Приближенный анализ дифракционных потерь в уголковых отражателях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530.145

ПРИБЛИЖЕННЫЙ АНАЛИЗ ДИФРАКЦИОННЫХ ПОТЕРЬ В УГОЛКОВЫХ ОТРАЖАТЕЛЯХ

С. П. Тарабрин

(.кафедра физики колебаний) E-mail: tarabrin@phys.rnsu.ru

Рассмотрен фундаментальный механизм потерь энергии гауссова пучка света в диэлектрическом уголковом отражателе при дифракционном рассеянии на его ребре. Сделан оригинальный расчет и получены оценки относительных потерь для различных поляризаций с учетом явления сдвига Гуса-Хэнхена. Для волны, поляризованной параллельно ребру уголкового отражателя, относительные потери при угле падения а = 7г/4 равны (Жнпг/Жпс)е ~ 7.03(Ао/а), а для волны, поляризованной перпендикулярно ребру, (И^шг/ИтС)я — 3.82(Ао/а), где Ао — длина волны в вакууме, а — эффективный радиус пучка.

Введение

В настоящее время чувствительность лазерной гравитационной антенны LIGO ограничена уровнем термодинамических шумов в диэлектрическом покрытии используемых зеркал, которые в работе [1] было предложено заменить на диэлектрические уголковые отражатели (рис. 1), свободные от этого недостатка.

Рис. 1. Резонатор Фабри-Перо с уголковыми отражателями

В настоящей работе рассчитаны фундаментальные дифракционные потери гауссова пучка света на ребре двугранного диэлектрического уголкового отражателя (см. рис. 1), изготовленного из плавленого кварца с показателем преломления п = 1.45 > \/2-Характерным параметром гауссова пучка является отношение А/а<С 1 длины волны к радиусу пучка. Известно [2], что для гауссова пучка, распространяющегося вдоль оси г, одна из поперечных компонент электрического поля может быть выбрана равной нулю (например, Еу = 0). Тогда для компонент электрического и магнитного полей в пучке можно написать оценки

Л Л2

Ну ~ Ех, Ег, Нг ~ -Ех, Нх ~

а а1

В расчетах мы будем удерживать только «большую>> компоненту Ех электрического поля, пренебрегая вкладом «малых» (по параметру Х/а) компонент.

Решение задачи о дифракции гауссова пучка света на ребре уголкового отражателя мы будем искать методом последовательных приближений (точное решение самосогласованной задачи нам неизвестно).

В нулевом приближении мы рассчитываем распределение поля на внутренней поверхности диэлектрика по формулам Френеля в случае полного внутреннего отражения, предполагая, что дифрагированная волна отсутствует. Мы рассматриваем ограниченный в поперечном сечении световой пучок, поэтому формулы Френеля, справедливые только для плоского волнового фронта, необходимо скорректировать — учесть сдвиг Гуса-Хэнхена [3-5], что не сделано в [1]. Как будет показано ниже, при учете этой поправки количественная оценка потерь увеличивается приблизительно в два раза.

Основное допущение нашего расчета в нулевом приближении есть применение формул Френеля (справедливых для отражения от бесконечной плоскости) для отражения от полубесконечных граней уголкового отражателя.

Далее мы рассчитываем распределение поля на внешней поверхности диэлектрика, используя граничные условия для компонент электрического и магнитного полей. Применяя интегральную теорему Кирхгофа-Гельмгольца, мы рассчитываем дифрагированное поле на бесконечности (решение в первом приближении) и мощность дифракционных потерь.

Расчет дифракционных потерь

^-поляризация

Пусть на ребро уголкового отражателя под углом а к одной из его граней падает гауссов пучок света с радиусом поперечного сечения а и длиной

О J

¡8Í х

Z

Рис. 2. Система координат для расчета распределения поля внутри уголкового отражателя. Вектор главной компоненты поля Ех выбран параллельным ребру

волны в вакууме Ао (считаем, что условие полного внутреннего отражения выполнено для обеих граней). Выберем систему координат так (рис. 2), чтобы главная компонента гауссова пучка Ех была параллельна ребру уголкового отражателя.

