Приближение периодических функций высокой гладкости прямоугольными суммами Фурье Текст научной статьи по специальности «Математика»

MSC 26A15

ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ВЫСОКОЙ ГЛАДКОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ СУММАМИ ФУРЬЕ

О.А. Новиков, О.Г. Ровенская

Донбасский государственный педагогический университет, ул. Г. Батюка, 19, Славянск, 84116, Украина, e-mail: [email protected]

Аннотация. Получены асимптотические формулы для верхних граней уклонений прямоугольных сумм Фурье на классах периодических функций многих переменных высокой гладкости. Эти соотношения в некоторых важных случаях обеспечивают решение известной задачи Колмогорова-Никольского для прямоугольных сумм Фурье и указанных классов функций.

Ключевые слова: (ф, в)-производная, прямоугольные суммы Фурье, задача Колмогорова-Никольского.

i—1

1. Введение. Следуя работе [1] (см. также [2]), классы ^-интегралов периодических функций многих переменных, позволяющие учитывать по отдельности свойства обыкновенных и смешанных частных производных, будем задавать следующим образом.

т

Пусть Кт — евклидово пространство с елементами х = (х\,х2, ...,хт), Тт = П [—п; п]

— т-мерный куб с ребром 2п,

Нт = {х € Ят|хг € N г = 1, 2,...,т},

^т = {х € Ят1хг € N. = N и {0}, г = 1, 2,...,т}, жт = {х € Ят|жг € N х3 € N*, г = ]},

Ет = {х Є ЯтІХі Є {0; 1}, г = 1, 2,...,ш}.

Через Ь(Тт) обозначим множество 2п-периодических по каждой переменной суммируемых на кубе Тт функций f (х) = f (хі,х2, ...,хт).

Пусть f Є Ь(Тт). Каждой паре точек в Є Ет, к Є Мт поставим в соответствие величину

і р т / \

1 / Л,^ТТ Л ві П

Тт г—1

Величины ак (f), в € Ет, к € Жт являются коэффициентами Фурье функции f € Ь(Тт) [1].

Каждому вектору к € Жт поставим в соответствие основную гармонику функции f (х),

т

8г7Г ~2

Akif; х) = <4(f) Пcos kiXi - ~v~

seEm i—1

i

И гармонику, сопряженную ПО переменной Xi,

Щ (/; *) = 4(/) П cos (k3x3 ~^f) cos (kiXi - •

sGE™ w / \ w /

Следуя [1], ряд Фурье функции f (X) определим следующим соотношением

sw = Е ^'4г(/;г)-

fceN^

в котором q(k) — количество нулевых координат вектора к.

m

Пусть Gn = П[1 ; ni — 1] — прямоугольный параллелепипед, соответствующий век-

i=1

тору п. Прямоугольной частичной суммой ряда Фурье будем называть тригонометрический полином вида

Sn(f-,x) = £ J,

Пусть f G L(Tm) и ф-ij (к), Фу (k), i = 1, j = 1, 2 — фиксированные наборы

систем чисел, к G N*. Положим

?«(*) = V*S<*)+ *&<*)• »<№) = -\/ф?1№) + фй№)

и будем считать, что выполнены условия: 4\{к) ф 0, Фi(k) ф 0, A: G N, V’ii(O) = Фil(0) = 1, ^i2(0) = 0, Фi2(0) = о, i = 1, 2, ...,m.

Пусть ряд

Y - Mk^Aiif-, f)]

^2 A

является рядом Фурье некоторой функции из L(Tm). Обозначим ее символом f ^ (X) =

— -----и назовем -^-производной функции fix) по переменной Xi, г = 1, 2, ...,т.

UXi

Пусть m = {1, 2,..., ?п}. Для фиксированного r-элементного множества fi(r) С т, Mr) = {*ii *2) •••) *r}i смешанной Ф^-производной по переменным Xi, i G по ана-

логии с определением обыкновенной смешанной частной производной, будем называть функцию f(X), которая задается соотношением

ф _ д**гд*{г-к..д**1/(х)

Х dxirdxir_1...dxil '

Для заданного набора функций ^, Фij•, i = 1, 2, ...,m, j = 1, 2, символом обозначим множество непрерывных функций f G L(Tm), имеющих почти везде ограниченные Фм- и ^/ь-проижодиь.16:

ess sup |/ф^‘ (х)| < 1, ess sup\[ф{(х)\ < 1, г = 1,2,...,т, /л С т, хеТт.

