CC BY-NC-ND
102
ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМОВ ДВУМЕРНОГО АНАЛИЗА ГЛАВНЫХ КОМПОНЕНТ ДЛЯ ЗАДАЧ РАСПОЗНАВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ ЛИЦ
Н.Л. Щеголева,
кандидат технических наук, доцент кафедры математического обеспечения и применения ЭВМ Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета (ЛЭТИ)
Г.А. Кухарев,
доктор технических наук, профессор кафедры математического обеспечения и применения ЭВМ Санкт-Петербургского государственного электротехнического университета (ЛЭТИ), профессор факультета информатики Западно-поморского технологического университета, Щецин, Польша (West Pomeranian University of Technology, Szczecin, Poland)
Адрес: г. Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, д. 5 E-mail:stil_hope@mail.ru, gkukharev@wi.zut.edu.pl
Представлены алгоритмы двумерного анализа главных компонент (Two-dimensionalPrincipal Component Analysis — 2D PCA), ориентированные на обработку цифровых изображений больших размеров в условиях малой выборки. Рассматриваются два способа выполнения 2D PCA, соответствующие параллельной и каскадной формам его реализации. Оценены характеристики представленных алгоритмов. Обсуждаются возможности использования представленных ^алгоритмов в других областях. ^
Ключевые слова: двумерный анализ главных компонент, двумерное преобразование Карунена-Лоэва, распознавание изображений лиц, применение в бизнес-приложениях.
Введение
XXI век ознаменовался переходом от простых информационных систем к использованию интеллектуальных сред — современного поколения вычислительных и информационных технологий. Примерами интеллектуальных сред являются:
♦ интернет, через который реализуются общение людей бизнес-сообщества (видеоконференции, консультации , почта), поиск информации и доступ к ней, интернет-маркетинг и интернет-магазины и т.д.;
♦ виртуальные предприятия, реализующие проекты по типу «start up», сообщества и ассоциации, реализующие обмен информацией, технологиями,
другими информационными и вычислительными ресурсами;
♦ высокоорганизованные интерфейсы систем «клиент — банк»;
♦ системы класса «Visitor Identification», реализующие распознавание или аутентификацию, например, постоянного покупателя магазина, гостя (посетителя) частного дома или офиса, пассажира международного транспорта и т.д;
♦ системы контроля доступа к информации (базам данных, корпоративным сетям), к средствам (техническим, финансовым), к помещениям, к ресурсам (например, вычислительным).
Перечисленные примеры имеют одну очень важную общую характеристику: здесь все задачи решаются в процессе непосредственного общения человека со средой (в режиме «on-line») и, что самое важное, — этим человеком может быть только зарегистрированный пользователь, подлинность личности которого проверяется на входе в интеллектуальную среду.
Сегодня, например, сложно представить себе успешного бизнесмена без ноутбука, планшетного компьютера, смартфона или коммуникатора. Более того, в ходе круглого стола «Электронный парламент: вопросы правового обеспечения», который прошел 14 апреля 2011 г. было принято решение об обеспечении всех депутатов Госдумы шестого созыва, которые будут избраны в декабре 2011 г., личными интернет-планшетами iPad. Вскоре подобная перспектива ждет и каждое региональное правительство. Все эти мобильные устройства хранят личную и деловую информацию, сведения, содержащие коммерческую тайну, а устройства депутатов Госдумы — сведения, представляющие государственную тайну. Очевидно, что доступ постороннего человека к этой информации может стать причиной материальных потерь и/или нанести ущерб безопасности государства. И здесь одной из наиболее актуальных проблем является проблема идентификации (аутентификации) конечного пользователя подобных устройств.
Задачи идентификации (аутентификации) пользователя успешно решаются в рамках биометрических технологий. Эти идеи отражает статья [1], в которой показано использование методов анализа главных компонент (Principal Component Analysis
— PCA) в задачах распознавания изображений лиц.
Однако в современных условиях развития информационных технологий и инженерии программного
обеспечения можно предложить более рациональные алгоритмы для этого метода, позволяющие более детально анализировать многомерные данные, какими являются изображения. Именно эти рациональные алгоритмы и предлагаются в настоящей статье, что отличает ее от работы [1].
