CC BY
52
38
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕННОЙ
МАТРИЦЕЙ КОЭФФИЦИЕНТОВ
Лутай Владимир Николаевич
канд.техн. наук, доцент Южного федерального университета,
г.Таганрог, РФ
АННОТАЦИЯ
Рассматривается возможность получения приближенного решения СЛАУ, у которых матрица коэффициентов плохо обусловлена. Вычислительная схема заключается в предварительной обработке исходной матрицы коэффициентов, в результате которой число обусловленности ее существенно снижается, вследствие чего полученное приближенное решение становится более устойчивым. В основе схемы лежит метод Гаусса. Приведенные результаты вычислительных экспериментов подтверждают возможность получения устойчивого приближенного решения, которое оценивается по величине невязки.
ABSRTRACT
The possibility of obtaining an approximate solution of linear systems, in which the coefficient matrix is ill-conditioned. Computational scheme is pre-treatment of the original matrix coefficients, as a result ofwhich the number of its conditionality is significantly reduced, resulting in an approximate solution becomes more stable. The scheme is based on the method of Gauss. The results of computational experiments confirm the possibility of obtaining stable approximate solution, which is measured at the residual value.
Ключевые слова: СЛАУ, плохая обусловленность матрицы, предварительная обработка матрицы, компактная схема Гаусса.
Keywords:^ system of linear equations, bad conditionality of the matrix, pre-processing matrix, compact scheme of Gauss
Известно [1, c. 32], что число обусловленности матрицы вычисляется как произведение норм исходной и обратной к ней матрицы. При очень большом числе обусловленности матрицы коэффициентов, решение соответствующей СЛАУ неточно и неустойчиво. В [2] для нахождения приближенного устойчивого решения используется регуляризация СЛАУ Критерием устойчивости решения считается минимум нормы вектора решения; коэффициент регуляризации подбирается исходя из дополнительных соображений, например, из точности задания свободных членов СЛАУ.
В нашем случае устойчивость решения повышается посредством снижения числа обусловленности матрицы коэффициентов СЛАУ.
Квадратная матрица A при решении системы СЛАУ вида
Ax = b (1)
методом Г аусса приводится к произведению двух треугольных матриц ([1, c. 39]):
A = LU,
min(i, j)
a.. = > lu .
у Z_i v pj p=i
В основе метода исключения Г аусса лежат выражения, которые обращают в ноль под диагональные члены матрицы U; например, для первого столбца этой матрицы такое выражение выглядит следующим образом:
ап
a ,i —- a„, j = 2,3,..., n. а
Введем два целых положительных числа р и t, таких что
0 < t < р. Под р будем понимать количество десятичных разрядов мантиссы при компьютерном представлении числа с плавающей точкой. Положим, что результат выражения
xy, где x, y, z - числа с плавающей точкой, имеет некоторое
"xy”
количество значащих цифр р> p > 1. Обозначим L z Jt результат этого выражения, усеченный до р -1 разрядов. Тогда
xy
L ^ J t
xy
z при p <P~t
и, в зависимости от знака выражения,
xy
z
xy
или
xy
z
xy
при p >p- t
Используя компактную схему метода Г аусса для матрицы A и обозначив M и V квадратные матрицы порядка n запишем
\ =%, т., =-^. У = 2,3,...и,
а
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
39
В то же время решение системы
=au -Y\mpvp< ]
i = 2,3,...и, j = 1,2,...n,
(2)
vj = aij ~TymPvPj \,
p=i
i = 2,3,...n, j = 1,2,...n,
Cx = b
при d ф 0 является приближенным для системы (1). Приближение обычно оценивается по норме вектора невязки
r = Ax - b.
a .. — V mv .
j> /_( jp pi
p=i
mji =
i = 2,3,
v
ii
, n, j = i +1, i + 2,..., n
Приведенная схема отличается от известной [3, c. 175] тем, что вместо полных выражений используются усеченные;
кроме того, в формулах для v индекс j изменяется от 1, а не от i +1, так как вычисляются все члены матрицы V, а не только диагональные и над диагональные.
Рассмотрим систему из 2-х уравнений, известную как тестовая задача Уилкинсона [4]:
0.780 0.563 b = 0.217
А = 0.913 0.659 0.213
Точное решение системы - х0 = 1,х =—1. Так как члены матрицы А меньше 1, то коэффициент обусловленности
матрицы, определяемый величиной ||а_1|| равен 1.410+6.
