Приближенное решение задачи динамики гелеобразования Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.137+519.6

Галкин Владислав Михайлович, канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., доцент кафедры геологии и разработки нефтяных месторождений Института природных ресурсов ТПУ.

E-mail: [email protected] Область научных интересов: механика, численные методы. Богословский Андрей Владимирович, канд. хим. наук, ст. науч. сотр. Институт химии нефти СО РАН, г. Томск. E-mail: [email protected] Область научных интересов: физическая и коллоидная химия.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ГЕЛЕОБРАЗОВАНИЯ

В.М. Галкин, А.В. Богословский*

Томский политехнический университет E-mail: [email protected] *Институт химии нефти СО РАН, г. Томск E-mail: [email protected]

Рассмотрены уравнения, описывающие движение зонда вибрационного датчика вязкости в гелеобразующей вязкоупругой среде. Описано получение приближенных решений для определения вязкости и сдвиговой упругости, и проведено сравнение с точным решением.

Ключевые слова:

Гелеобразующий состав, вязкость, упругость, механическое сопротивление.

Введение

-------------------------------- Гелеобразующие составы (ГОС) используются для

управления фильтрационными потоками при добыче полезных ископаемых, для законтурной гидроизоляции полигона при подземном захоронении отходов и во многих других практически важных процессах. При этом большое значение имеет кинетика потери текучести, которая во многом определяет возможность использования конкретной рецептуры.

Динамика образования гелей может регистрироваться методом вибрационной вискозиметрии (ВВ) [1]. Для этого в неподвижный сосуд с исследуемым образцом, как показано на рис.

1, погружают вертикально колеблющийся зонд с пластиной и измеряют действующую на нее со стороны вмещающей среды тормозящую силу (сопротивление). Пластина генерирует поперечные сдвиговые волны, распространяющиеся перпендикулярно ее поверхности.

Рис. 1. Геометрия эксперимента. 1 - измерительный сосуд; 2 - образец; 3 - колеблющийся зонд с пластиной

1

2

Так как при гелеобразовании изменяется не только вязкость, но и на определенном этапе возникает упругость, то генерируемая зондом сдвиговая волна может распространяться на большое расстояние. При этом возможно нарушение одного из основных постулатов метода ВВ - условия бесконечности контролируемой среды. Это приводит к неоднозначной связи между вязкостью, упругостью и величиной наблюдаемого сопротивления за счет взаимодействия излучаемых и отраженных от стенки сосуда волн. Трансцендентные уравнения, описывающие этот процесс, имеют неединственное решение, что вызывает трудности при интерпретации результатов вискозиметрических измерений.

В данной работе рассматриваются уравнения, которые позволяют облегчить процедуру разделения корней или могут использоваться самостоятельно для нахождения приближенного решения.

Математическая постановка

Зонд (пластина), помещенный в исследуемый материал, как показано на рис. 1, совершает периодические колебания. Введем обозначения: хпеш - вертикальное смещение пластины от положения равновесия; со=2т1\'; V - частота колебаний пластины; Л' - площадь обеих поверхностей пластины; £, - смещение частиц испытуемого материала; - скорость частиц испытуемого материала; тет - создаваемое движущейся пластиной напряжение сдвига; У0 - расстояние от пластины до стенки сосуда; у - координата, перпендикулярная плоскости пластины; С - модуль сдвиговой упругости; г| - коэффициент динамической вязкости; р - плотность испытуемого материала; г - удельное механическое сопротивление зонда.

В качестве допущения пренебрегаем: градиентами С, г|, давления и температуры внутри исследуемого материала; краевым эффектом и толщиной пластины; влиянием высших гармоник. Считается, что изменение С и г| в ГОС происходит так медленно, что в любой момент времени выполняются используемые далее уравнения. Полагается, что в процессе опыта у=сопз1, р=сопз1:, Тсрсог^; пластина и сосуд расположены симметрично; энергия, излучаемая пластиной, мала и не влияет на свойства среды.

