Приближенный метод вычисления интегралов с логарифмической особенностью специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

М А Т Е М А Т И К А

УДК 519.6

ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ С ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ОСОБЕННОСТЬЮ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

Докт. физ.-мат. наук, проф. МЕЛЕШКО И. Н., канд. физ.-мат. наук, доц. ЛАСЫЙП. Г., асп. ДОВГА Ю. А.

Белорусский национальный технический университет

Интегралы с известной плотностью: 1(x) = J{f;x) = -Л-j f (t)ln\t - x\dt, x e [-1,1]; (1)

J2 (x) = J2 (f; x) =

1 f

-f f (t )ln

tt J

t - x

dt

(2)

x e [ -1,1];

J (Ф) = J (f; Ф) =

1 f

= -f f (T)ln

TT J

T - ф

sin-

(3)

dт, фе[-п, n],

а также интегральные уравнения, содержащие такие операторы, встречаются в решениях важных задач из разных разделов механики, физики и математической физики (например, [1, 2] и библиографии в них).

Полученные в данной статье квадратурные формулы для интегралов (1)-(3) имеют неотрицательные коэффициенты, сравнительно просты, устойчивы и позволяют оценивать погрешность вычислений.

1. Преобразуем интегралы (1), (2) и определим аппроксимацию плотностей этих интегралов:

J(f;x) = -1 }f(t)ln^-dt + — ff(t)dt; (4) J t - x J

J,

(f; x) = - i} f (t )ln

+-

ln2

} f (x )

х - A V—

dt

(5)

-1

Зададим на отрезке [-1, 1] систему точек

x, = kh, k =-n, ...,-1, 0, 1, ... n, h = -

2

2 n +1

и аппроксимацию плотности /х) на этом отрезке определим формулой

/«)« / (х) = £ ек (х)/(хк), (6)

k=-n

в которой 0k (x) = 1, если x e

- h • h

xk ; xk + k 2 k 2

и

0k(x) = 0, если x g

' - h; h xk ; xk + k 2 k 2

Очевидно, что если функция /х) непрерывна на отрезке [-1; 1], то

f (x) - f (x) <ra(f;h), x e [-1, 1], (7)

где га(/; к) = тах \/(х") - /(х')| - модуль

х', х"е[-1,1]' 1

|х'— х"|< к

непрерывности функции /(х).

Если же /(х) - непрерывно дифференцируемая функция на этом отрезке, то с помощью формулы Тейлора легко установить, что

f (x) - f (x)

< Mh, x e [-1, 1], (8)

где M = max If'(x)|.

xe[-1,1]' 1

2. Подставив в выражение (4) для Jx(f;x) вместо плотности fx) ее приближения (6), получим квадратурную формулу

■ Наука итехника, № 3, 2012

2

к

J ( f ; x) « J ( f ; x) = J ( x) =

= ¿A ( x) f ( Xk ) + — ¿f ( * ),

k=- и П k=-n

(9)

в которой коэффициенты

A ( x) =1 f

7Г J

= -l h2 in-

%J xk - 2 |t - x|

(10)

Очевидно, что все Лк (х) неотрицательны

для всех х е [-1; 1].

Вычисляя интегралы в правой части равенства (10), находим

A ( x) =1

(1 + ln2)h + | xk---x I in

-I x +---x I in

Оценим погрешность квадратурной формулы (9).

Теорема 1. Если плотность интеграла J1(f;x) непрерывна на отрезке [-1; 1], то

имеет место равномерная по х е [-1; 1] оценка погрешности

2

= — ю( п

J

1(x)- Ji(x)| =-o(f, h). (11)

Если же плотность Д(х) - непрерывно дифференцируемая функция на этом отрезке, то

^(х) -~ (х)| = ^И, х е [-1, 1]. (12)

Доказательство:

Ц (х) - Д (х)\ = (Д, х) - (Д, х)\ =

= f (t ) - f (t ) ] lnl t - x\dt

< max If (x) - f(x)1 f lin It - xlldt.

xe[-1, 1]l UJ 1 11

(13)

Заметив, что I(x) = J |ln|t - x||dt

является

-1

четной функцией, положим 0 < x < 1 и преобразуем этот интеграл

0 1

i|t - x||dt + j |ln|t - Xdt =

-1 0

I(x) = f |ln|t - xdt + f |ln|t - xd

0 1

t + x||dt - f ln|t - x|dt =

-1 0 1-x 1 1

t+xdt - f ln 11+xdt - f ln t - xdt.

