Приближенный алгоритм составления расписаний движения автобусов Текст научной статьи по специальности «Математика»

В том случае, когда контур настройки множителя Лагранжа устойчиво поддерживает ограничение ст (к) E = 1, первое соотношение (41) автоматически приобретает форму широко распространенного в теории искусственных нейронных сетей алгоритма обучения Уидроу-Хоффа [8]:

с(к) = с(к -1) +

w(k) у(к) № )||2

(42)

являющегося в свою очередь одной из разновидностей дельта-правила настройки нейронов.

Предлагаемый подход позволяет выделить из анализируемого сигнала произвольное количество гармонических компонент, обладая при этом высоким быстродействием, обеспечиваемым как параллельной организацией вычислений, так и оптимальными свойствами алгоритмов обучения.

Литература: 1 .Рабинер П, Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.:Мир, 1978. 848 с. 2. Мизин И.А., Матвеев А.А. Цифровые фильтры. М.: Связь, 1979. 240с. 3. КаппелиниВ., Константинидис А.Дж., Эмилиани П. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энергоатомиздат, 1983. 360с. 4. Signal Processing Handbook / Ed.by C.H.Chen.-N.Y. and Basel:Marcel Dekker, Inc., 1988. 818p. 5. Адаптивные фильтры/Под ред.К.Ф.Н. Коуэна, П.М. Гранта. М.:Мир, 1988. 392с. 6. Уидроу Б., Стирнс С. Адаптивная обработка сигналов. М.:Радио и связь, 1989. 440с. 7. Balmer L. Signals and Systems. An Introduction.-Prentice Hall Europe, 1997. 550p. 8. Cichocki A., Unbehauen R. Neural Networks for Optimization and Signal Processing.Stuttgart:Teubner,1993. 526p. 9. Kwan T, Martin K. Adaptive detection and enhancement of multiple sinusoids using a cascade IIR filter / / IEEE Trans. Circuits and Systems-1989. 36. N7. P.937-947. 10. Doraiswami R., Jiang J. A linear time-varying filter for estimating a signal from unknown noise and its applications to identification / / Int.J.Contr. 1985. 42. N1. P.97-117. 11. Galvan J.B. An unsupervised recurrent neural network for noise identification // J. Syst.Eng. 1996. 6. P.177-185. 12. Бодянс-

кий Е.В. Адаптивные алгоритмы идентификации нелинейных объектов управления//АСУ и приборы автоматики. 1987. Вып.81. C.43-46. 13. БодянскийЕ.В., Воробьев С.А. Алгоритмы обучения искусственных нейронных сетей в задаче идентификации нелинейного стохастического нестационарного объекта// Праці П’ятої Української Конференції з автоматичного управління “Автоматика-98”: К., 13-16 травня 1998р. 4.III. Київ: НТУУ “КПІ”, 1998. С.350-354. 14. Goodwin G.C,Ramadge P.J., Caines P.E. A globally convergent adaptive predictor/ / Automatica.-1981. 17. N1. P.135-140. 15. Бодянский Е.В., Руднева ИА. Об одном адаптивном алгоритме обнаружения разладок в случайных последовательностях// Автоматика и телемеханика 1995. N10. C.101-106.

Поступила в редколлегию 20.10.2000

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Любчик Л.М.

Бодянский Евгений Владимирович, д-р техн. наук, профессор кафедры искусственного интеллекта, научный руководитель проблемной НИЛ АСУ ХТУРЭ, член IEEE, WSES. Научные интересы: нейро-фаззи-системы. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-98-90.

E-mail: [email protected], [email protected]

Котляревский Сергей Владимирович, канд. техн. наук, старший научный сотрудник проблемной НИЛ АСУ ХТУРЭ. Научные интересы: нейро-фаззи-системы. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-98-90.

Чапланов Алексей Павлович, инженер кафедры искусственного интеллекта ХТУРЭ. Научные интересы: искусственные нейронные сети. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-98-90.

E-mail: [email protected]

Шило Александр Владимирович, канд. биол. наук, старший научный сотрудник отдела криофизиологии Института проблем криобиологии и криомедицины НАН Украины. Научные интересы: нейрофизиология головного мозга, хаос в физиологии, фракталы. Адрес: Украина, 61015, Харьков, ул. Переяславская, 23, тел. (0572)-702-935. E-mail: [email protected]

УДК 658.52.011.56

ПРИБЛИЖЕННЫЙ АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ РАСПИСАНИЙ ДВИЖЕНИЯ АВТОБУСОВ

СКРИПИНА И. В.

