CC BY
15
125
Т, Нм
110
95 80
65
60 100 140 п,об/хв 180
Рис. 3. Зависимость Гот п при разных углах наклона:
1 - а = 0°:2-а =10°;
ос = 20°: 4 - (х = 30°
3
100
Т, Нм
92,5
85
77,5
70
4 ^
-2
1
60 100 140 п,об/хв 180
Рис. 5. Зависимость Т от п при разных зазорах между полумуфтами А :
1- А = 1 мм; 2- А = 1,5 мм; 3- А = 2 мм; 4- А = 2,5 мм
110
Т, Нм
97,5
85
72,5
60
____— > j—
j7
"" X1
60 100 140 п,об/хе 180
Рис. 4. Зависимость Т от п при разных С : 1 -с = 16,5 Н/мм; 2 - с = 17,5 Н/мм; 3 - с = 18,5 Н/мм; 4 - с = 19,5 Н/мм
125
Т, Нм
110
95
80
65
3 4
■ \
У
60 100 140 п, об/хв 180
Рис. 6. Зависимость Т от п при разных материалах: 1 - песок, 2 - пшеница, 3 - кукуруза, 4 - керамзит
Литература. 3. Hevko R.B., Klendiy O.M. The investigation of the process
1. Поляков B.C., БарабашИ.Д., Ряховський О.А. Спра- of a screw conveyer safety device actuation / INMATEH: вочник по муфтам. - Л.: Машиностроение, 1979. - 344 с. Agricultural engineering, vol. 42, no.1, 2014 - pg. 55-60.
2. Hevko R.B., Dzyura V.O.,RomanovskyR.M. Mathematical 4. Пат. №71785, МПК F16D 7/00. Запобiжний пристрш / model of the pneumatic-screw conveyor mechanism operation / Гевко Р.Б., Клендш О.М. - № u201200608; заявл. 19.01.2012; INMATEH: Agricultural engineering, vol. 44, no.3, 2014 - pg. опубл.25.07.2012,Бюл. № 14, 2012 р.
103-110.
ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМА СВЁРТКИ ДЛЯ АНАЛИЗА СИСТЕМ
МОБИЛЬНОЙ СВЯЗИ
КокореваЕленаВикторовна
Доцент, канд. техн. наук, заведующий кафедройсистеммобильной связиСибГУТИ,г. Новосибирск
АННОТАЦИЯ
Современные системы мобильной связи требуют гарантированного качества обслуживания. Математическое моделирование применяется для оценки показателей качества. Наиболее адекватный метод аналитического моделирования в настоящее время предоставляет математический аппарат теории сетей массового обслуживания, рассмотренный в данной статье.
ABSTRACT
Modern mobile communication systems require guaranteed quality of service. Mathematical modeling is used to assess the quality of performance. The most adequate method for analytical modeling now provides a mathematical apparatus of queuing network considered in this article.
Ключевые слова: СеМО, система массового обслуживания, коэффициент загрузки, маргинальная вероятность, мультипликативная форма, алгоритм свёртки.
Keywords: queuing network, queuing system, the load factor, the marginal probability, product form, convolutional algorithm.
1. Введение
Стандарты мобильных сетей четвёртого поколения (4G) предоставляют абонентам высокоскоростные услуги (мультимедийные сервисы, видеозвонки и видеоконфернции, интерактивные онлайн-приложения и др.) и требуют обеспечения гарантированного качества обслуживания QoS (англ. Quality of Service). Важной задачей является эффективное управление трафиком систем мобильной связи, для чего необходима оценка показателей качества (пропускная способность, потери, задержка и др.). Для решения данной задачи служат методы математического моделирования, одним из которых является анализ сетей массового обслуживания (СеМО), показавший свою эффективность при моделировании инфокоммуникационных систем различной размерности, топологии и назначения.
2. Понятие сети массового обслуживания
Пример СеМО из пяти СМО представлен на рисунке 1.
Сетью массового обслуживания называется совокупность конечного числа систем массового обслуживания (СМО), в которой циркулируют сообщения, переходящие в соответствии с маршрутной матрицей из одной СМО в другую [1, 3, 5]. Маршрутная матрица содержит вероятности перехода заявки из одного узла в другой, является стохастической, зависит от вида СеМО и определяет её топологию:
© =
в,
У
i, j = 0, Л
(1)
где N - количество узлов сети. Стохастичность матрицы определяется выполнением условий:
0 Щ * 1,
Л
1% = 1>
j =0
i = 0, Л.
