CC BY
83
ART 186075 DOI 10.24422/MCITO.2018.V8.15636 УДК 372.851
Мамонтова Татьяна Сергеевна,
кандидат педагогических наук, доцент Ишимского педагогического ин ститута им. П. П. Ершова (филиала) ФГАОУ ВО «Тюменский государ ственный университет», г. Ишим mamontovats@mail.ru
Мусякаева Евгения Илдаровна,
студентка Ишимского педагогического института им. П. П. Ершова (филиала) ФГАОУ ВО «(Тюменский государственный университет», г. Ишим ishimkonf@mail.ru
Приемы запоминания значений тригонометрических функций
Аннотация. Статья посвящена теоретическому обоснованию необходимости выявления эффективных приемов запоминания математического материала и методическим рекомендациям по использованию мнемонических приемов запоминания значений тригонометрических функций для «(табличных» величин углов (0°, 30°, 45°, 60°, 90°) при изучении тригонометрии в 8-10-х классах общеобразовательной школы. Ключевые слова: обучение тригонометрии в школе, значения тригонометрических функций, мнемонические приемы запоминания. Раздел: (01) отдельные вопросы сферы образования.
Тригонометрия занимает одно из центральных мест в школьном курсе математики как по значению, так и по объему содержания учебного материала и количеству приемов учебной деятельности, которые в дальнейшем помогают решать целый класс задач теоретического и прикладного характера. Основы тригонометрии закладываются еще в 8-м классе на уроках геометрии, а в 9-10-х классах расширяются до методов решения тригонометрических уравнений, неравенств и их систем. Следует заметить также, что раздел «Тригонометрия» составляет 21 % от всех заданий ЕГЭ по математике (базовый уровень).
Одной из проблем, с которыми сталкиваются учащиеся на начальных этапах изучения тригонометрии, является сложность теоретического обоснования и необходимость прочного запоминания значений тригонометрических функций для основных значений величин углов (0°, 30°, 45°, 60°, 90°). Нередко учащиеся «зазубривают» их, не вникая в особенности практического вычисления так называемых «табличных» значений.
Целью проведенного исследования стало выявление теоретических основ и разработка практических рекомендаций обучения учащихся 8-10-х классов приемам запоминания «табличных» значений тригонометрических функций.
Многими исследователями (П. И. Зинченко, И. Ф. Кашлач, В. Я. Ляудис, М. С. Роговин, А. А. Смирнов и др.) замечено, что при запоминании учебного материала на помощь учащимся приходит логическая память. Логическая память представляет собой вид памяти, опирающийся «на установление и запоминание смысловых связей и отношений в материале, который необходимо запомнить» [1]. Процесс развития логической памяти учащегося рассматривается как формирование способов организации учебной деятельности, опирающейся на установление и запоминание смысловых связей и отношений в материале. Сам процесс запоминания характеризуется не столько функциями сохранения и закрепления учебного материала, сколько функцией его воспроизведения.
ISSN 2304-120Х
ниепт
научно-методический электронный журнал
научно-методический электронный журнал
Психолог А. А. Смирнов отмечал, что задача воспроизведения информации активизирует познавательную деятельность человека [2]. Отсутствие способов деятельности с учебным материалом приводит к его быстрому забыванию. Следовательно, для прочного запоминания какого-либо учебного материала потребуется в ходе учебной деятельности построить систему связей, которые в дальнейшем составят мнеми-ческое действие. Мнемические действия, или мнемические приемы, представляют собой способы обработки запоминаемого материала, увеличивающие продуктивность процессов памяти (скорость, объем, прочность запоминания и воспроизведения) [3].
Значение мнемических приемов запоминания для школьного курса математики подчеркивали многие педагоги-методисты (О. Б. Епишева [4], И. Ф. Кашлач [5] и др.). Свойства запоминаемого материала должны лежать в основе его математической модели, построенной через систему операций мнемического действия. Исходя из того что все приемы организации учебной информации, ее обработка, обобщение и структурирование могут выступать в качестве операционных механизмов мнемических действий, выделим основные виды этих механизмов применительно к логической памяти: разбиение учебного материала на смысловые группы, сравнение, классификация, структурирование, систематизация, аналогия, вербализация данных, преобразование информации на основе семантических связей, достраивание материала, упорядочивание и т. п.
