CC BY
30
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 2
УДК 551.594 DOI 10.23683/0321-3005-2018-2 -84-89
ПРИБЛИЖЕННОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКОМ СОСТОЯНИИ ПРИЗЕМНОЙ АТМОСФЕРЫ В УСЛОВИЯХ АЭРОЗОЛЬНОГО ЗАГРЯЗНЕНИЯ
© 2018 г. Г.В. Куповых1, А.Г. Клово1, Д.В. Тимошенко1, С.С. Свидельский1
1Южный федеральный университет, Таганрог, Россия
APPROXIMATE ANALYTICAL SOLUTION OF THE PROBLEM OF THE ELECTRODYNAMIC STATE OF THE SURFACE ATMOSPHERE IN THE CONDITIONS OF AEROSOL POLLUTION
G.V. Kupovykh1, A.G. Klovo1, D.V. Timoshenko1, S.S. Svidelsky1
1Southern Federal University, Taganrog, Russia
Куповых Геннадий Владимирович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики, Институт компьютерных технологий и информационной безопасности, Южный федеральный университет, пер. Некрасовский, 44, г. Таганрог, Ростовская область, 347928, Россия, e-mail: kupovykh@sfedu.ru
Gennady V. Kupovykh - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Head of the Department of Higher Mathematics, Institute of Computer Technology and Information Security, Southern Federal University, Nekrasovskii Lane, 44, Taganrog, Rostov Region, 347928, Russia, e-mail: kupovykh@sfedu. ru
Клово Александр Георгиевич - кандидат технических наук, доцент, кафедра высшей математики, Институт компьютерных технологий и информационной безопасности, Южный федеральный университет, пер. Некрасовский, 44, г. Таганрог, Ростовская область, 347928, Россия, e-mail: klovo_ag@mail.ru
Aleksandr G. Klovo - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Institute of Computer Technology and Information Security, Southern Federal University, Nekrasovskii Lane, 44, Taganrog, Rostov Region, 347928, Russia, e-mail: klovo_ag@mail. ru
Тимошенко Дмитрий Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей математики, Институт компьютерных технологий и информационной безопасности, Южный федеральный университет, пер. Некрасовский, 44, г. Таганрог, Ростовская область, 347928, Россия, e-mail: dmitrytim@yandex.ru
Dmitry V. Timoshenko - Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Higher Mathematics, Institute of Computer Technology and Information Security, Southern Federal University, Nekrasovskii Lane, 44, Taganrog, Rostov Region, 347928, Russia, e-mail: dmit-rytim@yandex.ru
Свидельский Сергей Сергеевич - аспирант, Институт компьютерных технологий и информационной безопасности, Южный федеральный университет, пер. Некрасовский, 44, г. Таганрог, Ростовская область, 347928, Россия e-mail: dr.leavesea@yahoo.com
Sergey S. Svidelsky - Postgraduate, Institute of Computer Technology and Information Security, Southern Federal University, Nekrasovskii Lane, 44, Taganrog, Rostov Region, 347928, Russia, e-mail: dr.leavesea@yahoo.com
Описывается электродинамическая модель горизонтально-однородной турбулентной приземной атмосферы при наличии в воздухе монодисперсных аэрозольных частиц. Математическая модель включает в себя нестационарные иони-зационно-рекомбинационные уравнения переноса под действием электрического поля и турбулентной диффузии полярных легких ионов (аэроионов), в том числе члены, описывающие их взаимодействие с аэрозольными частицами, а также стационарное уравнение Пуассона с учетом образовавшихся тяжелых ионов. Предполагается выполнение условия равновесия для тяжелых ионов, и их перенос не учитывается. Анализ системы уравнений позволяет оценить время установления стационарного электродинамического состояния, которое меняется от 100 до нескольких десятков секунд при увеличении концентраций аэрозольных частиц в атмосфере от 5109 до 51010 м'3. Характерная высота электродного слоя меняется от нескольких десятков сантиметров до нескольких метров: увеличивается при усилении степени турбулентного перемешивания и уменьшается при повышении концентрации аэрозольных частиц. Для получения стационарных аналитических решений уравнений модели сделаны следующие допущения: скорость ионизации в приземной атмосфере считается постоянной; при рассматриваемых концентрациях аэрозольных частиц рекомбинацией легких ионов можно пренебречь; электрическое поле и коэффициенты турбулентной диффузии (для легких и тяжелых ионов) постоянны и не зависят от высоты. Получены приближенные аналитические выражения для распределения по высоте кон-
ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2018. № 2
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 2
центраций полярных аэроионов и плотности объемного электрического заряда в зависимости от значений концентрации аэрозольных частиц, напряженности электрического поля и степени турбулентного перемешивания. Полученные результаты хорошо согласуются с теорией электродного эффекта в атмосфере и могут быть основой для построения численной модели электродинамических процессов в приземном слое атмосферы.
