Приближенные методы определения собственных частот колебаний проводов многопролетных линий электропередач Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.391.3

О. А. Иванова

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ ПРОВОДОВ МНОГОПРОЛЕТНЫХ ЛИНИЙ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧ

Рассмотрены собственные частоты и формы малых свободных колебаний проводов воздушных линий электропередачи в плоскости начального провисания. В качестве математической модели провода принята модель растяжимой нити. Получены алгебраические уравнения, из которых можно приближенно определить собственные частоты колебаний многопролетных ЛЭП. В частном случае одного пролета построенное уравнение совпадает с известным в литературе. Численно определены несколько низших собственных частот и форм колебаний двухпролетной линии методом сагит-тарной функции. Вычисленная первая частота колебаний линии, состоящей из двух одинаковых пролетов, совпадает с известной из литературы частотой, полученной в результате анализа нелинейных колебаний линии.

E-mail: ivanovaolgaal@mail.ru

Ключевые слова: собственная частота, провод, многопролетная ЛЭП.

Определение собственных частот и форм малых свободных колебаний проводов воздушных линий электропередачи (ЛЭП) — важный этап исследования их динамики. Большая часть опор ЛЭП — это промежуточные опоры, не полностью ограничивающие перемещения концов провода, что приводит к взаимосвязи колебаний проводов в соседних пролетах и может существенно повлиять на собственные частоты линии.

Для определения низших собственных частот колебаний в качестве математической модели провода, как правило, принимают модель нити, или абсолютно гибкого стержня [1]. Собственные частоты колебаний нити с неподвижно закрепленными концами хорошо исследованы. В работе [2] получены приближенные выражения для собственных частот колебаний нерастяжимой нити и проведен эксперимент, подтверждающий адекватность результатов. Работа [3] посвящена исследованию малых колебаний растяжимой нити с концами, закрепленными на одной высоте. Обнаружено, что при некоторых соотношениях между параметрами нити у нее появляются кратные собственные частоты и происходит перекрещивание (crossover) собственных форм. В работе [4], обобщающей результаты [3], исследованы малые колебания растяжимой нити с концами, закрепленными на разной высоте, и установлено, что явление перекрещивания в этом случае отсутствует (avoided crossing). В работах [3, 4] в предположении о малости стрелы

провеса нити (максимального вертикального расстояния между нитью и прямой, соединяющей ее концы) получены приближенные формулы для собственных форм и алгебраические уравнения, которым удовлетворяют собственные частоты колебаний.

Определению собственных частот колебаний многопролетных линий посвящено достаточно мало работ. Можно отметить работу [5], где рассматриваются нелинейные колебания линии, состоящей из пролетов одинаковой длины.

В настоящей работе предлагается использовать для численного определения собственных частот малых колебаний провода метод са-гиттарной функции [6]. Для вывода алгебраических уравнений, которым в характерном для ЛЭП диапазоне параметров задачи удовлетворяют собственные частоты многопролетной ЛЭП, используется идея работы [2]. Собственные частоты, определенные из полученных уравнений, хорошо согласуются с результатами расчета методом сагиттар-ной функции; значения первой частоты нелинейных колебаний двух-пролетной ЛЭП при двух различных наборах параметров, приведенные в [5], также соответствуют вычисленным в настоящей работе.

Математическая модель. Постановка задачи. Требуется определить собственные частоты и формы малых свободных колебаний в плоскости начального провисания провода ^-пролетной ЛЭП. В качестве математической модели провода примем модель растяжимой нити. Изоляторы, поддерживающие провод на промежуточных опорах, будем считать нерастяжимыми и в равновесном положении расположенными вертикально (последнее условие означает, что горизонтальные составляющие тяжения проводов в соседних пролетах равны), тогда в линейном приближении в точках крепления к изоляторам вертикальные перемещения провода в процессе колебаний будут равны нулю. На концах линии провод будем считать неподвижно закрепленным. Примем также, что все точки закрепления провода расположены на одной высоте. Все переменные далее являются безразмерными; величины, имеющие размерность длины, отнесены к длине провода в нерастянутом состоянии Ь, а величины, имеющие размерность силы, — к весу провода р^дЬ (р — плотность материала провода, д — ускорение свободного падения, ^ — площадь поперечного сечения провода).

Введем декартову прямоугольную систему координат, как показано на рис. 1. Нить, имеющая в нерастянутом состоянии единичную безразмерную длину, закреплена неподвижно в точках (в0, 0) и (вм, 0), (в0 = -1/2, вм = I/2, где I = вм — в0 — сумма длин всех пролетов), а в точках (вк, 0) (к = 1,...,Ы — 1) прикреплена к промежуточным опорам. Предполагается, что нить линейно-упругая по отношению к растяжению, ее жесткость на растяжение равна а.

