CC BY
24
В силу определения Ф матрица /ф диагональная: /ф = diag (Аф ..., Ап). Построим матрицу /р по правилу /р = diag (| , к, 1п I). Тогда Г определится по формуле
р = 5 1/рБ. Поскольку справедливы соот-
2 * 2 2 ношения Ф2 = АА , Р = Ф , матрица Г и
является матрицей полярного разложения в силу своей положительной определенности.
Как было отмечено выше, матрица и находится по формуле
и = Г-1А.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Зубов А. В. Динамическая безопасность управляемых систем / А. В. Зубов, Н. В. Зубов. СПб. : Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2009. 172 с.
2. Зубов И. В. Анализ управляемых систем и равновесных движений / И. В. Зубов, Н. В. Зубов, М. В. Стрекопытова. СПб. : ВВМ, 2012. 322 с.
Поступила 15.06.2012.
УДК 517.928.4
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ В ОБЛАСТИ АНАЛИТИЧНОСТИ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
В. Н. Орлов, М. П. Гузь
В работе построено приближенное решение в области аналитичности для одного нелинейного дифференциального уравнения, с подвижными особыми точками, в общем случае не разрешимого в квадратурах. Улучшены оценки, полученные авторами ранее.
В работе [1] была рассмотрена задача Коши для нелинейного дифференциального м_2 = таХ < уравнения в нормальной форме.
Y '(x) = Y 4(x) + r (x), (1)
Y(xo) = Yo. (2)
Для коэффициентов разложения реше-
r(n)
|Yo| - suPj
(x0)
- n = 0- 1-2- ... -
которая в данной работе улучшена. Теорема 1. Пусть:
1) rix) е С" в области K = {x : \x -ния данной задачи в области аналитичности - х0| < pi, pj > О},
Y = I Cnl
0
была получена оценка
"xo )П
2) 3 M1 :
(n
Л
(x)
n!
< M1- x e Kb
|C„| * 1 ■ M-2
n
2n-1
(M + 1)
3n
где
где Mi = const, n = 0, 1, ... .
Тогда решение задачи (2) — (3) является аналитической функцией
Y (x) = X C (x - xo)n (3)
o
© Орлов В. H., Гузь М. П., 2012
в области K-2 = {x : |x - x0 < P2, P2 > 0}, где
P2 = mm
r(«)
(x0)
sup-
22 (M2 + 1)
, n = 0, 1, 2,
3 f, M2 = max
Yo
2 Cnn (x - x0 )n 1 = 2 Cn (x - x0 )n
1 V 0
+ 2 An (x - xo )n ■ 0
Выполнив соответствующие операции, получим:
где
Z Cnn (x - x0)" 1 = Z Dn (x - xo)" +
1 0
+ Z An (x - x0 )n > 0
Dn = Z Cn-iCi, n = 0 1 2, ¿=0
M2 = max
r (n)
|Yo| > suPJ
(x0)
n!
Доказательство.
По условию теоремы имеем:
r(x) = Z Ai(x - x0)n. 0
Подставим данное выражение и ряд (3) в (1):
п = 0, 1, 2, ... . Предполагая оценку для Сп:
СП < 1 ■ М2 ■ 22п-1 (М2 + 1) 3п , (8) п
методом математической индукции докажем ее справедливость. Из (8) имеем:
(п + 1)Си+1 = + Лг Из последнего с учетом оценки (8) и условия (1) теоремы 1 следует:
Сп+1 ^ -Ц (I Д + Лп\) < -Ц (I + |Лп) <
п + 1 V I/ п + 1 М I !
(4)
n +1
Л
Z Dn-iDi + j^n v i=0
Cn+1 -
n +1
ЕС С ■
^n-i-j^j
j
( f
Z ci-jcj \j=0
(5) + Kl
n +1
¿=0
n-i 1
Z (¡-ij M2 "
22(n-i-3)-1 ■ (M2 + 1)3(n-i-j) 1. M2 ■ 22 3-1 x
31
x (M2 + 1)33
2
Л /
У
Z ^ ■ M2 ■ 22(i-3)-1 : j=0 (i - j)1
Dn* = Z Dn-iDi, n = 0, 1, 2, ... . ¿=0
Равенство (5) обратится в тождество при условии:
n ■ cn = DU + Л-1> n = 1> 2,
(M2 + 1)3(i-3) ■ - ■ M2 ■ 223-1 ■ (M2 + 1)33
Соотношение (6) позволяет однозначно определить все коэффициенты Сп.
Таким образом, получили формальное единственное представление решения задачи (1) — (2) в некоторой окрестности точки х0 в виде (3).
