CC BY
11
2009
УДК 629.7.051.001
Доклады БГУИР
ТЕХНОЛОГИИ
№ 7 (45)
ПРИМЕНЕНИЕ АНИЗОТРОПИЙНОГО РЕГУЛЯТОРА В СИСТЕМЕ
ФАЗОВОГО УПРАВЛЕНИЯ
А.А. ЛОБАТЫЙ, М.В. ПОЧЕБУТ
Белорусский национальный технический университет Независимости, 65, Минск, 220013, Беларусь
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П.Бровки,6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 21 апреля 2009
Рассматривается методика построения робастной системы фазового управления с применением анизотропийного регулятора. Путем математического моделирования получены коэффициенты оптимального регулятора.
Ключевые слова: анизотропийный регулятор, критерий оптимальности, стохастическая система.
Введение
Системы фазового управления (СФУ) играют значительную роль в различных областях науки и техники; развитию теории фазового управления посвящен ряд работ [1]. При решении конкретных задач оптимальные СФУ являются чувствительными к параметрам модели реального объекта и иногда теряют не только оптимальность, но и работоспособность в тех случаях, когда априорная информация об объекте и внешней среде известна не точно. Задачи синтеза регулятора и оценивания состояния с учетом неопределенности в модели объекта и характеристиках входных воздействий являются одними из центральных в современной теории автоматического управления. Новым направлением развития систем управления, в том числе и СФУ, является применение в задачах синтеза теории робастного управления, основная идея которой состоит в том, чтобы единственным регулятором обеспечить устойчивость системы не только для номинального (без учета ошибок модели) объекта, но и для любого реального объекта с учетом неопределенности наших знаний о параметрах объекта управления и возмущениях.
Представляет интерес рассмотрения в качестве критерия оптимальности СФУ Нш -нормы многомерной передаточной функции замкнутой системы [2], представляющей собой энергию выхода системы при подаче на вход сигнала с единичной энергией. При этом, если выходом является ошибка, а входом возмущение, то минимизируя Нш - норму мы минимизируем энергию ошибки для наихудшего случая входного возмущения.
Стохастический подход к Н ш - оптимизации систем автоматического управления основан на использовании критерия качества стохастической нормы системы, которая количественно характеризует чувствительность выхода системы к случайным входным возмущениям, вероятностное распределение которых известно не точно. Это приводит к специальному варианту стохастической нормы - анизотропийной норме [3]. Анизотропийная норма системы характеризует ее чувствительность к входным гауссовым шумам, средняя анизотропия которых ограничена сверху неким неотрицательным параметром а.
Теоретический анализ
Рассмотрим дискретную СФУ [4], в состав которой входит оптимальный регулятор с передаточной функцией Жку , задачей которого является изменение фазовых координат управляемого элемента с передаточной функцией Жуэ в соответствии с заданным критерием качества. Обобщенная структурная схема такой СФУ имеет вид:
Рис.1. Обобщенная структурная схема ДСФУ
В соответствии с рис. 1 и методикой получения дискретных моделей систем с фазовым управлением в общем случае управляемый элемент с регулятором в пространстве состояний описывается рекуррентными векторно-матричными выражениями:
X+1 = АХ, + + В 2и,, У,+1 = СЛ + ад + ад,
Ъ,+1 = С2 X, + ад,
(1)
где X - «-мерный вектор внутреннего состояния управляемого элемента; V - т1 -мерный вектор выходного сигнала фильтра; У - р1 -мерный вектор выходного управляемого сигнала; Ъ - р2 -
мерный вектор наблюдения; и - т2 -мерный вектор управления, А,Вг. ,С j (/,/= 1,2)- постоянные матрицы соответствующих размерностей.
Пусть Жку - допустимый регулятор, имеющий й-мерное внутреннее состояние (матрицу Н), связанное с сигналами наблюдения Ъ и управления и рекуррентными формулами
н,+1 = Ан, + Въ,,
ик = Снк
(2)
где А, В ,С - неизвестные постоянные матрицы соответствующих размерностей.
Задача состоит в определении матриц А, В,С, описывающих оператор Жку в пространстве состояний, таких, что минимизируется а - анизотропийная норма замкнутой системы Ф(Ж,Жку), описываемой выражениями (1) и (2). Формула для вычисления а анизотро-пийной нормы системы (1)-(2) имеет вид [2]:
а^К )
1 -
т,
1/2
(3)
гт {ьрЬ + 8}
Для вычисления (3) необходимо решить три алгебраических матричных уравнения Рик-
кати
Я = Ат ЯЛ + ^Ст С + Ьт 2 ,
2 -[^ - дО^^ц -ВтКВ]"\ Ь - [Ь1Ь2 ] - 2 [Вт RA + ^С],
(4)
где q -скалярный параметр, принимающий значения из полуоткрытого интервала
0;\\)
а матрица Ь разбита на блоки Ь1 ,Ь2.
