Приближенное решение уравнений движения изогнутого трубопровода Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Приближенное решение уравнений движения изогнутого

трубопровода Ткаченко О. П.

Ткаченко Олег Павлович / Ткаеквпко 01е£ Рау1оу1ек - доктор физико-математических наук,

ведущий научный сотрудник, лаборатория математического моделирования в физике и технике, Вычислительный центр Дальневосточного отделения Российская академия наук, г. Хабаровск

Аннотация: найдены новые поправки к математической модели динамики изогнутого трубопровода. Поставлены численные эксперименты по гидравлическому удару в трубопроводах. Проведено сравнение с результатами, опубликованными в открытой печати.

Ключевые слова: изогнутый трубопровод, гидравлический удар.

Введение

В статье [1] опубликована построенная нами математическая модель, описывающая распространение нелинейных гидроупругих волн в изогнутом трубопроводе, погруженном в вязкоупругую среду. Уравнения движения трубы, в отличие от большинства существующих моделей, выведены на основе нелинейной теории оболочек. В [2] рассмотрены задачи о гидравлическом ударе и внутренних колебаниях в изогнутых трубах, заполненных жидкостью. Теоретически обоснованы уравнения математической модели, проведены расчеты гидравлического удара в различных системах труб, описание которых опубликовано в литературе.

В представленной работе эти результаты дополнительно обоснованы и расширены. На основе опубликованных данных натурных и численных экспериментов [3] проведены новые расчеты и найдены дополнительные подтверждения адекватности и полноты математической модели [1].

1. Формулировка математической модели

В основу модели положены уравнения движения трубы как технической оболочки с учетом геометрической нелинейности деформаций [4]. Для жидкости выбраны уравнения движения сжимаемой жидкости Эйлера с учетом трения стационарного потока о стенку, аналогично теории шероховатых труб. Труба полагалась изогнутой вдоль плоской кривой по своей образующей. Введенные системы координат (декартова и криволинейная) изображены на рис. 1.

Рис. 1. Геометрия изогнутого трубопровода

Рассматривается металлическая труба длиной Ь с круглым поперечным сечением радиусом Я и малой толщиной стенки к , заполненная потоком сжимаемой жидкости с

начальной плотностью ру о. Осевая линия недеформированной трубы является плоской кривой Г с радиусом кривизны Ро и кривизной Ко, такими, что мал параметр

Я = -

Ro

■ <<1.

(1)

min | ро |

Введены следующие системы координат: декартова система отсчета [Oxyz] и криволинейные координаты {OsdR} (рис. 1.). Здесь s - длина дуги вдоль Г от O до точки O', являющейся пересечением текущего поперечного сечения трубы и Г ; R] - полярные координаты в сечении.

Перемещения стенки трубы полагаются малыми. Ее торцы закреплены в основаниях из такого же материала, что и сама труба. Положение стенок, кинематические параметры потока жидкости в начальный момент времени считаются известными. Внешняя среда полагается вязкоупругой, учет ее влияния осуществляется через краевые условия на внешней стенке трубы.

В начальный момент времени система находится в стационарном состоянии. При

t = tg - состояние нарушается посредством возмущения движения жидкости на входе

или выходе трубопровода. Трением и силой тяжести в колебательных процессах в жидкости пренебрегаем. Построенная математическая модель описывает движение системы. Физическое обоснование теоретических выкладок и подробности вывода уравнений изложены в [1].

Для безразмерных перемещений стенки трубы

u ' = u / Rg, v ' = v / Rg, w ' = w / Rg,

скоростей и давления жидкости

vs ' = vs / cf, v0 ' = v0 / cf, vr ' = vR / cf, P' = p / Pa, Cf - скорость звука в жидкости, pa - стандартное атмосферное давление, определены приближенные решения уравнений движения оболочки и жидкости в виде:

и (

(5, в, г) = и0 (г) + Ли1 (г) в + ли2 (г) соб в + О (Л2 ); V - (5, в, г) = у0 (5, г) + Лу1 (5, г) ътв + Лу2 (5, г) соб в + О (л2);

Щ' ( 5,

v5 = у50 ( 5

(5, в, г) = щ0 (5, г ) + лщ (5, г) Бт в + Лщ2 (5, г) соб в + О (л2); (5, я, г) + лу51 (5, я, г) ^п в+лу52 (5, Я, г) соб в+О (л2); (5, Я, г) + лув1 (5, Я, г) Бт в + лув2 (5, Я, г) соб в + О (Л2 ); (5, Я, г ) + Луг1 (5, Я, г) ьтв + Луг 2 (5, Я, г) соБв + О (л2 );

У а = Ув0 ( 5

V = V 0 ( 5

Р' = Р0 (5, Я, г ) + лр1 (5, Я, г) бтв + лр2 (5, Я, г) собв + О (л2 ).

