CC BY
6
Челябинский физико-математический журнал. 2023. Т. 8, вып. 1. С. 112-119.
УДК 534-16 БОТ: 10.47475/2500-0101-2023-18110
ПРИМЕНЕНИЕ АКУСТИЧЕСКОГО И
ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО МЕТОДОВ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ КОЛЕБАНИЙ ОСЦИЛЛЯТОРА С СОУДАРЕНИЯМИ
В. В. Нарожнов
Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, Нальчик, Россия narojnov.victor@gmail.com
Представлены результаты исследования колебаний нелинейного механического осциллятора с упругими соударениями акустическим и электрическим методами. Показано, что за один период действия вынуждающей силы возможны множественные соударения осциллятора с образцом. Общая картина нелинейных колебаний формируется в результате наложения колебаний осциллятора и возникающих при ударах упругих волн в образце.
Ключевые слова: осциллятор с соударениями, вынужденные колебания, нелинейная динамика, упругий удар.
Введение
Многие наблюдаемые в природе и технике процессы имеют колебательный характер. Для их описания используется осциллятор как формальная математическая модель колебательных систем. Существует множество явлений, которые не наблюдаются в линейных колебательных системах, но которые типичны для нелинейных систем с соударениями. Нелинейные колебания механических систем с соударениями относятся к наиболее актуальным и одновременно более сложным областям теории колебаний. Ударные взаимодействия приводят к возникновению нелиней-ностей, связанных с резким изменением скорости объектов во время удара. Такое динамическое поведение систем изучается с помощью математического моделирования и натурных экспериментов [1-12].
Достаточно интересные результаты представлены в работе [8], в которой проводилось теоретическое и экспериментальное исследование нелинейных колебаний пружинного маятника. Реализована экспериментальная установка, в которой предложено использовать электромагнитную индукцию как способ возбуждения, диссипации и регистрации нелинейных колебаний. Из экспериментов установлена зависимость частоты нелинейных колебаний маятника от амплитуды, т. е. их неизохронность. Кроме того, наблюдалось явление гистерезиса, при котором колебательная система находилась в бистабильном состоянии. Авторами также была предложена теоретическая модель. Полученные ими аналитическое решение и результаты численного моделирования хорошо согласуются с экспериментальными данными.
Для исследования нелинейной динамики осциллятора с соударениями в [10; 11] использовалась экспериментальная установка, в которой возбуждающая сила создавалась электромагнитным полем, воздействовавшим на ударник и образец. Для изучения динамики ударов применены измерительные балки с определённым рабочим диапазоном частот, в котором нелинейность удара отделена от других нелинейных эффектов конструкции. В частности, при высоких амплитудах возбуждаю-
щей силы наблюдаются комбинированные нелинейные эффекты. Экспериментально были выявлены различные нелинейные явления, включая периодические орбиты определённого типа, сосуществование аттракторов и хаотическая динамика. Для улучшения качества регистрируемых фазовых портретов предложена новая методика обработки экспериментальных данных, позволяющая уменьшить влияние шума и получить более точные орбиты, особенно для больших периодов колебаний. Результаты, полученные с использованием простой модели ударного осциллятора, хорошо согласуются с экспериментальными результатами, что важно для фундаментальных исследований ударных явлений, в том числе бифуркаций.
В [6; 9] проводились экспериментальные и теоретические исследования нелинейной динамики и акустических сигналов, возникающих при периодических ударах осциллятора о поверхность твёрдых тел. В качестве осциллятора использовалась металлическая балка с корундовым зондом на свободном конце, приводимая в колебательное движение переменным магнитным полем. Эксперименты показали, что в режиме малого сигнала амплитуда звукового сигнала возрастает прямо пропорционально амплитуде колебаний зонда. Теоретическая модель построена на основе уравнения движения с учётом упругой силы, рассчитываемой в рамках контактной теории Герца. Показано, что для осциллятора с соударениями могут иметь место бифуркации и аттракторы типа «устойчивый фокус» и «предельный цикл».
Исходя из графиков по смещению и ускорению осциллятора во времени, построенных в [10; 11], авторами сделан вывод о том, что колебания осциллятора не влияют на процессы, возникающие при соударении, и не вызывают каких-либо вторичных ударов, поскольку для каждого удара существует только один пик ускорения. Однако на основе экспериментальных данных и результатов математического моделирования в [6; 9] сделан несколько иной вывод о наличии явления многократного отскока осциллятора при соударении с поверхностью образца. Ранее такое предположение в научной литературе не делалось.
