L

db0dbl

dbodb dbo2

-E

i=1

n

-e

xe 1 (1 + e

b0 +b1x, b0 +b1x,

1 (1 + e bo+b1X.)

b0 +b1x, )2

E

xe

b0 +b1x,

1 (1 + e bo+b1X. )2

E

2 b0 + b1x xe 0 1 '

1(1 + e bo+b1x. )2

Решение в поэлементной форме имеет вид:

Civil Aviation High Technologies

Vol. 21, No. 02, 2018

b0k+1) = b0k) _

f df, f2 df

bf+1) = b1k) _

I J I db1 f2 df

I J I db1 f df2

J I dbo | J | dbo

(k)

(k)

k = 0,1,'.'

В качестве примера рассмотрим результаты десяти опытов по пробитию преграды ударником (см. табл. 1).

Таблица 1 Table 1

i x. г У

1 988,9 1

2 1026,9 1

3 1024,5 1

4 1034,0 1

5 961,5 1

6 1022,9 1

7 1024,8 1

8 967,7 0

9 1067,2 1

10 1006,6 0

Начальное приближение можно выбрать достаточно грубо: X = 1000; s = 100; по фор-

мулам (6), (7) найдём значения параметров: /3(0) = -18; /(0) = 0,018. Решая систему (9) методом

*

Ньютона, уже через 4 шага находим значения оценок неизвестных параметров: /0 = -37,0324;

/* = 0,0383. Теперь по формулам (4), (5) можно найти значения оценок параметров стандартной

. * *

формы записи логистической кривой: £ = 966,707; а = 47,348. График полученной по результатам опытов зависимости (1) приведён на рис. 1.

Р(х) 1

0.9

?(0) =

900

920

940

960

980

1000

1020

1040

1060

x, м/с

Рис. 1 Fig. 1

Том 21, № 02, 2018_Научный Вестник МГТУ ГА

Vol. 21, No. 02, 2018 Civil Aviation High Technologies

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ ЛОГИСТИЧЕСКОЙ РЕГРЕССИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БАЙЕСОВСКОГО ПОДХОДА

В условиях относительно малых выборок заметным преимуществом по сравнению с классическими методами (метод максимального правдоподобия, метод моментов и др.) обладает байесовский подход [4, 5]. Байесовская оценка базируется на априорной информации об оцениваемых параметрах и на данных экспериментов. Априорная информация задаётся в виде распределения вероятностей неизвестного параметра как степень уверенности статистика в том, что этот параметр примет то или иное значение, ещё до начала сбора данных. Новая информация, поступающая с данными результатов экспериментов, позволяет пересмотреть это распределение, переходя от априорного к апостериорному распределению [6].

При байесовском подходе к оценке параметров логистической регрессии принимается, что параметры b0 и b являются случайными величинами и для них задаётся априорное распределение - распределение, полученное на основе данных предыстории или на основании суждений [5].

Рассмотрим сначала частный случай, когда параметр s логистического распределения известен; тогда по формуле (7) можно найти значение параметра b, т. е. в рассматриваемом

случае b - величина известная.

Множество возможных значений параметра X - множество действительных чисел. Примем априорное распределение параметра X нормальным с числовыми характеристиками m и

Sx. Тогда из (5) получим

b =-AX, (10)

следовательно,

m [b0] = -bm x; s[b0] = bs^.

Так как априорное распределение случайной величины X - нормальное, то и b0 как линейная функция случайного аргумента также будет иметь нормальное распределение:

f W = —exp

V2p b1sx

(b + bxm x)

2АЧ2

(ii)

Обозначим: р(у,...,уп | х1,...,хп;30) - вероятность наблюдения значений у1,...,уп при

конкретном значении /0 и при условии, что опыты проводились в точках х1,..., хп; это не что

иное, как функция правдоподобия (8). Тогда теорему Байеса для рассматриваемого случая можно сформулировать следующим образом: если В 0 - множество возможных значений параметра

30 с априорной плотностью распределения (11) на множестве В 0 и если

р(у ,...,уп | х1,...,хп;30) обозначает правдоподобие, то апостериорная плотность вероятностей

I(30 | х1,..., хп, у1,..., уп) задаётся выражением

f(b0 | x,,...,x.,У1,...,y„) = P(y..7 y. К'■■ . '^ЖЮ , (12)

p(yv..., y. 1 x1,..., x.)