Рис. 1. Расчетная схема

На нити введен натуральный параметр — независимая переменная £ € [-0,5; 0,5]. Точкам крепления к опорам соответствуют значения

&, к = 0,...,^.

Равновесная форма нити. Равновесное состояние нити в каждом пролете характеризуется ее тяжением ф0(£) и формой х10(£), ж20(£). Проинтегрировав уравнения равновесия растяжимой нити [1], можно получить

Х10 (?) = а (? - С2) + С1 ln ((? - С2) + ^С? + (? - C2)2) + Сз, X20(?) = ^^^ Wc2 + (? - С2)2 + С4,

2a 2

(1)

Qo(?) = \j c2 + (? - С2)2.

Константы с1, с2, с3, с4 определяются из граничных условий. Легко видеть, что константы с3, с4 отвечают за параллельный перенос нити в плоскости Ож1ж2. В уравнения малых колебаний нити функции ж»0(£), г = 1, 2, входят под знаком производных, поэтому выбор с3, с4 не имеет значения. Константа с2 равна значению £, в котором нить имеет точку минимума, т.е. ж'20(с2) = 0. Константа с1 является самой важной и представляет собой горизонтальную компоненту тяжения нити.

Уравнения малых колебаний. Система уравнений малых колебаний нити относительно положения равновесия [1] после разделения пространственной и временной переменных имеет вид

Qo

1 + Qo/а Qo

U? +

U2 +

AQ

(1 + Qo/a)2 AQ

xio

1 + Qo/а 2 (1 + Qo/a)2 2o AQ

+ w2U? = 0,

+ w2U2 = 0,

(2)

CioU1 + X2oU2 =

а

1+^, а )

где ш — безразмерная собственная частота, связанная с размерной частотой ш соотношением ш = ш^/Ь/д; и1(£) и и2(£) — отклонения нити от положения равновесия в направлениях, соответствующих координатным осям; ) — отклонение тяжения от равновесного; штрихом обозначена производная по £. Системой (2) можно описать каждый

участок нити; поскольку в положении равновесия горизонтальная составляющая тяжения в соседних пролетах одинакова, константа с( в (1) для всех пролетов одна и та же. Подстановка ДЯ из последнего уравнения (2) в два первых приводит к системе с симметричной и положительно определенной матрицей:

( ( Яо + а (х1о)2 Л и( + а Х/10Х20 3 и^ + ш2и = 0,

\Д1 + Яо/а (1 + до/а)3) 1 (1 + Яо/а)3 2) 1 ,

(а Х10Х20 3 и, + Я , + а (Х2о)2 Л иА + ш2и = 0.

V (1 + Яо/а)3 1 у1 + Яо/а (1 + Яо/а)3) 2) 2

(3)

Граничные условия. Верхним индексом (к) будем указывать на принадлежность величины к к-му пролету, тогда

и1(1)(—0,5) = и2(1)(—0,5) = и(м }(0,5) = и2(м }(0,5) = 0, (4а)

и1к) (Си ) = и;к+1)(6), к = 1,...,л- — 1, (4б)

и2к) (Си ) = и2к+1)(^к) = 0, к = 1,...,# — 1, (4в)

ДЯ1к) (Си ) — ДЯ(1И+1)(?и ) = 0, к = 1,...,М — 1, (4г)

где ДЯ(к) — горизонтальная компонента динамического тяжения в к-м пролете. Можно убедиться, что левая часть (4г) представляет собой линейную комбинацию величин и'(к)(Ск), и'2к)(Ск), и'(к+1)(£к), и'2к+1)(Ск) (см. (2)). Всего для 2N обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка (по 2 уравнения на каждый пролет) имеем 4N граничных условий. Заметим, что условия (4а)—(4г) делают задачу (3)—(4г) несамосопряженной, за исключением случая N =1.

Определение собственных частот. Метод сагиттарной функции. Для приближенного определения собственных частот и форм малых колебаний в данной работе используется метод сагиттарной функции [6].

Рассмотрим идею метода сагиттарной функции на примере анализа системы (3) с граничными условиями

и((±0,5) = и2(±0,5) = 0.

