CC BY
167
ИНФОРМАЦИОННО-ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
УДК 517.711.3
ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМА ФИКСИРОВАННОЙ МАРШРУТИЗАЦИИ ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ СРЕДНЕГО ВРЕМЕНИ ЗАДЕРЖИ В СЕТИ
В.М. БУТОРИН А.В. ПОЛЯНСКИЙ Е.В. ПАВЛОВА
Юго-Западный государственный университет, г. Курск
e-mail:
В статье рассматривается математическая модель передачи данных в сетях с ограниченной пропускной способностью каналов и предлагается алгоритм фиксированной маршрутизации для минимизации среднего времени задержки передачи данных.
Ключевые слова: среднее время задержки в сети, пропускная способность канала, фиксированная маршрутизация, алгоритм Флойда.
При дистанционном обучении студентов существует проблема передачи данных в сетях с ограниченной пропускной способностью. В Курской области между населенными пунктами существуют линии связи обладающие различными пропускными способностями: DSL, ADSL, GPRS, Ethernet.
Необходимо определить потоки в сети, минимизирующие среднее время задержки и в случае невозможности доставки материала в срок предложить альтернативные каналы доставки.
Согласно [l], под фиксированной (неразветвленной, однопутевой) маршрутизацией понимают такую процедуру выбора маршрутов, при которой для передачи данных от узла-источника к узлу-адресату используется единственный маршрут.
Рассмотрим следующую модель сети передачи данных, состоящую из N узлов коммутации и М линий связи. Предполагается, что:
1) все линии связи абсолютно надежны;
2) все линии связи помехоустойчивы;
3) время обработки в узлах коммутации отсутствует;
4) длины всех сообщений независимы со средним значением 1/ ¡1 байт;
5) трафик, поступающий в сеть, состоит из сообщений, имеющих одинаковый приоритет, для сообщений, возникающих в узле i и предназначенных узлу j, составляет
У у сообщений/с;
6) каждая линия связи состоит из единственного дуплексного канала связи с пропускной способностью, равной dlk байт/с для линии связи между узлами к к и /, и если
линия связи между узлами отсутствует, то dlk = 0.
|НП
7) каждая линия связи обеспечивает доступ к центральному узлу связи, достаточный для передачи небольшого количества информации (итоговый протокол тестирования студентов).
Полный внешний трафик в сети:
N N
?=Е2л. и
і=1 ]=\
Важной характеристикой качества функционирования сети передачи данных является средняя задержка сообщения в сети:
1 N N
т = т;ЕЕ^. м
/ і=і ./=1
где И у - среднее время, затрачиваемое на передачу сообщения, которое возникло в узле / и предназначается узлу / .
Применение формулы Литтла к сети очередей приводит к формуле Клейнрока для расчета средней задержки сообщения в сети [2]:
і N N
Т = — ^ ^ 1к1 , (з)
У к=11=1
я
где кї - величина потока в линии (к, /), обусловленная потоком у^, ік1 - среднее время пребывания сообщений в линии {к, і).
Среднее время пребывания сообщений в линии (к, /) состоит из времени передачи
сообщения и времени ожидания в очереди 1¥к1 и определяется по формуле [3]:
‘«=-^Г + и'ч- (4)
Ми
К=-Ь----(5)
Время ожидания в очереди:
_1________X
и б4/ и б4/_
Подставляя (4) и (5) в (3) и сделав обозначение /н = Лк1 / //, получим выражение
для средней задержки сообщений в сети:
1 N N г
т=-ЕЕ7^г- (6)
У ¡=\ ]=\ иИ У к!
Необходимо найти потоки сети /ы , которые обеспечат наименьшее значение величины задержки сообщений в сети величине.
Математическая модель задачи [4]:
л N N г
(л
т (=1 /=1 <4/ Л/
При выполнении условий:
1) величина потока меньше пропускной способности
Л/ < к, I = 1, N; (8)
2) условие сохранения потока в сети
3) фиксированной маршрутизации ]) є {О, і}, ОЖ/ = 1, N. (ю)
Для решения поставленной задачи необходимо знать:
1) топологическую структуру сети передачи данных;
2) пропускные способности линий связи ||й?и|| ;
3) среднюю длину сообщения И /и ;
4) матрицу входных потоков
Описание алгоритма фиксированной маршрутизации.
Шаг 1. Инициализация.
Положить /ы = 0 к, I = 1, N.
Шаг 2. Поиск допустимого решения.
Для каждой пары вершин сервер ЦО Уг и адресат V,:
2 а) используя алгоритм Дейкстры [5], найти «наименее загруженный» маршрут ж“, если таких маршрутов несколько, выбрать среди них маршрут с наименьшим числом
р0
'V
промежуточных узлов;
2 б) для каждой дуги маршрута ж° распределить потоки
{ — { +^-.