Предлагается приближенный метод решения класса задач, связанных с оптимизацией транспортного процесса, который позволяет эффективно строить расписания с учетом ограничений, характеризующих реальные условия.

Предметом изучения является модель эффективной организации пассажирских перевозок, построение которой основано на решении известной задачи о назначении. Эта задача располагает широким спектром практических приложений на транспорте.

Доказано, что задача о назначении эффективно разрешима. При этом предполагается, что для достижения оптимума ее целевой функции достаточно найти единственное ее решение. Однако в практических ситуациях возникает потребность в

нахождении множества оптимальных решений с заданными свойствами, при различных условиях.

Результаты изучения этих свойств составляют содержание данной статьи. Условия, при которых необхо -димо минимизировать суммарное время выполнения автобусами маятниковых маршрутов между двумя пунктами 1 и 2, содержат дополнительное требование. Оно заключается в том, что перевозки между этими пунктами должны обеспечивать m автобусов, из них m1 автобусов автопредприятия, расположенного в пункте 1, и m- mi автобусов автопредприятия, расположенного в пункте 2. Из расписания движения по автостанциям известно время отправления для каждого рейса из пункта 1 в пункт 2 и обратно — из пункта 2 в пункт 1. Любой автобус автопредприятия, расположенного в пункте к, к = 1,2 , начинает и завершает маршрут согласно расписанию в этом пункте.

Рейс i из пункта 1 в пункт 2 начинается в момент времени ti j, i = 1, m и его продолжительность равна тц . Рейс j из пункта 2 в пункт 1, начинающийся в момент времени 12j j = 1, m , выполняется за время

РИ, 2001, № 2

77

^2j. Для автобуса, отправляющегося рейсом i из пункта 1 в пункт 2 и возвращающегося рейсом j из пункта 2 в пункт 1, время в наряде определяется как Yij = t2j “ tii +T2j , t2j - tii <Ti; .

Аналогично, продолжительность маятникового маршрута автобуса, выполняющего вначале рейс i, а затем j, равна Рji = tii -t2j +Т1Ь tii - t2j ^T2j.

Пусть Y = [yij]m и Z = [zjj]m обозначают (0, 1)-квадратные матрицы порядка m, удовлетворяющие следующим условиям:

mm

Уі = Z yij = i V о , yj = £ Yij = i v 0 ,

j=i i=i

mm

Z Z у ij = mi , 0 < m. < m ; i=ij=i i

mm

zi = Z zij = i v 0 , z. = £ zij = i v 0 , j=i J i—i

mm

ZZzij = m - mi; y+z=x, i=ij=i

X = [Xij] — матрица перестановки.

Рассмотрим квадратные матрицы [ Т ij ] m и [ Pij ] m порядка m , связанные с матрицами Y, Z и X функционалом

m m m m

т(ль л 2) = ZZyij у ij +ZZzijP ij, (і)

i=ij=i i=ij=i

где у ij, Pij — неотрицательные целые числа; л. — подмножество из mi индексов строк матрицы Y, а л 2 — соответственно непустое множество из m-mi индексов строк матрицы Z. Матрице перестановки X соответствует последовательность л = (л. , Л2) , представленная разбиением на подмножества л. и %2: л=л. ил2, л. П1Л2, л., Л2 ^0, | л. |= m., | Л21= m-щ.

Поставим задачу нахождения такой перестановки л*, что её разбиение

(^1 , п 2)

* *

Лі = m1, л2

= m -

m., m. > 0

доставляет функционалу (1) значение

Т(л* ,л2) = min Т(лі,л2).

Л=(лі Л2)

Анализ задачи начинается с составления матриц [Yij]m и [Pij]m. Каждый элемент у^ первой таблицы равен времени выполнения маятникового маршрута, включающего рейс i из пункта 1 в пункт 2, а затем рейс j из пункта 2 в пункт 1.

Матрица [Pij]m содержит длительности всех маршрутов, которые начинаются выполнением рейса j, j = 1, m, из пункта 2 в пункт 1, и заканчиваются рейсом і, і = і, m, из пункта 1 в пункт 2. Иначе говоря, матрица [у ij]m составлена в предположении m. = m, а матрица [Pij]m содержит информацию о продолжительности маршрутов при условии, что m. = 0.