Проблемы, связанные с обработкой изображений методами PCA
В задачах обработки изображений методами РСА исходными являются три базовых параметра: {M, N, K}, где Ми N — число строк и столбцов исходных изображений, а K — количество изображений [2 — 4]. Первые два параметра определяют размерность DIM исходного пространства признаков DIM = MN. При этом обработке изображений лиц методами РСА сопутствует проблема малой выборки (Small Sample Size — SSS), когда DIM >> K. Размерность исходного пространства признаков DIM определяет вычислительную сложность реализуемых алгоритмов.
Классический метод PCA [2] включает два этапа.
Первый из них — анализ главных компонент, в рамках которого по всем исходным данным определяется матрица ковариации и для нее определяются наибольшие собственные значения (главные компоненты) и матрица собственных векторов (матрица проекции). Второй этап включает одномерное преобразование в собственном базисе (или преобразование Карунена-Лоэва/Karhunena-Loeva Transform/KLT), которое использует найденную матрицу проекции.
Результат KLT представляет исходные данные как их спектр в собственном базисе, поэтому для сохранения основной информации об исходных данных достаточно использовать только несколько главных спектральных компонент [2]. При этом достигается условие:
DIM «DIM, (1)
new
где DIMnew — размерность нового пространства признаков.
Однако статистически устойчивое решение задачи PCA/KLT в приложении к обработке изображений возможно только в случае отсутствия проблемы SSS и/или выполнения условия:
DIM = MN << K. (2)
Варианты реализации РСА/КЕГ в условиях проблемы БББ показаны в работах [1, 3]. Они сводятся к предобработке исходных данных с целью уменьшения их размерности до достижения условия (2). Так в [3] решение основано на перемасштабиро-вании каждого исходного изображения до размеров т < М и п < N, при которых Б1М = тп << К и последующего прямого применения РСА/КЕГ В
[1] решение основано на декомпозиции всего набора исходных данных (общим размером MN х К ) в виде нескольких подматриц меньшего размера, для которых выполняется условие (2), нахождении частных решений РСА/КЕГ для этих подматриц и сведении частных решений к полному решению.
В настоящей статье представлены алгоритмы двумерного анализа главных компонент (2БРСА) и двумерного преобразования Карунена-Лоэва (2БКЕГ), специально предназначенные для обработки изображений больших размеров в условиях БББ и не требующие предобработки исходных данных с целью достижения условия (2) [4 — 6].
1. Идея и реализация 2D PCA\2D KLT
Пусть нам задан набор X, состоящий из X центрированных и нормированных к «1» изображений X(к) к = 1, 2,К (для к = 1, 2,К) размером М х N каждое, и MN >> К:
(K)!
(З)
Целью 2D PCA является определение двух матриц проекции, трансформирующих исходные данные в новое пространство признаков так, чтобы выполнялось условие минимума расстояния:
disance((k) - W1TX(k)Wmin, \jk = 1,2,..., K , (4)
где W1, W2 — ортогональные матрицы порядков M и N соответственно.
Параллельный алгоритм. Здесь двумерный анализ главных компонент выполняется независимо по строкам и столбцам исходных данных, и при этом определяются два независимых собственных базиса.
Модель вычислений в 2D PCA\2D KLT можно представить следующим образом:
1.0. X-
Xі;
(5)
1.1. X PCAr >W1;
1.2. X РСАг >Ж2;
2. У(к) = ЩТХ(к^2,Ук=1, 2,...,К .
На этапе 1.0 выполняется реорганизация структуры исходных данных (3). Это реализуется как транспонирование всех матриц размером М х N в наборе X и составление нового набора данных Х1. На этапе 1.1 выполняется базовая процедура РСА относительно строк исходных данных (РСАг). На этапе 1.2 выполняется РСА относительно строк (РСАг) данных, входящих в набор Х1, или, что тоже самое, — относительно столбцов исходных данных. Результат этапов 1.1 и 1.2 — вычисление двух матриц проекции W1 и Wr Этапы 1.1 и 1.2 могут быть выполнены параллельно, поскольку процедура РСАг применяется для независимых наборов данных X и Х1.
Наконец, этап 2 — это трансформация всех исходных изображений из набора X в новое пространство признаков К С учетом этого, на рис. 1 представлена схема параллельного способа (5) реализации 2Б РСА. Блок <^» реализует транспонирование всех матриц размером М х N в наборе X. Блоки, обозначенные как «®», реализуют процедуру проекции исходных данных. Пунктиром выделен блок, определяющий двумерное преобразование Карунена-Лоэва (2Б КЕГ).
Рис. 1. Параллельный способ реализации 2D РСА.