(2)

В результате уравнения движения упростились, и стало возможным их численное решение. Уравнения итоговой математической модели [1, 2]:

7 а 2 / . ~ 9 ( „_,.,.

а

2 д2ип дЩ _2

2 + ау—0 _ с

дС

дщ0

2

д и

дт

_h_L.Su— I и0 _0,5 • к*а

дт I

дС

= 0;

(1 + к+ +/ Е* ) щ + а^ +

*2 (

дС 12

_2 я2.

а

д щ

4... Л

■ + а

д4щ

дС/

+ с

_2

(1 + р/ 0к__2Рг):

2рг

дТдС

у 2

9 7 _2 9 9 /

х^ + к_У0/р0С ^ + 0,5а(1 + 0,5к*1 и0 _0.5к*а^ дт2 2р дтдС V ) к дтдС 0 дС

дтдС

дС

Е

к_ (1 + 1ру1/ (Ь _ С)/р/0«2 + Р0 ) _ к+ Рвх!Ра

_2 д и1 2 д и

_а2 ^ + (1 _у) и/х/2 + 4 ^ + 0,5 ^(1 + у)адУ2

ду

дт

дщ

дС

. д и

к дт

ди

дС

дС

. дщ

дС

-2 д2 V 2 1 _ ^ д2у9 Зъ д

с 2 —2 _ а2--2 + у + к

дт

дС

дт2

= >0 _

(

2 дС'

к дт

к

* л

у,--щ

У

1 + V ди _ щ--а—1

1 2 дС

+с

_2

1 +

3 _ V 2

р/0 Рк

а/ + Щ,/ Е'к-)щ + £

-с / -0

дС

*, * \ к 2 к ) щ +--а

12

З д ^

а

д щ1 + р/0У0/ д щ1 _У дт2 р?к*с2 дтдС 2 2 дт

э4

я4 я2 Л 2 д щ д

дС4 дС2

, * / дм, ^ _к м>112_а—1 1 дС

+аv-

д«1 , *2 4 / д щ0 _ . (л \ г ди0 1 / *

5С

з дС'

дС

а

„1 Patmv0 ff ( Z0 =-Г* ( V0 f

ah

ч Pf0®2R0

2vs0 ) + -V0 f

-0,5 • paf

0 + fKf

( L-C)- —

Pf0a 2a

h

д w.

. d2w,

7-0,25-^(Т,С)

v

дтдС

дт

я2 Л 0 , „ д w0 Г + v0f

dv

s 0

дт

v0f

дv,

s 0

дС

= -а

дтдС дР0

+ Pex/Pa + KR0 w0¡Ра

J

дС

■ +

F ТС);

a

дР0 , „ дР0

дт

■ + v

0 f

Pl = 2rv0 fívs0¡a

FiM = 2f

+ -

a2r

дС

3f0 f

д д — + v0 f —

дт 0f дС

дvs0 „ дw0 дw0

+ + 2—и = 0; vr0 =ar

дС

д2Wo

дтдС~

дт

í я2 я2 ^

д wi д wi —" + v0f

дт2

дтдС

дт '

+ (г2-з)у0/^/8

af д Р0 ¡n ,5^0 lPf дwo

vof дС

+ 7f

дтдС Pf0 дт

-f

дт+V° дС

2a

1 (dvS0 dw0

дР0

дС v0f l дС дт

■ F2 = 0. 1 2.

(3)

Здесь сделан переход к безразмерным координатам С = s/l, r = R/R и времени r = o)t. В (3) обозначено:

с"2 = PíF%(d2/e*-Е =/■: (\-v2y¡3 = af3l/2pt; sk = kaR0Pgrgh01 e*; h = hR0;— = R0¡l; a=Р(л I Pf 0cf; f = min P0IP0;

1, ф - характерные размеры по координате 5 и времени ?, соответственно; р1 -

плотность материала трубы, к - коэффициент вязкого трения внешней среды, ¡3 -

коэффициент трения внутреннего потока, рех - постоянное давление внешней среды,

^у - скорость потока на входе трубы. Уравнения (3) являются одномерными по

пространству, что является значительным упрощением по сравнению с двумерными уравнениями теории оболочек.