Ключевые слова: атмосфера, аэроионы, аэрозоль, электрическое поле, объемный заряд, турбулентная диффузия, приземный слой, электродный эффект, электродинамика.
The article describes an electrodynamic model of the horizontally homogeneous turbulent surface atmosphere in the presence of monodisperse aerosol particles. The mathematical model includes nonstationary ionization-recombination transport equations due to the electric field and turbulent diffusion ofpolar light ions (air ions), including terms describing their interaction with aerosol particles and also the stationary Poisson equation with allowance for the formed heavy ions. It is assumed that the equilibrium condition for heavy ions is satisfied, and their transfer is not taken into account. Analysis of the system of equations makes it possible to estimate the time of establishment of a stationary electrodynamic state, which varies from 100 to several tens of seconds with an increase in the concentrations of aerosol particles in the atmosphere from 5 109 to 5 1010 m'3. The characteristic height of the electrode layer varies from several tens of centimeters to several meters: it increases with increasing degree of turbulent mixing and decreases with increasing concentration of aerosol particles. To obtain stationary analytical solutions of the model equations, the following assumptions are made: the rate of ionization in the surface atmosphere is assumed to be constant; at the considered concentrations of aerosol particles, recombination of light ions can be neglected; the electric field and the coefficients of turbulent diffusion (for light and heavy ions) are constant and do not depend on altitude. Approximate analytical expressions are obtained for the vertical distribution of the concentrations ofpolar aero ions and the density of the space electric charge as a function of the concentration of aerosol particles, the electric field strength, and the degree of turbulent mixing. The obtained results are in good agreement with the theory of the electrode effect in the atmosphere and can be the basis for constructing a numerical model of electrodynamic processes in the surface layer.
Keywords: atmosphere, air ions, aerosol, electric field, space charge, turbulent diffusion, surface layer, electrode effect, electrodynamics.
В монографиях по теории атмосферного электричества [1-4] описаны модели электрического состояния приземного слоя в приближении электродного эффекта для различных метеорологических условий с учетом наличия аэрозольных частиц в воздухе. Стационарность общей модели электродного эффекта в атмосфере предполагает, что условия равновесия между тяжелыми и легкими ионами выполнены. В результате проведенных исследований установлено, что присутствие в воздухе аэрозольных частиц и осаждение на них легких ионов (аэроионов) приводят к образованию тяжелых ионов, и, как следствие, уменьшается электрический объемный заряд, обусловленный аэроионами. При достаточно больших концентрациях аэрозоля (более 1010 м-3) объемный заряд, создаваемый тяжелыми ионами, полностью определяет электрическую структуру приземного слоя.
В силу сложности и многофакторности протекающих в атмосфере процессов, сегодня часто используются численные методы решений математических уравнений модели. Однако для правильной постановки задач моделирования и последующей интерпретации результатов полезно проводить предварительные аналитические исследования математической модели с целью определения основных закономерностей в поведении расчетных характеристик в зависимости от параметров моделирования.
Будем исходить из того, что приземный слой заполнен монодисперсными аэрозольными частицами. Предполагая, что аэроионы заряжаются однократно, пренебрегая переносом тяжелых ионов, образующихся за счет взаимодействия аэроионов с аэрозолем, систему уравнений для описания электродинамического состояния горизонтально-однородного приземного слоя можно представить в виде
[5-7]
f -I (* H M-.)-
= q -апрг - ПЩ N2 - щщN0,
T -I ( * <z )'f H "2 ) =
= q -ann2 - п2Щ N - ПщЪNo. OE e / \
- _ (n - П2 + N - N2 ), (1)
Oz Eq
N0 + N+ N2 - N = const,
где и1,2 - объемная концентрация легких ионов; b1,2 - их подвижность; E - напряженность электрического поля; q - интенсивность ионообразования; а - коэффициент рекомбинации легких ионов; N12 -объемные концентрации положительных и отрицательных тяжелых ионов; N0 - концентрация нейтральных аэрозольных частиц; N - полная кон-
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 2
центрация аэрозольных частиц; Dt(z) - коэффициент турбулентной диффузии для легких ионов; ni,2 -коэффициенты воссоединения легких ионов с аэрозольными частицами; e - элементарный заряд; е0 -электрическая постоянная.