(2)
Рисунок 1. Пример СеМО
Сети массового обслуживания могут быть открытыми, замкнутыми и смешанными. Открытыми называются СеМО, имеющие бесконечный внешний источник заявок и сток, через который заявки покидают сеть после облужи-вания. В каждый момент времени в сети может находиться произвольное число заявок. В замкнутой СеМО отсутствует внешний источник-сток заявок и количество циркулирующих по сети заявок постоянно. Смешанные СеМО обладают свойствами и тех и других.
Сети массового обслуживания могут различаться по наличию нескольких классов заявок. Заявки, обладающие одинаковыми свойствами - распределением времени обслуживания, вероятностями перехода, дисциплиной обслуживания, принадлежат одному классу. Сети, в которой существует только один класс заявок, называются однородными, а сети с более чем одним классом заявок - неоднородными. В дальнейшем для простоты будем рассматривать однородные СеМО.
Марковские СеМО характеризуются показательным распределением времени обслуживания для обслуживающих приборов всех узлов сети. Сети, в которых распределение времени обслуживания отличается от показательного, называются СеМО общего вида [1, 3-5].
Описание СеМО определяется вектором [4]:
Г = (Ы, Я, Л,1, ц)
где N - количество узлов СеМО; R - количество классов заявок (для однородных СеМО ); Л - параметр внешней
Л =
нагрузки на сеть,
(, i = 1, Л)
крытая, где Ад/ - интенсивность поступления заявок извне череМ-й узел и
А = X Ад/ - пропускная способность сети, — к , /=1
если Г замкнутая, где К - фиксированное число заявок; W - вектор распределений времени обслуживания в узлах сети; 0 - маршрутная матрица; т = (т, 1, N) - количество обслуживающих приборов в 1-й СМО; D - вектор дисциплин обслуживания в узлах СеМО (FCFS, LCFS-PR, PS. Ш, FS [1, 5]); н = , 1,N) - вектор интенсивностей обслуживания в узлах сети.
Интенсивности потоков заявок А/, входящих в 1-й узел, определяются уравнениями равновесия потоков в открытых СеМО:
Л
=*0i +ЪЛ]в]1, i = 1, Л (4) j =1
и в замкнутых СеМО:
Л _
4 , i = 1, Л
j=1
(5)
Важной характеристикой является коэффициент переходов: еI, I = 1, N - среднее количество поступлений заявки в узел 1:
если
от-
4
е =—, * = 1, N ' Л
(6)
где Л - пропускная способность сети.
3. СеМО в мультипликативной форме
Отправной точкой для анализа СеМО является понятие её состояния: к = (к\, &2,..., kN ) , где к*, I = 1, N - количество заявок в ьй СМО, для замкнутой СеМО выполняется равенство: 2 к = к. Распределение вероятностей состояний обозначим: п(кц, к2,..., kN), с учётом нормирующего условия: 2п(к\, к2,..., kN) = 1 [3, 5].
Наиболее важную роль в теории сетей массового обслуживания играют СеМО, стационарное распределение которых имеет мультипликативную форму, поскольку для них вероятностно-временные характеристики могут быть получены простым способом.
3.1. Сети Джексона
Теорема Джексона гласит, что для открытой эргодиче-ской СеМО стационарное распределение вероятностей состояний может быть получено в мультипликативной форме [6]:
п(кь ^ %) = п1(к1)'п2(к2)'....■пN(kN) (7)
где п (к*) - маргинальная вероятность того, что количество заявок в ьм узле равно к*, I = 1, N :
. (8)
Для различных СМО может быть определена по известным из теории массового обслуживания формулам [2]. Например, для СМО типа М/М/1:
п(к*) = Рк (1 -Р) и п(0) = 1 -р.
(9)
3.2. Сети Гордона-Ньюэлла
Гордон и Ньюэлл расширили результаты, полученные Джексоном, на замкнутые марковские сети [5].
Рассмотрим замкнутую СеМО, с конечным пространством состояний:
_ N (10)
S(K, Ы) = [к = (к1, к2,..., ^ )| k¡ > 0, i = 1, Ы, 2 ki = К]
¿=1
количество состояний которой описывается числом соче-
(N + К таний I -1 I.