Поле световой волны внутри уголкового отражателя представляет собой сумму полей падающего (£j.nc), отраженного от первой грани (ЕТха1]), отраженного от второй грани (Етх^2) и отраженного назад (ЕТХ^Г2) света:

Ех(х, у, г) = Е™(х, у, z) + Exi] (х, у, г) +

£].пс(х, у, z) = Eq exp[tkQií(y sin а + г cos о)] x

x2 + (у cos a — z sin a)2"1

x exp

Efx]] (x, y, z) = Eq exp[ikon(y sin a — z cos a) — iS\ ] x x2 + (—у cos a — z sin a + D\ )2

x exp

£J.e'2 (x, y, z) = Eq exp[—ikon(y sin a — z cos a) — г<У x x2 + (—у cos a — z sin a + D2)2

x exp

Ef]4x,y,z)

= Eq exp[—tkQií(y sin a + z cos a) — tS¡ — ÍS2] x x2 + (y cos a — z sin a + D\ — D2)21

x exp

az

tgy

¿1 \f n2 sin2 a — 1 So \/n2 cos2 a — 1 ■ tgT =-

A =

Ao

n cos a sin a

n \Jn2 sin2 a — 1

Eh =

Ao

«sin a cos a

7Г \Jn2 cos2 a — 1

Здесь коэффициенты и £>2 появляются благодаря учету сдвига Гуса-Хэнхена. Мы предполагаем, что

условия полного внутреннего отражения sino > 1 /п и coso>l/n выполнены.

Выражения для полей Етх]} и Е™'2 были получены следующим образом. Мы разложили падающий на бесконечную плоскость раздела двух сред гауссов пучок в двойной интеграл Фурье по плоским волнам с учетом условия монохроматичности &2 + к2 + &2 = к2 = ш2/с2 (частота ш задана). Каждая плоская волна, входящая в гауссов пучок, будет отражаться от плоскости раздела с некоторой своей фазой [6]. Сложив все отраженные плоские волны в отраженный гауссов пучок, мы получили, что распределение поля в этом пучке сдвинуто на некоторую величину £) (которую и называют сдвигом Гуса-Хэнхена) относительно ожидаемого распределения при зеркальном отражении. Выражение для отраженной назад волны есть просто результат двух последовательных отражений. В этом месте мы проигнорировали ограниченность граней.

Зная распределение поля на внутренней поверхности призмы (пометим его индексом «¡пи), можно, используя уравнения Максвелла и граничные условия для компонент поля, найти распределение поля и его производных (с учетом соотношения А/а<С 1) на внешней поверхности (помечены индексом «ех1»):

?reÍ2

0, z) = £f (х, 0,2), у, 0) = £f (х, у, 0),

OEf ду

ое?х

dz

ext \У=°

OEf ду

Fit \ í/=°

¡nt

i

dz

2=0

Подставляя это распределение в интегральную теорему Кирхгофа-Гельмгольца, найдем распределение поля в дальней дифракционной зоне (рис. 3):

Ех(г') =

х 1 Опе)

дБ*

дпе

dr =

El

2=0

OG

dz

2=0

-2=0

0Ex_ dz

2=0'

dx dy+

ET

OG\y=0 oy)

Gy=

OEx

Oy)

y=o'

dxdz. (1)

Здесь пе — внешняя нормаль к поверхности, а G функция Грина [7]

ехр[г&о|г' — г|]

G(r' -г) =

Ап\г'

где г' — радиус-вектор точки наблюдения поля, а г — радиус-вектор точки на поверхности интегрирования Е — внешней поверхности уголкового отражателя. Характерные линейные размеры призмы можно считать много большими радиуса пучка, поэтому формально интегрирование можно распространить на полуплоскости {Оху, —ос < х < ос,