Первое и второе уравнения системы (1) - иониза-ционно-рекомбинационные уравнения для легких ионов; третье - уравнение Пуассона вместе с условием равновесия для тяжелых ионов.
Положим, что коэффициенты турбулентной диффузии для легких и тяжелых ионов совпадают и не меняются, т.е. DT (z) = %(z) = D0 = const, что соответствует устойчивой стратификации приземного слоя атмосферы [8]. Для приведения системы (1) к безразмерному виду введем обозначения:
N,2 =
Ni,:
= :М e = E, t' = t, Z' = л
E
t
i,2
N.
lo =(D0Tn y\ TN
n* = ЩЛ z = 0| =
E
T
■J(bn)2 + 4aq ' - BN + yl(BN)2 + 4aq
(2)
Здесь B =
2VlVl
2a
параметр, зависящии от ко-
няются условия:
dz
dN ? dE
— 0, —12 — 0, — — 0 ;
z —i dz z —i dz z —i
Er = E0--¡P(z)dz, P(z) = Pn + P,
£o 0
N
(3)
где Er - результирующее электрическое поле; Е0 -напряженность электрического поля вне электродного слоя; рп, pN - плотности электрического заряда, создаваемые легкими и тяжелыми ионами (аэрозольными частицами) соответственно.
Таблица 1
Характерные значения времени установления и высоты электродного слоя / Characteristic values of the establishment time and the height of the electrode layer
Параметры модели: ^1=1,4-10-12 м-3с-1, П2=4-10-12 м-3с-1, q=107 м-3с-1, а=1,610-12 м-3с-1
N, м-3 Do, м2/с TN, С I0, м
5109 0,01 101 1,0
0,1 3,2
11010 0,01 69 0,8
0,1 2,6
5109 0,01 17 0,4
0,1 1,3
+
эффициентов взаимодействия легких ионов, нейтральных и заряженных аэрозольных частиц; Ех - значение напряженности электрического поля на верхней границе электродного слоя I, где выпол-
дп1Л
10 - характерная толщина турбулентного электродного слоя с учетом наличия аэрозольных частиц с концентрацией N Т - характерное время изменения электродинамических характеристик атмосферы.
В зависимости от значений концентрации аэрозольных частиц N и значений коэффициента турбулентной диффузии Бо характерное время ты и характерная высота 10 электродного слоя в соответствии с формулами системы (2) принимают значения, представленные в табл. 1.
На первом этапе получим аналитические решения соответствующих дифференциальных уравнений для нахождения распределений концентраций положительных и отрицательных легких ионов по высоте: п1 2(я) . Далее на основании уравнения
Пуассона осуществим расчет плотности электрического заряда р и напряженности электрического поля Е , создаваемого этим объемным зарядом. Для этого проинтегрируем уравнение Пуассона, и полученное выражение представим в виде
Таким образом, расчеты плотности объемного заряда рп, создаваемого полярными аэроионами, и напряженности электрического поля Е, генерируемого этим объемным зарядом, будем проводить по формулам:
1 1
Рп(я) = е(п1-п2) , Е = —\рп((4)
£0 0
Для получения аналитических решений упростим систему (1), сделав следующие допущения:
1) рассмотрим стационарный случай электродинамической модели горизонтально-однородного приземного слоя атмосферы с учетом наличия в нем аэрозольных частиц;
2) скорость ионизации в приземной атмосфере предположим постоянной д=СОШ^
3) при значительных концентрациях аэрозольных частиц в атмосфере, сопоставимых с концентрациями аэроионов (более 2109 м-3), процессом рекомбинации легких ионов можно пренебречь;
4) для получения аналитического решения предположим, что электрическое поле ЕГ=Е00 и не зависит от высоты;
5) пренебрежем переносом тяжелых ионов, тогда
а член в правой части ионизационно-ре-комбинационных уравнений, описывающий взаимодействие аэроионов с аэрозолем, запишем в виде ВМ,2 [6].
