Применение алгоритма фиксированной маршрутизации для минимизации среднего времени задержки в сети Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ИНФОРМАЦИОННО-ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 517.711.3

ПРИМЕНЕНИЕ АЛГОРИТМА ФИКСИРОВАННОЙ МАРШРУТИЗАЦИИ ДЛЯ МИНИМИЗАЦИИ СРЕДНЕГО ВРЕМЕНИ ЗАДЕРЖИ В СЕТИ

В.М. БУТОРИН А.В. ПОЛЯНСКИЙ Е.В. ПАВЛОВА

Юго-Западный государственный университет, г. Курск

e-mail:

bvmwind@mail.ru

polyanslcyy2@gmail.com

arheya@mail.ru

В статье рассматривается математическая модель передачи данных в сетях с ограниченной пропускной способностью каналов и предлагается алгоритм фиксированной маршрутизации для минимизации среднего времени задержки передачи данных.

Ключевые слова: среднее время задержки в сети, пропускная способность канала, фиксированная маршрутизация, алгоритм Флойда.

При дистанционном обучении студентов существует проблема передачи данных в сетях с ограниченной пропускной способностью. В Курской области между населенными пунктами существуют линии связи обладающие различными пропускными способностями: DSL, ADSL, GPRS, Ethernet.

Необходимо определить потоки в сети, минимизирующие среднее время задержки и в случае невозможности доставки материала в срок предложить альтернативные каналы доставки.

Согласно [l], под фиксированной (неразветвленной, однопутевой) маршрутизацией понимают такую процедуру выбора маршрутов, при которой для передачи данных от узла-источника к узлу-адресату используется единственный маршрут.

Рассмотрим следующую модель сети передачи данных, состоящую из N узлов коммутации и М линий связи. Предполагается, что:

1) все линии связи абсолютно надежны;

2) все линии связи помехоустойчивы;

3) время обработки в узлах коммутации отсутствует;

4) длины всех сообщений независимы со средним значением 1/ ¡1 байт;

5) трафик, поступающий в сеть, состоит из сообщений, имеющих одинаковый приоритет, для сообщений, возникающих в узле i и предназначенных узлу j, составляет

У у сообщений/с;

6) каждая линия связи состоит из единственного дуплексного канала связи с пропускной способностью, равной dlk байт/с для линии связи между узлами к к и /, и если

линия связи между узлами отсутствует, то dlk = 0.

|НП

7) каждая линия связи обеспечивает доступ к центральному узлу связи, достаточный для передачи небольшого количества информации (итоговый протокол тестирования студентов).

Полный внешний трафик в сети:

N N

?=Е2л. и

і=1 ]=\

Важной характеристикой качества функционирования сети передачи данных является средняя задержка сообщения в сети:

1 N N

т = т;ЕЕ^. м

/ і=і ./=1

где И у - среднее время, затрачиваемое на передачу сообщения, которое возникло в узле / и предназначается узлу / .

Применение формулы Литтла к сети очередей приводит к формуле Клейнрока для расчета средней задержки сообщения в сети [2]:

і N N

Т = — ^ ^ 1к1 , (з)

У к=11=1

я

где кї - величина потока в линии (к, /), обусловленная потоком у^, ік1 - среднее время пребывания сообщений в линии {к, і).

Среднее время пребывания сообщений в линии (к, /) состоит из времени передачи

сообщения и времени ожидания в очереди 1¥к1 и определяется по формуле [3]:

‘«=-^Г + и'ч- (4)

Ми

К=-Ь----(5)

Время ожидания в очереди:

_1________X

и б4/ и б4/_

Подставляя (4) и (5) в (3) и сделав обозначение /н = Лк1 / //, получим выражение

для средней задержки сообщений в сети:

1 N N г

т=-ЕЕ7^г- (6)

У ¡=\ ]=\ иИ У к!

Необходимо найти потоки сети /ы , которые обеспечат наименьшее значение величины задержки сообщений в сети величине.

Математическая модель задачи [4]:

л N N г

(л

т (=1 /=1 <4/ Л/

При выполнении условий:

1) величина потока меньше пропускной способности

Л/ < к, I = 1, N; (8)

2) условие сохранения потока в сети

3) фиксированной маршрутизации ]) є {О, і}, ОЖ/ = 1, N. (ю)

Для решения поставленной задачи необходимо знать:

1) топологическую структуру сети передачи данных;

2) пропускные способности линий связи ||й?и|| ;

3) среднюю длину сообщения И /и ;

4) матрицу входных потоков

Описание алгоритма фиксированной маршрутизации.

Шаг 1. Инициализация.

Положить /ы = 0 к, I = 1, N.

Шаг 2. Поиск допустимого решения.

Для каждой пары вершин сервер ЦО Уг и адресат V,:

2 а) используя алгоритм Дейкстры [5], найти «наименее загруженный» маршрут ж“, если таких маршрутов несколько, выбрать среди них маршрут с наименьшим числом

р0

'V

промежуточных узлов;

2 б) для каждой дуги маршрута ж° распределить потоки

{ — { +^-.