Пусть задано некоторое значение ш; в силу линейности общее решение системы (3) при условии и((—0,5) = и2(—0,5) = 0 — это линейная комбинация решений двух задач Коши для системы (3) с начальными условиями

иА(—0,5) = и2А(—0,5) = и'А(—0,5) = 0, и'А(—0,5) = 1

и

иА(-0,5) = иА (-0,5) = и —0,5) = 0, и 'А(—0,5) = 1.

Поэтому искомые собственные частоты являются решениями уравнения

иА(£) ив (£)

S (ш) = S 1^=0,5 =

uA(£) UB (о

= 0. (5)

5=0,5

Функция Б*(<^,£) называется сагиттарной функцией [6]; доказано, что если задача самосопряженная, то сагиттарная функция обладает осцилляционными свойствами. Найти решение уравнения (5) можно, например, методом бисекции. Для самосопряженных задач разработан также алгоритм ускоренной сходимости [6].

Приведем алгоритм использования метода сагиттарной функции для расчета собственных частот и форм колебаний двухпролетной линии. Граничные условия имеют вид (см. (4а)—(4г))

и(1}(—0,5) = и2(1)(—0,5) = и^ }(0,5) = и2(М) (0,5) = 0,

и;1}(6) = и(2)(6), и2(1)(6) = и22)(б) = 0,

б1и'11)(£1) + б2и'21)(^1) = ¿1и'12)(6) + ¿2и'22)(^1),

где Ь1, Ь2, ¿1, ¿2 — некоторые константы. Построим пять линейно независимых решений задач Коши для системы (3) с начальными условиями

и11)А(—0,5) = и2(1)А (—0,5) = и'21)А(—0,5) = 0,

и'11)А(—0,5) = 1, £ € [—0,5; 6], и11)в (—0,5) = и2(1)в (—0,5) = и'11)в (—0,5) = 0,

и'21)В(—0,5) = 1, £ € [—0,5; £1], и;2)А(6) = и22)А(£1) = и'22)А(6) = 0, и'(2)А(£1) = 1, £ € [£1; 0,5], и1(2)В(£1) = и22)в(£1) = и'12)в(£1) = 0, и'22)В(£1) = 1, £ € [£1; 0,5], и22)С(£1) = и'12)с(£1) = и'22)С(£1) = 0, и12)с(£1) = 1, £ € [£1; 0,5],

тогда искомые решения будут представимы в виде линейных комбинаций

и1(1) = К1и11)А + вд^*, и2(1) = К1и2(1)А + К2и2(1)в,

и12) = Кзи12)А + ВД®* + К5и12)С, (7)

и2(2) = Кзи2(2)А + К4и2(2)в + К5и2(2)с,

где К — неизвестные коэффициенты. Составим матрицу

z м =

ull)B (6) 0 0 -1 \

U(l)A(£i) u21)b (Ci) 0 0 0

blU 'll)A(Ci)+ blU 'll)B (Ci) + -dl -d2 0

+b2U f)A(Ci) +b2U '2l)B (Cl)

0 0 U12)A(0,5) U12)B (0,5) U((2)C (0,5)

V о 0 U2(2)A(0,5) U2(2)B (0,5) u22)C (0,5)7

Повторяя процесс при изменении ш с некоторым шагом, получаем алгоритмически заданную сагиттарную функцию $(ш) = det Z(ш). Решая численно методом бисекции уравнение $(ш) = 0, получаем искомые собственные частоты. Собственные формы имеют вид (7), где коэффициенты К) являются элементами собственного вектора матрицы Z(ш). Аналогично можно провести расчет для N-пролетной линии, тогда для определения значения сагиттарной функции при каждом ш потребуется решить (3N — 1) задач Коши.

Приближенное уравнение для собственных частот нити. Построим алгебраические уравнения для приближенного нахождения собственных частот многопролетной линии. Приводимые ниже рассуждения не являются строгими и основаны на ряде упрощающих предположений, однако позволяют получить простые уравнения, корни которых хорошо согласуются с рассчитанными значениями собственных частот.

В работе [2] рассматривается нерастяжимая нить. Ее малые колебания в плоскости начального провисания описываются системой уравнений (2) при а

д и + ддх,1о)' + ш2и = о,

(до и2 + ддж2о)' + ш2и = о, (8)

Х10и1 + Х20и2 = 0 и однородными граничными условиями

и1(±0,5) = и2(±0,5) = 0.