Заметим, что в представленном методе двумерное 2Б КЕГ реализуется по каскадной схеме: сначала исходное изображение обрабатывается по строкам, а затем полученный результат обрабатывается по столбцам (или наоборот). Это аналогично тому, как могут выполняться многие двумерные дискретные ортогональные преобразования изображений
[2], что, однако, противоречит способу получения собственных базисов в (5).
Каскадный алгоритм. Здесь в первом каскаде выполняется анализ главных компонент по строкам исходных изображений, а во втором — по столбцам результата первого каскада (или наоборот — сначала по столбцам, а потом по строкам результата). При этом определяются два взаимосвязанных собственных базиса, и 2Б КЕГ реализуется также по каскадной схеме во взаимосвязанных базисах. Модель каскадного алгоритма запишем следующим образом:
X РСА >щ.хі}—>X РСАг >{Ж2;У} —>У. (6)
Здесь: Х1 — данные Х1 после их реорганизации блоком «К»; выражения в фигурных скобках представляют результаты РСА\КЕГ по строкам и столбцам исходных изображений.
Схема вычислений, соответствующая модели (6), представлена на рис. 2. Здесь в явной форме отражен каскадный способ реализации 2Б РСА\2Б КЕГ.
РСАг
R
РСАг
Ж
R
Рис. 2. Структура каскадного алгоритма 2D PCA.
2. Формальное описание алгоритмов
Версия параллельного алгоритма. Вычислим две матрицы ковариации, определив их относительно строк («r» — row) и столбцов («с» — column) для исходных изображений (3):
K K
C(r) = ХX(k)CX(k))T и C(c) =Х(X(k))TX(k), v keK, (7)
где C(r) и C(c) — матрицы порядков M и N соответственно.
С учетом (7) определим собственные значения и соответствующие им собственные векторы, решив следующие две задачи на собственные значения:
W1TC(r )W1 = Л1; W2TC (c)W2 = Л (8)
При этом W1TW1 = I1 и W2TW2 = I2, а I1 и I2 — единичные матрицы порядков M и N соответственно; Л1 и Л 2 — диагональные матрицы порядков M и N соответственно.
Трансформация исходных данных в новое пространство признаков реализуется как двумерное преобразование Карунена-Лоэва на основе собственных базисов, определяемых по (8) в следующей форме:
Y<k) = (WTX(k))W2, V k = 1,2,..., K , (9)
где Y(k) — матрицы размера M x N , представляющие исходные изображения в новом пространстве признаков.
Версия каскадного алгоритма.
Выполним проекцию исходных данных так, что:
X(k) = WTX(k), v k = 1,2,..., K , (10)
где X1(k) — матрицы размера M x N, представляющие исходные изображения (3) в новом (промежуточном) пространстве признаков; матрица W1 была определена в (8).
Далее вычислим матрицу ковариации, определив ее относительно столбцов («с» — column) результата (10):
C(c) =£ (Xi(k))TXi(k) , (11)
k=1
где матрица C<с> имеет порядок, равный N.
Вычислим для (11) собственные значения и соответствующие им собственные векторы, решив следующую задачу на собственные значения:
WTC (c)W2 = Л 2,: (12)
где W2 и Л2 — матрицы порядка N.
Трансформация исходных данных (3) в новое пространство признаков реализуется теперь как двумерное преобразование Карунена-Лоэва (9) на основе собственных базисов, определяемых ортогональными матрицами проекции (8) и (12).
Редукция размерности пространства признаков
Изменим (9) так, чтобы в дальнейших преобразованиях участвовали только те собственные векторы, которые соответствуют «й» главным компонентам (d < шт{M, N}). Для этого, из выбранных собственных векторов формируются две прямоугольные матрицы: из матрицы W1T выбираем «й» строк, а из матриц Ж, выбираем «й» столбцов, соответствующих «й» наибольшим собственным числам, и на их основе формируются две матрицы редукции F1 и F2. Верхние границы параметра «й» выбираются исходя из критерия энергетической значимости собственных значений [5, 6]. Нижние границы параметра «й» выбираются экспериментально с учетом критерия (4). При этом d < шт{M, N} или d1 < M ; d2 < N , если d1 Ф d2.
Теперь выполним «усеченное» двумерное преобразование Карунена-Лоэва:
#)
У(1,1 ... y(d ,1)
Y^) = f,x (k) f2 , где ^) =
y(1,1)... y(d,1) y(2,1)... y(d ,2)
y(d ,1)... y(d, d)
(13)
Матрицы F1 и F2 имеют размеры d х M и N х d соответственно (или d1 х M и N х d2 в общем случае); знак «А» — определяет отличие результата (13) от (9).
