ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДРОБНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА - ФРЕДГОЛЬМА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ф

И

З

И

К

О

-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Л.Х. Асхабова, М.У. Хасмухаджиева, И.Э. Барзоева

ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ДРОБНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕН-ЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА - ФРЕДГОЛЬМА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ АНАЛИТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ

В этой статье демонстрируется исследование некоторых значительных последних инноваций в методах аппроксимации для нахождения приближенных решений интегро—дифференциальных уравнений Капуто-Вольтерры - Фредгольма. Чтобы применить это, в исследовании используется метод декомпозиции Адомиана и модифицированный метод декомпозиции Адомиана Лапласа. Более широкая применимость этих методов основана на их надежности и уменьшении объема вычислительной работы. Это исследование обеспечивает аналитическое приближение для определения поведения решения. Это доказывает существование и результаты уникальности и сходимость решения. Кроме того, в нем приводится пример для проверки обоснованности и применимости предлагаемых методов.

Ключевые слова: метод декомпозиции Адомиана, преобразование Лапласа, интегро—дифференциальное уравнение Вольтерры - Фредгольма, дробная производная Капуто.

Введение. В этой статье мы рассматриваем дробь Капуто Интегро-дифференциальные уравнения Вольтерры - Фредгольма вида:

ж 1

сДк(х) = д(х) + а(х)у(х) + | К^(х, 0 + | К2(х, 0

о о

(1)

с начальными условиями

у'(0) = I = 0,1,... ,п — 1, (2)

где п — 1 <«< п,пеИ,у : [0,1] ^ Я - непрерывная функция, подлежащая определению, д, а : [0,1]—> Д и К1 : [0,1] х [0,1] ^ Я,1 = 1,2, является непрерывными функциями Липшища. Дробная производная понимается здесь в смысле Капуто.

Дробные интегро-дифференциальные уравнения вызвали гораздо больший интерес математиков и физиков, поскольку они обеспечивают эффективность описания многих практических динамических задач, возникающих в инженерных и научных дисциплинах, таких как физика, биология, электрохимия, химия, экономика, электромагнитное поле, теория управления и вязкоупругость [3,19,20]. В последние годы многочисленные работы были сосредоточены на разработке численных и аналитических методов для

© Л.Х. Асхабова, М.У. Хасмухаджиева, И.Э. Барзоева, 2022.

дробных интегро -дифференциальных уравнений. Существует множество подходов для поиска точных решений линейных и нелинейных уравнений, например, Аль-Самади и Гумах [3] применили метод гомотопического анализа для дробной модели эпидемии СЕЙРА, Джафариан и др. [14] успешно применили подход искусственных нейронных сетей для решения интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра дробного порядка. Кроме того, были проведены некоторые сравнения между этим итеративным подходом и другой традиционной техникой. Полученные результаты показывают, что этот метод очень эффективен, Момани [19] и Караллех [20] применили полиномы Адома для решения дробных интегро -дифференциальных уравнений и систем дробных интегро -ифференциальных уравнений, Кадем и Киликман [15] использовали методы HPM и VIM для интегродифференциального уравнения дробного порядка с начально-граничными условиями, Янг [21] использовал гибрид блочной импульсной функции и полиномов Чебы-шева для решения нелинейных дробных интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма, Янг и Хоу [22] применили метод декомпозиции Лапласа для решения дробных интегро-дифференциальных уравнений, Миттал и Нигам [18] использовал метод декомпозиции Адомиана для аппроксимации решений дробных интегро-дифференциальных уравнений, а Ма и Хуан [17] применили гибридный метод коллокации для изучения интегро-дифференциальных уравнений дробного порядка. Более того, свойства дробных интегро-дифференциальных уравнений были изучены несколькими авторами [4, 12, 16].

Основной целью настоящей работы является изучение поведения решения, которое может быть формально определено с помощью таких методов аналитической аппроксимации, как метод декомпозиции Адомиана и модифицированный метод декомпозиции Адомиана Лапласа. Более того, мы доказываем сходимость и единственность решения дробного интегро-дифференциального уравнения Вольтерра - Фред-гольма.