8 = [ А + В1Ь1 ] • 8 [ А + В1Ь1 ]т + В12Вт - Л0Лт, 0 - [С2 + D2lLl ] • S • [С2 + D2lLl ]т + D2l2DTl,
(5)
Л -
[ А + В^ ]• S•[C2 +D2lLl ]т + В^
0-
Т = Ат ТЛт +Ст С - Nт ПN, П - BTTB + DT2Dl2,
N - [N ] - -П-1 (вттл+DT2 с)
где матрица N разбита на блоки N , а матрицы А^В^С имеют вид А ВМ В
(6)
А В С *
0 А + В1М + В1С 0 С
БПМ
М - Ь1 + Ь2.
Искомые матрицы А, В, (С оптимального анизотропийного Н х -регулятора вычисляются по формулам [2]
А = В2С+[1П-л]; В = л,
С = N1 + N.
[ А В1 " [ I п "
С2 »21 _ М
(7)
где А,В,С - матрицы реализации допустимого регулятора, 1п - единичная матрица (п х п).
2
Если возмущения, действующие на СФУ, считать белым шумом, то выражения для вычисления оптимального регулятора в пространстве состояний упрощаются и имеют вид
А = А + В2 ^ЛС 2,
В = л, (8)
С = N
где
. т I т» т»Т л л Т
8 = А8АТ + ВВТ - Л0ЛТ,
0=С 2SC Т +D21DT1> (9)
Л = [ ASC Т +B1DT1 ] 0-1,
Т = Ат ТА + СТС1 -NT ПN,
П = BT TB2 +DT2 Dl2, (10)
N = -П-1 [BT TA + DT2C1
(при этом матрицы А - ВС2 и А + В2С асимптотически устойчивы).
Выражения (8)-(10) соответствуют нулевой средней анизотропии а =0 и представляют собойН2 - оптимальный регулятор.
Применение Н2 или Нш - регулятора обусловлено типом действующих на систему шумов. Так Н2 - оптимальный плохо функционирует, если на входе системы сильно окрашенный случайный шум. Н ш - регулятор проявляет консервативность (излишнюю перестраховоч-ность) если входной сигнал белый шум или слабо окрашенный шум.
Экспериментальная часть
Для расчета коэффициентов оптимального регулятора управляемого элемента СФУ, описываемого системой
Хк+1 = ахк + Ъ1^к + Ъ2ик, Ук+1 = С1Хк + ^п^к + апик,
2к+1 = С2Хк + ^21Ук , при следующих коэффициентах
а = -0,03, Ь1 = 0,02, Ъ2 = 1, с1 =-0,03, йи = 0,02, ё12 = 1, с2 = ё21 = 1 необходимо учитывать рекуррентные выражения (2), которые в данном случае имеют вид ик = сНк+1 и Нк+1 = аНк + Ь2к . В соответствии с (8)-(10), путем последовательных вычислений; искомые коэффициенты оптимального регулятора принимают следующие значения: а = -0,108, Ь = 0,018, с = 0,06.
Заключение
Применение анизотропийных регуляторов в СФУ является перспективным, т.к. позволит снизить влияние на качество работы системы неопределенностей, обусловленных различиями между выбранной математической моделью и реальной оптимизируемой системой.
APPLICATION OF ANISOTROPY REGULATOR IN SYSTEM OF PHASE
CONTROL
A.A. LOBATY, M.V. POCHEBUT
Abstract
The method of construction the robust system of phase control is examined with the use of an-isotropy regulator. The coefficients of optimum regulator are got by a mathematical design.
Литература
1. Батура М.П. Дискретные системы с фазовым управлением. Минск, 2002.
2. Методы классической и современной теории автоматического управления. T.5.: Методы современной теории автоматического управления / Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. М., 2004.
3. Владимиров И.Г., Курдюков А.П., Семенов А.В. // Автоматика и телемеханика. 1999. №3.
4. Бусько В.Л., Лобатый А.А., Русак Л.В. Анализ вероятностных характеристик дискретных систем фазового управления.// Докл. БГУИР. 2008. №8. С. 93-99.