При малых амплитудах движения, и, соответственно, малых напряжениях сдвига и деформации в испытуемом материале, уравнение движения сплошной среды [2] имеет вид:

дЧ дт*у

' ду ' ^

а исследуемый материал описывается моделью вязкоупругой среды:

= Су + ЛУ , (2)

где у = — - деформация, у =------------скорость деформации. Объединяя уравнения (1) и (2), получим:

ду ду ” ”

дґ ду~ сН^Э/1

Делаем замену переменных ^(>’,0 = /Ау)е'"' и аналогично [3] вводим комплексную постоянную распространения волны Р = сод/р/((} + /Т|0)) . Тогда уравнение (3) примет вид:

(1у-

Используя общее решение этого уравнения Ь = Ае ,|5' + Ве'^у и определяя коэффициенты А, В из граничных условий £,| _0 = х0е'ш - смещение испытуемого материала равно смещению пластины и ^ = 0 - на стенке сосуда материал неподвижен, получим:

х еш(ефу-фг° — е-'рл’+'рг° )

50-.»= 0 —■ (4)

Отметим, что уравнение (4) совпадает с решением, полученным в [4], если рассмотреть предельный случай У,;,—>со, когда используется бесконечно большой сосуд:

Удельное механическое сопротивление зонда находится из соотношения:

г = -(Рупр+Рж) = ~Ыу=0 = _/^(Р7„) = Ке(г) + 7.1т(г) 5

Н ,.-0 ^РЮ Р

где ^упр и ^вяз - упругая и вязкая силы, действующие на зонд. Обозначим:

a =

G * V

b = Z^hlP G*=^

2 G V 2

+ orrp

Тогда вещественная и мнимая части удельного механического сопротивления примут вид:

„ , ч -л/g* +Gshéché-л/g* -G cos a sin a

Re00 =--------------nr-. . ,------ó -----------’ (5)

д/2р(сЬ2 b - cos2 a)

т / \ — 'Jg + G sin a cos a + л/G* -Gshéché

Im(-) =--------------^-тт^----------ö ;----------• (6)

со-,

GK

)^/2p(ch2 b - cos2 a)

В вискозиметрическом эксперименте измеряется только вещественная часть Re(z) и, если исследуемая жидкость не обладает упругими свойствами, то уравнение (5) упрощается до известного выражения:

Л

Re( z) =

1 2юр

Если в определенный момент появляется упругость, то, как следует из расчетов, удельное механическое сопротивление ведет себя более сложным образом. При расчетах использовались следующие единицы измерения: грамм, сантиметр, секунда; частота v измерялась в герцах. Остальные размерности параметров являются производными от них: G - [г/(с2-см)], г| -[г/(с-см)], z - [см]. Далее, для краткости, размерности указываться не будут.

На рис. 2 показано Re(z). рассчитанное по формуле (5) для двух значений вязкости и параметров V = 400; Y0= 0,3; р = 1; G = 2...20.

Хорошо видны пики, соответствующие механическим резонансам, при этом одному значению сопротивления Rc(z) может соответствовать несколько значений упругости G из некоторого диапазона е R+,

Рассмотрим простейший случай, когда в процессе эксперимента r| = const, а G определяется. Тогда на основе соотношения (5) получим трансцендентное уравнение:

Re(r(G,)) = r,, (7)

где G¡ - искомое значение упругости, z¡ - измеренное значение механического сопротивления. В связи с тем, что уравнение (7) имеет множество решений, возникает проблема разделения корней.

Рис. 2. Вещественная часть механического сопротивления зонда. г| 1 = 0,2-10"4; г\2 = 10"4

Получение приближенного решения

При резонансе вещественная часть сопротивления Re(r(G.)) = является локальным максимумом, а мнимая часть сопротивления (6) равна нулю:

л/G + G sin a cos a -sIg* -Gshbchb

ю

■J2p(ch2 b- cos2 a)

= 0.

(8)

Обозначая f\ = sin(a) cos(a), f2 - mrlsh(ft)ch(fc) и уЧИТЫвая. что в формуле (8) числитель

G +G

равен нулю, получим:

/i-/2=0. (9)

На рис. 3 показан вид функций Im(z),f и f при G = 3...5. Первое слагаемое в (9) является периодическим и изменяется в диапазоне [-0,5; 0,5]. Второе слагаемое ограничено сверху нулем, является монотонным и уже при небольших значениях G становится на порядок меньше первого. Поэтому, начиная с некоторого значения G, хорошим приближением уравнения (9) можно считать sin(a)cos(a) = 0, причем, как видно на рис. 4, положению минимумов Re(z) соответствует cos(a) = 0, а положению максимумов соответствует sin(a) = 0 . Будем искать нули функции sin(a) = 0 . Эта формула в развернутом виде:

sin

í>vр G* +G

G* V 2

= 0.