Остальная часть статьи организована следующим образом. В разделе 2 вспоминаются некоторые предварительные положения и основные определения, связанные с дробным исчислением и преобразованием Лапласа. В разделе 3 построен метод декомпозиции Адомиана для решения дробных интегро-диф-ференциальных уравнений Вольтерры - Фредгольма. В разделе 4 построен модифицированный метод декомпозиции Лапласа Адомиана для решения интегро-дифференциальных уравнений Вольтерры - Фред-гольма дробного порядка. В разделе 5 доказаны сходимость и единственность решения. В разделе 6 представлен аналитический пример чтобы проиллюстрировать точность этих методов. Наконец, краткое заключение приведено в разделе 7.

Предварительные условия. Математические определения дробной производной и дробного интегрирования являются предметом нескольких различных подходов. Наиболее часто используемые определения дробного исчисления включают дробную производную Римана - Лиувилля, производную Капуто , производную Рисса и дробную производную Грюневальда - Летникова [6,8,16,18,22]. В нашей работе было ипользовано определение дробной производной Капуто.

Определение 1. Дробный интеграл Римана - Лиувилля порядка а > 0

функции f определяется как

х

ГЮ = tr-1f(t)dt, х > о, *е r+,

о

J* f(x) = f(x),

где R + — множество положительных действительных чисел.

Определение 2. Дробная производная от f (x) в смысле Капуто определяется через

cD*f(x) = Jn-*Dnf(x) =

СП«/

X

1 f , dnf(t) , -- I (x - t)n-«-l v > dt,n-K«<n,

Г(п-к) J dtn

dnf(x)

, , к= П,

dxn

где параметр а является порядком производной и может быть вещественным или даже комплексным. В этой статье будут рассматриваться только реальные и положительные а., следовательно, мы обладаем следующими свойствами:

. ]<ххр = ПР + 1) ха+р 0 В >-1, Х> 0.

1 Г(а+@+1) И

к

• ГОКПх)=Пх)-%-1^к)(0+)^, п-1 «Х< п. Определение 3. Дробная производная Римана - Лиувилля порядка а > 0 обычно определяется как

Дк/(х) = Д"/п-к/(х), п — 1 <«< п (3)

Определение 4. Преобразование Лапласа функции / (х) определяется как

L[/(x)]=F(s) = | /(х)

е sxdx,

о

где х > 0,5 может быть как вещественным, так и комплексным.

Определение 5. Учитывая две функции / и д, мы определяем, для любого х > 0,

X

о

Функция / * д называется сверткой / и д.

Теорема 1. Преобразование Лапласа производной Капуто определяется

п—1

Ц СДК/(х)] = 5^^) — / /№) (0), п — 1 <«< П. (4)

л=о

3. Метод декомпозиции Адомиана. Рассмотрим уравнение (1), где - это оператор, определенный как (3). Оперируя J а с обеих сторон уравнения (1), мы получаем [1,2,5,7,18]

1ение у(х) с помощью ряда

= /уи (5)

&=о \ о о

Метод декомпозиции Адомиана определяет решение у(х) с помощью ряда

У

п=о

и нелинейные функции и F2 разлагаются как

ж

Fx = ^n, F2=^ß„, (6)

2 = / .

п=о п=о

где ЛП,В„ - многочлены Адома, заданные

(П \

Х<^)]0=о, (7)

\1=о

Многочлены Адома были введены в [1,2,10,11,13] как:

Л = FlCyо),

А = У^СУоХ 1

¿2 = У2^1(Уо) + 2У12^1'(Уо), 1 1 = Уз^Ы + ¿^"(Уо) + ^Уз^ТЫ,

ßo = F2O0),

= У^СУоХ 1

^2 = У2^2(Уо) + 2 ^'Оо^

11

= Уз^Ы + 2 У^'Ы + ^уЗ^ТЫ,

Компоненты уо,у1,у2, ... определяются рекурсивно с помощью

QO

и

Zx

y(k)(0+)—+J"g(x),

k=0

x x

Ук+1 = Aa(x)y(x) + j K1(x,t)Akdt + j K2(x,t)

Bkdt ).

о о

Определив компоненты у0,у1,у2, . . . , решение у в виде ряда, определяемого (5), следует немедленно. Важно отметить, что метод декомпозиции предполагает, что 0-я составляющая у0 должна определяться начальными условиями и функцией д(х), как описано выше.