СМ1 Aviation High Technologies

гДе р{у1,-,Уп I хп) = /р^..^Уп I х^,...,хп;0О)/(0О)<10О

Vol. 21, N0. 02, 2018

Подставив (8), (11) в (12), получим

/(0о 1 Х1,---, Хп, У1, • • •, уп) =

п

П

¥ п

/П

' е 0о +0х у, ' 1 р 1

1 + е 0о +01х. 1 + е 0о+01х, л/2Р 01аx

е 0о +01х, ' у, 1 ' 1-у 1

1 + е 0о +01х• 1 + е 0о +01х,

ехр

0о + 0,т ()

(13)

ехр

(0 + )

201 о\

й 0о

*

В качестве точечной оценки 0о неизвестного параметра 0о примем модальное значение случайной величины 0о; для этого необходимо найти такое значение аргумента 0о, при котором функция /(0о | х 1,..хп, у1,...,уп) (13) будет иметь максимальное значение. Тогда достаточно построить зависимость числителя формулы (13) от 0о, а знаменатель можно не рассчитывать, так как он играет роль нормирующего множителя.

Оценка 0о* неизвестного параметра 0о по данным табл. 1 при значениях параметров

*

априорного распределения т= 1000; а^ = 100 даёт значение 0о = -35,448, что соответствует

*

значению оценки X = 977,18.

Перейдём теперь к общему случаю - байесовской оценке двух неизвестных параметров 0о и 01. Так как для получения точечных оценок нет необходимости вычислять знаменатель

формулы Байеса, задача значительно упрощается.

В этом случае нужно задавать совместную плотность распределения /(0 01). Если параметры X и а логистического распределения (3) независимы, то параметры 0о и 01 - уже зависимые (см. (10)), и, задаваясь априорным распределением параметров X и а, нужно решать самостоятельную задачу определения совместного закона распределения /(0 01). Поэтому задачу оценки параметров логистического распределения целесообразно решать в независимых переменных X и а .

Функция правдоподобия р(у ,..., у | х1,..., х ; X, а) будет иметь вид

у, р(х,-X)

п x1,•••, хп; £ а) = П 1 е

р (х,-x) р(х,-X)

,=1 1 + е , 1 + е

1-У

(14)

а совместная плотность / (X, а) = /(X)/(а) в силу их независимости.

Примем распределение величины X нормальным с параметрами т^, а^. Распределение величины а должно быть одним из распределений с возможными значениями на положитель-

в

о

1

Vol. 21, No. 02, 2018

Ovil Aviation High Technologies

ной полуоси; примем классическое (двухпараметрическое) гамма-распределение [7, 8] с плотностью

А

f (s) = — s exp{-As}, Г(а)

где Л - параметр масштаба (Л > 0); а - параметр формы (а > 0 ).

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины а, имеющей гамма-распределение, вычисляются по формулам та = а / Л ; = а / Л2. Тогда

f (x, s) =

Л а а-1

s

y!2Ps Г(а)

exp

(x - mx )2

2s2

- As

(15)

В этом случае числитель формулы Байеса будет равен произведению функций р(у ,...,уп | х1,...,хп;X,а) и I(X,а), вычисляемых соответственно по формулам (14) и (15). Необходимо найти такие значения X и а , при которых функция р(у ...,уп | х1,...,хп;X,а)1 (X,а)

принимает максимальное значение.

Ввиду того, что численные значения рассматриваемой функции на всей области практически возможных значений параметров X и а могут быть очень малыми, то целесообразно строить график логарифма функции.

Оценки X и а неизвестных параметров X и а по данным табл. 1 при значениях параметров априорного распределения т = 1000; а= 100, а = 2,50; Л = 0,05 даёт значения , * *

X = 980,6 и а = 31,44. Линии равного уровня в окрестностях точки максимума приведены на рис. 2.

5

Приведённые на рис. 2 линии равного уровня подтверждают независимость переменных X и а и в апостериорной функции распределения.