Целью данной работы является уточнение механизмов физических процессов, происходящих при нелинейных колебаниях осциллятора с соударениями. Для достижения поставленной задачи применялся измерительный стенд, в котором реализованы два метода измерения: 1) акустический метод, основанный на регистрации поверхностных акустических волн с вертикальной поляризацией (волны Рэлея), которые возникают при соударениях осциллятора с образцом; 2) электрический метод, основанный на измерении электрических сигналов, возникающих в замкнутой цепи «осциллятор — образец» в момент удара.
Эксперимент и результаты
Использовался измерительный стенд, разработанный в [13]. Принцип работы стенда заключается в следующем. Переменный сигнал синусоидальной формы с генератора подаётся на индукционную катушку. Магнитное поле, возникающее в катушке, приводит в колебательное движение упругий элемент (далее осциллятор), который выполнен в виде тонкой металлической балки с запаянным на свободном конце металлическим ударником сферической формы. В процессе колебаний осциллятор совершает удары по поверхности металлического образца. Амплитуда колебаний осциллятора и соответственно сила удара зависят от величины переменного напряжения на катушке. Вместе с этим осциллятор и образец включены в единую электрическую цепь по схеме делителя напряжения [14, с. 14]. В отсутствие удара цепь разомкнута и электрический сигнал отсутствует. В момент удара осциллятора цепь замыкается, и на выходе схемы появляется сигнал напряжения. Для регистра-
ции акустических сигналов, возникающих при соударениях, использовался пьезоэлектрический датчик. Для формирования и измерения сигналов (акустического и электрического) применялись двухканальный генератор Rigol DG1062Z и четырёх-канальный осциллограф Rigol MSO1074Z. Схема и внешний вид измерительного стенда представлены на рис. 1.
(б)
Рис. 1. Схема (а) и внешний вид (б) экспериментальной установки: 1 — генератор переменных
сигналов; 2 — осциллятор; 3 — металлический ударник; 4 — исследуемый образец; 5 — пьезодатчик; 6 — четырёхканальный осциллограф; 7 — источник постоянного напряжения;
8 — разделительный резистор
Ударник и пьезодатчик (рис. 1 (а)) располагаются с одной стороны образца, поэтому в момент удара регистрируются именно поверхностные акустические волны. Эти волны можно приближённо рассматривать как плоские, считая, что направление и амплитуда волны не меняются на протяжении расстояний порядка длины волны. Материал принимается линейным и непоглощающим, вследствие чего сила удара осциллятора должна однозначно определять амплитуду его колебаний.
Образец представлял собой толстую медную пластину. В качестве ударника использовался шар из высокоуглеродистой подшипниковой стали ШХ15. Модуль упругости данной стали составляет 211 ГПа, что почти в два раза превышает модуль упругости меди 110-130 ГПа. В связи с этим деформация ударника в экспериментах была практически исключена. Радиус шара — 2.5 мм; расстояние между ударником и пьезодатчиком составляло 5 мм; частота возбуждающего сигнала — 26 Гц; питающее напряжение в цепи — 0.6 В, сопротивление — И=200 Ом.
Результаты экспериментов представлены на рис. 2, 3. На рис. 2 максимумы и минимумы задающего сигнала 1 соответствуют смещению осциллятора в вертикальном направлении. В процессе колебаний осциллятор наносит удары по поверхности образца. Удар имеет место только в моменты минимумов сигнала 1, когда осциллятор находится в нижней фазе своего движения. Данная конструктивная особенность измерительного стенда подробно описана в [9]. Кроме того, из рис. 2 можно видеть, что в системе происходит некоторое запаздывание акустического сигнала относительно сигнала с генератора.
Установившийся акустический сигнал 2 формируется в результате соударений осциллятора и сопутствующих нелинейных явлений. Одно из таких явлений давно известно в электронике и называется дребезгом контактов [15]. Его причиной служит быстрое смыкание контактов, вследствие чего между ними возникают мик-
3
/
t
Рис. 2. Осциллограммы сигналов: 1 — сигнал с генератора (1 В/клетка); 2 — акустический сигнал (0.5 В/клетка); 3 — электрический сигнал (1 В/клетка). Временная развёртка 10 мс/клетка
\и
1 Л
1 \ Л, —
/
Рис. 3. Электрический сигнал. Развёртка по напряжению 0.5 В/клетка, по времени 50 мкс
роскопические вибрации и короткие замыкания. В нашем случае также имеется прерывистый контакт, который существует в течение короткого промежутка времени, равного времени удара. При ударах осциллятора измеряется электрический сигнал 3. Всплески амплитуды этого сигнала соответствуют ударам осциллятора по поверхности образца. Сравнивая сигналы 2 и 3, приходим к выводу, что затухающие сигналы 2 содержат в основном информацию об упругих затухающих волнах, возникающих в образце. По мере соударений часть энергии этих упругих волн может возвращаться обратно в осциллятор. Представляет большой интерес построить корректную теоретическую модель данного динамического процесса.