(10)

Из уравнения (10) можно найти приближенное решение. Кроме того, из него следует алгебраическое уравнение 4 порядка относительно G:

" 2т12г12 Т

——(02+а\2)-0 , (11)

Л® р _

где значения п = 1, 2, 3... е1 соответствуют подряд идущим максимумам. Это уравнение имеет единственное решение для каждого значения п.

Gl . I I

+ СО Т| —

Рис. 3. Поведение функций при г| = 2* 10" ; v = 400; Y0 = 0,3; р = 1

1,5

Rе(4 G))*10 sin(a)

Мм

19 20

-5.

Рис. 4. Положение нулей функции sin(a) и максимумов Rc(z) при г| = 2-1 (Г : v = 400; 70 = 0,3; р= 1

Если в уравнении (11) положить г| = 0, то получится еще одно приближенное уравнение:

2 2 л п

(12)

Перебор параметра n = 1, 2, 3,... дает при подстановке в уравнение (12) значения G1, G2, G3..., из которых можно выбрать те, которые лежат внутри нужного диапазона.

Таким образом, вместо точного трансцендентного уравнения (8) получено приближенное уравнение (10) или его алгебраический аналог (11), а также уравнение (12). Их можно использовать для нахождения положения локальных максимумов Re(z). а совместное решение уравнений (7) и (8) позволяет найти г| и G в этих точках.

Численные результаты

При сравнении результатов вычислений по точной формуле (8) и приближенным формулам (11), (12) ограничимся параметрами г| = 2-10“5; v = 400; Y,, = 0,3; р = 1. Из рис. 3 следует,

0

1,5

2

3

4

5

что минимальное значение С, при котором 1т(г) = 0, приблизительно равно 3,6. Поэтому будем рассматривать диапазон Се [4; 20].

Перебором числа п в уравнении (12) легко определить, что диапазону Ое [4; 20] соответствует пе [54; 119], причем верхняя (нижняя) граница п соответствует нижней (верхней) границе О. Принципиальная разница между точным и приближенным решением заключается в том, что уравнение (8) имеет множество решений в диапазоне Ое [4; 20], а уравнения (11) и (12) имеют единственное решение для каждого пе [54; 119] в указанном диапазоне. Поэтому при решении уравнения (11), например, методом половинного сечения, в качестве интервала локализации корня можно указывать шт(О) и шах(О) для всех указанных значений п. Также можно решать уравнение (11) с использованием безытерационного алгоритма [5].

На рис. 5 приведено сравнение результатов вычислений значения О для каждого из локальных максимумов Яе(г) по точной и приближенным формулам. Использовался метод половинного деления, максимальная ошибка расчетов 10-10. Полученные результаты показывают точность, приемлемую для обработки экспериментальных данных.

Рис. 5. Относительная разница в % между точными корнями из (8) и приближенными из формул (11), (12). Каждый символ «+» соответствует локальному максимуму Re(z)

Заключение

Предложены алгебраические уравнения, которые с достаточной точностью могут быть использованы при интерпретации результатов вискозиметрических измерений динамики геле-образования. Они же могут быть использованы для разделения корней при численном решении точного трансцендентного уравнения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Богословский А.В., Журавлева Т.Б., Стрелец Л.А. Интерференционные резонансы при вискозиметрических измерениях // Теоретические и прикладные основы физико-химического регулирования свойств нефтяных дисперсных систем. - Томск, Изд-во ТГУ, 2001. - С. 105-109.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика сплошных сред. - М.: ГИТТЛ, 1953. - 788 с.

3. Ферри Дж. Вязкоупругие свойства полимеров. - М.: ИЛ, 1963. - 535 с.

4. Браилов Э.С., Школьник С.И. Исследование кинетики и контроль процесса вулканизации поли-эфиуретанового каучука вибрационным методом // Каучук и резина. - 1968. - № 8. - С. 17-19.

5. Несмеев Ю.А. Об одном подходе к решению алгебраических уравнений 3-й и 4-й степени // Вестник Томского государственного университета. - 2011. - № 1 (13). - С. 26-30.

Поступила 24.01.2013 г.