Jkl ~ А/ + 5
И
2 в) если существует ЛИНИЯ (к, I), ДЛЯ которой /ы ^ с1к1 } т° допустимого решения для выбранной пары вершин не существует, переходим к шагу 5, иначе - к шагу 2г);
2 г) для каждой пары узлов Уг и V. вычислить задержки
N N
II- /и
гу _ г=1 }=\ ^к1 /к1
г/ — •
Уи
Шаг 3. Поиск «оптимального» решения.
Для Vпары «источник - адресат V. выполнить следующие действия:
3 а) найти маршрут такой, что отклонение всего потока у^ на этот маршрут
приведет к максимальному уменьшению величины 2^. Для этого:
36) добавить поток уц во все линии связи (к, /), не принадлежащие ж°р1:
fkl := fkl + ~ > к,1 = 1, : (1^1 > 0;
¡1 К1
3 в) пересчитать «веса» линий связи {к, I):
1 1
*%/ :=<!
---------, при /к1>(Ік1
^акІ-ЛІ
з, иначе
3 г) учитывая «веса» <%, с помощью алгоритма Дейкстры, определяем кратчайшие пути между парой узлов I] и V. -ж°р‘;
3 д) положить /н = 0 ;
3 е) для каждой дуги маршрута ж°р* распределить потоки
Шаг 4. Вычисляем время задержки в сети:
1 N N Г т _ 1 V" V" Л-/
/ /=1 ./=1 ам Л/
Работа алгоритма закончена.
Шаг 5. Корректировка задачи.
5а) если в «наименее загруженном» маршруте 7г'|, существует линия (к, /)для которой /н > с!к1, то удаляем ее из условия задачи и переходим к шагу 1;
56) если не удается определить путь от сервера ЦО К и адресат V,, то предлагается вариант доставки информации в ближайший населенный пункт; для этого вершина и
связанные с ней дуги удаляются из графа и задача решается заново.
Однако, даже при применении эффективных алгоритмов маршрутизации (фиксированной или альтернативной) все еще существует проблема передачи данных от центра дистанционного обучения к адресатам, связанная с низкой пропускной способностью некоторых линий связи.
Пример расчета сети
Для сети, представленной на рисунке, необходимо учебный материал объемом
700 д/[5 доставить из ЦО (^ ) к адресатам (^4. ^6 )_
Известны:
пропускные способности линий связи в Кбайт/с
^ оо 1500 900 3 15 2"
1500 СЮ 0 10 800 0
и 900 0 СЮ 0 0 20
II- 3 10 0 сю 900 0
15 800 0 900 СЮ 0
ч 2 0 20 0 0 СЮ У
X потоков
' 0 0.1 0.08 0.005 0.002 о,оог
0.1 0 оо 0,001 0.006 0
0.008 0 ОО ОО ОО 0.002
0.005 0 0.001 0 0.005 0
0.002 0.006 0 0,005 0 оо
0.001 о« 0,006 ОО ОО 0 .
11Я-/111
Необходимо определить потоки в сети, минимизирующие среднее время задержки, и в случае невозможности доставки материала в срок предложить альтернативные каналы доставки.
Шап./и-0 К.
Шаг 2.
а) Используя алгоритм Дейкстры (до тех пор пока адресаты не станут текущими вершинами) определим наименее загруженные маршруты:
О—О О—€)
О-2-©-
b) для каждой дуги маршрута ■> распределить потоки
/14 = 0,005 • 7000 = 35; fl5 = 0,002• 7000 = 14; /16 = 0,001-7000 = 7;
c) для линий (1,4) и (i,6) fkl > dkl, то переходим к шагу 4. Шаг 5. Удаляем из сети линии связи (1,4) и (1,6)
Тогда, пропускные способности линий связи в Кбайт/с
ы -
оо 1500 900 0 15 0"
1500 ОО 0 10 800 0
900 0 ОО 0 0 2
0 10 0 оо 900 0
15 800 0 900 ОО 0
0 0 2 0 0 ooj
матрица входных потоков
( 0 0,1 0,08 оо 0,002 оо ^
0,1 0 оо 0,001 0,006 о
0,008 0 о« о« оо 0,002
оо о 0,001 0 0,005 0
0,002 0,006 0 0,005 0 оо
ОО ОО 0,002 оо оо 0
Шаг 2.
а) По алгоритму Дейкстры.
Наименее загруженные маршруты:
О—(ЕГЧЭ О^мЭ-^-0
О-^О
b) потоки по линиям связи:
/15 = 0,002 ■ 7000 = 14; /15 = 0,002 ■ 7000 = 14;
/13 = 0,08 ■ 7000 = 560; /Зб = 0,006 ■ 7000 = 42; общий поток по дуге (1,5) равен 28;
c) для линий (1,5) и (3,6) /н > с!к1, то переходим к шагу 4.
Шаг 5.
Удаляем из сети линии связи (1,5) и (3,6):
Узел ¥6 становится изолированным, следовательно, сообщение в этот пункт отправить нельзя (пользователю выдается соответствующее сообщение, что информация может быть доставлена из V, или 1Л).
