CC BY
0
Приближенная математическая модель и конечно-элементная имитация течения воздуха в расширяющемся усеченном конусе
Н.Н. Азимова, В.В. Бараниченко, М.В. Бедоидзе, А.С. Ермаков,
Д.С. Цымбалов
Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону
Аннотация: Предложен оригинальный подход к описанию течения воздуха в тонком коническом диффузоре. Он основан на приближенном аналитическом решении уравнения неразрывности. Кроме того, объединена упрощенная модель турбулентности. Достоверность полученной формулы подтверждается сравнением с конечно-элементным решением для разработанной экспериментальной установки. Разработка предназначена для непосредственного компьютерного моделирования многофазного течения. Ключевые слова: пылевоздушная смесь, аспирационные системы, турбулентность, конечно-элементное моделирование, сепарационный диффузор.
Изучение динамики пылевоздушных смесей крайне актуально для проектирования аспирационных систем [1]. Чрезвычайная сложность и многофакторность процесса требует корректного выделения ведущих эффектов и связей при конструировании соответствующих информационных моделей. Определить значимость влияния того или иного фактора на структуру многофазного потока позволяет лишь специально спланированный эксперимент. Ниже предлагается приближенное аналитическое описание течения в вертикально ориентированном сепарационном диффузоре (рис. 1), предназначенном для непосредственного визуального наблюдения динамики частиц с известными геометрическими и массовыми характеристиками. Выбор такой конструкции обусловлен множеством подходов к решению поставленной задачи, начиная от 20-проекции и заканчивая сложным многоуровневым экспериментом и компьютерной 3D симуляцией, с дальнейшим сопоставлением полученных результатов.
Удобным способом описать движение пылевоздушной смеси является комбинирование моделей сплошной среды для несущего потока и ньютоновской динамики для увлекаемых им частиц.
Рис. 1. - Схема установки по разделению полидисперсных сыпучих сред.
Слева - конструкция экспериментальной установки: ВОД - вертикально ориентированный диффузор; РВ - расходомер воздуха; ВВ - воздуховод; ДВ - дутьевой вентилятор. Справа - использованные в математической модели декартова и сферическая системы координат.
Поскольку непосредственное наблюдение левитации модельных частиц в установке рис. 1 выявило неадекватность упрощенной двумерной модели течения [2], в частности, важную, не учтенную роль неоднородности трехмерного скоростного поля с большими градиентами у стенок, главным направлением исследований нами выбран учет этих факторов в усовершенствованном математическом описании [3]. Его основу составляют уравнения сплошности, движения и сохранения энергии применительно к потоку [4,5]:
^ + (р 10 = 0 , (1) + ^ р и2= - Ур , (2)
^(рт+р£) + ^(р(/(т+^) = 0 , (3)
В этих уравнения независимыми переменными служат
Л
пространственная координата X = I у I и время t, а искомыми функциями -
/Хх /"Л/*\
векторное поле скорости , а также скалярные поля
(Х\ (Х\ давления P I у I и плотности р I у I . В уравнении (1.3) фигурируют также
(Х\ (Л
дополнительные переменные £ I у | = с ■ Т I у I - удельная внутренняя
дж
энергия воздуха, с = 2 0 . 8- - его теплоёмкость (при постоянном
моль -К
(Х\ (Х\ (Х\ К*)
объёме), Л у | - абсолютная температура; с I у | = £ I у | + —-§- - локальная
\z/ \z' \z' Р [у j
тепловая функция.
Так как четыре искомые функции U , Р Цу |, р , Т Цу | связаны
лишь тремя уравнениями (1) - (3), однозначно определить их можно лишь задав дополнительную жесткую связь. Таковой для воздуха, как и прочих газов при умеренных давлениях, выступает уравнение состояния Менделеева - Клапейрона:
Р©=^ЯТ©' (4)
где и. = 0. 0 29—— молярная масса воздуха, R = 8 . 3 1—^--универсальная
моль моль -К
газовая постоянная.