Результирующие матрицы в (13) имеют в общем случае размеры d1 х d2 и представляют исходные изображения в новом пространстве признаков.
3. Характеристики разработанных алгоритмов и их отличия от известных
3.1. На реализацию полного 2Б КЕГ (9) потребуется (NM2 + MN2) операций, а на реализацию «усеченного» 2Б КЕГ по схеме (13) потребуется (Md2 + MNd) операций. При этом сокращение вычислений на этапе редукции размерности пространства признаков (РПП) можно приблизительно оценить как величину (Ы + N) / d , поскольку:
Ш2 +MN2 MN(M + Ю M + N
----1------=------------ =------, для d << N. (14)
Md2 + MNd M (а + d
Например, для М=112 и N=92 (база лиц ORЕ [9])
и d=10 сокращение вычислений составит примерно 20 раз(!) на каждое изображение. С учетом параметра « K » — числа изображений, ускорение вычислений составит величину, равную примерно K (M + N)/ d на все исходные данные.
3.2. Результат в (13) содержит d2 (или dt x d2) элементов, поэтому степень редукции РПП определяется соотношением MN / d2 или MN / (ld2), если dj Ф d2.
Например, для M=112, N=92 и d= 10 редукция размерности пространства признаков составит более чем 100 раз(!) на каждое изображение. Таким образом, использование предложенных в статье алгоритмов ориентировано на сокращение ресурсных затрат в практических приложениях.
3.3. Наибольший порядок матриц ковариации в (7), (12) составляет величину DIM = max{M,N}. Это предопределяет практическую возможность решения задачи на собственные значения и стабильность этого решения даже для изображений больших размеров.
3.4. При представлении исходных изображений как совокупности строк и столбцов общее число получаемых векторов составляет величину K (M + N), а размерность исходного пространства признаков определяется как DIM = max {M, N}. Поэтому при любых значениях M и N соотношение «размерность/число векторов» всегда будет отвечать условию max { M, N} << K (M + N), «обходя» таким образом, проблему SSS.
4. Распознавание изображений лиц
Эксперименты выполнены на базе ORL [9], некоторые изображения которой показаны на рис. 3. База ORL охватывает 40 различных классов образов (изображений лиц людей различных наций), по 10 образов в каждом классе. Все изображения базы ORL относятся к типу «indoor», имеют размер 112 на 92 пикселя и представлены в шкале «GRAY» (256 уровней яркости).
Для лиц базы ORL характерно изменение: контраста изображений и яркости фона вокруг области лица; размера лиц, в том числе не пропорционально по осям X и Y; поворота головы в пространстве 3D в пределах не менее ±20о по оси X, ±30о по оси Y и не менее ±10о по оси Z; мимики лиц, прорисовки деталей лиц (их сглаживание).
Рис. 3. Примеры исходных данных.
В первом эксперименте решалась задача поиска изображений лиц по заданному тестовому образу с помощью представленного в данной статье алгоритма 2D PCA. Эксперимент был выполнен для всех 40 классов с выбором только одного образа из каждого класса для эталона и девяти других образов в каждом классе для теста. Таким образом, в формулировке задачи поиска база системы поиска содержала 40 образов-эталонов (по одному на класс), а в качестве тестовых были использованы 360 образов (по девять образов на каждый из 40 классов). В эксперименте дважды использована процедура кросс-валидации: в каждом эксперименте изменялся номер выбранного образа-эталона, а внутри каждого эксперимента изменялся параметр редукции «d» (d = 3, 4,...,10). Всего, таким образом, выполнено 10 х 8 = 80 экспериментов. Модель выполненного эксперимента имеет следующий вид [6]:
ORL(40/1/9/CV){2DPCA: 112П92—»dffl/KMP/L1/rank = 1},
где определены:
0RL(40/1/9/CV) — база лиц, структура данных и процедура кросс-валидации (CV);
2DPCA:112—>92 d x d — использованный метод и размеры данных до и после редукции размерности пространства признаков;
KMP/L1/rank = 1 — тип классификатора, метрика и ранг результата.
Текущие результаты в каждом эксперименте оценивались как отношение количества правильно классифицированных тестовых образов к общему их числу 360. Общее число тестовых образов составило 3600 для каждого значения параметра «d». Результат считался правильным, если на первом месте (rank = 1) в группе результатов находился образ из того же класса, что и тестовый образ.
