ПРИМЕНЕНИЕ 2D МОМЕНТОВ ЛЕЖАНДРА ДЛЯ ОБРАБОТКИ ДВУМЕРНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИГНАЛОВ. Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 681.3

Применение 2D моментов Лежандра для обработки двумерных дискретных

сигналов

Нго Хыу Фук

В статье рассмотрен способ вычисления моментных лежандровых характеристик двумерного дискретного сигнала, инвариантных относительно преобразования поворота. Предлагаемый автором алгоритм может быть использован во многих задачах анализа сигналов.

Моменты с полиномами Лежандра в качестве ядра были представлены Теагуе (Teague) [1]. Моменты Лежандра принадлежат классу ортогональных моментов[2,3,4], и они использовались, чтобы достигнуть близкого к нулю значения меры избыточности в наборе функций момента, так, чтобы моменты соответствовали независимым характеристикам объекта в пространстве.

Прежде аффинные моментные инварианты не получались непосредственно из исходного момента Лежандра исследуемого изображения. В этом разделе мы вводим новый способ вычисления инвариантов 2D моментов Лежандра относительно сдвига, поворота и масштабирования, основанных на полиномах Лежандра. Полученные инварианты основаны на центральных моментах Лежандра. Они развиты для асимметричных и симметрических объектов. Мы решили проблемы, связанные с исчезновением нечетного порядка моментов Лежандра симметрических объектов. Масштабные инварианты построены, алгебраическим устранением масштабного множителя, содержавшегося в вычисленных моментах Лежандра. Масштабные инварианты остаются неизменными для удлиненных, сжатых и отраженных объектов. Инварианты поворотов тоже получены с использованием центральных моментов Лежандра. Они обобщены для различных изображений. Другая проблема, связанная с изменением размера объекта при сдвиге также решена. Мы также вводим новое понятие полутонового изображения для 2D моментов Лежандра.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОСНОВА

Рассмотрим основы теории моментов Лежандра[5,6]. 2D моменты Лежандра порядка (ш + п ) определены как:

Лтп =

(2т + +' Л Р, (X) * Р„ (у)/(X,у^у

4 -'-'

где т, п = 0,',2, ... ю, Р и р - полиномы Лежандра и (х,у) - непрерывная функция объекта. Полиномы Лежандра образуют полный ортогональный базис, определенный на интервале [-',']. Функция объекта /(х, у) определена на том же самом интервале. Для выполнения условия ортогональности, полинома Лежандра п-го порядка определен как:

Рп (X) = Е апХ

У=0

(2)

и апу - коэффициенты Лежандра, определены:

(п + л)

ап, = (-')

1п-л ' 2

Г п-л

I 2

Ап + / V , где п-л = четно

(3)

Рекуррентное соотношение для полиномов Лежандра, Рп(х) задается следующим образом:

Рп (X) =

(2п - ')хРп-'(х) - (п - ')Рп-2(X)

п

(4)

где Ро (X) = ', Р'( X) = X и п>'.

Несколько первых полиномов Лежандра[5,6]:

Ро( X) = '

(5)

п

2

Р' (X) = X (6)

Р2(X) = ' (зx 2 - ') (7)

Р3(X) = ' (5X3 - 3x) (8)

Р4(X) = -8 (з5x4 - 30X2 + з) (9)

Р5(X) = А(63x5 -70X3 + '5x) ('0)

P6(x) = ^(23^6 -3'5x4 + '05x2 -5)

Поскольку область определения полиномов Лежандра принадлежит интервалу [-1,1], блок объекта N х N пикселов с функцией интенсивности f (', j), 0 ^] ^ (N —1) , должен быть отображен на область — 1 ^ х у ^ 1. В результате этого, теперь выражение (1) может быть выражено в дискретной форме как:

N —1N—1

Л™ = ЕЕ рт (■) * рп (У] )f (', j)

1=0 ]=0

(12)

(2т + 1)(2и +1) „ ,,

где ктп =-—- - нормализующий коэффициент; ■,уу обозначает нормализованные

координаты пиксела в интервале [-1,1], которые определены в соответствии с рис. 1:

2' +11 2 ] +1 1 ■ = "1 и У] =к ~1 (13)

Рис. 1: Положение х{ рассчитано в дискретном интеграле. Однако, рассмотренный метод зависит от размера изображения.

Сначала мы вычислим некоторые особенности изображения[4]. Предполагается, что мы имеем область R (рис. 3.3) содержащую N пикселов:

а. Центр масс.

■ N ^^^^Х , У N ^^^^ У .

(у) еЯ ^ (х,у ) еЯ

Центральные моменты порядка (т + п) преобразованы:

Итп = ЕЕ (х — х)т (У — У)п

(х,у) еЯ

(14)

(15)

б. Ориентация.

Ориентация определяется как угол оси минимального значения момента инерции. Это получено минимизацией относительно О суммы

I (в) = E E D 2(m, n) = ££[( y - y )cos0- (x - x) sin в]2

(x,y ) eR (x,y ) eR

В результате получим:

в = —atan

1 2

^2,0 M),2

, в2 = — atan2[u2,0 -]

2

-в— if в— <0 and в2 > 0

#

в=\2-в— if в—*в2 > 0 #-в— if в— >0 and в2 <0

(17)

в. Рабочий прямоугольник.

Рабочий прямоугольник - наименьший прямоугольник, содержащий объект, который также способствует выявлению его ориентации (Рис. 2). Мы используем преобразование:

« = x cose + y sine

% = -x sine + y cose (18)

Найдем «min, «max, ßmm , %„ax, если A—( x—, y—), A2( x2, y 2), A3( X3, Уз) , A4 (x4, y 4) являются координатами точек, соответственно.