На рис. 3 показан сигнал 3 в детализирующей развёртке по времени 50 мкс/клетка. Длительность сигнала высокого уровня соответствует продолжительности контакта при ударе осциллятора. Можно видеть, что при замыкании и размыкании контакта (передний и задний фронты сигнала) возникают хаотические колебания, аналогичные явлению дребезга контактов. Присутствие таких колебаний предсказывается с помощью математического моделирования в рамках контактной теории Герца [6; 9; 16].
Таким образом, в настоящей работе выяснено, что результирующая картина колебаний складывается из (i) вынужденных колебаний осциллятора, (ii) множественных соударений осциллятора с образцом и (iii) затухающих упругих волн в образце.
Заключение
Проведено экспериментальное исследование осциллятора при наличии упругих соударений акустическим и электрическим методами. Совокупность этих методов позволила более детально изучить колебания осциллятора, в частности выделить их различные составляющие. Проведённые эксперименты однозначно подтверждают наличие многократных столкновений осциллятора с поверхностью образца, которые обнаруживаются с помощью математического моделирования [6; 9; 16].
Список литературы
1. PustL., PeterkaF., StepanG., Tomlinson G. R., TondlA. Nonlinear oscillations in machines and mechanisms theory // Mechanism and Machine Theory. 1999. Vol. 34, no. 8. P. 1237-1253.
2. Andrianov I. A., van Horssen D. T. Analytical approximations of the period of a generalized nonlinear van der Pol oscillator // Journal of Sound and Vibration. 2006. Vol. 295, no. 3. P. 1099-1104.
3. CveticaninL. Oscillator with nonlinear elastic and damping force // Computers and Mathematics with Applications. 2011. Vol. 62, no. 4. P. 1745-1757.
4. Afsharfard A., Farshidianfar A. Design of nonlinear impact dampers based on acoustic and damping behavior // International Journal of Mechanical Sciences. 2012. Vol. 65, no. 1. P. 125-133.
5. Акуленко Л. Д., Нестеров С. В. Параметрические колебания и устойчивость механической системы с существенной диссипацией // Приклад. математика и механика. 2013. Т. 77, № 2. С. 209-220.
6. Рехвиашвили С. Ш!., Нарожнов В. В. Нелинейная динамика и акустические сигналы при упругих соударениях зонда с поверхностью твёрдого тела // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2013. Т. 21, № 6. С. 49-57.
7. Chillingworth D. R. J. Single-impact orbits near grazing periodic orbits for an impact oscillator // Trends in Mathematics. 2017. Vol. 8. P. 37-42.
8. Зейликович И. С., Никитин А. В., Василевич А. Е. Возбуждение и регистрация нелинейного резонанса колебаний пружинного маятника с использованием электромагнитной индукции // Журн. техн. физики. 2020. Т. 90, № 1. С. 5-10.
9. Нарожнов В. В. Экспериментальное и теоретическое исследование осциллятора с соударениями // Журн. техн. физики. 2020. Т. 90, № 10. С. 1672-1676.
10. Costa D., VaziriV., Kapitaniak M., et al. Chaos in impact oscillators not in vain: Dynamics of new mass excited oscillator // Nonlinear Dynamics. 2020. Vol. 102. P. 835861.
11. Wiercigroch M., KovacsS., ZhongS., et al. Versatile mass excited impact oscillator // Nonlinear Dynamics. 2020. Vol. 99. P. 323-339.
12. Cardoso W. B., AvelarA.T., BazeiaD. Effects of chaotic perturbations on a nonlinear system undergoing two-soliton collisions // Nonlinear Dynamics. 2021. Vol. 106. P. 3469-3477
13. Рехвиашвили С. Ш., Нарожнов В. В. Стенд для исследования вязкоупругих свойств металлов и сплавов с помощью зондового акустического метода. Пат. РФ. № 2552600.
14. ХоровицП., ХиллУ. Искусство схемотехники. М. : Бином, 2014.
15. ТитцеУ., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника. Том I. М. : ДМК Пресс, 2008.
16. Нарожнов В. В. Имитационное моделирование нелинейного осциллятора с учётом упругих соударений // Нелинейный мир. 2014. Т. 12, № 11. С. 32-36.
Поступила в 'редакцию 13.10.2022. После переработки 06.02.2023.
Сведения об авторе
Нарожнов Виктор Валерьевич, кандидат технических наук, научный сотрудник лабо-раториии автоматизации измерений, Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, Нальчик, Россия; e-mail: narojnov.victor@gmail.com.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2023. Vol. 8, iss. 1. P. 112-119.
