CC BY
36
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XV 198 4
№ 4
УДК 697.7.05.001
ПРИБЛИЖЕННЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ РЕГУЛИРУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ С НЕЛИНЕЙНЫМ ПРИВОДОМ
В. С. Берко, Ю. Г. Живов, А. М. Поединок
Рассматриваются приближенные критерии устойчивости периодических решений для систем регулирования с одной нелинейностью. На примере регулируемого объекта с приводом, имеющим насыщение по скорости, определяются точки скачкообразного изменения характеристик вынужденных колебаний и устойчивость решений в предельных точках.
1. Рассмотрим вынужденные колебания системы, представленной на рис. 1,а и описываемой следующей системой уравнений:
£ ДО *.ых=^ (/>)/(«); (1)
L(p)з + F^p)f{<^) = L (р) Х„, (2)
где Ь (р) и Т7 (р) — полиномы от р = ^--------оператора дифференци-
рования; Хвк, Хвыу, — соответственно входной и выходной сигналы системы; о — сигнал на входе нелинейного элемента; /(а) — нелинейная функция.
Обозначим через V?(р) =/7(р)/Ь(р) передаточную функцию объекта регулирования. В дальнейшем считаем, что порядок знаменателя
б)
/—нелинейный элемент; 2—объект регулирования; 3—привод; 4—звено обратной
связи Рис. 1
W (p) больше порядка ее числителя, а функция f(o) однозначна и представима в виде ряда по нечетным положительным степеням о:
/w~Sc«o“’п=1' 3>5-- - • (3)
л=1
При воздействии на систему гармонического сигнала Хвх= =ABXsinco0^ сигнал на входе в нелинейность в первом приближении может быть записан в виде
о = а„ = A, Sin (с»0 t + ср„).
Используя обычные допущения метода гармонического баланса [1, 2], получаем уравнения первого приближения
[l+-W(ia0)D (Л,)1-Л-^ = ЛВХ,
/Ы = -О И.) =*о.
где
1 2"
D (Лс)^ j /(Л* sin 6) sin б dB
(4)
С учетом (3)
Я(Л„) = 2 СяАГ'1п+и (5)
00
I я—-1
/1=1
где
2тс
1п = — f sin" 6 dft.
71 J О
Величины 1п удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению:
1п— = 1п-2. (6)
п — 1
Из (4) получаем уравнение, связывающее амплитуду сигнала на входе в нелинейность с амплитудой входного сигнала системы
[1 + Г(*ш0) 0(Л„)] [1 + £>(Л,)]Ла2= Air (7)
Рассмотрим возмущенное движение системы, полагая ст = ст0+Ао, f(a) »/(о0) + /' (о0) До.
Тогда согласно (2) уравнение возмущенного движения системы имеет вид
L (р) Дз + F (р) [/' (о0) Да] = 0, (8)
где
00 <р /' (°о)=У, fl2feCos 2&со0 tu tl=^t + —, k = 0, 1, 2,... . (9)
“о
Воспользовавшись (3), (4), (6), выразим первые два коэффициента ряда (9) следующим образом:
а0 = £С„Л" 1 —In+i = D (Лл) + — —— Ла;
И = 1 *
а2 = - £ С„ ЛГ1 (я - 1) /л+1 Л.
Частное решение уравнения (8) можно представить, как это сделано, например, в [3], в виде бесконечного ряда
До= £ Ake{^im°k)t (10)
k = — оо
и свести задачу к решению бесконечной системы алгебраических уравнений.
2. Использование конечного числа членов рядов (9), (10) позволяет получить приближенные критерии устойчивости. Например, оставляя в рядах (9) и (10) по одному члену
f (о0) = а0; До = A0ept, получаем следующее характеристическое уравнение
1 + а0 W(p) = 0.
Задача в этом случае полностью решается путем построения корневого годографа по параметру а0 и определения на нем точек, соответствующих значению
1 dD (Аа) а0=£>(Л*) + — — dK Л„.
