CC BY
12
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА им. С. М. КИРОВА
Том 226 1976
ПРИЛОЖЕНИЕ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ФУНКЦИИ
ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
В.Е.КОРНИЛОВ
(Предстаязлсна ка|федрой высшей математики)
В настоящей статье гипергеометрическая функция двух переменных (1) представлена в виде суммы подходящих дробей. Для остаточного члена дана оценка по модулю в некоторой комплексной области комплексных переменных х и у (7) .
В статье введена сокращенная запись произведения
{а)п =±= а(а + 1 )...(а + п — 1), (а)0 = 1. 1. Функция двух переменных [1], стр. 219, (.7)
л<«, р, ь, т. i i (1)
я-0т=0 V i )т \L)n íril ш
представляется кратным интегралом [1], стр. 224, (2)
Р2 К Р, Ь А Х> У) (*, У) = --Г(Т) Г(С)-— X
Г(Р)Г(6)Г(тЧ0Г<*-6)-
11
х | J и3-1 vb~x (1 - - vy-*-1 (1 +их — vy)~* dudé, (2)
о о
р > О, Ь > О, Т - Р > 0, с — Ь > 0.
Относительно функции (1) докажем теорему. Теорема. Функция (1) с вещественными параметрами
0<2а<1, 0<2р<т, 0 < 26 <. с (3)
представляется в виде суммы подходящих дробей и остаточного члена Рг (*, У) = Кп (*. у) + 2 2
МША *ШЛ /у. г _ У
у Í х - а>с* \т У ст+К (— П* l'W.
ЪУ j А {Ъ + К)МК (4)
yi „т (С ч- П -г 1 )т ( х — ах с» \т (Ь)т 1 Cu.v I
m=0
Коэффициенты ах, Ьи с^ й^ в равенстве (4) имеют положительные значения [2], стр. 5, 24 и ввиду [3], стр. 20, (1) и [4], стр. 23 (5) определяются согласно равенств
Л (1 - -) = 2с:(- - (X);
П(1- У <Ы*); (5)
«V Д (2-1-2 и\ И <%< а2 <...<«„, 1 < с? с...сся.
Ьх = ~ р2п (ах): |ах ^ [^2« (Лх)]|,
(х) - у.с:-г (- *)».
(1-2Я)«
г а \ (6)
¿¡1 = —Ягя(^): к* — [С2я(^)1
Я2„ (X) - V (-ж)«- "у +К (- 1 >"■
\
Остаточный член ДПп(х>у) в равенстве (4) по модулю меньше следующей суммы:
п
\Я2П + +У)| [| 1 +«|(1 — * — У) I3 — °2]
ДхЫРМт ~ РЯ) «Н * + М» - ХХ) |21 *: хР"+»: \\х | (гЫ
, VI ихихуу'п у I — рп) ш I 1 -Г у — лХ)\ I А . Т.)-' . II Л п 7^2/1]
(7)
? (Ь>п (с —Ъ)п [ У,|2"+11 1 + Ьх (1 - у,) ¡2: [[ у | (с)2я] .
& &(с+П-\ )„ | С}2п Ы (¿2п+ 2 Ы | [| .1 + Ьг (1 - Ух) I2 - | у, |2] ' а = тах \ux-\-vy\, | т | = тш \ах — ъу\ для 0 < и < 1, 0 < ® < 1;
а <| 1 + М1-х-у)|, |*:Ч<| 1+Р,
г, _ а + а и _ ь + п РЧ-п 1\ — ~ ;-> 0\---- , р! —-----
1 — а + а. с~ Ь-\- п у — 8 + я
ах —у а\с,,.— х
0 </&?(* +у) < 1,
1-у <1, п= 1, 2,...