Вводится подстановка

£ 1 1

с 1 V £2 + с! V?2 + ст 1 £ 1

и2(£) = —^2=2 и (£) + у (£ )• V £2 + с1 с ^ £2 + С1

Третье уравнение (8) после подстановки с учетом равновесной формы (1) принимает вид

и (e ) + (e2 + c2)v '(e) = 0,

отсюда функция U выражается через V' и подставляется в первые два уравнения (8). После этого из уравнений исключается тяжение, и в результате остается одно уравнение относительно V четвертого порядка с граничными условиями

V (±0,5) = V '(±0,5) = 0.

В настоящей работе с помощью системы компьютерной алгебры Wolfram Mathematica аналогичные преобразования были проведены для системы (2) при а < то. В результате получено уравнение четвертого порядка относительно V с очень громоздкими коэффициентами. Однако, поскольку

1) жесткость провода на растяжение велика, т. е. а ^ сь

2) представляют интерес малые значения стрелы провеса, поэтому безразмерное тяжение ci ^ 1;

3) из результатов работы [2] следует, что при с1 ^ то квадрат собственной частоты ш2 — бесконечно большая величина порядка с1, то, максимально упростив уравнение для V, получим уравнение

ш2 V'' + ciV(IV) =0 (9)

и граничные условия

V(±0,5) = 0, V4±M> - ^ = 0, (10)

с1 а

где

22 Д(д V' - -ась V

а — cfw2 а — cfw2 Уравнение (9) имеет общее решение

т/ , t I • I пп

V = а1 + a2£ + a3 sin —— + a4 cos ——, (11)

Vci Vе!

где aj, j = 1, 2, 3, 4, — произвольные постоянные. Накладывая на (11) граничные условия (10), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно констант aj, приравнивая определитель которой к нулю, приходим к уравнению

ш ( ш ( c^2\ ш ш \

sin — 1 — —— cos -—= + sin = 0. (12)

2^ V 2^fc[\ а ) 2yd 2^fC[) v 7

Это уравнение соответствует приведенному в работе [3].

Обобщим рассуждения на случай двухпролетной линии. Тогда на каждом пролете имеем общее решение в виде

т/(fe) (k) , (fe)¿ , (k) • (k) / 1 О

V( ) = a1 + a2 e + a3 sin + a4 cos —=, k = 1, 2,

Vc1 Vc1 '

и граничные условия

П c1

V(1)(-0,5) = 0, V'(1)(-0,5) - - AQ(1)(-0,5) = 0,

а

V'(1)(6) - -AQ(1)(£I) = 0, V'(2)(6) - -AQ(2)(£I) = 0,

аа

V/(1)(6) = V'(%), AQ(1)(6) = AQ(2)(6),

V(2)(0,5) = 0, V'(2)(0,5) - - AQ(2)(0,5) = 0.

а

Приравнивая к нулю определитель соответствующей системы линейных алгебраических уравнений относительно констант a(k), k = 1, 2, j = 1, 2, 3, 4, получаем уравнение для определения собственных частот

. + 0,5) . ц(0,5 - 6)Л • w

w(w) = sin — _— sin — _— ~ sin

2^/C1 \ 2 2y^c7

и ( c2U2\ и(6 + 0,5) ^(0,5-62 _ (13)

V - —) COS 2^ COS 2^ 1 =0, (13)

^v^Ci V a

или, если пролеты имеют равную длину = 0), то

2

и и / и

c2w2\ и и \

-—= cos — —¡^^ 1--cos -—z + sin ——

4^СТ V ^л/СТ V а у ^л/СТ Vciy

Таким же образом можно получить уравнение для собственных частот линии и с большим числом пролетов. Если все пролеты имеют одинаковую длину, то собственные частоты линии удовлетворяют уравнению

• N ш N-1 ш

SinN ——— cosN 1 ^ X 2^v/cT 2^v/cT

f ш / ш ш \

х--—— 1 —1— cos ———— + sin ———— = 0.

2^v/CT V а ) 2^v/CT 2^V/CT/

В следующем разделе будет проведен расчет методом сагиттарной функции и сравнение результатов расчета с результатом вычисления по (13).

Результаты расчетов. Все расчеты проводились с использованием системы компьютерной алгебры Wolfram Mathematica.

Один пролет. Рассмотрим нить с концами, неподвижно закрепленными на одной и на разной высоте. На рис. 2 приведены вычисленные значения квадратов четырех первых собственных частот, отнесенные к тяжению в середине нити (при £ = 0) при а = 10000, в = 0° и в = 30° (в — угол между горизонталью и прямой, проходящей через концы нити), в зависимости от длины пролета /. Рассчитанные собственные частоты очень близки к корням уравнения (12).