Другие компоненты, а именно у1,у2, . . ., в настоящее время являются производными.

4. Модифицированный метод декомпозиции Лапласа Адомиана. Мы рассматриваем дробное интегро-дифференциальное уравнение Вольтерра-Фредгольма (1). Мы применяем преобразование Лапласа к обеим сторонам [8,9,22]:

1[ сОкГ(х)] = Ь[д(х)] + Ца&Жх)] +

+L

j Ki(x,s)Fi(y(s))ds + j K2(x,s)F2(y(s))ds

Используя свойство дифференцирования преобразования Лапласа (4), мы получаем

5кЬ[у(х)] -уо= Цд(х)] + Ъ[а(х)у(х)] +

+L

j Ki(x,s)Fi(y(s))ds + j K2(x,s)F2(y(s))ds

мы получаем, где

Уо = то1х"~к-1У(Ю(0). Таким образом, данное уравнение эквивалентно

ЬЬт^ + ^Ш*)] +1:1[а(х)у(х)] +

1

+--L

s"

s" s" (s

j Ki(x,s)Fi(y(s))ds + j K2(x,s)F2(y(s))ds

(9)

Подставляя (5) и (6) в (9), мы имеем L

х

^ Уп СО

п=0

X

j Ki(х, s)^Ands + j Ki (x, s)

1

V 1 1

= :0 + :^L[g(x)]+1^L[a(x)y(x)]+-=^L х

OO

^Bnds

n=0

(10)

>-о п=о о

Сопоставление обеих сторон (10) приводит к следующему итерационному алгоритму:

ьЬоШ^ + ^Ш*)].

L[yi(x)] = y^ + ^^L

L[y2(x)]=^ + -1;L

s" s"

x

i(x)y(x) + j Ki(x,s)A0ds + j K2(x,s) B0

0 0 X i

i(x)y(x) + j Ki(x, s) Aids + j K2 (x, s)

Bads

B, ds

L[yn+i(x)]=^ + -1:L Решение y(x) определяется рядом

(x)y(x) + j Ki (x, s) Ands + j K2 (x, s)

I Bnds

У(х) = ^Уп(х).

(11)

к=0

5. Уникальность и конвергенция. В этом разделе мы приводим результаты существования и единственности уравнения (1) с начальным условием (2) и доказываем это. Прежде чем начать и доказать основные результаты, мы представим следующие гипотезы:

n-i

- X

X

0

0

- X

X

0

0

i

0

0

i

X

а

0

0

(A1) Существуют две константы , LFi, LFi > 0 такие, что для любых у1 и у2 £ С(/, Д)

(У1 СО) - (У2 СО) | < ^ |У1 - У2 1

и

|^2(У1(^)) -^2(У2(^))| < ¿Р2|У1 -У2|. (A2) Существуют две функции Л!*,£ C(D,й+), где C(D, Д+) является множеством всех положительных функций, непрерывных на D = {(х, t)£fixfi:0<t<x<1], такой, что

X X

К** = sup J |^(х, t)|dt < W, К* = sup J ^^t)|dt <

0 0 (A3) Две функции a, g : / ^ R непрерывны.

Лемма 1. Если у0 £ С(/, Д),то у(х) £ С(/,Д+) является решением задачи (1) - (2), если у удовлетворяет

X X

у(х) = ^ J(x - s)K-1a(s)y(s)ds + ^ J(* - 5)K-15(s)ds +

00 X S

+ r^)/(x - 5)к-1[/ ^(5,тЖ(У(0)^ +

00

1

+ J ^2(5,r)F2(y(r))dr]ds + yo

0

для X £ /.

Наш первый результат основан на принципе Банахова сжатия. Теорема 2. Предположим, что (41), (42) и (Л3) справедливы. Если

/1|a||„+ ^ +

\ Г(« +1)

тогда существует единств

X X

у(х) = — 5)К-1а(5)у(5)Й5 + — 5)К-15(5)^5 +

оо

X 5

+ /(х — 5)К-1[/ ^(5,0Му(0)^ +

оо

1

+1 К2(*,т^2(у(т))^5 + уо.