78

Наложением матриц [ У ij ] m и [ Pij ] m образуем таблицу [(уij,Рij)]m из m2 упорядоченных пар (Y ij, Pij), i,j = 1,m . Любая матрица перестановки X элементов л = (л[1],л[2],...л[к],...,л[l],...л[m]) индексов строк полученной конфигурации, а также разбиение л на подмножества л. и л2, | л. |= m.,

| л2 |= m - m., 0 < m. < m, оценивается значением функционала

Т(ль л2) = Т(лі) + Т(л2), (2)

Т(лі) = Zy*[k] Т(л 2) = zp^i]

ken. ’ le^2

Таким образом, допустимое решение задачи отыскания минимума (1) включает в себя перестановку л индексов из m строк таблицы [(yij,Pij)]m и разбиение (л., л2) перестановки л на подмножества л. и %2 с наперёд заданным числом элементов m., 0 < m. < m в подмножестве л.. Обозначим л = (л., л2) допустимое решение (1).

Рассматриваемая задача содержит все признаки задачи о назначениях. В отсутствие ограничений на количество элементов в подмножестве л. её оптимальное решение л* является решением задачи о назначениях с исходными данными в виде матрицы [a ij]m, где а ij = mrn{y ij, Pij} .

Задача минимизации (1) имеет наглядное представление в терминах теории графов.

Таблице [(yij,Pij)]m поставим в соответствие полный двудольный ориентированный граф G=(VuW,E), IV = |W| = m, |E = 2m2 , где каждая пара вершин {vі,wj}, Vi є V, Wj є W образует две дуги (vi,w jMwj,vi)є E c весами Y(vi,Wj) = y ij и P(Wj,Vi) = Pij . Тогда последовательность л = (л[1]л[2],...,л[m]) элементов таблицы [(Yij,Pij)]m можно представить как совершенное паросочетание полного двудольного неориентированного графа G0 = (V u W,E0), где E0 - множество рёбер |vi,Wj|, Vi є V, Wj є W |E0| = m2 . Разбиение л = (л., л2) устанавливает ориентацию ребра из Vi є V в Wj є W и его вес, равный у ij, если |vi,Wj}ЄЛ1, |л.| = m. . Если |vi,Wj}єл2 ,

|л 2 = m - m., то ребро ориентировано из w j є W в Vi є V и принимает вес, равный Pij. Определим вес полученного ориентированного подграфа графа G=(VuW,E) как сумму весов входящих в него дуг. Требуется построить на множестве всех таких подграфов подграф л* = (л*,л2) с наименьшим весом.

Оценим мощность области допустимых решений л = (л.,л2). Таблица [(Yij,PijXIm порождает m! последовательностей л, а число всех возможных разбиений элементов л на два таких подмножества л. и л2 , что | л. |= m., | л2 |= m - m., 0 < m. < m, равно

РИ, 2001, № 2

m! /(mj (m - mj)). Следовательно, область поиска разбиения п* = (я* ,%2) содержит (m!)2/(mj(m - mj)) допустимых решений П = (nj, Я 2) .

Приведём промежуточный результат, позволяющий выполнять построение П* = (Л* ,я2) на множестве из m! перестановок я = ^, я 2).

С этой целью рассмотрим задачу разбиения m упорядоченных пар (уj,Pj) , j= j,m на два подмножества ст0 и ст0 с заданным числом mi пар в ст0 , О < mj < m и с наименьшей величиной

Т(ст0, ст 2) = min ( ^ Y j + ЕР j)

0-(0!’ °2) jeaj je(J2 (3)

|CTT |=mT H2I =m“mT

среди всех разбиений (стьСт2 ) множества ° = {(Yj,Pj)/j<j<m} .

Утверждение. Величина Т(ст О, ст О) достигается упорядочением множества ст = {(у j, р j) / і < j < m} по неубыванию значений 8 j =у j -р j и включением в подмножество ст0 mj первых слева элементов полученной последовательности.