Таким образом, ограничимся рассмотрением следующей системы, вытекающей из первых двух уравнений (1):
l
n
0
1
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
D
d 2 n1
± b1,2 E0
dn1
dz2 x'2 0 dz с граничными условиями:
П1,2(Z = Zö) = 0 , ni,2(z = l) =
- BNnl2 = —q.
= n
а
(5)
(6)
+
q
BN
(i
— e
NATURAL SCIENCE. mi(z—zo
2018. No. 2
(11)
— b2Eö ±yl 4Dö BN + (b2Eö ) 2D
Подставляя в первое уравнение (4) выражения (10) и (11), получим выражение для плотности объем-
где 2о - параметр шероховатости земной поверхно- ного заряда: сти.
Рассмотрим уравнение, вытекающее из , системы (5), описывающее изменение кон- = е центрации п\ положительно заряженных аэроионов:
В ^ - ЬЕ ^ - ЕЫп, = -д.
р( z) =
BNnv+ q ■(ekl(l-Zö)
bn (e^1 — e(k2—ki )zo+k1)
1) (ek2z — e(k2 —k1 )z0 +k1z )— q ek1(z—z0 ) (¿2 —kl )zo+\1\ V ' ОД7-
(12)
Л
— e
0 dz2
BNnm + q -(em 1 (1—z0)— 1 BN (e'1 — e'
(m2 —^1 )z0 +m1
1) (
BN q
em2z — e(m2 —m1 )z0 +m1z )— q em1(z—z0 ) ' BN
(7)
Уравнение (7) является линейным неоднородным обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами [9] и может быть решено аналитически. Общим решением уравнения (7) является функция
Найдем выражение для напряженности электрического поля Е, подставляя выражение (12) во второе уравнение (4). Интегрирование дает следующий
результат:
„ ( (
E (1) = -
щ (z) = Cek1z + C2ek2z +-Ü-, 1W 1 2 BN'
где ¿1,2 =
bEp ±V4D,,BN + (b^E0 ): 2D
(8)
С12 - произ-
V l k2
1 (ek2' — 1)— 1 e(k 2—k1 )z0 (ek1' +1)] —
k2 k1 У
q 1 —k1z0
—----e 10 (e
BN k
(ek11 +1)
вольные постоянные.
Используя граничные условия (6), найдем значения констант С\,2, входящих в (8):
1) дв- ^
m
1 Jm2 — m1 )z0 (em11 + 1)
--e
e ( f 1
а2 —
S0 V V m2
1
BN m1
-mzc (em11 +1)
(13)
Л
C = —e(k2 — k1 )z0 BNnr+ q -le 1 тТлтГЛ
где A1 =
k1 (1 — z0 )
—1)
C2 = (e"
-L k1 (1—z0)_ 1). BNn^ +q -(e
(ek21 _ Jk2 —k1 )z0 + k11 )
Nna BN (e
BN(ek2' — elk2 —k1 )z0 + k1' ) BN
k1 (1 — z0 ) — 1)
kf). (9)
ek 21 — ev"2—
A2 =
BNn^ + q -(e_
BN(ek21 — e 2—k1 )z0+k11) '
После некоторых преобразований получаем распределение концентрации положительно заряженных легких ионов по высоте:
П1(г) = _ ВЫ/г, + д • (в^1 (г-20) -1)
BN^eк2 — e(k2
+ (1 — ek1(z—z0)) BNy '
$
ek2z_e(k2 k1 )z0 +k1z )+
(10)
Аналогично, решая второе уравнение системы (5) для концентрации отрицательно заряженных легких ионов п2, получим
n2(z z) =
BNnx + q -(e'
;1 (1 — z0 )
BN\em2' — e
('2—'1 z+Щ
em2z — e(m2 —m1 )z0 + m1z ) +
В табл. 2 представлены следующие расчетные величины: максимальные значения плотности объемного заряда и высоты, напряженности электрического поля, генерируемого объемным зарядом аэроионов, для различных значений коэффициента турбулентной диффузии: _0о=0,0\ м2/с и ^о=0,\ м2/с.