о

Пусть оператор Т: C(J, R) ^ C(J, R) определяется как

X X

(^У)(Х) = — 5)К-1а(5)у(5)^5 + — 5)К-15(5)^5 +

оо

X 5

+ /(Х — 5)К-1[/ ^,тЖ(у(т))^т +

0 0

1

+1 К2(*,т^2(у(т))^5 + уо.

о

Мы можем видеть, что, если у £ С (/, Д) является фиксированной точкой Т, то у является решением(1) -(2).

Теперь мы докажем, что Т имеет фиксированную точку у в С у, R). Для этого пусть у1, у2 £ С(/, Д) таковы, что для любого х £ [0,1]

X X

У1(Х) = — 5)К-1а(5)у(5)^5 + — 5)К-15(5)^5 +

оо

X 5

+ /(х — 5)К-1[/ ^(5,0Му(0)^ +

1

+ J ^2(s,r)F2(y(r))dr]ds + yo.

0

У2М = F^ - 5)a-1a(5)y2(5)d5 + p^/oX(x - sr-15(s)ds + p^/oX(x -

[/0S^1(5,T)F1(y2(r))dT + /„Ч^^Ы^т] ds + Уо. Следовательно, мы получаем

К^Хх) - (ГУ2)(Х)| < ^^(x - s)a-1|a(s)| |У1(5) - y2(s)|ds + ^ x £(* -

Из неравенства (12) мы имеем

ЦГУ1-ГУ2^„< ||У1-У2^„. Итак, T- это карта сокращения. По принципу Банахова сжатия мы приходим к выводу, что T имеет уникальную фиксированную точку y в С(/, R).

Теорема 3. Предположим, что (41) - (43) и (12) справедливы. Если ряд решений у(х) = ^¿=0yi (х) и ■у11ю < полученный деформацией m-го порядка, является сходящимся, то оно сходится к точному решению дробного интегро-дифференциального уравнения Вольтерра-Фредгольма (1)-(2). Доказательство. Обозначим как (С[0,1], ||-||ra) Банахово пространство всех непрерывных функций на J, с |у1(х)| < ^ для всех х в J.

Сначала мы определяем последовательность частичных сумм sn. Пусть sn и sm будут произвольные частичные суммы с п > ш. Мы должны доказать, что sn = 2™=0У; (х) является последовательностью Коши в этом Банаховом пространстве:

IK - ^L = max|s„ - sj = max^^OO - Е^оУ^*) = max |^f=m+1 (-1-) /0ж(х -

Vx£i Vx£i Vx£M VI (ay 0

vxe/ vxe/ vxe/ i чно)/

t)«-1 [а(0уг(0 + J0t^i(t,s)^i(s)ds + J^MWds] dt| = шах^р^/0ж(х - t)a-1 [«(OE^y* (t) + /0i^i(t,s) + J^M^ß^ds] dt|.

Из (5) и (6) мы имеем

= Fi(s„-i) — Fl(sm-l), = ^2(5n-1) - i2(5m-iX = УОп-О - УОт-J.

Так,

Pn - sm||M = rnax ^ J0X(x - t)a-1 [a(t)(y(s„-i) - y(sm-i)) + J0t^i(t,s)(Fi(sn-i) - Fi(sm-i))ds + J04M(F2(sn_i) - F2(sm-i))ds] dt| < maxfe J> - t|«-1 [|a(t)Ny(sn-i) - y(sm-J| +

J0t|^i(t,s)||(Fi(s„-i) - Fi(sm-i))|ds + J01|^2(t,5)||F2(s„-i) - F2(sm-i))|ds] dt) < Г(а+1) [|а(^)УюУ^п-1 - Sm-iHro + ¿F1 X Hs„-i - ^m-iHro + ^2 ^F2 У^п-1 - 5ш-1Уж] =

( Г(а+1)

Где

= ( Г(а+1) ).

Пусть n = m + 1, тогда

Pn-1 - Sm-J» < - sm-iy„ < - < 5m|Si - S0y„,

Так,

- sm||M < IjU+iPk - sfc-i|„ < (<5m + 5-+1 + - + fi^Pi - ^||ж < <5m(1 + fi + fi2 + - + Начиная 0 < fi < 1, у нас есть (1 - fin-m) < 1, затем

5m

Pn <^||У1||ж.