DOI: 10.47475/2500-0101-2023-18110
APPLICATION OF ACOUSTIC AND ELECTRICAL METHODS TO STUDY VIBRATIONS OF AN IMPACT OSCILLATOR
V.V. Narozhnov
Institute of Applied Mathematics and Automation IAMA KBSC RAS, Nalchik, Russia
narojnov.victor@gmail.com
The paper presents the results of studying the vibrations of a nonlinear mechanical oscillator with elastic impacts by acoustic and electrical methods. It is shown that multiple impacts of the oscillator with the sample are possible in one period of the driving force. The general picture of nonlinear oscillations is formed as a result of the superposition of oscillator vibrations and elastic waves arising in the sample during impacts.
Keywords: impact oscillator, forced oscillations, nonlinear dynamics, elastic impact.
References
1. PustL., PeterkaF., StepanG., Tomlinson G.R., TondlA. Nonlinear oscillations in machines and mechanisms theory. Mechanism and Machine Theory, 1999, vol. 34, no. 8, pp. 1237-1253.
2. Andrianov I.A., van Horssen D.T. Analytical approximations of the period of a generalized nonlinear van der Pol oscillator. Journal of Sound and Vibration, 2006, vol. 295, no. 3, pp. 1099-1104.
3. CveticaninL. Oscillator with nonlinear elastic and damping force. Computers and Mathematics with Applications, 2011, vol. 62, no. 4, pp. 1745-1757.
4. Afsharfard A., Farshidianfar A. Design of nonlinear impact dampers based on acoustic and damping behavior. International Journal of Mechanical Sciences, 2012, vol. 65, no. 1, pp. 125-133.
5. Akulenko L.D., NesterovS.V. Parametric oscillations and the stability of a mechanical system with considerable dissipation. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, 2013, vol. 77, no. 2, pp. 151-158.
6. Rekhviashvili S.Sh., Narozhnov V.V. Nelineynaya dinamika i akusticheskiye signaly pri uprugikh soudareniyakh zonda s poverkhnost'yu tvyordogo tela [Nonlinear dynamics and acoustic signals during elastic impacts of a probe with a solid surface]. Izvestiya vuzov. Prikladnaya nelineynaya dinamika [News of universities. Applied nonlinear dynamics], 2013, vol. 21, no. 6, pp. 49-57. (In Russ.).
7. Chillingworth D.R.J. Single-impact orbits near grazing periodic orbits for an impact oscillator. Trends in Mathematics, 2017, vol. 8, pp. 37-42.
8. Zeylikovich I.S., NikitinA.V., Vasilevich A.E. Excitation and detection of a nonlinear resonance of oscillations of a spring-mass system using electromagnetic induction. Technical Physics, 2020, vol. 65, no. 1, pp. 1-6.
9. Narozhnov V.V. Experimental and theoretical investigation of an oscillator with collisions. Technical Physics, 2020, vol. 65, no. 10, pp. 1600-1604.
10. Costa D., VaziriV., Kapitaniak M., et al. Chaos in impact oscillators not in vain: Dynamics of new mass excited oscillator. Nonlinear Dynamics, 2020, vol. 102, pp. 835861.
11. Wiercigroch M., Kovacs S., Zhong S., et al. Versatile mass excited impact oscillator.
Nonlinear Dynamics, 2020, vol. 99, pp. 323-339.
12. CardosoW.B., AvelarA.T., BazeiaD. Effects of chaotic perturbations on a nonlinear system undergoing two-soliton collisions. Nonlinear Dynamics, 2021, vol. 106, pp. 3469-3477.
13. Rekhviashvili S.Sh., Narozhnov V.V. Stend dlya issledovaniya vyazkouprugikh svoystv metallov i splavov s pomoshch'yu zondovogo akusticheskogo metoda [Stand for the study of metals and alloys viscoelastic properties using the acoustic probe method]. Pat. RF, no. 2552600. (In Russ.).
14. KhorovitsP., KhillU. Iskusstvo skhemotekhniki [The art of circuit engineering]. Moscow, Binom Publ., 2014. (In Russ.).
15. TittseU., ShenkK. Poluprovodnikovaya skhemotekhnika [Semiconductor circuit design]. Vol. I. Moscow, DMK Press Publ., 2008. (In Russ.).
16. Narozhnov V.V. Imitatsionnoye modelirovaniye nelineynogo ostsillyatora s uchyotom uprugikh soudareniy [Simulation modeling of a nonlinear oscillator taking into account elastic collisions]. Nelineynyy mir [Nonlinear world], 2014, vol. 12, no. 11, pp. 32-36. (In Russ.).
Article received 13.10.2022. Corrections received 06.02.2023.