1-х
Доказательство. На основании формулы [1], стр. 116, (1) и второго равенства (5) имеем
С12п (х) = Н- п, 1 - р — я; 2 - т - 2/г; х) =
(8)
^ ■ (Т Р), (Т РЬ Тшя(х)т
(Т+я— 1)„ (Т + я —1)«
Ввиду формул (1) — (7), [41, стр. 23-24 и [5], стр. 312, (9) преобразуем двойной интеграл (2) следующим путем (ниже применяется
я Г (¿0
сокращенная запись А1 — у '
А
Г (Ь) Г (с-Ь) Г(т)Г(с)
Г(Р)Г(6)Г(Т-Р)Г(с-6)
х=1
1 /ах — ®у
1С_в_11 - | аи х ах
X м^-1 (1 —«)т-э-1 (1
их
ах — ъу
-1
йи = А I)6-1 (1 — ¿о X
X I «3-» (1 _ й)т-Р-1 г2п (их + -оу) йа + Л12 ^ ахЬхС^ X
о А = 1 ц=1 _ *
1
X | V"-1 (1 — (1 — vy^)-x с1ъ + Р2„ (нх + ©у) +
Л = 1
2 2
Х-1 ¡¿=1 ЯхС^ X
ах — ъу
:Р2«(У,)
ах — г>у ;
=
. <32* (У 1)
+ (уг)
+
+ р2п(иХ + Юу) + $2п
X
(9)
ах —^у
Остаточный член $2л согласно равенств (7) —• (9), [4] стр. 21, (1) и неравенства (15) преобразуется следующим путем:
ТА Х Т
Р2/1
ах — ъу
Х=1
ах —
¿п (т)* (т - Р)*+1 ^ Г2к+2
<
<
^ ахЬх (Р)Д(Т- Р)В л! | 1 + (1 — I2!*:* Р^1: [| * | (т)з«]
зй (т + л-1 )я | <г2я ю д2л+2 01 + (1 ■-) I2 -1 *: Ч2]'
где | х | = тпш | ах — Vу |, 0 < V < 1, д;
(10)
<|1+р1(1-.х1)1, 0<2Р<Т.
Р + /г л:
х
7 —р + я . ах —у
Правая часть неравенства (10) совпадает со вторым слагаемым правой части неравенства (7). Аналогично даются оценки модулей остаточных членов р2п и с2п равенства (9). Ввиду равенства (9) и неравенства (10) теорема доказана.
Докажем теорему о неравенстве многочленов.
Теорема. Если корни многочлена С&к+г(г) разделяются корнями многочлена-<??£.(?)* т. е.
Р«).
Сйг+2 («) = (« + «!)...(« + «,+!), (11)
Ро ~ «1 > > а2 > Р* >»•> ** > Рк > Р*+1 = а/с+1> 0, Ч
то относительно этих многочленов имеет место неравенство |<32«+2(2)|>\СЬк{г)\[г + а\, к = " где #ег>0, = (12)
а4 > а >
Доказательство. Непосредственным вычислением нетрудно доказать, что неравенство (12) справедливо для двух множителей, т. е. \г + с\\г + с1\>\г + а\\г + Ь1 аЪ
0;<а < < й. ' ' (13)
Пусть рг-1>а>рг, I— 1,..., /с+1, тогда на основании неравенств (11), (13), равенств (11) (12) получим следующие неравен-
ства:
2-Й
а¡щ
ах >
а. ос
1^2
Р*
> а5
а,..,а.
(г + сс^О |г +<х|
Р/г-Р*
^ _ ^ _
>
(14)
/ '
• » ♦ «
2 +
г -)- ак+1 I > I 2 + Рк-1 11 2 + Р*
ак-И
> Рк-1 > рк > ак+1
Перемножая левые и правые части неравенств (14) и сокращая обе части полученного неравенства на равные множители, мы получим неравенство (12), что и требовалось доказать.
Ввиду равенства (8) и Неравенства (12) имеем
1+ ^ О-*)
Т2п+2т (г)\ <\Т2п(г)\
Т-Р + л
Т>2р>0, т= \, 2,... ~ ЛИТЕРАТУРА
1. Г. Бейтм ан й А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции (гипергеометри-ческая функншя,, функцииЛежандра). М,, Фшматшз, 1965.
2. Т. И. С т и л т ь е с. Исследования о непрерывных дробях. М,, ОНТИ, 1963.
3. В. ЕГ К о р н и л о в. Система аппроксимаций Педэ для степенных фушйций»'Изв. ТПИ, т. 154, стр. 20—23, Томск, 1967. '
4. В. Е. К о р н и лов. Приложение цеетых дробей к вычислению интегралов от би-номных дифференциалов. Изв. ТПИ, т. Т31(, стр. 21—25,-Томск, 1965.
5. Н. Н. Лебедев. Специальные функции й их приложения. М., Гостехиздат; 1953.
7. Заказ 3595.