В результате под диагональные члены матрицы V в отличие от матрицы U при p > р — t не равны 0. Матрица M остается нижней треугольной, но ее значения отличаются от значений матрицы L. После перемножения матриц M и V получаем матрицу C, элементы которой равны
/3=Vmipvpj+aij-V[mipvpj ]i j=2,3,...n.
(3) p=i p=i
Например, при n = 3 имеем
C3 j = a3 j + ЩЛ j —[m31a1 j ]t + m32 (a2 j —[m2!a! j ]t) — [m32 (a2 j — j ]t )]t
a31 a32 — m3iai3 . loo
m3i = —, m32 = -^---------,j = 1,2,3.
a 1
Обозначим d сумму всех, кроме a., слагаемых в правой части (3). Тогда
c=a+d«
Причиной сравнительно большой нормы A 1 является почти линейная зависимость строк(столбцов) исходной матрицы. Действительно, отношение a11 / a21 равно a12 / a22 с точностью до 5 знаков после запятой.
Для предварительной обработки матрицы A воспользуемся вычислительной схемой (3). Очевидно, что добавление
значений d к элементам a нарушает отношение между исходными строками матрицы, вследствие чего линейная
зависимость строк уменьшается и матрица C_1 имеет меньшую норму, чем А—.
Например, при t = 12 матрица D принимает следующий вид:
D =
0
0
0
8.7e — 6
Чем больше значение t, тем больше коэффициенты матрицы D и тем меньше норма обратной матрицы.
В то же время решение системы
Cx = b
или
C = A + D при d ф 0 является приближенным для системы (1). При-
ближение обычно оценивается по норме вектора невязки
При t = 0 все d = 0 и матрицы C,M, V совпадают с матри- r = Hx — b.
j
цами А ,L,U соответственно.
В таблице 1 приведены результаты предварительной обработки по схеме (3) матрицы Уилкинсона и решения соответствующей системы уравнений.
40
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Таблица 1.
Результаты решения задачи Уилкинсона для различных значений t
t И И-‘1 И X1 x2 И
0 0 1.4e+6 0 1 -1 2.7e-17
12 8e-6 9.5e+5 5.8e-11 0.741 -0.641 4.6e-7
14 9.8e-5 1.8e+4 1.2e-12 0.287 -0.0128 1.2e-6
15 1e-3 2e+3 0 0.279 - 0.001 1.3e-6
(Обратные матрицы вычислялись посредством решения СЛАУ с присоединенной единичной матрицей. В качестве меры точности этих вычислений использовалась норма
матрицы F = CC_1 - E, где E единичная матрица. В качестве норм для матриц f, C-1 использовалась евклидова
n n т I
М--'А&*2 J
для векторов -IIJ 16.) 11 1
для матрицы D
ILdII = max Ё 11 1<i<m j=1
= max
1<i<n ''
I. Значение p было принято за
Как следует из таблицы норма матрицы с с возрастанием t уменьшается и решение СЛАУ с ней становится более устойчивым.
Далее рассмотрим результаты использования предложенной вычислительной схемы для матрицы Гильберта. Ее коэффициенты вычисляются согласно следующим выражениям [1,c.98]
a.. =
j
i + j -1
, i, j = 1,..., n.
1
Так как норма матрицы невелика (меньше 2), а число обусловленности при n = 10 достигает 10+13 и c возрастанием n практически экспоненциально увеличивается, то и здесь число обусловленности определяется нормой обратной матрицы.
Причиной плохой обусловленности матрицы Гильберта так же, как и матрицы Уилкинсона, является почти линейная зависимость ее строк. Нетрудно проверить, что отношение элементов строк k и m
(m + j -1) / (k + j - 1),j = 1,...,n,
начиная с n = 5 отличается для различных j на очень малую величину и с увеличением n становится почти одинаковым.
В таблице 2 приведены результаты предварительной обработки и решения СЛАУ с матрицей Гильберта для n = 10 из [4], для которой все значения вектора x равны 1. Коэффи-
циенты и свободные члены системы заданы 15-ю десятичными знаками.
Таблица 2.