1-x 0

После исследования функции

1 + x

I (x) = 2 - 2 x + ln-+ x ln(1 - x2), x e [0, 1]

1 - x

находим, что

max I(x) = I(0) = 2.

xe[-1,1]

(14)

Из соотношений (13), (14) и неравенств (7), (8) вытекают оценки (11), (12).

3. Заменим плотность fx) в представлении интеграла J2(Д,x) (5) по формуле (6). В результате получим квадратурную формулу для этого интеграла

J ( f, x) « J2 ( f, x) « J (x) =

n ln 2 n

= -¿ A (x)f(x )--¿ (n+ -n-- )f(x ),

(15)

k=-n

k=-n

где n± = arccos| xk ± — I, а коэффициенты

xk+-

1 f2 Ak (x) = - f ln

7Г •>

dt

xk -

t - x V1 -12 '

(16)

Снова замечаем, что все Лк (х) неотрицательны для всех х е [-1, 1].

Вычислим коэффициенты (16). Имеем последовательно:

xk +-

xk -

dt

■ = nk ;

(17)

2

J ln

t - x

dt

41-1

nk

■ j ln|cos c- cos n| dc =

nk

(18)

%+n 2

%-n 2

:(n+-%)ln2 + 2 J ln|sinTdx + 2 J ln|sinTdт.

%+n 2

%-n 2

■■ Наука итехника, № 3, 2012

h

2

h

2

h

J

2

2

h

x. +—

k

2

h

x.--

k

2

Обращаясь к формуле разложения логарифма в ряд по косинусам и пользуясь равенствами (17), (18), после простых преобразований найдем, что

A (x) = П [2(т£-П )ln2 + N2(п-%) --N2(n + n+) + N2(n-n+) - N2(n-n-)],

i sin kQ

где п = arcos х, а функция N2 (Q) = ^

k=

1 k2

значения мнимой части полилогарифма второго порядка на единичной окружности X2 (г) = ^ /

= > —т- (дилогарифма Эйлера) [3]. Известно

также, что N 2(6) связана с функцией Лобачевского [4]

е

¿(9) = —11п|ео8х^т, 0<е<П

равенством [3]

N 2(9) = (п - 9)ln 2 - 2L

п-9 2

Получим теперь неравенства для оценки погрешности квадратурной формулы (15)

J2( Х) - J (x)| = J2 ( /, x) - J2 (/, x) =

1

j[ / (t) - / (t) ] In |t - x|-

л/Т-т

I ~ 11 11 I

< max /(t) - / (t) — I ln t - x

xe[-1,1]' nJ I

< (19)

VT-12'

С помощью неравенств (7), (8), (19) и известной оценки [5]

1 I|ln|t - x||

7Г j '

dt

< 3ln2

t

легко доказывается следующее утверждение. Теорема 2. Пусть плотность интеграла /, х) непрерывна на отрезке [—1, 1], тогда имеет место следующая, равномерная по х е е [—1, 1], оценка погрешности квадратурной формулы (15):

J2( x) - J2(x) < 3ю (f; ^)ln2,

если же f (x) - непрерывно дифференцируемая функция на этом отрезке, то

J2 ( X) - J2 ( Х)

3

<-M ln2. 2 1

4. Квадратурную формулу для интеграла J(ф) (3) будем строить и исследовать анна-

логично. Возьмем на отрезке [— п, п] систему точек

= kh, k = -n, ..., -1, 0, 1, ..., n, h =

2 п 2 n +1

и приблизим плотность интеграла J(f; ф) на этом отрезке по формуле

f(ф) - f (ф) = ¿ Qkf (Фк),

где Qk (ф) = 1, когда фе Qk (ф) = 0, если ф í

h h фk -2, фk +1

h h

фk- 2 фk + 2

Получается следующая квадратурная формула:

J(/; ф) « J(/; ф) = Л(ф) = - £ Ak (Ф)/(Фk), (20) где

k=-n

'Pk +1 f2 Ak (ф) = - - I ln

ТГ J

h

ф- 2

. T - ф

sin-

2

dT. (21)

Из представления (21) для коэффициентов видно, что все они неотрицательны для всех фе[—п, п].