Доказательство. Для разбиения множества ст = {(У j, Pj)/! ^ j ^ m} на подмножества ctj и Ст2, |ctj| = mb|ст2| = m-mі,mі >О имеем

m

Т (сь ст 2) =Еу j + ЕР j = Еу j + EPj -ЕР j =

jeaj jen 2 je°j j=j je°j

m

= EP j + E (y j-P j) = const+ E8 j.

j=j jeaj jeaj

Отсюда следует, что для нахождения минимума Т(ст j, ст 2) достаточно получить последовательность ст° компонент (уj,Рj) , j> j<m , в которой

8 о ^8 о ^... < 8 о O0[j] о0 [2] оо[ш] ,

и подпоследовательность ст0, состоящую из mj первых слева компонент ст° . Утверждение доказано.

Таким образом, установленный результат позволяет легко находить по заданной последовательности л = (я[Ц,я[2] ,...,я[щ]), соответствующей матрице перестановки X элементов таблицы [(у ij, Pij)]m , единственное разбиение % = (^0, я®), у которого величина (2) достигает наименьшего значениия среди всех m!/(mj!(m - mj)!) разбиений, порождаемых множеством {(уЛ[ j], P[j])/j - j - m}.

Опишем алгоритм, который не гарантирует построения точного решения, но для типичных индивидуальных примеров задач определяет близкое к оптимальному расписание.

S1. Матрица [Уу]ш составлена в предположении mj = m, а матрица [Pij]m содержит информацию о продолжительности маршрутов при условии, что

mj = 0.

РИ, 2001, № 2

Матрица [(у ij, Pij)]m, определяемая наложением [Yij]m на [Pij]m ; mj и m - mj — заданное число автобусов в пунктах 1 и 2.

52. Определить матрицу , где а- = у- +Р- .

53. Найти множество всех решений, минимизирующих целевую функцию задачи о назначениях для

матрицы [aij]m.

54. Каждому оптимальному решению задачи о назначениях поставить в соответствие m компонент из матрицы [(уij,Pij)]m и упорядочить их с помощью шагов S11-S14 алгоритма [1] при n=m.

55. Определить соответственно mj первых слева компонент матрицы [yy]m и m - mj компонент матрицы [Pij]m .

Точность допустимого решения зависит от длины входа, задаваемой разностью матриц [Уі- ]m и [Pij ]m , и от того, в каких пределах изменяются значения их элементов. Так как содержательная формулировка задачи исключает на входе присутствие чрезвычайно больших чисел, то есть все основания ожидать на выходе алгоритма решений с приемлемыми на практике погрешностями. Определив

перестановку я0 = (я0^), я0(2),..., я^щ)) , доставляющую минимум целевой функции задачи о назначениях для исходных данных в виде матрицы [a 0-]m , а 0 = min( у ij Pi-), получим неравенства

Еал0(-) ^ Т (ль л2) ^ Т , лг),

устанавливающие диапазон поиска значения ** п2).

Оценим трудоемкость построения допустимого решения ^j+, я 2+ ]. При выполнении шагов S1 и S2 для определения матриц [(уij,Рij)]m и [aij]m нужно o(m2) элементарных действий. Применяемая на шаге S3 процедура построения всех оптимальных решений задачи о назначениях выполняется за время O(Nmaxm4 log2 m) операций.

Рассмотрим пример. Пассажирские перевозки между пунктами 1 и 2 осуществляются двумя автобусами автопредприятия, расположенного в пункте 1, и тремя автобусами автопредприятия, расположенного в пункте 2.

Из расписания движения автобусов по автостанциям определим:

время отправления автобусов из первого пункта t1jj={6.00, 8.00, 12.00,16.00, 18.00}при соответствующих TU ={5,5,6,6,5},

время отправления автобусов из второго пункта t2j={7.00, 9.00, 12.00,15.00, 19.00}при соответствующих T2,j ={6,6,6,5,5}, m1=2, m2=5-2=3.