Для адаптации общей модели (1) - (4) к условиям вертикально ориентированного диффузора (далее ВОД) рассмотрим его конструкцию и
особенности функционирования. ВОД представляет собой усеченный конус из прозрачного пластика, ось которого направлена по гравитационному полю Земли, а малое открытое основание (через него поступает воздух от дутьевого вентилятора - ДВ) расположено снизу (см. рис. 1). Нагнетаемый в ВОД воздух, затормаживаясь вследствие увеличения сечения, истекает через верхнее открытое основание. Система, очевидно осесимметрична, чем обусловливается рациональность сокращения числа независимых пространственных переменных до двух: x - осевая и r - радиальная. Наряду с этим обстоятельством, упрощающим модель, следует учесть, что ВОД предполагает стационарный режим работы (т.е. поля скорости, давления и плотности не меняются со временем), и, следовательно, из (1) - (3) исключаются все производные по времени. Также не предполагается использовать ВОД в около- и сверхзвуковых режимах, что позволяет пренебречь передачей кинетической энергии в тепловую и соответствующим
(Х\
изменением плотности. В результате исключается переменная pi у I,
Г\
полагаемая pi у I = const и соответственно уравнение
энергопреобразования (3).
В целях удобства введем соответствие между естественной для конуса сферической системой координат и декартовой, которая обеспечивает симметричную запись уравнений движения Ньютона [6]. Удобно совместить начало обеих систем в вершине нашего усеченного конуса, линейную ось сферической системы выбрать сонаправленной оси абсцисс декартовой системы координат (далее ДСК), ось ординат ДСК направить как показано на рис. 1, а ось аппликат - так, чтобы образовалась правая тройка векторов Ox, Oy, Oz.
Соответственно направления широтного ф и азимутального 0 углов отсчитываются от х к ; в плоскости хОу и от у к 2 в плоскости соответственно. В результате координаты каждой точки можно выразить
Л Л
двояко - как I у I , либо как I ф I , а между наборами координатных
(х\ (я\
переменных существует связь I у I <-> I ф I (см. рис. 1):
х = Я ■ с о 5 ф, у = Я ■ 5 1 Пф5 1 п0 , (5)
2 = Я - 5 1 ПфС о 5 0 . Обратным к преобразованию координат служит:
Я = / х2 +у2 + г 2,
Ф = а г c s i n , (6)
\jx2+y2+z2
0 =
arctg^,z > 0
.
тс + arctg-,z < 0
Вырезаемая конусом часть пространства задается границами, достижение которых пылевыми частицами сопровождается перечисленными ниже актами:
- проваливание вниз, x2 + у2 + z2 > R2 ax - вылет вверх, (7)
arc s i n^ 2+*2+ 2- > Ф m ax - удар в боковую стенку.
Учитывая, что на входе в диффузор при Я = Дтп скорость потока максимальна и характеризуется величиной |итах|, из условия несжимаемости газа получаем окончательное распределение осредненной скорости и (х, у, 2):
í/(x,y,z) = \U(Rmin)\
R
ГП1П
X2 + у2 + Z2
(
1 +
2222
\ 2 + 8 ■ е *<V*2+y2+*2),
2222
1 -
l . ( jyrTz¿ \\ arcsin I , 1
■sjX2 +y2 + Z2
2 + 8-e
Re \x2+y2+z2
Ф
шах
\
/
V
\
/
Vz2+y2 A/x2+y2+z2
Vz2+y2 \^Jx2+y<
X
^¡x2+y2+z2
\
51П
■ С05
arctg-,Z > 0 л + arctg< 0 arctg-,z > 0
7Г + arctg-,z < 0
/
(8)
Турбулентность течения в имитационной модели предлагается учесть путем добавки случайной составляющей ежемоментно в каждой точке. Величину такой случайной составляющей предполагается подобрать, чтобы удовлетворять условиям параллельно выполняемого физического эксперимента, с одной стороны, и увязывая со значением локального числа Re, с другой.
Результаты расчета скоростного поля в ВОД с геометрическими размерами, соответствующими лабораторной конструкции рис. 1, приведены на рис. 2.