Этот критерий аналогичен критерию, используемому в [4], для определения устойчивости автоколебаний системы, т. е. в случае, когда Лвх = 0 и характеристики невозмущенного движения (too и Л*) определяются из уравнения:
1 + W(iu0) D(A,) = 0. (И)
Оставляя в рядах (9) и (10) по два члена
}' (°о) — ао + а2 cos 2(1) tu Д а = А1е(к + '“») + Л_ie(X ~ и считая, что
| И7(Х + 3/ш0).«| 1Г(Х±*а>0)|, получаем следующее характеристическое уравнение:
А М = П “Ь ИР (^ + * “о) ao] [ 1 + ИР’ — i шо) а0] —
- (jff w + i Ш0) W (X - i со0) = 0. (12)
В (12) Л (А)—дробно-рациональная функция с вещественными
коэффициентами:
д(Х)“о7м’ = G(X) = 2^X"’ (13)
' ’ л=0 я=0
где N — степень знаменателя W(p).
Устойчивость вынужденных колебаний определяется корнями полинома 5(A). Коэффициент bN положителен, если степень знаменателя W(р) больше степени ее числителя. В этом случае одним из необходимых условий устойчивости вынужденных колебаний является неравенство Ь0>0. Очевидно, что go=L(iao) L(—ico0)>0. Согласно (12), (13) имеем
sign Д (0) = sign — = sign b0. (14)
go
Продифференцировав обе части (7) по Аа при фиксированном значении юо, получим с учетом (14)
А /Г\\ _ -^ВХ dAByl
a{V)-Aa dAa ’
sign b0= sign
U/1J O)0 = const
Таким образом, одним из необходимых условий устойчивости вынужденных колебаний является выполнение неравенства
А
НА ^
и'Г1<з o)q = const
Знак b0 может быть определен также по частотным характеристикам системы, полученным на основании (7) при фиксированных значениях Лвх. Из (7) следует, что
ал,
dal о
дА_
^Bx = c°nst Аа Д (0) д(й0
где
d производная, вычисленная при Лвх = const с учетом зависимости D (А„) от А,; ^ — производная, вычисленная при Лвх=соп81,
ди>0
и D (A,,) — const, представляющая собой тангенс наклона касательной к амплитудной частотной характеристике эквивалентной линейной системы, полученной из нелинейной фиксированием D(Aa).
На рис. 2 приведены амплитудная Аа (<*>0) и фазовая ср3 (ш0) частотные характеристики нелинейной системы; каждому значению Лао,
а следовательно, и О (Лао) соответствует эквивалентная линейная система, амплитудная характеристика которой пересекается
с амплитудной характеристикой нелинейной системы Аа в точках С и £).
Участки положительных и отрицательных значений Ь0 раздела
ляются точками А и В, где = оо, и частотные характеристики
изменяются скачкообразно при увеличении или уменьшении частоты вынужденных колебаний [5]. Вынужденные колебания неустойчивы, дА йА
если знаки -3— и не совпадают.
Осо асо
Необходимым условием устойчивости периодических решений является также выполнение неравенства 61 >0. В работе [6] выводится критерий положительности Ьх для системы частного вида.
В общем случае Ь1 = — [Д (X) в (I)
с1\
или
х=о
, йЬ. (X)
=
й \
Сравнительно просто определяется знак в случае автоколебаний, т. е. когда выполняется соотношение (И) и Ь0 = 0. При этих условиях
аь (к)
с1\
<Ю (Аа) й\т№ (г со0) Аа -------------------Т~~
х=о <1Аа
<Ю (Ла) (11т ш0)
sign Ьх = — sign •
ЛАт
(15)
Соотношение (15) представляет собой известный приближенный критерий устойчивости автоколебаний, используемый в методе гармонического баланса [2].