Если для наборов функций фу (к) и Фу (к), i = 1, 2,...,m, j = 1, 2, определяющих класс Cmf, существуют функции фДк), ФДк) и числа вi, в*, i =1, 2, ...,m, такие, что

фи(к) = 4ч(к) cos ^ , 4ч2(к) = 4ч(к) sin ^ ,

Уц(к) = ФДА:) cos , Фй(А0 = ^i(k) sin^- , г = 1, 2,т,

то класс Cтф является классом (ф, в)-дифференцируемых периодических функций многих переменных и обозначается C^m^ [2]. В этом случае для производных используют

естественные обозначения f^(X) и f^(X). Если m = 2 и, кроме того, для чисел r > 0, s > 0, r1 > r, s1 > s выполнены условия Ф1(к) = к-г, Ф2(к) = к-5, ф1(к) = к-Г1, ф2(к) = к-51, в1 = г, в* = s, в2 = r1, в* = s1, то классы C^ совпадают с классами WZ,sSl. В работе [3] изучены вопросы приближения классов Wrr,ssi прямоугольными суммами Фурье

П1 — 1 П2 — 1

Sn(f;X) = Sm,n2(f;X) = £ 2—q(k) Ak(f;X).

ki=0 k2=0

Там же для верхних граней уклонений прямоугольных сумм Фурье Sn(f; X), взятых по классам Wrr,SS1, получено асимптотическое равенство при ni ^ ж, i =1, 2

E(Wrr1Ss1; Sn)= sup ||f (X) — Sn(f; x)||c = f

4ln n1 4ln n2 . /ln n1 ln n2 1 1

=-------- H------- + 0(1) ---------- H-----1----

2 Г1 1 2 Si 1 V / \ r S 1 Г1 1 Si

n2n11 n2n21 \ n1n2 n11 n21

В случае, когда функции, задающие класс, определяются соотношениями фДк) = qk, qi G (0; 1), Фi(k) = Qk, Qi G (0; 1), i =1, 2, классы C^m^ обозначаются C^^.

В работе [4] С.М. Никольский получил асимптотическую формулу для верхних граней уклонений сумм Фурье на классах аналитических функций одной переменной C^

8qn

n1

^(С'/Зсо; Sn) = sup || f(x) - Sn(f; x)\\c = —K(q) + 0(l)qnn

fzCi~ n

где

7t/2

*-<«> =' *

J л/l — g2 sin2i 0

— полный эллиптический интеграл первого рода. С.Б. Стечкин [15] этот результат получил другим способом, что позволило уточнить остаточный член последнего равенства.

В роботе [16] рассмотрены вопросы приближения классов функций многих переменных C- прямоугольными суммами Фурье Sn(f; X) и получена асимптотическая при ni ^ ж, i =1, 2, ...,m формула

E(Cm%; Sn) = sup ||f (X) — Sn(f; x)||c = f

8

П2

т щ

Чі

Е^тгЬл + Е Е П

і=1

1 - Яз

г—2 fJ,(r)Gm j€./J,(r)

Обозначим символом Дя множество последовательностей ф(к), к € М, для которых выполняются соотношения

ф(к + 1) , .

,11т 1{п = Ъ <1 е (0; 1).

ф(к)

Для верхних граней уклонений сумм Фурье на классах функций одной переменной Ср ж, Ф(к) € Дя в роботе [17] получена асимптотическая при п ^ ж формула

£(С! :, «,) = Ф(п) I ^К(д) + 0( 1)(-Л- + тг^Цг) ],

П2

X1 - ч) (1 - ч)2

где

єп = вир

к>п

ф(к + 1)

ф(к)

ч

В настоящей работе получена асимптотическая при щ ^ ж, і = 1, 2, ...,т формула, которая является многомерным аналогом последнего равенства для классов функций

стХ, ф(к) Є п<и, чі Є (0;l), фі(к) Є , яі є (0;1),г =1,2,...,т

2. Основной результат. Основным результатом работы является следующее утверждение.