Результаты решения СЛАУ с матрицей Гильберта для
n = 10
t Я И-41 M IXII И
0 5.5e-17 9e+12 1.6e-4 1.02 1.1e-16
7 7e-10 6e+11 1.5e-5 17 6.6e-10
10 5e-7 2e+8 7e-9 4.6 4e-7
12 7e-5 2e+6 5e-11 9.33 4.5e-5
14 6.5e-3 3e+4 9e-13 15.7 1e-2
Как следует из таблицы, компромисс между точностью решения и нормой матрицы C достигается при t = 12. Заметим, что в [4] эта система решалась программой повышенной точности из библиотеки SADEL, тогда как приведенные результаты получены стандартной реализацией метода Гаусса в формате double с изменением ее согласно (3).
Работа выполнена в рамках базовой части государственного задания в сфере научной деятельности проект №3442 «Информационно-алгоритмическое обеспечение систем цифрового управления, автономной высокоточной навигации и технического зрения для перспективных летательных аппаратов: разработка теоретических основ проектирования, алгоритмов, способов эффективной и надежной программной реализации, использование высокопроизводительной вычислительной инфраструктуры для экспериментального моделирования».
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дж. Форсайт, К. Моллер Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. М.: Мир, 1969, 164 с.
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 10 (19), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
41
2. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. . - М.:Наука.Главная редакция физико-математической литературы, 1971. Изд. 2-е.
3. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. - М.:Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 320 с.
4. SADEL-PA10. Моделирование и анализ систем и объектов. Тестирование решателей СЛАУ URL: http://paШ.m/?page_id=Ш9(дата последнего обращеd ния 20.10.2015)
РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В СРЕДЕ MATLAB
Мулкиджанян Михаил Вартанович,
Студент магистратуры, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Геворкян Эдуард Аршавирович,
доктор физико-математических наук, профессор, академик Российской академии естествознания, профессор кафедры
высшей математики, Российский экономический университет имени Г. В. Плеханова
АННОТАЦИЯ
В работе решена задача оптимального управления с использованием пакета прикладной программы MATLAB. Рассматриваются непрерывные и линейные по управлению процессы. Получены аналитические выражения оптимальных значений функций состояния и управления процессами, приводящих к оптимальному значению функционала.
ABSTRACT
In this paper we solve the problem of optimal control with the use of the application package MATLAB. We consider the time-continuous and linear-management processes. Obtained analytical expressions of optimal values of state functions and management processes that lead to the optimal value of the functional.
Ключевые слова: оптимальное управление, достаточные условия оптимальности, непрерывные процессы, аналитическое решение, MATLAB.
Keywords: optimal control, sufficient conditions of optimality, continuous-time processes, analytical solution, MATLAB.
1. Предпосылки к выполнению работы
Теория оптимального управления включает в себя методы, при помощи которых можно достичь максимального значения критерия качества посредством определенной организации управления, воздействующего на управляемый процесс.
Следует подчеркнуть, что совокупность методов теории оптимального управления является очень гибким инструментом в плане охвата областей, в которых ее можно применить, так как задачи управления возникают в экономике, в физике и в других науках.
Примером задачи оптимального управления в физике может являться поиск оптимальной траектории полета, которой будет придерживаться искусственный спутник, а в экономике - поиск оптимального плана производства.
Подобные задачи можно решать методами теории оптимального управления с использованием пакетов прикладных программных продуктов, но, к сожалению, во все программные пакеты для научной работы входят стандартные методы, позволяющие решить данные задачи численно, а, как известно, у численного решения есть ряд недостатков, которых нет у аналитического решения. Такими недостатками являются: наличие погрешности и трудоемкость получения решения как для человека, так и для ЭВМ, выраженная пересчетом критерия качества в каждой точке на какой-либо области с заданной величиной шага.
Данная работа направлена на создание программного кода на языке пакета прикладной программы MATLAB для получения аналитического решения ряда задач теории оптимального управления.
2. Достаточные условия оптимальности
для непрерывных процессов Объектами применения теории оптимального управления являются управляемые системы, описываемые дифференциальными или конечно-разностными уравнениями соответственно для непрерывных или дискретных процессов. Ниже будем рассматривать только случай непрерывных процессов.
В общем случае задача оптимального управления для непрерывных процессов состоит в отыскании минимума функционала при заданном законе уравнения процесса и начальным условии Коши, то есть:
