CC BY
38
Преподавание математики студентам инженерных специальностей в парадигме изобретающего образования
Козлов Анатолий Владимирович к.т.н., доцент кафедры радиоэлектронных систем, заместитель заведующего кафедрой ЮНЕСКО «Новые материалы и технологии», Сибирский федеральный университет, пр. Свободный, 79, г. Красноярск, 660041, (391)2497752 5Ги-ипс5СО-сё1г'@лапёс\. ги
Аннотация
Показана сущность изобретающего образования, как метадисциплинарной системы формирования современного, соответствующего шестому технологическому укладу, изобретательского инженерного мышления, основанной на интеграции различных дисциплин с теорией решения изобретательских задач (ТРИЗ) авторским методом изобретения знаний. Рассмотрена структура метода изобретения знаний, реализующего на современном уровне педагогическую идею перехода от заучивания к «добыванию» знаний. Приведены примеры изучения в режиме «переизобретения» методами ТРИЗ различных математических понятий. The essence of the inventing education as metadisciplinary system of formation modern, corresponding to the sixth technological way, inventive engineering thinking, based on integration of various disciplines with the theory of inventive problem solving (TRIZ) by author's methods of the knowledge invention is shown. The structure of the knowledge invention method realizing at the modern level the pedagogical idea of transition from learning to "getting" of knowledge is considered. Examples of studying in the reinventions mode by the TRIZ methods of various mathematical concepts are given.
Ключевые слова
инженерное мышление, парадигма изобретающего образования, ТРИЗ, метод изобретения знаний
engineering thinking, inventing education paradigm, TRIZ, knowledge invention method
Введение
Публикация подготовлена в рамках поддержанного РГНФ научного проекта №16-16-24023/16 и при финансовой поддержке краевого государственного автономного учреждения «Красноярский краевой фонд поддержки научной и научно-технической деятельности».
Совершенствование инженерного образования для эффективной подготовки специалистов, готовых успешно работать в условиях шестого (а в будущем и седьмого) технологического уклада - общемировая проблема. Наиболее существенное отличие инженерной деятельности будущего от инженерной деятельности прошлого - значительное увеличение доли в ней творческого труда по созданию инновационных решений, при возрастающей эффективности труда, т. е. при увеличении количества инновационных решений, создаваемых в единицу
времени. Традиционный, применяемый несколько тысячелетий, метод проб и ошибок, так же, как и ориентация только на актуально одаренных людей, чьи таланты раскрылись сами, без специальной помощи, всё более исчерпывают себя. Вслед за технологизацией материального производства, начавшейся в XVIII веке (первая промышленная революция) требуется технологизация производства интеллектуальной продукции. Первая задача при этом - преодоление психологического барьера у части людей, которые считают, что творчество, в том числе научно-техническое, невозможно алгоритмизировать, что оно - в принципе удел талантливых одиночек. Следующая задача - выбор наиболее эффективной технологии для изучения и тренинга в ее применении в системе образования. В настоящее время наиболее распространено стимулирование научно-технического творчества в виде различных конкурсов, по результатам которых победители и призеры награждаются денежными призами и предоставлением возможностей для разработок и внедрения своих инновационных решений. Т. е. такая технология состоит в создании психологических условий «растормаживания» творческого процесса и применяется не самими участниками этого процесса, а его организаторами. Относительное распространение, в том числе в крупных корпорациях, получили методы дивергентного (т. е. отходящего от стереотипов) мышления, например, «мозговой штурм», латеральное мышление и т.п. Такие методы - это по существу ускоренный метод проб и ошибок, увеличивающий количество проб в единицу времени, но не увеличивающий процент эффективных решений среди созданных. Хотя, например, известный исследователь творчества Дж. Гилфорд [1] считает характерным признаком творчества именно дивергентное мышление, тем не менее, для решения задач научно-технического развития необходимы методы, сочетающие дивергентное и конвергентное (сходящееся к инновационным решениям) мышление.
В настоящее время все более широкое распространение в мире, в ведущих корпорациях и университетах, получает теория решения изобретательских задач (ТРИЗ), созданная в XX в. российским ученым Г. С. Альтшуллером [2, 3], не просто сочетающая дивергентное и конвергентное мышление, а основанная на фундаментальных законах развития мира, как антропогенного, так и неантропогенного (природного) и социального. Создание инновационных решений -один из видов развития, поэтому сознательное применение законов развития существенно помогает генерации инновационных идей. ТРИЗ существенно превышает по эффективности предшествующие методы, приносит сотни миллионов долларов ведущим корпорациям, преподается в ведущих университетах, таких, как, например, Массачусетский технологический институт, Оксфордский университет и многие другие. Однако ТРИЗ для эффективного изучения требует большого количества часов (по Г. С. Альтшуллеру - около 300), которые сложно изыскать и в без того перегруженных университетских учебных планах. Овладение ТРИЗ требует психологической перестройки, для чего важно непрерывное изучение этой науки.