В эксперименте использован классификатор по минимуму расстояния (КМР) в метрике L1.
30
20
10
ТТТттг tfflifai
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ 40
10
ЇТтГгт*
20 0
10
по столбцам
0
20 0
КАСКАДНЫЙ
tfwd......«««і
по строкам
Рис. 4. Собственные значения для метода 2D PCA.
10 20 по столбцам
% Результат распознавания для кросс-валидации
Рис. 5. К выбору параметра редукции «d».
На рис. 4 показаны 20 наибольших собственных значений (собственные значения, вычисленные по строкам для обоих способов, — одинаковы по определению). При этом главные компоненты ограничены величиной ё и 6, поскольку далее собственные значения практически равны «0».
На рис. 5 показаны результаты решения поставленной задачи поиска для различных значений параметра редукции «й». Как видно, наилучший результат поиска получен при значении й = 6. Степень редукции размерности пространства признаков составила при этом значение, равное 286 (поскольку 112 □92 / 36 = 286).
Подводя итоги эксперимента, необходимо отметить следующее:
♦ При выполнении поставленного эксперимента дважды решалась задача на собственные значения. Порядки матриц ковариации составили соответственно 112 и 92. Общее число «изображений» составило 40 □ (112 + 92), поэтому матрицы ковариации были хорошо обусловлены и не потребовалось никаких процедур их регуляризации (в подходе
0
0
«Eigenfaces» [1] порядок матрицы ковариации составил бы величину 112 □92 = 10304, что сразу же определило бы невозможность ее дальнейшего использования);
♦ Ярко выраженное наличие «главных компонент» в составе собственных значений гарантирует репрезентативное представление исходных данных в новом пространстве признаков при малом значении параметра «d»;
♦ Решение поставленной задачи поиска выполнено успешно, особенно если учитывать специфику исходных данных — изображений лиц базы ORL и малое число образов-эталонов в системе поиска: по одному на каждый класс. Результаты, представленные в ходе экспериментов, выше результатов, показанных в [5], при решении аналогичной задачи.
Во втором эксперименте решалась задача распознавания изображений лиц при различном числе эталонов в базе системы распознавания (Face Recognition System — FaReS [6]). Модель выполненного эксперимента имеет следующий вид:
ORL(40/Z/10-Z/R+CV){2DPCA:12x92-»8x8}
[КМР/Ll/rank = 1].
В базу FaReS выбирается L тренировочных изображений в каждом из 40 классов; выбор организован случайным образом (random — R) и использована процедура кросс-валидации (R+CV). Число тестовых образов составляет 10 — L для L = 1, 2, 3, 4, 5. Результаты выполненных экспериментов представлены в таблице 1.
Таблица 1.
Результаты экспериментов
Э i/40/380 2/В0/320 3/120/2В0 4/1б0/240 5/200/200
П К П К П К П К П К
i бВ бВ /В /д 93 93 д4 д4 97 97
2 бВ бВ /В /В ВВ Вд до до д5 дб
3 /0 /0 В2 В2 до до д4 д4 д5 д4
4 бб бВ ВЗ В4 gi до дЗ дЗ д5 дЗ
5 71 71 ВЗ ВЗ до до gi до д2 gi
б 71 71 ВЗ ВЗ до до gi д2 д5 д5
/ /0 /0 В/ В/ gi д2 дЗ дЗ дб д/
В б4 б4 90 90 gi gi 94 95 д5 д5
д б/ б/ В2 81 Вд ВВ до Вд д4 д5
io бб бВ В2 В2 Вд Вд д2 д2 дб дб
ер 68 69 83 83 90 90 92 92 95 95
Здесь: «Э» — номер эксперимента;
1/40/360...5/200/200 — значение L и общее число изображений-эталонов и тестовых изображений в каждом эксперименте; П и К — способы: параллельный и каскадный.
Из представленных результатов видно, что существенный скачок результативности распознавания возникает уже при L = 2, а при значении L = 5 результат распознавания составляет (при округлении до наименьшего целого) в среднем 95% и в максимуме 97%. При этом результативность для двух алгоритмов реализации 2D PCA\2D KLT практически одинакова.
Эффективность применения 2D PCA\2D KLT для изображений тестовой базы FERET была показана нами в [10].
Заключение
Укажем наиболее значимые области, в которых применение алгоритмов 2D PCA/2D KLT может дать наиболее значимый эффект.