а

Ovil Aviation High Technologies

Vol. 21, No. 02, 2018

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Использование байесовского подхода даёт возможность учёта знаний, полученных в подобных испытаниях на стойкость элементов авиационных конструкций. Степень нашей уверенности в значениях скорости, при которой в 50 % случаев происходит пробитие преграды, скорости, ниже которой пробитие никогда не происходит, и скорости, выше которой пробитие достоверно, численно выражается в виде априорной вероятности.

Рассчитанные апостериорные функции распределения позволяют провести не только точечную, но и интервальную оценку неизвестных параметров логистической регрессии, дать рекомендации об условиях проведения опытов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Джонсон Н.Л., Коц С., Балакришнан Н. Одномерные непрерывные распределения: в 2-х ч. Ч. 2. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. 600 с.

2. Буре В.М., Парилина Е.М. Теория вероятностей и математическая статистика. СПб.: Лань, 2013. 416 с.

3. Квасов Б.И. Численные методы анализа и линейной алгебры. Использование Matlab и Simulink. СПб.: Лань, 2016. 328 с.

4. Айвазян С.А. Байесовский подход в эконометрическом анализе // Прикладная эконометрика. 2008. №1 (9). С. 93-130.

5. Справочник по прикладной статистике. В 2-х т. Т. 2 / под ред. Э. Ллойда, У. Лидерма-на. М.: Финансы и статистика, 1990. 526 с.

6. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. 1005 с.

7. Вадзинский Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. СПб.: Наука, 2001. 295 с.

8. Хастингс Н., Пикок Дж. Справочник по статистическим распределениям. М.: Статистика. 95 с.

9. О методике автоматизированного проведения наземных испытаний малокалиберных боеприпасов / С.М. Мужичек, А.А. Скрынников, С.А. Абрамов, В.В. Ефанов // Вопросы оборонной техники. Серия 16. 2017. Вып. 111-112. С. 48-53.

10. Мужичек С.М., Скрынников А.А., Абрамов С.А. Автоматизированная технология наземных испытаний боеприпасов // Юбилейная всероссийская научно-техническая конференция «Авиационные системы в XXI веке». Москва, 26-27 мая 2017 г.: сборник докладов. М.: ГосНИИАС, 2017. С. 100-109.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Комраков Николай Юрьевич, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, старший научный сотрудник ЦНИИ ВВКО Минобороны России, [email protected].

Мужичек Сергей Михайлович, доктор технических наук, профессор, учёный секретарь ФГУП ГосНИИАС, [email protected].

Скрынников Андрей Александрович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, начальник сектора ФГУП ГосНИИАС, [email protected].

Vol. 21, No. 02, 2018

Civil Aviation High Technologies

APPLICATION OF BAYESIAN APPROACH OF LOGISTIC REGRESSION FORMATION WHILE PROCESSING THE TESTS RESULTS ON THE DURABILITY OF AIRCRAFTCONSTRUCTIONS ELEMENTS

12 2 Nikolay Yu. Komrakov , Sergey M. Muzhichek , Andrey A. Skrynnikov

1 The Central Scientific Research Institute of Air Defense Forces, Tver, Russia 2 State Research Institute Of Aviation Systems, Moscow, Russia

The study was conducted with support of Russian Foundation for Basic Research (RFBR)

projects 16-08-00464a, 18-08-00060a

ABSTRACT

When solving the problems of predicting the durability of aircraft structures elements in case of a bird strike, in a collision with large hail, foreign objects, it is necessary to know the dependence of the probability of the barrier penetration on the characteristics of the impactor and the impact speed. The results of the experiments have the form of a dichotomous variable having only two possible values (the barrier is punched or not), so the required dependence can be represented in the form of a logistic regression given by the integral function of the logistic distribution. To evaluate the parameters of logistic regression with a small number of experiments, it is advisable to use the Bayesian approach. One of the components of the Bayesian parameter estimation is the calculation of the likelihood function. The resulting expressions for the likelihood function and its logarithm were used to estimate the logistic regression parameters using the maximum likelihood method, which was realized by Newton method. The calculated iterative scheme of the maximum likelihood method is given. Based on the results of experimental data, estimates are obtained that are used to compare with the results obtained by the Bayesian approach. A special case is considered - the Bayesian estimation of the shift parameter of the logistic curve for a given value of the scale parameter, and also a general case - the estimation of the shift and scale parameters. A normal distribution is used as a priori distribution for the shift parameter, and a classical (two-parameter) gamma distribution is used for the scale parameter. Point estimation of logistic regression parameters was carried out by the modal value of a posteriori distribution. Using the modal rather than the mean value, made it possible to significantly reduce the amount of calculations due to the fact that in this case there is no need to calculate the integral probability in the denominator of the Bayesian formula.