Таким образом, в [1, 2, 4] создан метод редукции двумерных по пространству уравнений динамики оболочки под влиянием внутреннего потока к одномерной задаче совместного движения оболочки и жидкости.

2. Задача о гидравлическом ударе в системе труб

В статье [3] рассматривается задача о гидроупругих колебаниях в системе труб, изображенной на рис. 2.

Рис. 2. Схема эксперимента. Поток отсекается клапаном от насоса

Все трубы соединены под прямым углом стандартными переходниками. Параметры трубопровода и потока: ц = 12,27 м, ц = 7,65 м, ц = 3,08 м, Я0 = 13 мм,

И = 1,27 мм, Ро = 20,6 мм, Р( = 8940 кг/ м3 , Е = 117 ГПа, у = 0,34, р/0 = 998 кг/м3 .

Время закрытия клапана ~ 4 мс. Поток отсекается от насоса клапаном, и колебания давления снимаются непосредственно перед клапаном на участке 1. При таких параметрах И/Я, « 0,098; Л « 0,631.

Прямым вычислением доказывается, что для корректного учета поворота трубы на 90° необходимо дополнить правую часть уравнений движения жидкости слагаемым

_ • где и- - радиальное перемещение стенки тубы в первом приближении по

5/ ' '

малому параметру Л. Эта поправка приводит к новым, более точным, чем в [1], результатам расчета давления (рис. 3). Представлены данные для свободных колен трубы (1-2), (2-3), прочие колена закреплены жестко. Заключение

Поставлены новые численные эксперименты для полной системы труб из [3] с уточненными слагаемыми в уравнениях движения. Эти данные дополнительно подтверждают адекватность математической модели [1, 2, 4].

Рис. 3. Результаты эксперимента. Пунктир - данные измерений [3], линия - расчет

9

Литература

1. Рукавишников В. А., Ткаченко О. П. Численное и асимптотическое решение уравнений распространения гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе // Прикладная механика и техническая физика, 2000. Т. 41. № 6. С. 161-169.

2. Рукавишников В. А., Ткаченко О. П. Численный анализ математической модели гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе // Математическое моделирование, 2011. Т. 23. № 1. С. 51-64.

3. Wiggert D. C., Otwell R. S., Hatfield F. J. The Effect of Elbow Restraint of Pressure Transients // Journal of Fluids Engineering, 1985. V. 107. P. 402-406.

4. Рукавишников В. А., Ткаченко О. П. Приближенное решение нелинейной задачи о деформировании подземного трубопровода // Сибирский журнал индустриальной математики, 2010. Т. 13. № 4 (44). С. 97-108.

Графические решения кубических уравнений Куспаев Н. Д.1, Куразов Т. А.2

1Куспаев Нургалий Джумагалиевич /Kuspaev Nurgaliy Djumagalievich - инженер-строитель;

2Куразов Туретай Аманжолович / Kurazov Turetai Amangolovich - профессор, кафедра физики конденсированного состояния, физико-математический факультет, Республиканское государственное предприятие Актюбинский региональный государственный университет имени К. Жубанова, г. Актобе, Республика Казахстан

Аннотация: со времен великих математиков Абеля и Галуа в течение четырех столетий утверждалось о невозможности графической интерпретации корней кубических уравнений, то есть не были разработаны алгоритмы построения корней уравнений третьей степени, хотя по формуле Кардано корни приведенных уравнений выражаются кубическими радикалами. Согласно теории Абеля и Галуа, любое действительное число, выражаемое радикалами, можно построить при помощи циркуля и линейки. В данной статье мы полностью доказываем это утверждение. Приведен пример использования кубических уравнений при решении задач по физике. Ключевые слова: корни уравнений, радикалы, разрешимость, действительные и комплексные числа, деление углов, полярный угол, емкостные и индуктивные сопротивления, колебательный контур.

Рассмотрим решение приведенных кубических уравнений вида:

X3 + рХ + ц = 0 ; (1)

А) При р = 0 имеем

X = //——7 , где — q = а + (3 I комплексное число

Используем формулу Муавра-Лапласа [ 3 ., стр. 59 7] для нахождения корня // г (со Бр + ¿б тр ) = МТ (с о 5 л + ¿5 | п 9 +зк л ); (2 )

Мт = /а2 + (2 здесь т = / а2 + (2 ( 3 )

гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами (модуль подкоренного комплексного числа). В предыдущих статьях мы приводили правила деления угла на три части , а также правила определения кубического корня