CC BY
28
The application of an analytical method in power analysis of planar multi-link mechanisms Gorshkov A. , Primostka V. (Russian Federation)
Применение аналитического метода в силовом анализе плоских многозвенных механизмов Горшков А. Д. , Примостка В. Е. (Российская Федерация)
1 Горшков Александр Деомидович / Gorshkov Aleksandr - кандидат технических наук, доцент;
2Примостка Валентина Ефремовна /Primostka Valentina - преподаватель, кафедра общеинженерных дисциплин,
Пермский военный институт внутренних войск, г. Пермь
Аннотация: в статье предложен аналитический метод решения векторных уравнений [1]-[5], применение которого проиллюстрировано на примере силового расчета плоского многозвенного механизма. Проведено сравнение результатов, полученных графоаналитическим методом и предложенным аналитическим методом.
Abstract: this article proposes an analytical method for solving vector equations [l]-[5], the use of which is illustrated on the example of power calculation flat multilink mechanism. Conducted a comparison of the results obtained by analytical method and the analytical method.
Ключевые слова: механизм, силовой расчет, кинематическая пара, реакция.
Keywords: mechanism, force analysis, kinematic pair, the reaction.
Исходные данные.
Примем масштабный коэффициент = 0,01 м/мм. План положения и группы Ассура представлены на Рис. 1.
Примем для определенности следующие данные для расчетов:
1ОА = 0,1716 м, lGA = 0,5895 м, lGB = 0,8342 м, lBC = 0,5179 м, lBE = 0,54 м, 1Ш = 0,3013 м,
(рх = 38,1170,^= 0 с-2.
Координаты кинематической пары О (0,0).
Координаты кинематической пары F (0.8727,0).
Точки приложения сил описываются координатами:
ИР6 = 0,424м, кРА = 0,178м, lBS6 = 0,1112м, lS7 = 0,0739м.
Моменты, действующие на звенья механизма, равны М3=45 Нм,
М7=23 Нм.
Силы, действующие на звенья механизма, равны
F2=200 H, F3=400 H, F4=300 H, F5=400 H, F6=500 H, F7=600 H.
Структурный анализ и план положения многозвенного механизма
Примем масштабный коэффициент р = 0,01 м/мм. План положения и группы Ассура представлены на Рис. 1. Степень подвижности механизма определим по формуле Чебышева
W = 3п - 2p - p = 3 • 7 - 2-10 - 0 = 1,
где р5=10 - количество кинематических пар пятого класса; п=7 - количество звеньев;
р4=0 - количество кинематических пар четвертого класса.
Входное звено - 1.
Формула строения механизма: I ^ II3 ^ II2 ^ IIх.
Определение положения кинематических пар
Определим координаты кинематических пар и углы, приведенные на Рис. 2, в глобальной системе координат.
Координаты кинематической парыА( l0A ■ cosp, 10А ■ sinp) = A(0,135;0,106).
Угол р2 = arcsin
^lOA . (п JOA Sinl-----+ р
VlGA V 2 /у
0,1716 . (п ,, , . _ __0
= arcsin|-------sinl —+ р I I = 13,237 .
0,5895 12 11
Угол ф3=п/2-ф- ф2=38,664°.
Координаты кинематической пары В( 1Ю ■ sin р2, 1Ю ■ cos р2 - ) = В(0,191;0,344).
ОВ = д/(В1Д J2 + (В12 )2 =40,1912 + 0,3442 = 0,394 м.
Угол р = arccos
( в Л
V OB /
= 60,9620; угол р = arcsin
(В'^
V 1вс
= 41,64-
Угол ф6=п- ф4- ф5=77,398°. Координаты кинематической пары В=
(1 ■ \ 1вс • sinP6 0
= (0,578,0).
V sinp4
Угол щ=ф5.
Вычисление координат кинематической пары Е:
- коэффициенты уравнений
P = 4 - В ) - (в12'У = 0,542 - 0,1912 - 0,3442 = 0,137 .