Iy1(x)l < затем ||s„ - sm||ra ^ 0, когда m ^ те

Мы приходим к выводу, что sn является последовательностью Коши в С [0,1], поэтому у = lim уи. Тогда

п^ж

ряд сходится и доказательство завершено.

1ж||°п-1 т Л IPn-1 т Jv^F2MJn-1 Jm-1l^J

S„-1 5||S„-1

/1

5n-m-1)|si - So|„ < <5m f-^) ||yilL-

6. Наглядный пример. В этом разделе мы представляем аналитические методы, основанные на методе декомпозиции Адома и модифицированном методе декомпозиции Адома Лапласа дл решения интегро-дифференциального уравнения Капуто дробного Вольтерра-Фредгольма. Пример. Рассмотрим следующее интегро-дифференциальное уравнение Капуто и дробного Вольтерра-Фредгольма.

°о75Ш] = 6225- Ч-У^) + /1е'*уШ5 + /> - 5-3)у(з)аз, (13) С начальным условием у(0) = 0 и точным решением у(р) = £3. Во перавых мы применяем метод декомпозиции Адомиана.

Применение оператора]ол5 к обеим сторонам (13),

у(0 = + - \Г5[12е*Уа)] +Г5 [£ е^зуШз + - з-3)у(з)йз].

Затем,

Уо^) = + = 0+^—т4^^3/4 = ^

^к=о к! Г(3.25) Г(3.25)Г(9/4+3/4+1)

У1а) =Г5 + /^Уо^ + - з-3)уоШз] = -\]о75[12е^Уо(1)] + ]о75 [/>^5 +

/,1(4 - 5-3)53^] = --51о75[12е*уо(1)] +1о75 [±еЧ5 + 0] = -¡ГЧ^Уо«)] + \}о75[12е^уо(1)] = 0

Уп(0 = 0.

Следовательно, полученное решение является

у(1) = t3.

Во-вторых, модифицированный метод декомпозиции Лапласа Адомиана. Мы применяем преобразование Лапласа к обеим сторонам (13).

то 75у(1)] = £ [(-^)у(0] + £ + £ [/¿е^у^ + /о1(4 - 5-3)у(5)^].

Используя свойство преобразования Лапласа и начальное условие, мы получаем

зЬш] = £ [(- у(0] + £ + £ [/о' е^зуШз + /о1(4 - 5-3)у(5)^],

£Ш] = \£ [(-^) У«)] + \£ ШЭ + 4£ [/о; е*зуШз + /¿(4 - з-3)уШз].

54 54 К ' '

Подставляя (5) и (6) в приведенное выше уравнение, мы получаем

£[Т,п=оУпЮ]=1£[^] +1?£[(-^)2"=оУп(^)] +1г£[/о'е45 2-=оЛп^5 + /о1(4-5-3)2-=оВп^5]. Сопоставляя обе стороны приведенного выше уравнения, мы получаем следующее соотношение:

1 1-^2.25-

1 ,

Г(3.25)

L[yo(t)]=^L[^l L[yi(t)] = \£ [^ЩрЮ + ftetsAods + £(4 - s-3)Bods],

S*

£[yn+i(t)] = -j£ [^Цр^+^е^А^з + - s-3)Bnds\

S*

Применяя обратное преобразование Лапласа к приведенным выше уравнениям, мы получаем Уо(0 =

у±(1)=£-1 Г;(4-5-3)53^ =0.

Уп(0 = 0.

Следовательно, полученное решение равно у(Ь) = £3.

Заключение. В этой статье метод декомпозиции Адомиана и модифицированный метод декомпозиции Адомиана Лапласа были успешно применены для нахождения приближенного решения дробного интегро-дифференциального уравнения Вольтерра-Фрредгольма. Надежность методов и сокращение объема вычислительной работы придают этим методам более широкую применимость. Эти методы очень мощны и эффективны при нахождении аналитических, а также численных решений для широких классов линейных и нелинейных дробных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра-Фредгольма. Они обеспечивают более реалистичные последовательные решения, которые очень быстро сходятся в реальных физических задачах. Наконец, подведение решения может быть формально определено аналитическим приближением. Предлагаемые методы могут быть применены к другим нелинейным дробно-дифференциальным уравнениям, системам дифференциальных и интегральных уравнений.