Для вычисления интегралов в (21) воспользуемся разложением логарифма в ряд по косинусам

ф + 2 I ln

. t - ф sin-

Фk+2-ф

d t = 2

j ln|si

sin t\dt =

Фk -

фk- 2-ф

■ Наука итехника, № 3, 2012

к

n

И

h

= -2

t ln2-

sin21 sin41

--+-r

2 2 • 22

Фк h + — 2 -Ф

2

Фк h 2 -Ф

2

Теперь после простых преобразований для коэффициентов Лк (ф) получается единая формула

1

a (ф) = -

п

hln2 + N¿\ф-ф, + 2 |-

-N21 ф —Фъ - 2

где функция N 2(0) определена выше в п. 3.

Займемся оценкой погрешности квадратурной формулы (20). Очевидно, что в случае непрерывности плотности f (ф) на отрезке [-п, п]

\/(ф) - /(ф)| < ш(/, ф), фе [-п, п]. (22)

Если же /(ф) непрерывно дифференцируема на этом отрезке, то

\f (ф) - f (ф)| < Мh, Фе[-п, п],

M = max |f '(ф)|.

фе[-л ,п]

Сравнивая J (ф) и J (ф), получаем J( ф) - J(ф) = J(f; ф) - J(f; ф)| =

(23)

л

f [ f (т) - f (Т) ] ln

. т - ф sin- d т

2

1 п

< max f(T) - f(т) — f

Фе[-п, п] l П

ln

. т - Ф sin-

< (24)

d т.

Замечаем, что

1 п п f

7Г J

ln

Sin

т - Ф

2

dт = 2ln2.

(25)

Из неравенств и соотношений (22)-(25) вытекает следующее.

Теорема 3. В случае непрерывности плотности интеграла 1(f; ф) на отрезке [-п, п]

1(ф) -1 (ф)| < 21п2ю(/; И), фе [-п, п].

Если же плотность /(ф) - непрерывно дифференцируемая функция на этом отрезке, то равномерно по ф е [- п, п]

1 (ф) - .7(ф)| < 1п2Мх.

5. В качестве примера возьмем интеграл

йт, фе[-п, п].

— f (sin ф + т cos т) ln пJ

. т - Ф

sin--

2

Нетрудно получить для него точное равенство

J (sin т + т cos т; ф) = -2sin ф ln^ 2cos

Результаты численного эксперимента по точной формуле и с помощью квадратурной формулы (20) приводим в табл. 1.

Таблица 1

Ф Число верных знаков (п = 10) Число верных знаков (п = 50)

п/12 2 3

п/4 2 4

В Ы В О Д

Для интегралов с логарифмической особенностью специального вида получены квадратурные формулы с неотрицательными коэффициентами. Равномерные оценки погрешностей приближенных формул позволяют вычислять такие интегралы с заданной точностью.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Александров, В. М. Контактные задачи тел с тонкими покрытиями и прослойками / В. М. Александров, С. М. Мхитарян. - М.: Наука, 1983. - 487 с.

2. Габдулхаев, Б. Г. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений первого рода / Б. Г. Габдулхаев. - Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1994. - 288 с.

3. Пыхтеев, Г. Н. Полилогарифмы и их свойства и методы вычисления / Г. Н. Пыхтеев, И. Н. Мелешко. -Минск: Изд-во БГУ, 1976. - 68 с.

4. Градштейн, Н. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений / Н. С. Градштейн, И. М. Рыжик. - М.: Наука, 1971. - 1108 с.

5. Мелешко, И. Н. Специальные формулы для интегралов типа Коши и их приложения / И. Н. Мелешко. -Минск: ВУЗ-ЮНИТИ, 1999. - 197 с.

Поступила 28.10.2011

■■ Наука итехника, № 3, 2012

2