Построим на основе перечисленных операционных механизмов логической памяти серию приемов запоминания «табличных» значений тригонометрических функций. В прямоугольной системе координат построим единичную окружность с центром в начале координат. Из точки О (0; 0) проведем луч h, пересекающий окружность в точке М (x; y). Через а обозначим угол между лучом h и положительной полуосью абсцисс. Если угол а острый (рис. 1), то из прямоугольного треугольника ODM имеем: sin а = y, cos а = x, последовательность «табличных» углов 1 -й четверти и соответствие радиан-ной меры углов градусной: 0^ | ^ | ^ | ^ | (0°^- 30° ^ 45° ^ 60° ^ 90°).
Рис. 1. Модель тригонометрического круга
Приведенные ниже приемы будут касаться только первой четверти тригонометрического круга, поскольку все остальные значения ученик сможет получить, воспользовавшись свойством периодичности тригонометрических функций, прибавив к «табличному» значению число Атс (Я = ±1, ±2, ±3,...).
научно-методический электронный журнал
1. Прием, основанный на определении понятий синуса, косинуса, тангенса. Пусть необходимо найти значение sin|. Радианному значению | соответствует градусная мера в 30°, следовательно, из начала координат проводим луч, который составляет с положительной полуосью Ох 30°. Так как необходимо найти синус угла, то параллельно оси Oy проводим прямую MN (через точку пересечения луча и окружности), получив прямоугольный AONM (рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к приему, основанному на определении понятий синуса, косинуса, тангенса
и котангенса
Далее, катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузе, т. е. MN = 1 OM =1 а следовательно sin- = ^. Для нахождения sin- можно воспользо-
2 2 6 2 3
ваться теоремой Пифагора. Случай угла - приводит к рассмотрению прямоугольного
4
равнобедренного AONM: sin^ = cos^ = J1 = J2 = -у [6].
2. Прием, основанный на периодичности тригонометрических функций и их «поведении» в четвертях тригонометрического круга. Можно предложить учащимся запомнить лишь одну формулу ^ Чтобы применить ее для вычисления значений тригонометрических функций, нужно пронумеровать «ключевые» углы первой координатной четверти: п = 0, 1, 2, 3, 4 (см. рис. 3).
Рис. 3. Нумерация «ключевых» углов для функции синуса
ISSN 2Э04-120Х
ниепт
научно-методический электронный журнал
V4
-г Vi i V2.1 V3. п
Тогда можно вычислить: sin0 = — = 0,sin- =— = - sin- = —,sin- =—,sin- =
2 62 2 4 2 3 2 2
у = ^ = 1. Необходимо также помнить, что функция синуса «поднимается в гору» (как
бы приближаясь к своей оси), а функция косинуса «спускается с горы», при этом нумерация п меняет свой порядок (рис. 4).
Рис. 4. Нумерация «ключевых» углов для функции косинуса
3. Прием, основанный на симметричности значений функций синуса и косинуса для углов 1-й координатной четверти. Учащимся часто предлагают запомнить «наизусть» тригонометрическую таблицу углов. Однако данную таблицу можно упростить, записав лишь значения по диагонали (см. таблицу). Такая таблица ускоряет поиск нужных значений, и ученик не отвлекается на рядом стоящие величины (так как они отсутствуют).
Тригонометрическая таблица углов для синуса и косинуса
Cos а Sin 0° (0 рад) 30° (f рад » 45° С- рад » 60° (J рад » 90°^ рад»
0° (0 рад) 0
30° (f рад) 1 2
45° ^ рад) V2 2
60° (| рад) V3 2
90° (f рад) 1
Чтобы не спутать, где писать в таблице синус, а где косинус, записать их необходимо так, как расположены их оси, т. е. синус - вертикальный столбец, а косинус -горизонтальная строка.
Для закрепления приемов можно предложить учащимся серию заданий: 1. Переведите в радианы 150°. Решение: заметим, что угол в 150о больше в
5 раз, чем 30о Зная, что 30° = -, получаем, что 150° = —.
6 6
cos
2.
Пп ( 6
научно-методический электронный журнал
Г, . 14я . 14я . „ „ . 7я 7я „ . Лп ч
Вычислите sin—. Решение: sin— = sin2 — = 2 sin— cos— = 2sin(--я) •
)„ . n n „ 1 "3 "3 ...
= 2sm-^cos- = 2-----—. Или
6 6 2 2 2
П
6
sin
. . „ ,7л- .
in — = sin 2 — = sin — = sin (—
6 6 3 V 3
„ \ . n У3 2л" I = sm^ = —.
3.
32
Найдите
значение
Решение:
к к .к.к V21 V2 V3 ,_
coicos—sin— sin— ------- 1-J3
4 3 4 3 _ 2 2 2 2 _ 1 "V3
1+V3
7Я ,3^ 4TC. Я.