Библиографический список

1.Аббуи К., Шерроу Ю. Сходимость метода Адомиана применительно к нелинейным уравнениям. 1994, том 20, № 9, с. 69-73.

2.Адомян Г. Обзор метода декомпозиции в прикладной математике. Приложение, 1988, том 135, № 2, с. 501544.

3. Аль-Смади М., Гума Г. О методе гомотопического анализа для дробных уравнений.

4. Альхенди Ф., Шаммах У., Аль-Бадрани Х. Численные решения квадратных интегро-дифференциальных уравнений дробных порядков. 2017, том 7, стр. 157-170.

5. Араги М., Бехзади С. Решение нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра - Фредгольма с использованием модифицированного метода декомпозиции Адомиана. т2009, том 9, № 4, с. 321-331.

6.Дафтардар-Гейджи В., Джафари Х. Решение дробно-дифференциального уравнения нескольких порядков с использованием декомпозиции Адомиана. Приложение. Математика. Вычисл., 2007, том 189, № 1, с. 541-548.

7. Гадле К., Хамуд А. Исследование приближенного решения нечетких интегральных уравнений Вольтерра-Фредгольма с использованием ^DM). Математика., 2016, том 98, стр. 42567-42573.

8.Хамуд А., Гадле К. Надежная модификация метода декомпозиции Лапласа Адомиана для решения нелинейных интервальных интегральныхуравнений Вольтерра - Фредгольма. 2017, том 25, № 3, стр. 323-334.

9.Хамуд А., Гадле К. Комбинированный модифицированный метод разложения Лапласа и Адомиана для решения нелинейных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра-Фредгольма. Математика., 2017, том 21, № 1, с. 17-28.

10.Хамуд А., Гадле К. Модифицированный метод декомпозиции Адомиана для решения нечетких интегральных уравнений Вольтерра- Фредгольма. Индийская математика. Соч., 2018, том 85, № (1-2), стр. 01-17.

11. Хамуд А., Гадле К. Исследование некоторых надежных методов решения нечетких интегральных уравнений Вольтерра - Фредгольма. Акт Апуленского университета, 2018, том 53, стр. 65-92.

12.Хамуд А., Гадле К. Последние достижения в области надежных методов решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра - Фредгольма. Азиатский журнал математики и компьютерных исследований, 2018, том 24, стр. 128-157.

13.Хамуд А., Гадле К. Результаты существования и единственности для дробных интегро--дифференциальных уравнений Вольтерра - Фредгольма. Открытые проблемы Компт. Математика., 2018, том 11, № 3, с. 16-30. появляться.

14.Джафарян А., Ростами Ф., Голманхане А., Баляну Д. Использование подхода для решения интегро-диффе-ренциальных уравнений Вольтерра дробного порядка. Интеллект. Система, 2017, том 10, с. 470-480. 2017.10.1.32.

15.Кадем А., Киликман А. Приближенное решение дробных интегро-дифференциальных уравнений Фредгольма методами вариационной итерации и гомотопической возмущенности. Абстр. Приложение. 2012, том 2012, стр. 1-10.

16.Килбас А., Шривастава Х., Трухильо Дж. Теория и приложения дробных

дифференциальных уравнений. Математика Северной Голландии. Студ., 2006.

17.Ма Х., Хуан С. Численное решение фракционных интегро-дифференциальных уравнений методом гибридной коллокации. Приложение. Математика. Вычисл., 2013, том 219, № 12, стр. 6750 6760.

18.Миттал Р., Нигам Р. Решение фракционных интегро-дифференциальных уравнений методом декомпозиции Адомиана. Инт. Дж. Аппл. Математика. М., 2008, том 4, № 2, с. 87-94.

АСХАБОВА ЛИЗА ХАСАНОВНА - магистрант, Чеченский государственный педагогический университет «Математическое образование», Россия.

ХАСМУХАДЖИЕВА МИЛАНА УСМАНОВНА - магистрант, Чеченский государственный педагогический университет «Математическое образование», Россия.

БОРЗАЕВА ИМАН ЭЛЬБЕКОВНА - магистрант, Чеченский государственный педагогический университет «Математическое образование», Россия.