Анализ полученных аналитических решений позволяет сделать следующие выводы:
\. При равных значениях концентрации аэро-зольн^1х частиц в воздухе N с ростом напряженности электрического поля Е0 увеличиваются значения плотности объемного заряда ртах и электрического поля Е в приземном слое, генерируемые аэроионами.
2. С увеличением концентрации аэрозольных частиц N при одном и том же значении напряженности электрического поля Е0 происходит уменьшение
2
2
где m12 =
q
s
0
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.
NATURAL SCIENCE.
2018. No. 2
значений плотности объемного заряда pmax и электрического поля E.
3. Значения электрического поля E в приземном слое, создаваемого аэроионами, уменьшаются с ростом концентрации аэрозольных частиц и увеличиваются при усилении степени турбулентного перемешивания.
4. Усиление степени турбулентного перемешивания увеличивает масштаб распределения электрических характеристик и значения электрического поля, обуславливаемого объемным зарядом.
5. Изменение максимального значения плотности объемного заряда pmax пропорционально изменению значений напряженности электрического поля более 1010 м-3. Eo (pmax уменьшается или увеличивается в зависимости от изменения значения E0).
Таблица 2
Значения максимальной плотности объемного заряда и напряженности электрического поля для ,00=0,01 м2/с и ,00=0,1 м2/с / The values of the maximum density of the space charge and the electric field strength for 00=0.01 m2/s and ,00=0.1 m2/s
6. Высота ¿щах, соответствующая максимальному значению плотности объемного заряда ршах, остается практически неизменной при одних и тех же значениях концентрации аэрозоля N вне зависимости от степени турбулентного перемешивания. С увеличением значения концентрации N аэрозольных частиц в воздухе значения ¿шах уменьшаются.
7. Следует отметить, что предположение о постоянстве электрического поля ЕГ=Е0, т.е. пренебрежение вкладом объемного заряда рп аэроионов в генерацию поля у земли, вполне законно при концентрациях аэрозольных частиц N в воздухе
Eo, B/м -100 -50 -200 -500
N-1010, м-3 1 | 5 | 0,5 1 1 5 | 0,5 1 1 5 | 0,5 1 1 5 | 0,5
00=0,01
pmax'1011, КЛ/М3 8 2 10 4 0,9 7 10 4 20 30 9 30
Zmax, М 0,4 0,1 0,8 0,4 0,1 0,8 0,4 0,1 0,8 0,4 0,1 0,8
Е, В/м -5 -1 -14 -2 -1 -8 -9 -1 -26 -18 -1 -41
00=0,1
pmax'1011, КЛ/М3 4 2 5 2 80 3 8 3 10 20 7 20
Zmax, М 4,9 0,9 6,3 4,6 0,9 6,3 4,7 0,9 6,4 5,2 0,9 5,4
Е, В/м -27 -2 -65 -14 -1 -33 -53 -4 -125 -116 -10 -257
Полученные приближенные аналитические решения для распределения концентраций полярных аэроионов по высоте для различных физических условий в целом не противоречат теории электродного эффекта в атмосфере [1—4]. Объемный электрический заряд, создаваемый легкими ионами, в каждом исследуемом случае является положительным, что также хорошо согласуется с известными теоретическими и экспериментальными данными [10]. Аэрозоль при концентрациях, превышающих характерные значения для аэроионов, практически полностью определяет электродинамическую структуру приземной атмосферы.
Литература
1. Куповых Г.В. Электродинамические процессы в приземном слое атмосферы. Таганрог : Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009. 114 с.
2. Морозов В.Н. Математическое моделирование атмосферно-электрических процессов с учетом влияния аэрозольных частиц и радиоактивных веществ. СПб. : Изд-во РГГМУ, 2011. 253 с.
3. Морозов В.Н., Куповых Г.В. Математическое моделирование глобальной атмосферной электриче-
ской цепи и электричества приземного слоя. СПб. : Астерион, 2017. 307 с.
4. Куповых Г.В., Морозов В.Н., Шварц Я.М. Теория электродного эффекта в атмосфере. Таганрог : Изд-во ТРТУ, 1998. 123 с.