Теорема. Пусть фі(х) Є Бді, ФДх) Є ^, Чі Є (0; 1), Яі Є (0; 1), ві, в* Є Е, і = 1, 2, ...,т. Тогда при пі ^ ж, і = 1, 2, ...,т имеет место асимптотическая формула

8

Є(С^^; 5Й) = вир Н f{x) - 5Й(/; х) \\с = ^ Фі{щ)К(%)+

і єс

в,с

І=1

+ 0(1)

\ ^ Фі(щ)Чі \ ^ Фі{Пі)Єщ{Фі) \ ^ \ ^ \ ^ ТТ Ф^(»-^) ТТ ЄПі (Фі)

2^ (х _д.ущ + 2^ п_лЛ2 +2^ 2^ 2^11і_п 11

І=1

І=1

(1 - Чі)2

где

7г/2

к («)

1 -0,11 1-Ої

в,і

(1)

л/і — І2 ЙІП2 і

полный эллиптический интеграл первого рода

ф(к + 1)

Єт(ф) = вир

кт

ф(к)

Ч = Ііт

ф(к + 1)

к^те ф(к)

(2)

0(1) — величина, равномерно ограниченная относительно щ, Чі , Яі, ві, в*, і = 1, 2, ...,т.

□ Используя результат работы [18], показывается, что

рМ;х) = f (х) - ; х) =

^2^ ] +^ 008 + “^г)^+

г—1 _п к—п

т г.

+ £(-1>'+1£_^//?(?+ Е *

X

оо в .

П со8 + "у~ I■

(Ич

j€^u(r) ^ —пП

Далее понадобится вспомогательное утверждение [17].

Лемма. Пусть ф(к) € Дя, д € (0; 1). Тогда для любой последовательности чисел 7к, к = 1, 2,... имеет место равенство

к—п

ж

У ф(к) сов(кг - 7к) = ф(п) д-п^2чксо8(к£ - 1к) + тп(г,ф)

к—п

в котором

г1

Г

^,ф) = ]С П

г—1 41—0

Кроме того, начиная с некоторого п0,

|гп(£,ф)| <

ф(п + / + 1) ф(п + /)

- дг сов((п + г)г - 7п+г).

£п(ф)

(1 - д - £п(ф))(1 - д)

где £п(ф) определено (2).

Используя утверждение леммы, имеем

-г л ОО

Рй(/; Х) X! - I /} (Х + *гбг) Фг('^г)д“”г ^ ^ СОв (к4г + + 4ч{щ)гп, (**, фг)

г—1 _ |- к—т

(Ьг+

т 1 Г

+Е Е_^ / /Хг (г + Е *

'<"=2 1-1(г)Ст грг 1&и(г)

j€/u(r)

7е.7 I Х

X

Ж

X! ^ п*(///// - ) ■ Ч/./(/;/5/- <о-/>

jeм(r)

Поскольку имеет место равенство

/3|7Г

2

.

jeм(r)

аг

?С^(г) р€^\? .?€?

п

то

г—1

к—п7-

Н---У фг('^г) /р {х + иёг)г.щ (^, фг)^г +

П 1—1 •/

—п

т 1 л

+ Е(-1>'+1 Е ^ Е *

г=2 </

ж

х И ф.Ы*?;”8 У о;; <•<>>(,/,р • • Д

?С^(г) «€^\? vs—ns je?

Выполняя элементарные преобразования [19, с. 123], находим

^(г)Ст грг

в>

jeм(r)

к—п

д” Г У сое Ы соз(?г£ + ^-) — У дА- вт Ы вт ^ ^ =

к—0 2 к—0 2

^(1 — д сое £) сое ^ — д вт I вт ^ ^ =

1 - 2д сое £ + д

а/1 — 2д сое 1 + д2

/57Г'

Т

, ^ , /Зтг , ^ дет* ^

сое [ /гг + — + arctg ----------------I.