Jkl ~ А/ + 5

И

2 в) если существует ЛИНИЯ (к, I), ДЛЯ которой /ы ^ с1к1 } т° допустимого решения для выбранной пары вершин не существует, переходим к шагу 5, иначе - к шагу 2г);

2 г) для каждой пары узлов Уг и V. вычислить задержки

N N

II- /и

гу _ г=1 }=\ ^к1 /к1

г/ — •

Уи

Шаг 3. Поиск «оптимального» решения.

Для Vпары «источник - адресат V. выполнить следующие действия:

3 а) найти маршрут такой, что отклонение всего потока у^ на этот маршрут

приведет к максимальному уменьшению величины 2^. Для этого:

36) добавить поток уц во все линии связи (к, /), не принадлежащие ж°р1:

fkl := fkl + ~ > к,1 = 1, : (1^1 > 0;

¡1 К1

3 в) пересчитать «веса» линий связи {к, I):

1 1

*%/ :=<!

---------, при /к1>(Ік1

^акІ-ЛІ

з, иначе

3 г) учитывая «веса» <%, с помощью алгоритма Дейкстры, определяем кратчайшие пути между парой узлов I] и V. -ж°р‘;

3 д) положить /н = 0 ;

3 е) для каждой дуги маршрута ж°р* распределить потоки

Шаг 4. Вычисляем время задержки в сети:

1 N N Г т _ 1 V" V" Л-/

/ /=1 ./=1 ам Л/

Работа алгоритма закончена.

Шаг 5. Корректировка задачи.

5а) если в «наименее загруженном» маршруте 7г'|, существует линия (к, /)для которой /н > с!к1, то удаляем ее из условия задачи и переходим к шагу 1;

56) если не удается определить путь от сервера ЦО К и адресат V,, то предлагается вариант доставки информации в ближайший населенный пункт; для этого вершина и

связанные с ней дуги удаляются из графа и задача решается заново.

Однако, даже при применении эффективных алгоритмов маршрутизации (фиксированной или альтернативной) все еще существует проблема передачи данных от центра дистанционного обучения к адресатам, связанная с низкой пропускной способностью некоторых линий связи.

Пример расчета сети

Для сети, представленной на рисунке, необходимо учебный материал объемом

700 д/[5 доставить из ЦО (^ ) к адресатам (^4. ^6 )_

Известны:

пропускные способности линий связи в Кбайт/с

^ оо 1500 900 3 15 2"

1500 СЮ 0 10 800 0

и 900 0 СЮ 0 0 20

II- 3 10 0 сю 900 0

15 800 0 900 СЮ 0

ч 2 0 20 0 0 СЮ У

X потоков

' 0 0.1 0.08 0.005 0.002 о,оог

0.1 0 оо 0,001 0.006 0

0.008 0 ОО ОО ОО 0.002

0.005 0 0.001 0 0.005 0

0.002 0.006 0 0,005 0 оо

0.001 о« 0,006 ОО ОО 0 .

11Я-/111

Необходимо определить потоки в сети, минимизирующие среднее время задержки, и в случае невозможности доставки материала в срок предложить альтернативные каналы доставки.

Шап./и-0 К.

Шаг 2.

а) Используя алгоритм Дейкстры (до тех пор пока адресаты не станут текущими вершинами) определим наименее загруженные маршруты:

О—О О—€)

О-2-©-

b) для каждой дуги маршрута ■> распределить потоки

/14 = 0,005 • 7000 = 35; fl5 = 0,002• 7000 = 14; /16 = 0,001-7000 = 7;

c) для линий (1,4) и (i,6) fkl > dkl, то переходим к шагу 4. Шаг 5. Удаляем из сети линии связи (1,4) и (1,6)

Тогда, пропускные способности линий связи в Кбайт/с

ы -

оо 1500 900 0 15 0"

1500 ОО 0 10 800 0

900 0 ОО 0 0 2

0 10 0 оо 900 0

15 800 0 900 ОО 0

0 0 2 0 0 ooj

матрица входных потоков

( 0 0,1 0,08 оо 0,002 оо ^

0,1 0 оо 0,001 0,006 о

0,008 0 о« о« оо 0,002

оо о 0,001 0 0,005 0

0,002 0,006 0 0,005 0 оо

ОО ОО 0,002 оо оо 0

Шаг 2.

а) По алгоритму Дейкстры.

Наименее загруженные маршруты:

О—(ЕГЧЭ О^мЭ-^-0

О-^О

b) потоки по линиям связи:

/15 = 0,002 ■ 7000 = 14; /15 = 0,002 ■ 7000 = 14;

/13 = 0,08 ■ 7000 = 560; /Зб = 0,006 ■ 7000 = 42; общий поток по дуге (1,5) равен 28;

c) для линий (1,5) и (3,6) /н > с!к1, то переходим к шагу 4.

Шаг 5.

Удаляем из сети линии связи (1,5) и (3,6):

Узел ¥6 становится изолированным, следовательно, сообщение в этот пункт отправить нельзя (пользователю выдается соответствующее сообщение, что информация может быть доставлена из V, или 1Л).