0,8725 - 0,191
* = F-iBp
1 F - В
1 1,2 В1,2
= -1,98
рк =
0 - 0,344
P = 4 - FУ2 - (F>2У2 = 0,30132 - 0,87252 - 0 = -0,67
a = > -P , = °,137-(-°,67) =-1,173 1 2(F;,2 - В12) 2(0 - 0,344)
*1 ■ В1,2 -В1,1 -a ■ *1 (-1,98)-0,344-0,191 -(-1,173)-(-1,98)
1 + $ 1 + (-1,98)2
-0,649
1 + b2
q =
- координаты пары Е
a! - 2ax • Bu - P (-1,73)2 - 2 •(-1,73) • 0,344 - 0,173 _
2^__1,2 1 + %
1 + (-1,98)2
= 0,416
Eu = -pk + 7pk2 - q = -(- 0,649) + ^(- 0,649)2 - 0,416 = 0,725 m.
E12 = ax - b • Е1Д =-1,173-(-1,98) 0,725=0,263 m.
Угол S = arcsin
(E 1
-ET
= arcsin
V lEF
(B - E 1 B1,2 E1,2
0,263
0,3013
= 60,66°.
L
• ( 0,344 - 0,263 1 0 ^°
= arcsinl ------------- I = 8,677
V 0,54 J
Угол у = arcsin
V lBE J
Структурная группа 6-7
План положения на Рис. 3. Уравнение равновесия моментов относительно точки Е для звена 6 F • h • и - F • l = 0 F • l - F • l + = 0
F6 hF6 и 1 36t lBE °, 1 7 E7 1 07t lEF + ^ 7 0 Из этих уравнений определим:
Рис. 4. Планы положения и сил для структурнойгруппы 6-7
F. = ^ = 500 • ».424 = 392,685 Н,
0.54
„ F • hsi + M 600 • 0,0739 + 23
F„„ = -
071
l
EF
0.3013
= 223.498 Н.
План сил (рис. 3) строим по векторному уравнению
F36t + F36n + F07t + F07n + F6 + F7 = °- (1)
l
BE
F36t ^ ab = F36t • (лр = 393 • 0.2 = 78,5 мм,
F ^ bc = F • dp = 500 • 0.2 = 100 мм,
F ^ cd = F • dp = 600 • 0.2 = 120 мм,
Fm ^ de = F)7t • dp = 223 • 0.2 = 45 мм,
F07n ^ ef F36n ^ fa
Из чертежа получим
F07n ^ ef = 82мм ^ F07n = — = = 410 Н,
dp 0.2
F
36n ^ fa = 94мм ^ F36n = — = — = 470 Н.
dp
94
02
F07 ^ d— = 93мм ^ F07 = — = — = 465 н
dp 0.2
F36 ^ fb = 122.6мм ^ F36 = — == 613 Н
dp 0.2
Решим векторное уравнение (1) аналитическим способом. Проекции сил на оси локальных координат:
F07x = F07t • sin 8 = 224 • sin 60.66° = 194.83 н. F07?y = F07t • cos 8 = 224 • cos 60.66° = 109.51 Н.
F36x = F36t • siny = 393 • sin8,67° = 59,24h, F36tv = F36t • cos8 = 393• cos8,67° = 388,19Н,
36ty 36t
F6x = 0 h, F6y =-F6 =-500 h,
Flx = -Fn • sin 8 = -600 • sin 60,66° = -523,04h, Fly = -F7 • cos 8 = -600 • cos 60,66° = -293,99
h,
x
x
36п
7n = cos(- 8) = 0,49 , У07п = sin(- 8) = -0,872,
= cos(^ -y) = -0,989, y3kn = sin(^ -y) = 0,151.
Правая часть системы:
Prx = F07X + F36x + F6 x + F7 x = 194,83 + 94,24 + 0 - 523,04 = -268,97 h, Pr7 = F07ty + F36y + F6y + F7 y = 109,51 + 388,19 - 500 - 293,99 = -296,289 h.
Система уравнений для определения длин векторов F)7n, F36n имеет вид:
С268,97Л
(v x ^
07n x36n
x„„ x_ )(F„„ Л (- Pr„ Л ( 0,49 - 0,989Л(F„„ Л
V1 36п
- РГ
V prY У
V- 0,872 0,151 у
F
VF 36п у
V296,29у
ЧУ07п У36п У
Решение системы Ю7п =423,28 Н, F36n =481,88 Н.