Условия Ь 1>0 и &о>0 являются лишь необходимыми для устойчивости периодических решений, и, как будет показано в дальнейшем на частных примерах, их необходимо дополнять решением уравнений
3. Рассмотрим конкретную систему, блок-схема которой приведена на рис. 1,6 и которая описывается следующей системой уравнений:
0 ~ -^вх -^о.с 8,
^вы *=№0(р)Ь, /7 8=/(а),
*о.с = НРо.с (р) *вых,
где Хос— сигнал обратной связи; б — угол отклонения органа управления; W0(p), Ш0. с (р) — передаточные функции объекта регулирования и звена обратной связи, которые имеют вид:
{Р) = р2 + 1р + ш2 5 «"о, (р) - «р + р.
Здесь Ь — коэффициент усиления объекта регулирования: ю* —
соответственно его коэффициент демпфирования и собственная частота; р, а — коэффициенты позиционной и скоростной обратной связи.
Скоростная характеристика привода линейна при малых входных сигналах и имеет наклон £)0; насыщение по скорости привода наступает при а = До, максимальная скорость привода 6тах = А>Ло-
Приведем уравнения системы к безразмерному виду, используя в качестве характерных параметров величины Д0 и т1 = У
— Хвх _ а _2 Й?1
ВХ д > 0 д >(и* 2’ 0 ' >
Д0 А0 ш1 2а>!
5*=^-, <*! = <**+ * а; 0 = -^; р =
2о
д.-±.
А,
о
В этом случае ЦУ (р) = р ІІІ 1 ^ , и уравнение (4) пе-
Р (Р3 + 25* р + »*)
репишем в виде
[1 + к {А.) \У(й0)]А'ЄІЧ' = Аю,
где
Э {АЛ _ Ах -к(Ая) =— --------; Лвх = -—■; о)0 = (в0/о)1.
•^0 “О
В дальнейшем рассматривалось объекты регулирования с различными характеристиками собственной статической устойчивости; для всех вариантов її = 0,7; £*=0,1:
1—объект с большим запасом собственной статической устойчивости о)2 = 0,5;
2 —ш. = 0,225, 1 — объекты с малым запасом статической устой-3- «2 = 0,2 ] чивости;
4 — «)*==0 —нейтральный объект;
=—0,5 —статически неустойчивый объект.
Корневые годографы замкнутой системы при вариации &( Ла ) приведены на рис. 3. При параметрах, соответствующих объектам 3, 4, 5, в системе возникают автоколебания. Предельные циклы объектов 4, 5 неустойчивы. Объект 3 имеет два предельных цикла, один из которых (0^0,74) неустойчив, а другой (со— 0,58) устойчив.
Примеры зависимостей Лвх ( Ла) для рассматриваемых объектов приведены на рис. 4, 5, где области устойчивых решений показаны сплошными линиями, а неустойчивых — штриховыми. На этих кривых можно выделить три участка.
Участок АВ. Лвх и Л3 изменяются от нуля до локального максимума Лвх. Начало этого участка соответствует линейному участку скоростной характеристики привода. Здесь ^вх > 0 и вынужденные колебаний устойчивы.
J'u
-
Объект
2 -J^y
• T\
*-* J ■ J \
1 I 1 1 " / \ ol J— 1 л—1 . 11 . і і .1—І
Kip) 0 1W NO3 4-Ю3 S-103 HO3 0,01 0,02 0,03 0,04- ом 0,1 4/J
X * □ Ш Л k • X x 0 ♦ V т
Рис. З
Участок ВС. Лвх изменяется от локального максимума до
с1А
локального минимума. Здесь < 0 и вынужденные колебания
неустойчивы. _
Участок СД. На этом участке Лвх монотонно возрастает с увеличением Аа и -^^->0. т- е- выполнено одно из необходимых
условий устойчивости. Однако при определенных сочетаниях параметров системы и входных сигналов на этом участке вынужденные колебания неустойчивы.
Для объекта 1 участок СО соответствует устойчивым решениям.