а б
в
г
Рис. 2. - Распределение осевой (а, в) и радиальной (б, г) компонент скорости вдоль оси диффузора: реальная вязкость, турбулентность учтена, отдельные линии соответствуют удаленности от оси ф: ф = 0 (осевая линия) -
ф 111 я х 3" СО 111 я х 7' СО 111 д у
красная кривая; ф =-желтая;--синяя;--зеленая;
15-фщах 16
-фиолетовая
Для проверки решения (8) применительно к параметрам лабораторной установки, отображенного на рис. 2, в среде ЛдБуБ создана ЭБ-модель и
сгенерирована расчетная сетка согласно рис. 3. Полученное в результате численного конечно-элементного интегрирования уравнений (1) - (3) поле скоростей и(х,у,г) показано на рис. 4. Непосредственное сопоставление данных рис. 2 и рис. 4 свидетельствует о надежности выведенной в данной работе приближенной формулы (8). Ее преимуществом перед численным решением рис. 4 является легкая «встраиваемость» в комбинированную Эйлер - Ньютоновскую модель движения пылевоздушной смеси [7-9].
а б
Рис. 3. - ЭЭ-модель (а) и конечно-элементная дискретизация полости (б)
ВОД в ЛиБуБ
Рис. 4. - Результаты компьютерной имитации течения в диффузоре средствами ЛшуБ. Условия расчета: длина усеченного конуса - 1300 мм; внешний диаметр 306 мм; течение турбулентное
Если считать пылевые частицы (из вещества плотности р) имеющими форму близкую к правильной и характеризуемую линейными размерами а, Ь и с, можно составить уравнение их движения в воздушном потоке. Для простоты положим объем частиц равным V = а • Ь • с, а площадь граней а • Ь
5 = ■ Ь • с. Попав в гравитационное поле, характеризуемое вектором д, и „с • а
одновременно в поток воздуха с полем скорости , частица
вовлекается в движение согласно одному из законов Ньютона. Здесь
Л
использовано обозначение К(£) = I у I (?) для мгновенного положения
частицы [10-12]. В рамках выбранной модели математическая формулировка уравнения Ньютоновской динамики для каждой отдельной частицы дается векторным дифференциальным уравнением второго порядка:
d2K(t) Ел
= -д--1
dt2 p(a-b-c) з
El
dK{t)
dt
-U (K(t) ) | ].{im-U(K(t) ) ) . (9)
Численное интегрирование (9) не сопряжено с принципиальными трудностями и ограничивается лишь числом одновременно рассматриваемых объектов. Опыт работы с 2D-моделью [2] показал, что интерпретирующие системы типа Python позволяют изучать динамику максимум двух десятков частиц. Соответственно внесенное здесь уточнение модели потока повысит реалистичность имитации, но потребует использовать компиляторы типа Fortran.
Заключение
Предложена и успешно протестирована математическая модель течения воздуха в ВОД. Модель учитывает погранслой и турбулентность. Выражаемая явными аналитическими зависимостями, она удобна для встраивания в программные комплексы.
Литература
1. Orme M., Leksmono N. Ventilation Modeling Data Guide. Document AIC-GUI 05. ISBN 2 9600355 2 6. 2002. 80 p.
2. Азимова Н.Н., Бараниченко В.В., Бедоидзе М.В., Ермаков А.С., Цымбалов Д.С. Компьютерная программа «Имитационное моделирование 2D-динамики пылевоздушной смеси в вертикально ориентированном диффузоре» / Св-во о регистрации эл. ресурса №25090 ОФЭРНиО. — Хроники Объединенного фонда электронных ресурсов «Наука и образование». 2022. № 12 URL:ofernio.ru/portal/newspaper/ofernio/2022/12.pdf
3. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.-Л., Гостехиздат, 1950. — 676 с.
4. Басс В. П. Молекулярная газовая динамика и её приложения в ракетно-космической технике. — К.: Наукова думка, 2008. — 272 с.
5. Приходько А. А. Компьютерные технологии в аэродинамике и тепломассообмене. — К.: Наукова Думка, 2003. — 379 с. 6. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. — М.: Наука, 1978. — 336 с.
7. Rosin P., Rammler E. The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal // Journal of the Institute of Fuel. 1933. V. 7. pp. 29-36.