Рис. 2. Квадраты первых четырех собственных частот, отнесенные к тяжению в центре нити

Двухпролетная линия. На рис. 3 штриховой линией обозначены результаты вычисления сагиттарной функции Б(ш), а сплошной линией — функции Ф(ш) в зависимости от ш при а = 10000 и следующих параметрах:

а) длины пролетов равны (£1 = 0), стрелы провеса в них составляют 2,5 % длин пролетов (рис. 3, а);

б) длины пролетов относятся как 1:3 (£1 = -0,25), стрела провеса в левом пролете составляет 2,5 % длины пролета, в правом пролете — 7,5 % длины пролета (рис. 3, б).

Видно, что несколько первых нулей функций Б(ш) и Ф(ш) очень близки.

На рис. 4 приведены первые четыре собственные формы колебаний линии с параметрами, приведенными в п. а); горизонтальные перемещения и1 для наглядности увеличены в 5 раз. Первая собственная частота колебаний удовлетворяет уравнению (см. (13))

со8-^= = 0. (14)

Первая собственная частота линии из двух равных пролетов независимо от стрелы провеса, соотношения между длинами пролетов и жесткости на растяжение всегда будет равна первому корню уравнения (14) и будет иметь форму, аналогичную приведенной на рис. 4, а.

Рис.3. Графики функций S(u) и

а

Рис. 4. Первые четыре собственные формы колебаний линии, состоящей из двух равных пролетов

Вторая и третья собственные частоты совпадают и определяются из уравнения

на данной частоте каждый пролет может колебаться независимо от основной формы колебаний нерастяжимой нити (см. рис. 4 б, в). Четвертая собственная частота определяется из уравнения

соответствующая ей форма приведена на рис. 4, г.

В работе [5] исследованы собственные частоты нелинейных колебаний двухпролетной линии методом Линштедта—Пуанкаре. Размерные параметры линии следующие: погонная масса провода 1 кг/м, жесткость на растяжение ЕГ = 2,156 • 107 Н (Е — модуль упругости, Г — площадь поперечного сечения), длина всего провода в нерастянутом состоянии Ь = 641,4 м, длина каждого пролета (горизонтальная) 320 м. Было проведено два расчета при значениях стрелы провеса в пролетах 10 ми 7,61 м. Полученные значения первой собственной частоты составили соответственно / = Ш/2п = 0,175 Гц и / = Ш/2п = 0,200 Гц [5]. Вычисляя первый корень уравнения (14), после приведения к размерному виду, получаем значения 0,175 Гц и 0,201 Гц. Собственные формы, полученные в линейном приближении и с помощью анализа нелинейной модели [5], как и следовало ожидать, несколько отличаются.

Выводы. Предложено два подхода к определению собственных частот и форм малых свободных колебаний проводов многопролетных линий электропередачи в плоскости начального провисания: расчет методом сагиттарной функции и вывод алгебраических уравнений, которым в характерном для проводов диапазоне параметров приближен-

4

но удовлетворяют собственные частоты колебаний провода. Приведены уравнения для линии, состоящей из двух пролетов произвольной длины, и для линии с произвольным числом одинаковых пролетов. Описанным способом можно также получить уравнения для линии, состоящей из более чем двух пролетов произвольной длины. Значения первой частоты колебаний двухпролетной линии, полученные методом сагиттарной функции и с помощью выведенного уравнения при различных параметрах линии, практически равны приведенным в работе [5] значениям первой частоты, полученным с помощью анализа нелинейных колебаний.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Светлицкий В. А. Механика абсолютно гибких стержней / Под ред. А.Ю. Ишлинского. - М.: Изд-во МАИ, 2001. - 432 с.

2. Saxon D. S., Cahn A. S. Modes of vibration of a suspended chain // Quart. J. Mech. and Appl. Math. - 1953. - Vol. 6, pt. 3. - P. 273-280.

3. Irvine H. M., Caughey T. K. The Linear Theory of Free Vibrations of a Suspended Cable // Proceedings of the Royal Society of London. Ser. A. - 1974. -Vol. 341. - P. 299-315.

4. TriantafyllouM. S. The Dynamics of Taut Inclined Cables // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. - 1984. - Vol. 37, pt. 3. - P. 421-440.

5. Rienstra S. W. Nonlinear free vibration of coupled spans of overhead transmission lines // Journalof Engineering Mathematics. - 2005. - Vol. 53. - P. 337348.

6. Akulenko L., Nesterov S. High-precision methods in eigenvalue problems and their applications. - Boca Raton: CRC Press, 2004. - 235 p.

Статья поступила в редакцию 25.10.2011