В соответствии с исходными данными определим таблицы [Уij ]m и [Pij ]m :

79

"29 27 24 14 18"

29 31 27 12 16

[^ ij ]5 - 25 27 30 28 12

21 23 26 28 32

19 21 24 27 30

"28 30 23 15 16"

26 28 30 13 15

[Р ij ]5 = 23 25 26 30 11

20 22 26 31 32

16 18 22 26 28

Наложением матриц [ 7 ij ]m и [ Р ij ] m

таблицу [(у ij, Р ij)]

[(У ij, Pij)b =

j^j^m ■

'(29,28) (27,30) (24,23 (14,15) (18,16)"

(29.26) (31,28) (27,30) (12,13) (16,15)

(25,23) (27,25) (30,26) (28,30) (12,11)

(21,20) (23,22) (26,26) (28,31) (32,32)

(19,16) (21,18) (24,22) (27,26) (30,28)

[aij]m _

[a ij]m где «ij = = 7ij + Pij

57 57 47 29 34"

55 59 57 25 31

48 52 56 58 23

41 45 52 59 64

35 39 46 53 58

Найдем все решения, доставляющие минимум целевой функции задачи о назначениях для исходных данных, представленных матрицей [a ij]m :

Л1 (а13,а24,а35,а41,а52) ;

Т( %1 )=47+25+23+41+39=175,

%2 = (а13,« 24, «35, «42, «51) ’

Т(л 2) =47+25+23+45+35=175.

Для каждого элемента перестановки ^ найдем соответствующую пару из [(у ij, Р ij )b, в результате чего получим множество из пяти пар:

(У13, Р13) =(24,23), (У 24, Р 24) =(12,13),

(7 35, Р35) =(12,11), (У 41, Р 41) =(21,20),

(Y 52Р 52) =(21,18)

Теперь определим стj для ^1 : Ст1 = 24-23=1, Ст2 = 12-13=-1, ст3 =12-11=1, ст4 =21-20=1, ст5 =21-18=3. Упорядочив значения стj по неубыванию, получим последовательность Ст2 < 01 <03 <04 < 05 и подмножества л* и л21. В них выбираем mi первых слева компонент, для которых

ЕУі) = У24 +У13 = 24 +12 = 36 , i,jen1

Е Pij = Р35 + Р41+ Р52 = 11 + 20+18 = 49,Т(л1) = 85.

і4єл2

80

Аналогично найдем для каждого элемента перестановки ^2 соответствующую пару из [(у ij, Pij)]5 , в результате чего получим множество из пяти пар:

(У13, Р13) =(24,23), (У 24, Р 24) =(12,13),

(7 35, Р35) =(12,11Х (7 42, Р 42) =(23,22Х (7 51Р51) =(19,16).

Теперь определим стj для Ст1 = 24-23=1, Ст2 = 12-13=-1, ст3 = 12-11=1, ст4 = 23-22=1, ст5 = 19-16=3. Получим последовательность а2 < 01 <03 <04 < а5 и подмножества ^ и ^

Е 7ij =У24 +713 = 24 +12 = 36 , i,je7tl1

Е Pii - Р35 +Р42 + Р51 _ 11 + 22 + 16 _ 49,Т(л2) _ 85. ■ ■ + i,j£"22

Все полученные разбиения доставляют целевой функции задачи значение, равное 85.

Совершенное паросоочетание, соответствующее разбиению ^1 = (л 11, л21), представлено на рисунке.

Оценим точность построенных решений. Для этого вычислим нижнюю границу Т(л*, л^), равную 0 n

Т(л 0) = 2 min( у ij, Pij) j=1

Из [( У ij , Р ij )] 5 определим

28 30 13 14 17"

27 29 12 13 16

22 24 29 31 11

19 21 28 29 32 .

17 19 24 26 29

Решение задачи о назначениях дает последовательность л0 = («13,«24,«35,«41,«52) , для которой Т(л 0) = 23 +12 +11 + 20 +18 = 84 . Таким образом, величина Т^ , л 2) ограничена снизу значением Т(л0) = 84, а сверху - значением Т^ ,л2) =85.

Литература: 1.Панишев А.В., Подоляка О.А., Скакалина Е.В. Эффективный алгоритм распараллеливания работ на неидентичных машинах //Авиационно-космическая техника и технология: Сб.науч.тр. Вып. 13. Харьков: Гос.аэрокосм.у-т. “ХАИ “, 1999. С. 136-146.

Поступила в редколлегию 24.03.2001 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Евдокимов А.Г.

Скрипина Ирина Валентиновна, старший преподаватель кафедры информатики Харьковского государственного автомобильно-дорожного технического университета. Научные интересы: математическое моделирование, теория расписаний и ее применение. Адрес: Украина, 61078, Харьков, ул. Петровского, 25, тел. 10-77-53.

^ ij, Pij)15=

РИ, 2001, № 2