Структурная группа 4-5
План положения построен на Рис. 5. Уравнение равновесия моментов относительно точки С для звена 4:
F4 • hF4 • Fl - F34t • lBC = 0 ,
Определим
FMt = F\'hp 4 = 300'0,178 = 103,22 h,
l
BC
0,5179
План сил при /лР=0,4 мм /Н (рис. 4) строим по векторному уравнению
F34t + F34n + F05 + F4 + F5 = 0 (2)
F34f — ab = F34f • Fp = 103,22 • 0,4 = 41,22j
F — bc = F • Fp = 300 • 0,4 = 120 мм,
F — cd = F • Fp= 400 • 0,4 = 160 мм,
F5 —— de
F34n — ea -
Из чертежа получим:
7 ГЛ
F05 — de = 207,53мм ^ F05 = — = —^ = 518,83 н,
Fp
0,4
г ________п000_________ г _ ea _ 178,22
F34n — ea 178,22мм ^ F34n
Fp 0,4
= 445,53 н,
„ , „ eb 182,46
F34 — eb = 182,46мм ^ F34 = — =-------= 456,15 н
Fp 0,4
Решим векторное уравнение (2) аналитическим способом. Проекции сил на оси локальных координат:
F34& = F34t • sin^ = 103,23• sin41,64° = 68,59Н, F3Aty = F34t • cos^ = 103,23• cos41,64° = 77,14Н,
F4x = 0Н, F4, = F4 =-300 н,
F5x = -F = -400 Н, F, = 0 Н,
X05n = 0, F)5n = sin
5 У
’’-'] = 1 2 )
= cos— - щ) = -0,747, у34и = sin— - щ) = 0,664.
X34n COs
Правая часть системы:
Prx = F34tx + F4x + F5x = 68,59 + 0 - 400 = -331,41 h, Pr7 = F34y + F4y + F5y = 77,14 - 300 + 0 = -222,86 h.
Система уравнений для определения длин векторов F34n, F05 имеет вид:
x.
xn
Л (F_Л (- Pr. Л (- 0,747 0Л (Л
V F05
- Pr
V PrY у
Vy34n У05 У
Решение системы F34n =443,46 Н, F05 =517,52 Н. Структурная группа 2-3
План положения при Fi = 0,01 м/мм построен на Рис. 6.
0,664 1
V F05 У
331,41 л V222,86у
Рис. 6. План положения и план сил для структурной группы 2-3
Из чертежа получим:
И
hP3 = 14,526 -^ = 0,073
м, hF2 = 27,513-И- = 0,138 м,
hF63 = 119,565 -И
hF43 = 161,775-И = 0,809 м, (р43 = 151,318°, (р63 = 210,814°.
Силы F43 = 456,147 Н и F63 = 613,28 Н были определены ранее.
Уравнение равновесия моментов относительно точки G
F ■ h + F ■ h + M - F ■ h - F ■ h - F ■ 1 = 0
1 63 hF63 T 1 43 hF43 T M 3 F2 hF2 F3 hF3 1 12 lGA 0.
= 0,598 м,
Отсюда находим:
1
F = —(F ■ h + F ■ h + M - F ■ h - F ■ h ) =
± 12t (F63 hF 63 + 1 43 hF 43 +M 3 F 2 hF 2 1 3 hF 3 3
lGA
; (613,28 ■ 0,598 +161,78 ■ 0,908 + 45 - 400 ■ 0,138 - 400 ■ 0,073) = 1182 Н.
0,5895
План сил (Рис. 6) строим по векторному уравнению звена 2:
F12n + F12t + F2 + F32 = 0
(3)
F12t — ab = F12t ■ Fp = 1182 ■ 0,05 = 59,08мм, F2 — bc = F2 ■ Fp = 400 ■ 0,05 = 20 мм,
-F2 —— cd
F12n — da
Из чертежа получим:
,—, . i—' cd 65,152 ,
F32 — cd = 65,152мм ^ Fns = — =______= 1303 Н,
05
FP 0,05
da 19 405
F12n — da = 19,405мм ^ F^„ = — = —---= 388 Н.