10 ВМУ. Физика. Астрономия. № 2

Рис. 3. Система координат для расчета распределения поля в дальней дифракционной зоне

у < 0} и {Охг, —ос К х К ос, г < 0}. Предполагая, что расстояние г' от начала координат до точки наблюдения много больше линейных размеров призмы (V г, г' г), получаем

£2=0 1

С»=

2=0

4тгг> 1

4ттг> Иго соб в

<Ю

'дг) 47гг'

¿Х?у=0 Игоътв

~0у) ~

ехр[г^ог' — ¿кох 51*п ф ~~ У 0] -ехр [Игог' — Иг$х эш <р — 1ког сое в],

ехр[г^ог'—51*п 5111 0] ■ ехр[г^ог'—¡ко* бш (р—1к$г сое в].

4ТТГ>

Элементарное интегрирование (1) с учетом соотношения А/а <С 1 приводит к следующему результату:

а2кп:

£х(г', /9, ф) = -Е0-1Г^= ехр

г'4^

ц вт2 <р

■МО),

(2)

А (в) =

соъв — псов а бш^ —пэта

этЯ —пэта соБб1 — псов а

соб в + п соб о

эт в — п эт а

эт в — п вт а

СОБ в + п соб а

СОБ в — п соб а

эт в + п эт а

эт в + п вт а

СОБ в — П СОБ О

ехр ехр ехр ехр

-¡8] — г&оА -¿¿1 + г&оА -г<52 + 1кф2 -182 - 1кф2

п эт а — эт в'

соб а п соб а + соб в

эт а п эт а + эт в

соб а п соб а — соб в эт а

соб в + п соб а эт в + п эт а

х

х ехр

-т +

п эт а + эт в

соб а

эт в + п эт а соб в + п соб а

х

х ехр

-т+82)-1^-02)

ПСОЪО. + СОБ в

эт а

Вычислим поток энергии, уносимый рассеянной волной в окружающее пространство интегрированием вектора Пойнтинга по поверхности сферы радиуса г'. В выражении (2) гауссов множитель выделяет на сфере малую площадку, в пределах которой фронт дифрагированной волны можно считать практически плоским и применять выражение для вектора Пойнтинга (усредненного по времени)

плоской волны 3=<^\ЕХ\2:

ЭДшг =

Е^са2 32тг2

с1а($ ■ п)

ж/2

йв

-ж/2

йр сов^з ехр

-ж/2

ж/2

с1р соъ (р г'25(г', в, (р) =

ж/2

а2к?.:

^ эт2 <р

с1в\АЩ

-ж/2

V

(3)

Последний интеграл в (3) вычисляем численно (А0 = 1 мкм, о = тг/4): с1в\А(в)\2 ~ 1392.

Щпс' а

201-,-,-,-,-п-

18 16 14 12 10 8 6 4 2

¿■-поляризация ¿/-поляризация

43.5 44 44.5 45 45.5 46 46.5 Угол падения, град

Рис. 4. Зависимость относительных потерь световой энергии от угла падения

Окончательно получим оценку относительных дифракционных потерь (Щпс = ^Е^са2):

W,n

diíír

Win

7.03—,

а

Wd¡

fir

Win

1 2.65—, a

\v7out О-Н

Здесь мы привели для сравнения оценку дифракционных потерь, рассчитанных без учета сдвига Гуса-Хэнхена [1].

На рис. 4 представлена зависимость потерь от угла падения. Видно, что потери минимальны, когда угол падения а = ж/А.

//-поляризация

Этот случай рассматривается аналогично предыдущему. Выбирается такая система координат, чтобы главная компонента Нх гауссова пучка была параллельна ребру уголкового отражателя (рис. 5). Главное отличие от предыдущего случая состоит в более сложной связи внешних производных с внутренними:

у=0 _ (дн'1пх у=0 V Оу ) ~ п2\ Оу )

{ощ*х\г=0 1 (он'^г=0

I Ог )

пz \ dz

Можно также показать, что компоненты электрического поля на внешней поверхности диэлектрика претерпевают разрыв в начале координат:

lim Е?\х,у,0)=п2 lim E?\x,0,z),

" ^ г—»-0

г/^0

lim El (х,у, 0) = п lim El (х, 0, г).