На втором этапе докажем сходимость ряда (3). Обозначим:
31
Л
(6) + M2
! + 1
M24 ■ 22n-4 ■ (M2 + 1)3n X
3n .
( / .
n f n-i л л
Z Z-1---—
i=0 Vj=0(n -1 - j 1 j + 1
л л
* 1 1
X Z ---
j=0 (i - j)1 j1
+ 1
< — ■ М2 ■ 22п+1 ■ (М2 + 1)3п+3, п +1
при этом
(п - г - ] ^
71
1, если ] = п - г; г = 1; п - г - ], если / = 0, ..., п - г - 1; г = 0, ..., п - 1;
1, если / = 0; 7, если / = 0, ..., г;
1, если / = п - г; г = 1; (г - Д = {(г - 7), если 7 = 0, ..., п - г - 1; г = 0, ..., г - 1. Рассмотрим ряд
1
У - ■ М2 ■ 2 1 ■ (М2 + 1)3п ■ х -х0Г, о п
являющийся мажорантой для ряда (3).
На основании признака Даламбера получаем сходимость этого ряда в области
х — Х0
1
22(М2 +1)
3
1
\3N+3 .
|У - Уп<■ М2 ■ 22 1 ■ (М2 + 1)3" ■ - X
п\ N +1 2 2
| X — Х01
N+1
1
1 — 22(М2 + 1)3 х — х0| " х е К = {х : |х — х0 < Р2, Р2 > 0}, 1
где р2 = тт <!р1,^-
22 ■ (М2 + 1)3 ''
(п)
М'2 = тах ■< У ,sup -
| Т-•)(х0)|
г!
п = 0, 1, 2, ...
Доказательство. С учетом оценок для коэффициентов Сп, полученных в теореме 1, имеем:
У - Уы\ <
® п N п
2 Сп (х - х0 ) - 2 Сп (х - х0 ) < 0 0
2 Сп (х - х0 )п < 2 - ■ М'2 ■ 2
2п-1 .
N+1
N+1 '
,2 N+1
Окончательно получаем сходимость ряда (3) в области
Iх - хо| < Р2.
Таким образом, завершено доказательство теоремы 1.
Оценки, полученные в теореме 1 для коэффициентов Сп ряда (3), позволяют построить приближенное решение задачи Коши (1) — (2)
N
у = У Сп (х - х0)п . (9)
0
Теорема 2. Пусть выполняются пункты 1 и 2 теоремы 1, тогда для приближенного решения (9) задачи Коши (1) — (2) справедлива оценка погрешности
(М2 + 1)3п ■ |х - х0 Г <—- ■ М2 ■ 2 N +1
X (М2 + 1)3Я+3 ■ |х - х0|ы+1 X
1 - 22 ■ (М2 + 1)3 ■ х - х01
Пример 1. Рассмотрим задачу Коши для уравнения У' (х) = У4 (х) + т(х), где
г(х) = 0, У(1) = 1. Задача Коши имеет точное решение
У = —
3х — 4
Вычислим радиус аналитичности с учетом начального условия задачи Коши.
= 1 Р2 = 22 ■ (М2 + 1)3
0,0560039177.
Выберем значение х = 0,12 в полученной области аналитичности.
Все расчеты представлены в табл. 1.
Таблица 1
X У У3 А А1 А2
0,1 0,12 0,6500791007 0,6500791026 0,0000000019 0,0109049371 0,0000014
Здесь У — точное значение решения уравнения; У3 — приближенное решение; Д — абсолютная погрешность; А^ — априорная погрешность, полученная по теореме 2; Д2 — апостериорная погрешность.
Теорема 2 позволяет решить обратную задачу теории погрешности, определить значение N по заданной точности приближенного решения е. Для случая е = 0,0000014 получаем значение N = 13. Фактически для N = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 получаем уточнения приближенного решения, которые в общей сумме не превышают требуемой точности е = 0,0000014.
Таким образом, мы можем ограничиться в структуре приближенного решения значением N = 3. При этом получаем величину Д2 апостериорной погрешности для приближенного решения У3, равную значению е = = 0,0000014.