12n
FP 0,05
Решим векторное уравнение (3) аналитическим способом. Проекции сил на оси локальных координат: F12x = F12, ■ cos(-^2) = 1182 ■ cos(-13,239°) = 1150 Н,
F17ty = F12f ■ sm(-^2) = 1182 ■ sin(-13,239°) = -270,598 Н,
F2 * = 0 Н, F2 y =-F2 =-400 Н,
x
32 = cos(^ -ф?) = -0,973, y32 = sin(^ - ^2) = 0,229
x.
= cos(3^/2 -^2) =-0,229, y12n = sin(3^/2 -^2) =-0,973.
Правая часть системы:
PrX = F12tx + F2x =1150 + 0 = 1150 Н,
Pr7 = F12ty + F2y = -270,598 - 400 + 0 = -670,598 Н.
Система уравнений для определения длин векторов F34jj , F05 имеет вид:
(
X
X
Л ( F„ ^ (- Pr„ ^ (- 0,973 - 0,229Л( F„ ^
F
VF 12nУ
Решение системы F32 =12 73 Н, Fl2n =389,363 Н.
VУ32 y12n У
системы F = Уравнение равновесия звена 3
На плане сил:
- Pr
V Prr У
V 0,229 - 0,973 У
F
VF 12пУ
-1150^ V670,598У
F23 + F3 + F43 + F63 + F03 = 0
(4)
F3 — ce = F3 ■ Fp = 400 ■ 0,05 = 20 мм, F43 — 7 = F34 ■ Fp = 456 ■ 0,05 = 22,8 мм, F63 — 7g = F36 ■ Fp = 613 ■ 0,05 = 30,6мм,
Из чертежа получим:
F03 — gd = 43,9мм ^ Fos =
cd 43,9
= 878,1 Н.
FP 0,05
Решим векторное уравнение (4) аналитическим способом. Проекции сил, входящих в уравнение (4), на оси локальных координат:
F23x = F23 ■ cos(-^2) = 1298 ■ cos(-13,239°) = 1268 Н,
F23y = F23 ■ sm(-^2 ) = 1298 ■ sin(-13,239°) = -298,4Н,
F3x = 0 Н, F3 y = -F3 =-400 Н,
F43x = F34 cos(^43) = 456 ■ cos(151,318°) = -400,177 Н,
F^y = F34 sin(<p43) = 456 • sin(151,318°) = 218,9 Н,
F63x = F63 cos(^63) = 613 • cos(210,8°) = -526,7 Н,
F63y = F;3 sinfej = 613 • sin(210,8°) = -314,1 Н.
Координаты конца вектора F03:
Fo3X = F23x + F3x + F43X + F,3x = 1268 + 0 - 400,177 - 526,7 = 341,524 Н,
Fo3y = F>3y + F3 y + F43 y + F63y = -298 - 400 + 218,9 - 314,1 = -793,694 Н.
Реакция F03 равна
F03 =ylF03x + F03y =yl(341,5)2 + (793,7)2 = 864,0 Н.
Заключение
Сравнение изложенных методов позволяет утверждать, что аналитический метод решения векторных уравнений может быть использован для силового расчета многозвенных механизмов.
Литература
1. Горшков А. Д. Силовой расчет многозвенных механизмов: Учебное пособие. - Пермь: ПВИ ВВ МВД России, 2012. - 32 с.: 9 илл.
2. Горшков А. Д. Использование графоаналитического метода в кинематическом анализе многозвенных механизмов: Учебное пособие. - Пермь: ПВИ ВВ МВД России, 2014. - 24 с.: 6 илл.
3. Горшков А. Д. Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских механизмов. // International scientific review. / Международное научное обозрение проблем и перспектив точных и технических наук: Сборник материалов 1-ой междунар. науч.-практ. конф.: 26-27 марта 2015 г. -Новосибирск: изд. «Проблемы науки», 2015 - С. 4-15.
4. Горшков А. Д. Применение аналитического метода в кинематическом анализе плоских механизмов. // International scientific review. / Международная научно-практическая конференция: «Научное обозрение физико-математических и технических наук в XXI веке», Россия, г. Москва, 27-28.03.2015 - С. 16-19.
5. Горшков А. Д. Применение аналитического метода в силовом анализе плоских механизмов. // International scientific review. / Международная научно-практическая конференция: «Научное обозрение физикоматематических и технических наук в XXI веке», Россия, г. Москва, 27-28.03.2015 - С. 19-22.