Пропускные способности линий связи в Кбайт/с
\^к\ ~
оо 1500 900 0 0
1000 ОО 0 10 800
900 0 ОО 0 0
0 10 0 ОО 900
ОО 800 0 900 ОО
0 0 0 0 0
матрица входных потоков
I Ы1 =
' 0 од 0,08 ОО ОО оо>
од 0 ОО 0,001 0,006 0
0,008 0 ОО ОО ОО ОО
ОО 0 0,001 0 0,005 0
0,002 0,006 0 0,005 0 ОО
ОО V ОО ОО ОО ОО 0,
По алгоритму Дейкстры, наименее загруженные маршруты Уи =0,101 и у15 = 0,106. Маршрут 1-2-4-5 имеет такую загруженность, что и маршрут 1-2-5, но наименьшее число узлов;
Ь) потоки по линиям связи:
О—€^-0
у
/12 = 0,1 • 7000 = 700; /12 = 0,1 • 7000 = 700; /24 = 0,001 • 7000 = 7; /25 = 0,006 • 7000 = 42;
общий поток по дуге (1,2) равен 1400. Матрица допустимых потоков:
^ =
0 1400 0 0 0 0
0 0 0 7 42 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
2) Для каждой пары узлов Уі и V- вычислим задержки:
'14
'15
1400 7
1500-1400 10-7 ' 1400 42
1500-1400 500-42
|/0,101*162 и; 1/0,106 «132Я.
Шаг 3. Поиск «оптимального» решения:
іа) добавить поток уі}. =0,101-7000 = 707 во все линии связи (1,4), не принадле-
жащие п.
орі
Матрица допустимых потоков:
Єї
е4
( 0 1400 707 707 707 707^
F =
707 0 0 7 707 0
707 0 0 0 0 707
707 707 0 0 707 0
707 707 0 707 0 0
707 0 707 0 0 0
2 а) пересчитаем «веса» линий связи (к,Г):
й)и — 0)2і —
^45 ^54
®25 — ®52 —
1 1
7000 1500-1400
1 1
7000 900-707
1 1
7000 900-707
1 1
7000 800-707
= 1.429 -10
= 0,740 • 1СГ
= 0,740 • 10:
= 1.536 -10
(01А (О и (0] - (О-! (0[6 0)(Л 6)у. 0)„ (02А (0А2 ■
т.к. /и > еіа
(
о
1,429 10“6 0,740 10“6
1,429 10 0,740 10
-6
-6
1,536 10
-6
о
0,740 10
1,536 10“6 оо
0,740 10“6 оо
-6
6
0
о
о
о
3 а) учитывая «веса» (Ок1, с помощью алгоритма Дейкстры определяем кратчайшие пути между парой узлов ^ и V-.
Замечание. Как было показано на шаге 2, до адресата У6 нет допустимого пути, поэтому для упрощения расчетов из матриц можно было бы удалить 6-ю строку и 6-й столбец. Кратчайший путь:
O^QJL.0^0;
4 a) fkl = 0;
5 а) для каждой дуги маршрута (1-4) потоки:
fn = ОД • 7000 = 700; /25 = 0,006 • 7000 = 42;
/54 =0,005-7000 = 35.
Аналогично, шаг 3 выполняем для пути (1-5) (допустимый путь также останется оптимальным). Потоки по дугам:
/12 = ОД • 7000 = 700; /'5 = 0,006 • 7000 = 42.
Матрица оптимальных потоков:
0 1400 0 0 84 0
F =
0
0
о
о
о
0 0 42 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
Шаг 4. Вычисляем среднее время задержки в сети:
7 = -
1
0,100 + 0,006 + 0,005
Работа алгоритма закончена.
1400
- + -
84
- + -
35
V1500 —1400 800-84 900-35,
= 128«.
Список литературы
1. Бертсекас Д., Галлагер Р. Сети передачи данных / пер. с англ. - М.: Мир. - 1989. - 544 с.
2. Вишневицкий В.М, Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. - М.: Техносфера, 2003. - 512 с.
3. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями / пер. с англ. - М.: Мир, 1979. - боо с.
4. Dijkstra Е. W. A note on two problems in connexion with graphs // Numer. Math. - 1959. -N 1. - P. 269-271.
5. Jackson J.R. Networks of Waiting Lines. Operations Research, 1959, №. P. 518-521.
APPLICATION OF THE ALGORITHM FIXED ROUTING TO MINIMIZE THE AVERAGE TIME OF A DELAY IN THE NETWORK
In the article we consider a mathematical model of transfer of Dan-owned networks with limited bandwidth channels and proposed algorithm fixed routing to minimize the mean time delay data transmission.
Keywords: average latency in the network, the way of the channel, South-West State University, fixed routing, algorithm Floyd.
Kursk
e-mail:
V.M.BUTORIN A.V. POLYANSKY E.V. PAVLOVA