1. В [11] обосновывается необходимость применения свёртки наименьшего размера, позволяющей достигнуть наибольшей точности и производительности в процессе идентификации. Особенно актуально это для больших баз данных, хранящих информацию о биометрических характеристиках человека. Применение представленных в настоящей статье алгоритмов 2DPCA\2DKLT позволит создавать эффективные биометрические системы, обеспечивающие низкий уровень ошибок.
2. Алгоритмы 2D PCA можно использовать также для анализа и поиска закономерностей в экономических и финансовых данных, представленных многомерной структурой данных — многомерными наблюдениями. Одним из хорошо зарекомендовавших себя методов анализа и прогнозирования финансового рынка является метод «Гусеница» [12]. Метод независимо разрабатывался в России, Великобритании и США (там его аналог получил название SSA — Singular Spectrum Analysis). Суть метода заключается в формировании матриц наблюдений из множества временных рядов и выполнении PCA в приложении к этим матрицам. Применение 2D PCA\2DKLT позволит в этом случае выявить закономерности в исходных данных (тренды и их периоды, сезонные и другие периодические составляющие, взаимосвязь отдельных рядов наблюдений между собой и определить их модели), а также позволит сократить объем вычислений и объем
информации, представив исходные данные в более компактном виде.
3. Развитие методов записи и хранения данных привело к бурному росту объемов собираемой и анализируемой информации. Объемы данных настолько внушительны, что человеку просто не по силам проанализировать их самостоятельно, хотя необходимость проведения такого анализа вполне очевидна, ведь в этих «сырых» данных заключены знания, которые могут быть использованы при
принятии решений. Для того чтобы провести автоматический анализ данных, используется метод «Data Mining». Это процесс обнаружения в «сырых» данных ранее неизвестных нетривиальных практически полезных и доступных интерпретации знаний, поиска закономерностей и представление данных в виде удобном для анализа, делающее возможным построение моделей прогнозирования. Одним из методов, широко используемых в «Data Mining», является РСА. Очевидно, что алгоритмы 2D PCA будут здесь также кстати! ■
Литература
1. Мокеев А.В. О точности и быстродействии метода синтеза главных компонент // Бизнес-информатика, 2010, № 3(13). - С. 65-68.
2. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. — М.: Мир, 1982. — 312 с.
3. Turk М., Pentland A. Eigenfaces for Face Detection // Journal of Cognitive Neuroscience, 1991, Vol. 3, №1.
— Р. 71-86.
4. Tsapatsoulis N., Alexopoulos V., Kollias S.A. Vector Based Approximation of KLT and Its Application to Face Recognition // Proceedings of the IX European Signal Processing Conference EUSIPCO-98, Vol. 3. — P. 15811584.
5. Кухарев Г.А. Биометрические системы: Методы и средства идентификации личности человека. — СПб.: Политехника, 2001. — 240 с.
6. Kukharev G., Forczmanski P. Data Dimensionality Reduction for Face Recognition // Journal MACHINE GRAPHICS & VISION, 2004, Vol. 13, № 1/2. — P. 99-121.
7. Кухарев Г.А., Щеголева Н.Л. Алгоритмы двумерного анализа главных компонент для задач распознавания изображений лиц // Компьютерная оптика, 2010, т.34, № 4. — С. 545-551.
8. Кухарев Г.А. Щеголева Н.Л. Системы распознавания человека по изображению лица. — СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2006. — 176с.
9. Zuo W., Wang K., Zhang H. Subspace Methods for Face Recognition: Singularity, Regularization, and Robustness // State of the Art in Face Recognition. I-Tech, Vienna, Austria, — 2004. — 250 p.
10.Кухарев Г.А. Поиск изображений лиц в больших базах данных // Мир измерений, 2009, № 4(98). — С. 22-30.
11.The ORL database - www.uk.research.att.com/pub/data/att_faces.zip.
12. Shchegoleva N.L., Kukharev G.A. Application of Two-Dimensional Principal Component Analysis for Recognition of Face Images // Pattern Recognition and Image Analysis, 2010, Vol. 20, №4. — Р. 513-527. http://www.maik.ru/contents/ patrec/patrec4_10v20cont.htm
П^илантьев Д.А. Оценка необходимого размера свертки биометрического образца для обеспечения заданных параметров надежности биометрической системы идентификации // Бизнес-информатика, 2009, № 3(09). — С. 21-23.