8. Seo Hyukki, Hwang Kyeongmo, Choi Cheongyeol. Ansys fluent user's guide. URL: fluid.tuwien.ac.at/322057?action=AttachFile&do=get&target=flu_ug. pdf.
9. Matsson Ph.D., P.E., John E. An Introduction to ANSYS Fluent 2022 // SDC Publications, 2022. 688 с. - ISBN 978-1-63057-569-4.
10. Lee Huei-Huang. Finite Element Simulations with ANSYS Workbench 2020 // Taylor&Francis, 2021. 600 с. - ISBN 978-1-63057-456-7.
11. Лаптев А.Г., Фарахов М.И. Разделение гетерогенных систем в насадочных аппаратах. Казань: Казан. гос. энерг. ун-т, 2006. 342 с. - ISBN 589-873-186-5
12. Qian Jing, Tavakoli Behtash, Goldasteh Iman, Ahmadi Goodarz, Ferro Andrea. Building removal of particulate pollutant plume during outdoor resuspension event // Building and Environment. 2014. №75. C. 161-169.
References
1. Orme M., Leksmono N. Ventilation Modeling Data Guide. Document AIC-GUI 05. ISBN 2 9600355 2 6. 2002. 80 p.
2. Azimova N.N., Baranichenko V.V., Bedoidze M.V. i dr. Komp'juternaja programma «Imitacionnoe modelirovanie 2D-dinamiki pylevozdushnoj smesi v vertikal'no orientirovannom diffuzore» [Computer program «Simulation of 2D Dynamics of Dust-Air Mixture in a Vertically Oriented Diffuser»]. Sv-vo o registracii jel. resursa №25090 OFJeRNiO. Khroniki Ob"yedinennogo fonda elektronnykh resursov «Nauka i obrazovaniye». 2022. № 12 URL: ofernio .ru/portal/newspaper/ofernio/2022/12.pdf.
3. Lojcjanskij L. G. Mehanika zhidkosti i gaza [Fluid and gas mechanics]. M. L., Gostehizdat, 1950, 676 p.
4. Bass V. P. Molekuljarnaja gazovaja dinamika i ejo prilozhenija v raketno-kosmicheskoj tehnike [Molecular gas dynamics and its applications in rocket and space technology]. K.: Naukova dumka, 2008. 272 p. ISBN 978-966-00-0746- 8.
5. Prihod'ko A. A. Komp'juternye tehnologii v ajerodinamike i teplo-massoobmene [Computer technologies in aerodynamics and heat and mass transfer]. K.: Naukova Dumka, 2003, 379 p. ISBN 966-00-0047-2
6. Nigmatulin R. I. Osnovy mehaniki geterogennyh sred [Fundamentals of mechanics of heterogeneous media]. M.: Nauka, 1978, 336 p.
7. Rosin, P. & Rammler, E. The Laws Governing the Fineness of Powdered Coal. Journal of the Institute of Fuel. 1933. V. 7. pp. 29-36.
8. Seo Hyukki, Hwang Kyeongmo, Choi Cheongyeol. Ansys fluent user's guide. URL: fluid.tuwien.ac.at/322057?action=AttachFile&do=get&target=flu_ug. pdf
9. Matsson Ph.D., P.E., John E. An Introduction to ANSYS Fluent 2022. SDC Publications, 2022. 688 p. ISBN 978-1-63057-569-4.
10. Lee Huei-Huang. Finite Element Simulations with ANSYS Workbench 2020 Taylor&Francis, 2021. 600 p. ISBN 978-1-63057-456-7.
11. Laptev A.G., Farahov M.I., Razdelenie geterogennyh sistem v nasadochnyh apparatah [Separation of heterogeneous systems in packed apparatus]. Kazan': Kazan. gos. jenerg. un-t, 2006. 342 p. ISBN 5-89-873-186-5
12. Qian Jing, Tavakoli Behtash, Goldasteh Iman, Ahmadi Goodarz, Ferro Andrea. Building and Environment, 2014, №75. pp. 161-169.
Дата поступления: 22.8.2023 Дата публикации: 8.12.2023