При получении приближенного решения дифференциального уравнения часто приходится осуществлять аналитическое продолжение. Эта операция приводит к задаче: исследование влияния возмущения начальных условий задачи Коши на аналитическое приближенное решение рассматриваемого нелинейного дифференциального уравнения. При этом получает возмущенное начальное условие
П*о> = УЬ. (10)
Возмущенное начальное условие (10) оказывает влияние на структуру аналитического приближенного решения (3), которое принимает следующий вид:
N
в области
где
AYn(x) < At + Д2
x - X0 < P4,
A1 < —■ M2 ■ 2 +1 ■ (M2 + 1)3N +3 x 1 N +1 2 2
X x - Xq\'
N+1
Д2 < DM ■
1 +
M-2 = max
1 - 22 ■ (M2 + 1)3 x - x0|
2 ■ (M2 + ДМ + 1)3 x - x0| 1 - 22 ■ (M2 + DM + 1)3 x - x0
AM = A Y0, r(n) (xo)'
Yo ,sup-
n!
n = 0, 1, 2,
p4 = min (p2, Рз}
P2 = min {Pi
2
1
1 .
22 ■ (M2 + 1)3
P3
(11)
Yn(x) = ZCn(x — xg) , 0
где Cn — возмущенные значения коэффициентов.
Теорема 3. Пусть:
1) r(x) е С" в области K = {x : |x -
- x0 < P1, P1 > 0} ;
r(n) (x )
2) 3 M1 : -< M1, где M, =
n! 1
= const, n = 0, 1, ... ;
3) известна оценка погрешности |Y0 -
- Y0 = ДУ0.
Тогда для аналитического приближенного решения (11) задачи Коши ((1), (10)) справедлива оценка погрешности
22 ■ (M2 + AM + 1)3 '
Доказательство. Используя классический подход, получаем:
DYn(x) = Y(x) - Yn(x) < |Y(x) - Yn(x| + + Yn (x) - Yn (x)| <
" N
< Z Cn (x - x0 )n - Z Cn (x - x0 )n 0 0
N "
Z Cn (x - x0 ) - Z Cn (x - x0 )
< Z Cn(x - x0)n +
N +1
Z (Cn - Cn)(x - x0)n < 0
ю N
< Z \Cn(x - xg)n + Z ACn x - Xg |n < Ai + Д2,
N+1 0
где
I Сп Сп = АCn■ Выражение для А^ следует из теоремы 2.
1
А-! < -
N +1
N+1
■ М2 ■ 2Ш+1 ■ (М2 + 1)^+3 х
X | X — Хо |
1
1 — 22 ■ (М2 + 1)3 х — х0|
АСм+1 <
■ 22М+1 А М(М2 + А М + 1)
N +1
3М+3
где АМ — ЛС0 = АУо — возмущение начального условия задачи Коши.
Таким образом, для А2 получаем оценку
I (С
0
С„) ■ (х — Хо)п ^
< I АСп ■ |х - хо\п = Д(5о +1ДСИ ■ |х - хо\п < о 1
< ДМ ■
1 + -
2(М2 + ДМ + 1)3 |х - хо 1 - 22 ■ (М2 + ДМ + 1)3 х - хо|
На основании рекуррентного соотношения для коэффициентов структуры приближенного решения (3), (6) имеем выражение:
Сп = Р3п+1 (с0, Ло> А1, А2, ■■■, А3п), где правая часть соотношения представляет собой полином степени 3п + 1 с положительными значениями элементов. При этом Со = = Уо — начальное условие (2), Ао, А1, А2, ■■., Азп — коэффициенты разложения функции г(х) уравнения (1) в ряд. Тогда для выражения АСп, учитывая закономерность образования коэффициентов Сп и их оценку (8), методом математической индукции получаем оценку
1
Оценка А2 справедлива для области
11= 1
IX — Хл I < О о — —~-.
01 22 ■ (М2 + АМ + 1)3
Окончательно выражение Аl/N (х) будет справедливо в области
X - Хо\ < Р4,
где
р4 = min (Р2, Рз}, 1
Р2 = т1п < Р1, "2
22 ■ (М2 + 1)3
Пример 2. Строим аналитическое продолжение для приближенного решения задачи Коши в примере 1.
Начальное условие задачи Коши Хо = = о,12, У0 = о,65оо77ооо. Величина возмущения не превышает значения е — 0,0000014.
Все расчеты представлены в табл. 2.
Таблица 2
хо X У Уз А А* а2
о,12 о,143 о,6542394327 о,6542373178 о,ооооо21 о,о2156355 о,ооооо39
Здесь У — точное значение решения орная погрешность, полученная по теоре-уравнения; У3 — приближенное решение; ме 3; Л2 — апостериорная погреш-А — абсолютная погрешность; А* — апри- ность.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Орлов В. Н. Теорема существования решения для одного нелинейного дифференциального уравнения / В. Н. Орлов, А. Я. Корнилов, М. П. Гузь // Вестн. РГСУ (Филиал г. Чебоксары) [Чебоксары]. 2о12. № 1. С. 128 131.
Поступила 06.09.2012.