у-* 0 г-¥ 0

О '

z

Рис. 5. Система координат для расчета распределения поля внутри уголкового отражателя. Вектор главной компоненты поля Нх выбран параллельным ребру

Выпишем результат для напряженности магнитного поля в дальней зоне:

a2k2

sin2 (f

a J far'

Hx(r'J,p) = -H0-—exp

'r'Ayß

■B{0).

= cose--cos» sin В — п sin а

sin В — ^ sin а

cos в■

■ cos а

sin в — п sin а sin в —J sin Ol cos В + n cos a cos В — cos a sin В + n sin a sin B + j sin a cos В — n cos a cos в + cos a sin B + n sin a

exp exp exp exp

cos В — n cos a

, »у ___ /X Sill Ö —_ ^ -to 1 — IRqD1

-iS\ + ik qD\ -iS 2 + ik0D2 -iS2 - ik0D2

cos a n cos a + cos В

sin a n sin a + sin В

cos a n cos a — cos В sin a

x exp sin В

-i(Sl+S2) + ik0(Dl-D2)

sin a

cos в + n cos a

x

x exp

где

*т =

n\Jn2 sin2 a — 1

D\ =

X о«2

cos a sin a

n \Jn2 sin2 a — 1

•4

Eh =

n sin a + sin В cos a

neos О + COS0 sin a

nsjn2 cos2 a — 1

Л о«2

sin a cos a

7Г \Jrt2 cos2 a — 1

Величины дифракционных потерь с учетом и без учета сдвига Гуса-Хэнхена

diíír

3.82—,

а

fir

Win

1 2.09—,

w/out G-H

Зависимость величины относительных потерь от угла падения представлена на рис. 4.

Заключение

В настоящей работе проведена оценка дифракционных потерь энергии гауссова пучка света на ребре диэлектрического уголкового отражателя с учетом явления сдвига Гуса-Хэнхена для обеих поляризаций в первом приближении по параметру А/а. Показано, что относительные потери имеют минимальную величину при угле падения а = 7г/4, а также что учет сдвига Гуса-Хэнхена приводит к существенному (в 1.8-2.7 раза при угле падения ж/А) увеличению количественной оценки потерь.

Для радиуса пучка а ~ 8.49 см (в варианте Advanced LIGO) и длины волны Ло = 1.064 мкм коэффициенты отражения по интенсивности Я, определяемые дифракционными потерями, составляют величины (1 —/?)/-• ~ 0.88-10"4 и (1-Я)/* ~ 0.48-10~4 для Е- и Я-поляризации соответственно. Эти значения устанавливают фундаментальный предел оп-

П ВМУ. Физика. Астрономия. № 2

тических потерь в уголковых отражателях на эффекте полного внутреннего отражения (в отличие от сферических зеркал с многослойными покрытиями, в которых подобного предела нет).

Автор признателен С. П. Вятчанину и А.Н. Боголюбову за ценные советы и замечания.

Литература

1. Braginsky V.B., Vyatchanin S.P. // Phys. Lett. A. 2004. 324. P. 345.

2. Быков В.П., Силичев О.О. Лазерные резонаторы. М., 2003.

3. Artmann К. // Ann. Physik. 1948. 2. P. 87.

4. Lotsch H.K.V. // JOSA. 1968. 58. P. 551.

5. Lai H.M., Cheng F.C., Tang W.K. // JOSA A. 1986. 3. P. 550.

6. Ландау Jl.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М., 2001.

7. Ахманов С.А., Никитин С.Ю. Физическая оптика. М., 1998.

Поступила в редакцию 21.04.06