Key words: binary regression, logistic regression, likelihood function, point estimation of parameters, Bayesian approach, durability of aircraft structures elements.

REFERENCES

1. Johnson N.L., Kotz S., Balakrishnan N. Odnomerniye nepreryvniye raspredeleniya [Continuous univariate distributions]. In 2 vol. Vol. 2, M.: BINOM, Laboratoria znaniy [Lab of knowledge], 2010, 600 p. (in Russian)

2. Bure V.M., Parilina E.M. Teorija verojatnostej i matematicheskaja statistika [Theory of probabilities and mathematical statistics]. SPb.: Lan', 2013, 416 p. (in Russian)

3. Kvasov B.I. Chislennye metody analiza i linejnoj algebry. Ispol'zovanie Matlab i Simulink [Numeral methods of an analysis and linear algebra. Use of Matlab and Simulink]. SPb.: Lan', 2016. 328 p. (in Russian)

4. Ajvazjan S.A. Bajesovskijpodhod v ekonometricheskom analize [Bayesian approach in the econometrical analysis]. Prikladnaja ekonometrika [Applied econometrics], 2008, No 1 (9), pp. 93-130. (in Russian)

5. Spravochnikpoprikladnoy statistike [Handbook of Applied Statistics]. In 2 vol., Volume II. Statistics, Ed. by E.Lloid, Y.Liderman. M.: Finance and Statistics. 1990, 526 p. (in Russian)

6. Ajvazjan S.A., Mhitarjan V.S. Prikladnaja statistika i osnovy jekonometriki [Applied statistics and fundamentals of econometrics]. M.: JuNITI, 1998, 1005 p. (in Russian)

7. Vadzinskij R.N. Spravochnik po verojatnostnym raspredelenijam [Reference book on probable distributions]. SPb.: Nauka, 2001, 295 p. (in Russian)

СМ! Aviation High Technologies

Vol. 21, No. 02, 2018

8. Hastings N.A.J., Peacock J.B. Spravochnikpo statesticheskim raspredileniyam [Handbook on Statistical Distributions]. M.: Statistics, 95p. (in Russian)

9. Muzhichek S.M., Skrynnikov A.A., Abramov S.A., Efanov V.V. O metodike avtoma-tizirovannogo provedenija nazemnyh ispytanij malokalibernyh boepripasov [On the method of automated ground testing of small-caliber ammunition]. Voprosy oboronnoj tehniki Seria 16 [Milittary Enginery Issue 16: Counter-terrorism technical devices], 2017, pp. 48-53. (in Russian)

10. Muzhichek S.M., Skrynnikov A.A., Abramov S.A. Avtomatizirovannaja tehnologija nazemnyh ispytanij boepripasov [Automated technology of ground weapons trials]. Jubilejnaja vse-rossijskaja nauchno-tehnicheskaja konferencija «Aviacionnye sistemy v XXI veke» [Anniversary all-Russian scientific and technical Conference "Aviation systems in XXI century"]. M.: May 26-27th 2017 Sbornik dokladov [Collection of reports]. M.: FGUP "GosNIIAS" State Research Institute of Aviation Systems, pp.100-109. (in Russian)

INFOTMATION ABOUT THE AUTORS

Nikolay Yu. Komrakov, Candidate of Technical Sciences, Senior Researcher, Senior Researcher of Central Scientific Research Institute of Air Defense Forces, [email protected].

Sergey M. Muzhichek, Doctor of Technical Sciences, Professor, Scientific Secretary, State Research Institute of Aviation Systems, [email protected].

Andrey A. Skrynnikov, Candidate of Technical Sciences, Senior Researcher, Head of Sector, State Research Institute of Aviation Systems, [email protected].

Поступила в редакцию 25.10. 2017 Received 25.10. 2017

Принята в печать 14.03.2018 Accepted for publication 14.03.2018