Для данной СеМО стационарное распределение вероятностей состояний может быть получено в виде:
п(кь %) ="
1
N
-п-
_ -, (Ц)
О(К, N) ¡=1 в (к*) где о (К, N) - нормализующая константа:
О(К, N) = 2 п
N х,к
(12)
х* является
N
keS(К,N) * =1 в (к )
решением
системы
уравнений
2 ^}Ъ]вр , и представляет собой X* = —, * = 1, N
Р
а функция:
\к,!,
кI ^ т
в (к*) =Г . ' ' , * = 1, N
"ч ! "Ч , к- "Ч зависит от количества заявок в узлах сети, причём
(к*) = 1, V к*, если т* = 1. Рассмотрим пример на рисунке 3.
Рисунок 3. Пример замкнутой СеМО
Исходные данные:
N = 3, К = 2, т = т2 = т3 = 1, р = 2.5 с-1, рр = 2.0 с-, р = 2.5 с- . Маршрутная матрица:
© =
0 0.5 0.5
1 0 0 1 0 0 Все возможные состояния:
S (2,3) = (2,0, 0), (1,1,0), (1,0,1), (0, 2,0), (0,1,1), (0,0,2).
Определяем коэффициенты переходов е* и X* из выражений (5) и (6):
N
е = 2 е Рп, ¡=1
* = 1, N
(13)
Поскольку из N выражений (13), только N-1 являются независимыми, и существует бесконечное множество решений, обычно принимают е1 = 1 . Тогда решение (13) даёт нам:
е1 = 1; е2 = 0.5; е3 = 0.5;
х1 = = 0.4; х2 = = 0.25; Р Р2
е
х3 = = 0.2. Р3
Нормализующая константа с учётом того, что :
О(К, N) = X!2х20х30 + х11х21х30 + х/х2°х3: + +х10 х22 х30 + х10 х2У + х:0 х20 х32 = 0.4925
Вероятности состояний из (11): п{2,0,0) = 0.325, п (1,1,0) = 0.203, п { 1,0,1) = 0.162,
п {0,2,0 ) = 0.127, п {0,1,1) = 0.102, п {0,0,2) = 0.081.
Определив вероятности состояний СеМО, мы можем вычислить маргинальные вероятности, используя выражение (8):
щ (0) = п (0,0,2) + п (0,1,1) + п (0,2,0) = 0.31;
щ (1) = п (1,0,1) + п (1,1,0) = 0.37; щ (2) = п (2,0,0) = 0.32;
п2 (0) = п (0,0,2) + п (1,0,1) + п (2,0,0) = 0.57;
п2 (1) = п (0,1,1) + п (1,1,0) = 0.30; п2 (2) = п (0,2,0) = 0.13;
п3 (0) = п (2,0,0) + п (1,1,0) + п (0,2,0) = 0.65;
п3(1) = п (1,0,1) + п (0,1,1) = 0.26; п3(2) = п (0,0,2) = 0.08.
Далее можно вычислить коэффициенты загрузки узлов и другие сетевые характеристики из [2-5].
3.3. Алгоритм свёртки для анализа однородной замкнутой СеМО
Для сетей большой размерности со сложной топологией и большим количеством заявок расчёт нормализующей константы (12) и стационарного распределения вероятностей состояний СеМО (11) требует значительных вычислительных ресурсов и временных затрат. Поэтому на практике используют специальные методы расчёта, одним из которых является рекуррентный метод Бузена, основанный на алгоритме свёртки [1, 6]. Введём обозначение: „к,
Х (кг ) = в
в (к,)
(14)
пг(=
Хг {*) С {К, N)
• С® {К - *),
I = 1, N, * = 0, К
(17)
где {*) - вспомогательная переменная, представляющая собой нормализующую константу для сети из N узлов, исключая узел 1:
(*) = GN (* )-ХХ (Д о(р (* - у), г = 1, N (18) ] =1
с начальными условиями При этом:
GN-1 {*) = С^-! {*) = ) {*), * = 0, К (19)
: {0) = 1, г = 1, N.
Вычисление нормализующей константы С(К, N) (12) может быть сведено к ряду итераций вычисления значений функции:
" / ч - --(15)
С„(*) = X пX, (к,), п = 1, N, * = 0, К У '
п г=1
X к,=*' 1
Нормализующая константа: С { К, N ) = GN (К) .
Значение С {К, N) = GN (К) может быть получено рекурсивно с помощью выражения:
Сп (*) = X Хп {]) Сп-1 {* - ]), п = 2, N, * = 1, К (I6) ]=0
с начальными условиями: Сп(0) = 1, п = 1,.., N и
С1( *) = Хх(*), * = 1,.., К.
Из (8) и (12) можно рекуррентно получить маргинальные вероятности:
Для т' = 1, г = 1, N вероятности выражаются из (17):
п (*) = Цкм) 'С (К - *)-X • {К - *-1)), г = 1, N (20) где GN (* ) = 0, * < 0.
