CC BY
0УДК 51
Бекбосын А.Д.
КарУ им. Академика Е.А. Букетов (г. Караганда, Казахстан)
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОЙ МНОГОТОЧЕЧНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Аннотация: актуальность темы определяется важностью практических приложений теории краевых задач для дифференциальных уравнений при решении различных задач науки и техники, с одной стороны, и необходимостью создания новых эффективных методов решения краевых задач для дифференциальных уравнений, с другой.
Ключевые слова: краевые задачи, дифференциальные уравнения, линейная многоточечная задача, матрица, трехточечная задача.
Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений часто появляются в прикладных областях и широко используются при решении различных задач науки и техники.
В настоящее время наиболее полно освоенной областью краевых задач является теория краевых задач для дифференциальных уравнений. В настоящее время изучение краевых задач для системы дифференциальных уравнений становится одной из важнейших задач теории краевых задач для дифференциальных уравнений, причиной которой является необходимость решения указанных задач при построении математической модели многих явлений, происходящих в природе и окружающей среде. В связи с этим трехточечная краевая задача для дифференциальных уравнений изучается методом параметризации.
[0, Т] для обыкновенного дифференциального уравнения в интервале предусмотрена линейная трехточечная краевая задача:
dx
— = A(t)x + f (t), t e (0,T), x e R2, (1) dt
B1 x(0) + B2 x(0) + B3 x(T) = d, 0 e
T 0,2
, d e R2, (2)
где Л^) матрица второго порядка и / ) вектор непрерывный на отрезке [0,Т] функции, В1, В2, В3- постоянные матрицы второго порядка, заданные а е Л2.
Решением (1), (2) задач называется (1) удовлетворяющие дифференциальному уравнению и t0 = 0, = 0, ^2 = Т равенство (2) для
значений в точках [0,Т] мы имеем в виду х^) вектор-функцию, которая непрерывно дифференцируема в интервале.
Для нахождения решения данной задачи в работе предложен следующий алгоритм на основе метода параметризации: I. [0, Т) разделяем на две части:
[0,T) =
0, T
. 2 У
и
T
-TT
2 у
x
. т
^) через ) функцию [^tr), г=1,2, t0 = 0, t1 = т, t2 = Т
2
обозначим
значение интервала, т. е
T\
x1 (t) = x(t), t
e
0,2
x2(t) = x(t), t
e
T Л —, T
.2 у
Тогда переходим к следующему отчету на счет (1), (2): dx
-t = A(t)xr + f(t), te[tr_l,tr),r = 1,2, (3) dt
Bi xi (0) + B2 xi (0) + B3 lim x2 (t) = d, (4)
/ T л
lim xi(t) = x2 т , (5)
T
t ^--0
2
2
V ^ У
где (5) - условие непрерывности решения.
Чтобы найти решение данной задачи Л = x1 (0), Л2 = x2
вводим
параметры
и
каждый
0
T , 2~
v 2 У
T Т
через разметку
T) интервале,
щ(г) = х,(г)-Л1, и2(г) = х2(г)-Л2 производим замену. Тогда задача (3)-(5) приводится к линейной краевой задаче для дифференциальных уравнений с параметрами:
^ Л(г)[щ +Лг] + /(7), иг{г-,) = 0, ге[гг_„гг), г = 1,2,(6)
dt
BÄ1 + ад + tti(0)) + Б3[Ш u2(t) + Л2] = d, (7) Л + lim Ui(t)-Л = 0. (8)
t^—0 2
III. (8) для дифференциальных уравнений задача Коши эквивалентна следующим интегральным уравнениям
ur (t) = j [A(r)ur + А(т)Лг + f (r)]dr, t e [tr-1, tr), r = 1,2, (9)
0
Используя это равенство, lim u1 (t), lim u2(t) пределов и щ(д) находим.
T
t ^—0 2
t ^T - 0
Поставив найденные значения на (7), (8), получим систему уравнений, определяющих неизвестные параметры:
б,
(т л
V 2 J
Л = - F
( T Л
v 2 у
, Ле R4. (10)
[Яг, иг (г)}, г = 1,2 чтобы найти систему функций, мы получили замкнутую систему, состоящую из задачи (6) и уравнения (10).
( Т \ , ч
Все Q, — матрица имеет обратную матрицу и иг (г) = 0, (10) из системы
V 2 )
А = (АуЛ2) находим. (6) Вы можете использовать численный метод, чтобы найти решение задачи Коши.
Методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений можно разделить на графические, аналитические, приближенные и численные.
К графическим методам можно привести методы изоклина для решения дифференциальных уравнений первого порядка.
В некоторых инженерных задачах решение может быть выражено в виде суммы двух составляющих, первая из которых определяет основное решение, а вторая - небольшое отклонение. В приближенных методах широко применяется классификация решения заданной задачи по ряду по какому-либо меньшему параметру. К данной группе методов относятся асимптотические методы, с помощью которых получается решение, описывающее предельную картину рассматриваемого явления.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1 Keller H. Numerical methods for two-point boundary value problems. - Blais-dell: Walthan, 1968. - 184 p;
2 Roberts S.M., Shipman J.S. Two-point boundary-value problems: Shooting methods. - New York : Elsevier, 1972. - 269 p;
3 Кигурадзе И.Т. Краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. "Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 30. (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)" М.: 1987. - 3-103б;
4 Meyer G.H. Initial value methods for boundary value problems. Theory and application of invariant imbedding. - N.Y.: Acad. Press., 1973. - 296 p;
5 Крылов А. Н. О некоторых дифференциальных уравнениях мат. физики М.: Наука, 1950. - 470 с;
6 Назаров Н.Н. Об одном новом классе линейных интегральных уравнений //Труды института математики и механики АН Уз. ССР. Ташкент. - 1948, вып. 4. с.77-106;
7 Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. - 1961. - Т. 16. - Вып. 3. - б. 171-174
Bekbosyn A.D.
Karaganda State University named after academician E.A. Buketov
(Karaganda, Kazakhstan)
APPROXIMATE SOLUTION OF LINEAR MULTIPOINT BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION
Abstract: relevance of the topic is determined by the importance of practical applications of the theory of boundary value problems for differential equations in solving various problems of science and technology, on the one hand, and the need to create new effective methods for solving boundary value problems for differential equations, on the other.
Keywords: boundary value problems, differential equations, linear multipoint problem, matrix, three-point problem.