Для объекта 2 участок СБ при частоте <й0 = 0,69 соответствует устойчивым решениям. При частоте со0=1 на этом участке имеется отрезок 5<ЛВх<40,9, на котором вынужденные колебания неустойчивы. Разметка этого отрезка проводилась согласно знаку вещественных частей корней уравнений (12). Точное решение уравнений вынужденных колебаний (1, 2) для объекта 2 при ©о =1,0 показывает, что колебания системы носят характер биений при 19,5<ЛВХ<45. При меньших Лвх неустойчивость вынужденных колебаний приводит или к биениям, или к переходу решения с третьего участка на первый.
Объект 3 имеет устойчивый предельный цикл при соо=0,6 и неустойчивый цикл_ при соо = 0,75. Третий участок кривой ЛВХ(Л„ ) для объекта 3 при о)о=0,75 имеет отрезок (0<ЛВХ<31,3), соответствующий неустойчивым колебаниям. Здесь также точные решения имеют характер биений или срываются на меньшие амплитуды Ап , соответствующие первому участку.
Объект 4 имеет неустойчивый предельный цикл на частоте шо = = 0,85 (рис. 5). Третий участок кривой Лвх (Л„ ) для этого объекта при юо=0,85 (рис. 5) соответствует неустойчивым решениям, которые характеризуются быстрым нарастанием амплитуды колебаний. При частоте £о0=2 на третьем участке кривой Лвх(Лд) приближенное решение устойчиво при входных сигналах с амплитудой 5,1<ЛВХ<7,1, неустойчивость точного решения проявляется в биениях (начиная с <4вх = 9,75)_ или в неограниченном возрастании рассогласования а при больших Лвх.
Для объекта 5, имеющего неустойчивый предельный цикл с частотой соо=0,9, указанные зависимости аналогичны (рис. 5).
4. Приведенные примеры показывают, что при плавном увеличении амплитуды входного гармонического сигнала возникает скачкообразное изменение амплитуды и фазы рассогласования на входе в привод, если привод выходит на насыщение по скорости. Предельная точка при таких скачках амплитуды рассогласования может быть устойчивой или неустойчивой в зависимости от характеристик системы и входного сигнала. Это создает затруднения в управлении объектом регулирования, если он является частью более сложной системы. Скачкообразных изменений характеристик движения объекта регулирования с нелинейным приводом можно избежать ограничением входного сигнала по амплитуде или скорости. На рис. 6 приведены отношения скоростей входного сигнала, соответствующих максимумам кривых Л_вХ (Л») (точка В на рис. 4, 5), к максимальной скорости привода при 0 = 5 и различных частотах вынужденных колебаний. Минимальные значения
этих скоростей входного сигнала можно рассматривать как максимально допустимые.
Для статически устойчивых объектов 1, 2, 3 максимальные допустимые скорости входного сигнала оказываются больше максимальной скорости привода. Для объектов 4, 5 допустимые скорости входного сигнала меньше максимальной скорости привода.
Таким образом, полученный приближенный критерий позволяет достаточно точно определить области параметров регулятора и входных воздействий, обеспечивающих устойчивость вынужденных колебаний управляемых объектов с нелинейным регулятором.
ЛИТЕРАТУРА
1. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. — Киев, изд. АН УССР, 1937.
2. П о п о в Е. П., П а л ь т о в Н. П. Приближенные методы исследования нелинейных автоматических систем. — М., Физматгиз, 1960.
3. Т а ф т В. А. Об устойчивости периодических режимов в системах автоматического регулирования, найденных приближенно, исходя из гипотезы фильтра. — Автоматика и телемеханика, 1958, № 6.
4. У д е р м а н Э. Г. Метод корневого годографа в теории автоматических систем. — М.: Наука, 1972.
5. HatanakaH. The frequency responses and jump-resonance phenomena of nonlinear feedbaek control sustem. — Trans. ASME J. Basic Eng., ser. D., vol. 85, 1963.
6. Смирнова И. М. Об устойчивости приближенно найденных периодических режимов в системах автоматического регулирования. —
Труды II Всесоюзного совещания по теории автоматического регулирования, т. I. М.—Л.: АН СССР, 1955.
Рукопись поступила 13/1 1983 г.