Поскольку мы определили x,-,¿, yi,¿ как нормализованные координаты пиксела в диапазоне [-1,1], которые зависят от (i, ¿) - координат в рабочем прямоугольнике:

в 2d^0

x. . =

l, ¿ dx1 + dx2

-1

(19)

где

dx1 =

¿ tan| в + ## 1 - i + y3 - x3 tan! в + ##

¿ tan| в + ## 1 - i + y4 - x4 tan! в + #

dx0 =

Idx1 nPU |%max| ldx2 nPU %max <|%„

и

^ = 2dy0 - ,

У i, ¿ - -

dyx + dy2

где dy1 = |¿ tan (в)-i + y1 - x1 tan (в)|, dy2 =\¿ tan (в)-i + y2 - x2 tan(в)|,

\dy\ nPU |«maJ &|«min|

dy0 =

dy2 при «„I < I «min I

В этом случае, нормализованная константа определена как: (2 p + 1)(2q +1) «mini + |$max |X|%mm | + |%max I1

KT =

pq

(20)

Эти значения используются для всех инвариантов моментов Лежандра относительно сдвига, поворота и масштабирования.

Рис. 2: Область R (рабочий прямоугольник) используется для вычисления моментов.

ИНВАРИАНТЫ 2D МОМЕНТОВ ЛЕЖАНДРА ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ПОВОРОТА

а. Теоретическая основа.

После преобразования координат по формулам (19) и (20), мы можем использовать основную формулу:

Я

(2т + 1)(2п +1) 4

]] Рт (хе )* Рп (/ ) f (хе, у6)йх6йу6 ; хе, у6 е [-1,1] (22)

или Я! =™тп XX Рт (<7 )* Рп (У®,)/(/, ] )

(I, ] )еBR

(23)

Предполагается, что масштабы объекта по осям х и у - а и Ь, соответственно инварианты 2D моментов Лежандра относительно сдвига, масштабирования и поворота могут быть получены следующим образом:

(2т + 1)(2п +1) 1 1

I I Г 1Ы1 х — х„ ))Г ИЛ У — У„ II

(24)

^,5,6 _ тп

4

\\ Рт (а( х6— х6))Рп (Ъ( у6— у6))

-1—1

X/(х6,у6)dx6dy6;(a,Ъ) е (Я — {0}) Уравнение (24) формирует ядро инвариантов 2D моментов Лежандра. Инварианты обозначены как 'тп . Эти моменты получены следующим образом:

к=0 d=0

КГ,

тп ( ( Я ,5,6

° тк° пйЛМ

КГ

кй

= а

1ъп+1 XX к=0 й=0

КГ

КГ

тп Я Я Я,6

тк пй кй

кй

(25)

Нормализованные инварианты 2D моментов Лежандра относительно аффинных преобразований )тп, определены как :

✓ тп '00

'(т+*)0 '0(п+* )

т,п = 0,1,2...;and = 1,2...

(26)

б. Экспериментальные результаты

В наших применениях, мы часто используем 3-й порядок 2D моментов Лежандра инвариантных относительно аффинных преобразований с * = 2. Сначала определим три порядка 2D моментов Лежандра, инвариантных относительно сдвига , масштабирования и поворота

Первый порядок:

в _ '10 '00

'30 '02 Второй порядок:

„ в _ '20'сю

> 40

'02

Третий порядок:

в _ '01'00

'20 '03

, в _ '02'00

' 20

'04

в _ '11'00

'30 '03

в _ '30'00

. в _ '03'00

в — '21'00

„в _ '12'00

А-50А-02 Л20Л05 X 40 Х 03 Х30Х04

Экспериментальные результаты для моментов полутонового 128x128 изображения объектов показаны в Таблице 1.

со =

тп

Изображение Вращение )в0 )в0 СОв2 в )в0 ц%

и в =0 deg 1,938 10 3 1,946 10 3 1,825 10 3 1,850 10 3 2,009 10 3 1,709 10 3 1,751 10 3 1,894 10 3

в =30 deg 1,931 10 3 1,939 10 3 1,819 10 3 1,845 10 3 2,002 10 3 1,703 10 3 1,747 10 3 1,889 10 3 0,32%

в =100 deg 1,932 10 3 1,94 10 3 1,82 10 3 1,844 10 3 2,002 10 3 1,705 10 3 1,745 10 3 1,89 10 3 0,31%

в =-25 deg 1,933 10 3 1,94 10 3 1,821 10 3 1,844 10 3 2,003 10 3 1,705 10 3 1,745 10 3 1,889 10 3 0,3%

0=-50 1,937 1,946 1,823 1,85 2,008 1,706 1,751 1,892

0,07%

deg 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3 10 3

Таблица 1: 2D моменты Лежандра для повернутого полутонового изображения

Список литературы:

1. M. Teague.Image analysis via the general theory of moments.// J. Opt, Soc, Am. 1980,70 (8).- pp. 920-930.

2. M.K. Mandai, T. Aboulnasr, S. Panchanathan. Image indexing using moments and wavelet.// IEEE Trans. Consumer Electron. 1996,42 (3) .- pp. 557-565.

3. J. Haddadnia, K. Faez, P. Moallem. Neural network based face recognition with moment invariant.// Proceedings of International Conference on Image Processing. 2001,Vol.-pp. 10181021.

4. H. Qjidaa, L. Radouane. Robust line fitting in a noisy image by the method of moments.// IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. 1999,21 (11) .- pp. 1216-1223.

5. Legendre moment. website http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/CVentry.html.

6. Legendre Polynomia. website http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ

Нго Хыу Фук, аспирант кафедры вычислительной математики и программирования Московского авиационного института (государственного технического университета) e-mail: ngohuuphuc76@mail.ru