2

Тогда

Рй(/; х) = - У ^4^ / /? (х + **е*)й£„.(**)<й* +

п дг

г—1 г

+0(1)

Фг(щ)£щ(Фг) , \ " \ ^ \ ^ ТТ ^«(^) ТТ£»ъ (^')

1^ (1-%)2 ^ ^ ^ 1-<9в 1 — <5,- ,

1 1=1 г=2 1_1(г)Ст £С[г{г) *’€/-<■ ;/€£ ^ -1

где

Так как и(х) € СтЖ, то

п

п дг

г—1 г

(3)

п

п

п

д

+ 0(1)

Фг{'Пг)£щ{Фг) Д Фз(»з) Д £гаДФ^')

г=‘2 (1(г)Ст £сМг) з&р ^ ^ ^

Найдем функцию и0(х) € С^Ж, для которой имеет место соотношение

\ - фг{Щ

l к (x-®)s

(4)

pn

(/о; 0) = - У [ \hqln.(ti)\dti +

п q

i=1

+0(1)

фi(ni)qi ^ фi(щ)ещ(ф^

(1-ф)2

+ E E Enr|nff

f=2 (i(r)Cm^C(i(r) s€f‘ * j€£ 3

На основании соотношения (3), для каждой f G C^^ можно записать

(5)

Рй(/; 0) = - У Щ I (0 + tiei)h>lln.{t,i)dti+

+ 0(1)

tr^T-9.)

TT Ф«(»-«) TT £raj (Ф;?)

2 ' lli_Qs 11 i_g.

r=2 fi{r)Cm tCfi(r) s£fi

(6)

Покажем, что каждую функцию sign h^ (ti), i = 1, 2,...,m можно изменить на периоде на множестве точек, мера которого не превышает Kqin—1(1 — qi)—1, где K — некоторая постоянная, так, чтобы для полученных функций yi(ti) выполнялось усло-

7Г

вие f yi(ti)dti = 0. Рассмотрим функцию

K\{U) = - q% 2 cos (щи + Щ- + Ф{и) ),

V 1 — 2qi cos ti + q2 V 2

где

Ф(^) = arctg ■

qi sin ti

1 — qi cos ti

На интервале (0; п), на котором функция Ф(ti) непрерывна и выполняется условие

П

о < Чи) < -

(7)

Кроме того, для yti G (0; п)

|Ф' (ti)|

qi cos ti — q

1 — 2qi cos ti + q2

<

1 — qi

(8)

q

Функция кп*. (Ьг) на промежутке (0; п) обращается в нуль и изменяет знак только в точках вида

| + кж - - Ф(Ы

ик = ---------------------- , к = 3, 4, ...,щ - 1.

пг

Найдем оценки длин промежутков [Ьгк; £г(к+1)] и [^+1); и(к+2)]-

п Ф(*гк+1) - Ф(ик)

ti(k+1) — tik

ni ni

, , _ П Ф (ti(k+2)) — ф(^(к+1))

Ч(/с+2) Ч(/с+1) *

ni ni

Учитывая (8), видим, что модуль разности |(ti(k+2) — ti(k+1)) — (ti(k+1) — tik)| не превышает

|Ф(^i(fc+2)) — Ф(^г(А:+1))| + |Ф(^г(/г+1)) — &(Uk)\ ^ 2Qi(U{k+l) ~ Uk)

Щ ~ Щ( 1 - Qi)

На основании (7) имеем

2кп — $i п п + 2кп — Bin

-------— < Uk < -----------------— ,

2 щ - - 2 щ

2кп + 2п — вт,п 3п + 2кп — в%л

— _ U(k+1) _ — ,

п 3п

- U{k+1) ~ Uk - 2^ • (9)

Поэтому разность длин промежутков [tik; ti(k+1)] и [ti(k+1); ti(k+2)] не больше, чем 3qi п в

^—27--------------------7• Функция Д” (tj) сохраняет знак на этих промежутках, причем правее и левее

2ni (1 — qi)

от ti(k+1) знаки разные. Таким образом, функцию sign hП. (ti) на промежутке [tik; ti(k+2)]

3qin

можно переопределить на множестве, мера которого не превосходит —-г---------------------------- так,

2n2(1 — qi)

чтобы для полученной функции yi(ti) среднее значение на периоде было равным нулю. На основании (9), количество промежутков, на которых функция h^ (ti) изменяет знак, не превосходит 4ni. Аналогичные рассуждения можно провести для промежутка (—п;0). Значит, функции, построенные на (—п; п), имеют свойства

yi(ti)dti = 0

и отличаются от sign ht (ti) на множествах, меры которых не превосходят Kqini—1(1 — qi)-1, i = 1, 2, ...,m.