7л- cos— cos(—\—) cos(—\—)
rf-n _ _ 12 __12 12y __4 3 _
12 sin— sin(—+—) sin(-+-)
12 12 12 4 3
sin-COs-+COs—sin— "2 1 , "2 Уз
4 4 4 4 ---I---
4 3 4 3 2222
= V3-2.
t#15° = t#(60° - 45°) =
t£l60o-t£l45o _ "3-1
1+t560°-t545° = "3+1
4. Верно ли равенство cos1^ = cos 510о? Решение: cos = cos (зтс - 17~) =
cos —, значение - соответствует 30о. Так как вычитали из 3я (180о • 3 = 540о), то полу-
6 6
чаем 540о-30о = 510о. Равенство верно.
5. Вычислите tg\5°. Решение:
<VLi£ = 2-V3. 2
Целенаправленное изучение и закрепление мнемонических приемов запоминания основных значений тригонометрических функций поможет организовать прочное и долговременное, а главное, осознанное запоминание учебного материала по теме.
Ссылки на источники
1. Кашлач И. Ф. Подготовка будущих учителей к развитию логической памяти учащихся общеобразовательных учреждений: монография. - Ишим: Изд-во ИГПИ им. П. П. Ершова, 2009. - С. 21.
2. Смирнов А. А. Избранные психологические труды: в 2 т. Т. 1. - М.: Педагогика, 1987. - 172 с.
3. Роговин М. С. Проблемы теории памяти. - М.: Просвещение, 1977. - 234 с.
4. Епишева О. Б. Специальная методика обучения арифметике, алгебре и началам анализа в средней школе: курс лекций: учеб. пособие для студ. физ.-мат. спец. пед. вузов. - Тобольск: ТГПИ им. Д. И. Менделеева, 2000. - 126 с.
5. Кашлач И. Ф. Указ. соч.
6. Мамонтова Т. С. Методика обучения тригонометрии: учеб.-метод. пособие. - Ишим: Изд-во ИГПИ им. П. П. Ершова, 2011. - 109 с.
Tatiana Mamontova,
Candidate of Pedagogical Sciences, Associate Professor, Ishim Pedagogical Institute named after P. P. Er-shov (branch of) Tyumen State University, Ishim mamontovats@mail.ru Evgeniya Musyakaeva,
Student, Ishim Pedagogical Institute named after P. P. Ershov (branch of) Tyumen State University, Ishim ishimkonf@mail.ru
Methods for memorizing the values of trigonometric functions
Abstract. The article is devoted to the theoretical substantiation of the need to identify effective methods of memorizing mathematical material and to methodological recommendations on the use of mnemonic techniques for memorizing the values of trigonometric functions for "table" angular values (0°, 30°, 45°, 60° and 90°) in the study of trigonometry in 8-10 grades of comprehensive school.
Key words: teaching trigonometry at school, trigonometric functions values, mnemonic techniques for memorizing. References
1. Kashlach, I. F. (2009). Podgotovka budushchih uchitelej krazvitiyu logicheskojpamyati uchashchihsya ob-shcheobrazovatel'nyh uchrezhdenij: monografiya, Izd-vo IGPI im. P. P. Ershova, Ishim, p. 21 (in Russian).
2. Smirnov, A. A. (1987). Izbrannye psihologicheskie trudy: v 2 t. T. 1, Pedagogika, Moscow, 172 p. (in Russian).
3. Rogovin, M. S. (1977). Problemy teoriipamyati, Prosveshchenie, Moscow, 234 p. (in Russian).
научно-методический электронный журнал
4. Episheva, O. B. (2000). Special'naya metodika obucheniya arifmetike, algebre inachalam analiza v sred-nej shkole: kurs lekcij: ucheb. posobie dlya stud. fiz.-mat. spec. ped. vuzov, TGPI im. D. I. Mendeleeva, 126 p. (in Russian).
5. Kashlach Tobol'sk, I. F. (2009). Op. cit.
6. Mamontova, T. S. (2011). Metodika obucheniya trigonometrii: ucheb.-metod. posobie, Izd-vo IGPI im. P. P. Ershova, Ishim, 109 p. (in Russian).
Рекомендовано к публикации:
Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «<Концепт»
Поступила в редакцию Received 27.05.18 Получена положительная рецензия Received a positive review 15.06.18
Принята к публикации Accepted for publication 15.06.18 Опубликована Published 31.08.18
www.e-koncept.ru
Creative Commons Attribution 4.0 International (CC BY 4.0) © Концепт, научно-методический электронный журнал, 2018 © Мамонтова Т. С., Мусякаева Е. И., 2018