5. Морозов В.Н., Куповых Г.В., Редин А. А., Кудринская Т.В. Нестационарное физико-математическое моделирование электрических процессов в приземном слое атмосферы с учетом субмикронных аэрозольных частиц // Тр. ГГО им. А.И. Воейкова. СПб., 2017. Вып. 584. С. 36—57.
6. РединА.А., КуповыхГ.В., КловоА.Г., БолдыревА.С. Математическое моделирование электродинамических процессов в приземном слое в условиях аэрозольного загрязнения атмосферы // Изв. ЮФУ. Техн. науки. 2011. № 8 (121). С. 111—121.
7. Редин А.А., Куповых Г.В., Болдырев А.С. Электродинамическая модель конвективно-турбулентного приземного слоя атмосферы // Изв. вузов. Радиофизика. 2013. Т. 56, № 11—12. С. 820—828.
8. Орленко Л.Р. Строение планетарного пограничного слоя атмосферы. Л. : Гидрометеоиздат, 1979. 270 с.
9. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М. : Наука, 1984. 831 с.
ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No. 2
10. Чалмерс Дж.А. Атмосферное электричество. Л. : Гидрометеоиздат, 1974. 420 с.
References
1. Kupovykh G.V. Elektrodinamicheskie protsessy v prizemnom sloe atmosfery [Electrodynamic processes in the surface layer of the atmosphere]. Taganrog: Izd-vo TTI YuFU, 2009, 114 p.
2. Morozov V.N. Matematicheskoe modelirovanie at-mosferno-elektricheskikh protsessov s uchetom vliyaniya aerozol'nykh chastits i radioaktivnykh veshchestv [Mathematical modeling of atmospheric-electrical processes taking into account the influence of aerosol particles and radioactive substances]. Saint Petersburg: Izd-vo RGGMU, 2011, 253 p.
3. Morozov V.N., Kupovykh G.V. Matematicheskoe modelirovanie global'noi atmosfernoi elektricheskoi tsepi i elektrichestva prizemnogo sloya [Mathematical modeling of the global atmospheric electric circuit and electricity of the surface layer]. Saint Petersburg: Asterion, 2017, 307 p.
4. Kupovykh G.V., Morozov V.N., Shvarts Ya.M. Te-oriya elektrodnogo effekta v atmosfere [Theory of electrode effect in the atmosphere]. Taganrog: Izd-vo TRTU, 1998, 123 p.
5. Morozov V.N., Kupovykh G.V., Redin A. A., Kudrinskaya T.V. Nestatsionarnoe fiziko-matematich-eskoe modelirovanie elektricheskikh protsessov v prizem-
Поступила в редакцию /Received
nom sloe atmosfery s uchetom submikronnykh aerozol'nykh chastits [Nonstationary physico-mathematical modeling of electrical processes in the atmospheric surface layer subject to submicron aerosol particles]. Tr. GGO im. A.I. Voeikova. Saint Petersburg, 2017, iss. 584, pp. 36-57.
6. Redin A.A., Kupovykh G.V., Klovo A.G., Boldyrev A.S. Matematicheskoe modelirovanie elektrodinamich-eskikh protsessov v prizemnom sloe v usloviyakh aero-zol'nogo zagryazneniya atmosfery [Mathematical modelling of electrodynamic processes in the surface layer in terms of aerosol pollution of the atmosphere]. Izv. YuFU. Tekhn. nauki. 2011, No. 8 (121), pp. 111-121.
7. Redin A.A., Kupovykh G.V., Boldyrev A.S. El-ektrodinamicheskaya model' konvektivno-turbulentnogo prizemnogo sloya atmosfery [Electrodynamic model of the convective-turbulent surface layer of the atmosphere]. Izv. vuzov. Radiofizika. 2013, vol. 56, No. 11-12, pp. 820-828.
8. Orlenko L.R. Stroenie planetarnogo pogranich-nogo sloya atmosfery [Structure of the planetary boundary layer of the atmosphere]. Leningrad: Gidrometeoizdat, 1979, 270 p.
9. Korn G., Korn T. Spravochnikpo matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [Handbook of mathematics for scientists and engineers]. Moscow: Nauka, 1984, 831 p.
10. Chalmers Dzh.A. Atmosfernoe elektrichestvo [Atmospheric electricity]. Leningrad: Gidrometeoizdat, 1974, 420 p.
26 сентября 2017 г. /September 26, 2017