Далее построим функции = Уг(^г), t € Тт и функции /г(х) такие, что

х). Можно показать (см., напр., [16]), что функция

/0(х) = У /г(х)

г=1

'ЧШ'ф

х) — (х), 6 — 1, 2, т. поэтому / о (х) с

место следующее соотношение

удовлетворяет условию (/о)^(Х) = </?г(Х), г = 1,2,..,,?п. Поэтому /о(Х) € С™Ж> и имеет

(Л)‘-(0 + иг,)ЫЦщ(и)л, -1\ыцщ(иш + 0(1)' 4

— П

™г(1 - Яг)

На основании (6) можно сделать вывод, что для найденной функции /0(х) имеет место соотношение (5). Объединяя (4) и (5), получаем

П

*<<%£;&) = [ К;,.Д<<)№ +

п г=1 Яг ^

П

+ 0(1)

Фг{'Пг)Яг 4’г(пг)£щ(4’г) ^ Фз(^'з) ^ £Щ (Ф;?)

пз V * 3

^ (1 — Яг)Щ ' ^ (1 — Яг)2 ' ^ ^ ^ 1 ~ Оз 1 —

г=1 ' 4 ' г=1 ' 4 ' г=2 и(г)Ст £Си(г) з€м 7€£ ^

г=2 (1(г)Ст £Ср(г) *’€/-» ;/€£

Из результатов работы [4] следует, что

П

/О ЯП

Ниши = -*-К{<ь) + 0(1) , * = 1,2,..„т.

Уг’ г п Пг

П

Объединяя два последних равенства, получаем асимптотическую формулу (1). I

Заключение. Отметим, что при выполнении условий

Яг — Яг, 6 — 1, 2, ...,т ,

асимптотическое соотношение (1) обеспечивает решение соответствующей задачи Колмогорова-Никольского [19, с. 57].

Литература

1. Степанец А.И., Пачулиа Н.Л. Кратные суммы Фурье на множествах (0, в)-дифференцируемых функций // Укр. мат. журн. - 1991. - 43, № 4. - С.545-555.

2. Ласурия Р.А. Кратные суммы Фурье на множествах 0-дифференцируемых функций //

Укр. мат. журн. - 2003. - 55,№ 7. - С.911-918.

3. Степанец А.И. Приближение некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных суммами Фурье // Укр. мат. журн. - 1973. - 25,№ 5. - С.599-609.

4. Никольский С.М. Приближение функций тригонометрическими полиномами в среднем // Изв. АН СССР. Сер. мат. - 1946. - 10, № 3. - С.207-256.

5. Стечкин С.Б. Оценка остатка ряда Фурье для дифференцируемых функций // Тр. Мат. ин-та АН СССР. - 1980. - 45. - С. 126-151.

6. Рукасов В.И., Новиков О.А., Величко В.Е. [и др.] Приближение периодических функций высокой гладкости многих переменных прямоугольными суммами Фурье // Труды Инта прикладной математики и механики НАН Украины. - 2008. - 16. - С.163-170.

7. Степанец А.И., Сердюк А.С. Приближения суммами Фурье и наилучшие приближения на классах аналитических функций // Укр. мат. журн. - 2000. - 52,№ 3. - С.375-395.

8. Ровенская О.Г. Интегральные представления уклонений прямоугольных линейных средних рядов Фурье на классах Ст // Научный вестник Черновицкого национального университета. Сер. Математика. - 2011. - 1,№ 3. - С.99-104.

9. Степанец А.И. Классификация и приближение периодических функций / К. : Наук. думка, 1987. - 268 с.

APPROXIMATION OF PERIODIC FUNCTIONS OF HIGH SMOOTHNESS BY RIGHT-ANGLED FOURIER SUMS

O.A. Novikov, O.G. Rovenska

Donbass State Pedagogical University,

G. Batyuk St., 19, Slavyansk, 84116, Ukraine, e-mail: [email protected]

Abstract. Asymptotic equalities for upper bounds of deviations of right-angled Fourier sums on classes of high smoothness periodical functions wight many variables are obtained. These equalities guarantee the solvability of the Kolmogorov-Hikol’skii problem for right-angled Fourier sums on specified classes of functions.

Key words: (0, fi)-derivative, right-angled Fourier sums, Kolmogorov-Nikol’skii’s problem.