Пропускные способности линий связи в Кбайт/с

\^к\ ~

оо 1500 900 0 0

1000 ОО 0 10 800

900 0 ОО 0 0

0 10 0 ОО 900

ОО 800 0 900 ОО

0 0 0 0 0

матрица входных потоков

I Ы1 =

' 0 од 0,08 ОО ОО оо>

од 0 ОО 0,001 0,006 0

0,008 0 ОО ОО ОО ОО

ОО 0 0,001 0 0,005 0

0,002 0,006 0 0,005 0 ОО

ОО V ОО ОО ОО ОО 0,

По алгоритму Дейкстры, наименее загруженные маршруты Уи =0,101 и у15 = 0,106. Маршрут 1-2-4-5 имеет такую загруженность, что и маршрут 1-2-5, но наименьшее число узлов;

Ь) потоки по линиям связи:

О—€^-0

у

/12 = 0,1 • 7000 = 700; /12 = 0,1 • 7000 = 700; /24 = 0,001 • 7000 = 7; /25 = 0,006 • 7000 = 42;

общий поток по дуге (1,2) равен 1400. Матрица допустимых потоков:

^ =

0 1400 0 0 0 0

0 0 0 7 42 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

2) Для каждой пары узлов Уі и V- вычислим задержки:

'14

'15

1400 7

1500-1400 10-7 ' 1400 42

1500-1400 500-42

|/0,101*162 и; 1/0,106 «132Я.

Шаг 3. Поиск «оптимального» решения:

іа) добавить поток уі}. =0,101-7000 = 707 во все линии связи (1,4), не принадле-

жащие п.

орі

Матрица допустимых потоков:

Єї

е4

( 0 1400 707 707 707 707^

F =

707 0 0 7 707 0

707 0 0 0 0 707

707 707 0 0 707 0

707 707 0 707 0 0

707 0 707 0 0 0

2 а) пересчитаем «веса» линий связи (к,Г):

й)и — 0)2і —

^45 ^54

®25 — ®52 —

1 1

7000 1500-1400

1 1

7000 900-707

1 1

7000 900-707

1 1

7000 800-707

= 1.429 -10

= 0,740 • 1СГ

= 0,740 • 10:

= 1.536 -10

(01А (О и (0] - (О-! (0[6 0)(Л 6)у. 0)„ (02А (0А2 ■

т.к. /и > еіа

(

о

1,429 10“6 0,740 10“6

1,429 10 0,740 10

-6

-6

1,536 10

-6

о

0,740 10

1,536 10“6 оо

0,740 10“6 оо

-6

6

0

о

о

о

3 а) учитывая «веса» (Ок1, с помощью алгоритма Дейкстры определяем кратчайшие пути между парой узлов ^ и V-.

Замечание. Как было показано на шаге 2, до адресата У6 нет допустимого пути, поэтому для упрощения расчетов из матриц можно было бы удалить 6-ю строку и 6-й столбец. Кратчайший путь:

O^QJL.0^0;

4 a) fkl = 0;

5 а) для каждой дуги маршрута (1-4) потоки:

fn = ОД • 7000 = 700; /25 = 0,006 • 7000 = 42;

/54 =0,005-7000 = 35.

Аналогично, шаг 3 выполняем для пути (1-5) (допустимый путь также останется оптимальным). Потоки по дугам:

/12 = ОД • 7000 = 700; /'5 = 0,006 • 7000 = 42.

Матрица оптимальных потоков:

0 1400 0 0 84 0

F =

0

0

о

о

о

0 0 42 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

Шаг 4. Вычисляем среднее время задержки в сети:

7 = -

1

0,100 + 0,006 + 0,005

Работа алгоритма закончена.

1400

- + -

84

- + -

35

V1500 —1400 800-84 900-35,

= 128«.

Список литературы

1. Бертсекас Д., Галлагер Р. Сети передачи данных / пер. с англ. - М.: Мир. - 1989. - 544 с.

2. Вишневицкий В.М, Теоретические основы проектирования компьютерных сетей. - М.: Техносфера, 2003. - 512 с.

3. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями / пер. с англ. - М.: Мир, 1979. - боо с.

4. Dijkstra Е. W. A note on two problems in connexion with graphs // Numer. Math. - 1959. -N 1. - P. 269-271.

5. Jackson J.R. Networks of Waiting Lines. Operations Research, 1959, №. P. 518-521.

APPLICATION OF THE ALGORITHM FIXED ROUTING TO MINIMIZE THE AVERAGE TIME OF A DELAY IN THE NETWORK

In the article we consider a mathematical model of transfer of Dan-owned networks with limited bandwidth channels and proposed algorithm fixed routing to minimize the mean time delay data transmission.

Keywords: average latency in the network, the way of the channel, South-West State University, fixed routing, algorithm Floyd.

Kursk

e-mail:

bvmwind@mail.ru

polyanskyy2@gmail.com

arheya@mail.ru

V.M.BUTORIN A.V. POLYANSKY E.V. PAVLOVA