Можно определить интенсивности потоков заявок в 1-х узлах:
А«=г=^<21>
Далее определяются коэффициенты загрузки узлов и другие характеристики из [2-5]. Рассмотрим пример из раздела 3.2. Начнём с расчёта коэффициентов переходов ег и х, , из (13):
е1 = 1; е2 = 0.5; е3 = 0.5; х1 = = 0.4;
Н1
х2 = -е2 = 0.25; Х3 = -е3 = 0.2.
Н2 Н3
По формуле (14) вычисляем значения функции:
Х1 (0 ) = 1; Х2 (0 ) = 1; Х3 (0 ) = 1; X (1) = 0.4; Х2 (1) = 0.25; Х3 (1) = 0.2; Х1 (2) = 0.16; Х2 (2) = 0.0625; Х3 (2) = 0.04. Определяем значения по формуле (16):
С (0 ) = 1; С2 (0 ) = 1; С3 (0 ) = 1; С1 (1) = 0.4; С2 (1) = 0.65; С3 (1) = 0.85; С1 (2) = 0.16; С2 (2) = 0.3225; С3 (2) = 0.4925.
Нормализующая константа: С (2,3) = С3(2) = 0.4925. По формуле (20) вычисляем маргинальные вероятности состояний узла 3: Х 0
п3 (0) = • (С3 (2) - Х3 • С3 (1)) = 0.65;
С3( 2 ) Х1
п3 (1) = ТГ-^ • (С3 (1) - Х3 • С3 (0)) = 0.26; С3( 2 ) Х 2
п3(2) = 7Х1Й\\С3 (0)-Х3 • 0) = 0.08.
С3( 2 )
г=1
Для нахождения маргинальных вероятностей состояний узлов 1 и 2 необходимо определить О^ (5), 5 = 0, 2 по формуле (18).
(0) = 1; Gf (1) = G3 (1)-X1(1).G^1) (0) = 0.45; GP (2) = G3 (2) - (X (1)-G31) (1) + X (2) -G« (0)) = 0.15.
Аналогично определяем Gff ( s), s = 0, 2 :
G3 (1) к = = 1.726;
1 1G3(2)
G3 (1)
к = e2-^~ = 0.863;
2 2G3(2)
G3 (1 ) k3 = e3 —= 0.863
3 3 G3 (2)
Gj2' (0) = 1; G32 (1) = 0.6; (2) = 0.28.
Вычислим маргинальные вероятности для i = 1, используя (17):
»1(0)= п(1) =
П(2) =
- G3(1) (2) = 0.31; G(2,3) 3 w
4(1) (1)
G (2,3)
- G31) (1) = 0.37;
= - G31) (0) = 0.32.
G(2,3) 3 v ;
Аналогично, для i = 2 :
П2 (0) = 0.57; п2 (1) = 0.3; п2(2) = 0.13.
Определим интенсивности потоков, входящих в узлы с помощью (21):
Далее можно применить формулы расчёта параметров СМО типа M/M/1 для получения характеристик моделируемой системы [2].
4. Заключение
Для оценки показателей качества в сетях мобильной связи применяются методы математического моделирования, наиболее эффективным из которых является анализ сетей массового обслуживания. Цель моделирования, сложность и размерность инфокоммуникационной системы оказывают влияние на выбор как типа, топологии и параметров моделирующей СеМО, так конкретного алгоритма, реализующего расчёт её характеристик. Кроме того, для построения аналитической модели необходимо учитывать вычислительный ресурс, имеющийся в наличии у разработчика.
Список литературы:
1. Вишневский В.М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. М.: Техносфера, 2003. 512 с.
2. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М: Машиностроение, 1979. 432 с.
3. Кокорева Е.В. Анализ сетей массового обслуживания: учебно-методическое пособие. Новосибирск: СибГУТИ, 2015. 39 с.
4. Ярославцев А.Ф. Компьютерные технологии в науке и производстве: учебное пособие. Т. 2. Новосибирск: ГОУ ВПО «СибГУТИ», 2009. 500 с.
5. Boich G., Greiner S., de Meer H., Trivedi K. S. Queueing Networks and Markov Chains: Modeling and Performance Evaluation with Computer Science Applications. 2nd Edition. John Wiley & Sons, 2006. 896 p.
6. Jackson J. R. Networks of waiting lines // Oper. Res. 1957. V. 5, № 4. P. 518-521.