Обе названные проблемы нашли решение в виде системы инновационного образования ТРИЗ-педагогика [4], первым методом которой стал метод творческих задач [5], заменяющий типовые задачи по различным дисциплинам на творческие, требующие для решения одновременного применения знаний по дисциплине и ТРИЗ. Однако он применим только на одном этапе учебного процесса - этапе решения задач. Педагогическим коллективом, в составе которого автор настоящей статьи, разработаны метод изобретения знаний - для этапа изучения нового материала и метод инновационных проектов - для научно-технического творчества [6, 7]. Комплексное применение метода изобретения знаний в изучении различных дисциплин, не только технических, но и естественнонаучных, формирует изобретательский стиль инженерного мышления, отношение к любому объекту окружающего мира, как к системе, которую возможно и важно усовершенствовать,
дает понимание и тренинг в применении механизмов усовершенствования. Именно в комплексности изобретательского подхода состоит парадигма изобретающего образования, реализация которой возможна именно благодаря ТРИЗ [8].
В отличие от технических дисциплин, где метод изобретения знаний состоит в «переизобретении» изучаемых технических систем методами ТРИЗ, при изучении естественнонаучных дисциплин важно уточнить, что может являться объектом «переизобретения». В настоящей статье такое уточнение проводится в отношении важнейшей для инженеров дисциплины - математики.
Традиционное и инновационное применение математики в подготовке инженеров
В настоящее время математика и ТРИЗ применяются преимущественно на различных этапах развития антропогенных систем. Как известно из ТРИЗ, развитие любых систем происходит по 8-образной кривой (рис. 1).
Э
Рис. 1. S-образная кривая развития систем
На рис. 1:
Э - какой-либо показатель эффективности системы;
1 - время;
I-й этап - «молодость» («детство») системы;
II-й этап - период быстрого развития системы;
III-й этап - «старость» («застой») или «смерть» системы.
Каждая S-образная кривая описывает развитие системы в пределах неизменной структуры путем численного изменения параметров. Если система зашла на этап застоя, а требуется дальнейшее повышение ее эффективности, то создается новая система с более совершенной структурой, которая проходит аналогичную 8-образную кривую развития, но с более высокой эффективностью, и т. д.
Если система антропогенная (в частности, техническая), то ее совершенствование производится людьми. На П-м этапе развития для этого, как правило, применяется математика, позволяющая найти оптимальное сочетание параметров элементов (в последние десятилетия - путем компьютерной оптимизации). ТРИЗ применяется для существенного ускорения поиска структуры
новой, более совершенной, системы, когда прежняя система зашла на Ш-й этап развития.
Тренинг в выполнении расчетов по оптимизации параметров систем с известной структурой, в порядке курсового проектирования, практик, выполнения аттестационных работ, с использованием современного программного обеспечения -критически необходимая составная часть подготовки инженеров. Однако это -тренинг в выполнении типовых расчетов, что инженерам будет необходимо делать всегда, при любом технологическом укладе. Тем не менее, математику возможно изучать таким образом, чтобы это изучение, наряду с изучением других дисциплин и в комплексе с ними, способствовало формированию инновационного инженерного мышления.
В математике, как и в технических науках, объектами изучения являются антропогенные системы. Однако, в отличие от технических наук, эти антропогенные системы не являются материальными объектами, а представляют собой числа, геометрические фигуры и более сложные объекты: матрицы, переменные, функции, уравнения, неравенства, пропорции, производные, вариации, интегралы, операторы, аксиомы, теоремы и многое другое. Все математические объекты, являясь нематериальными, в то же время отражают очень глубокие свойства нашего мира. В отличие от эволюции техники и других антропогенных систем, от эволюции жизни и неживой материи, многие аспекты которой изучены современной наукой (от «Большого взрыва Вселенной» до современных галактик, звезд, биосферы, человеческой цивилизации), науке до настоящего времени не известно фактов эволюции закономерностей, изучаемых математикой. Астрономические наблюдения далеких космических объектов, от которых свет идет до Земли миллиарды лет, не обнаруживают там (а следовательно, и тогда - миллиарды лет назад) иных закономерностей природы, в том числе и математических закономерностей, чем сейчас. К настоящему времени ТРИЗ расширилась до прикладной диалектики -науки о единых закономерностях преодоления противоречий в эволюции как антропогенных, так и неантропогенных систем. Поэтому стало возможным «переизобретать» с помощью ТРИЗ возникновение в процессе эволюции новых биологических, географических, космических и другие объектов. В математике же так сделать невозможно вследствие неизвестности современной науке эволюции ее закономерностей.
Тем не менее, в математике есть объекты, эволюция которых хорошо прослеживается и происходит в соответствии с универсальными законами ТРИЗ. Эти объекты - математические понятия. Знания, содержащиеся в любых науках, в том числе в математике, это модели реальных закономерностей нашего мира. Математические знания - это модели наиболее фундаментальных закономерностей. Наукой пока не изучен процесс развития этих закономерностей, но у одной и той же закономерности могут быть разные модели. Эти разные модели одной закономерности развиваются, становятся все более удобными, все более совершенными. И это развитие моделей происходит в соответствии с законами прикладной диалектики (ТРИЗ).
Рассмотрим, например, такой элементарный математический объект, как таблица умножения. Умножение есть вычисление произведения, а очень многие величины в мире (например, сила, масса и ускорение, температура, давление и объем газа, и др.) связаны между собой, как сомножители и произведение. Эта связь существовала всегда: и тогда, когда людям еще не было известно умножение, и тогда, когда людей еще не было на Земле. А операция умножения была «изобретена» людьми в далекие времена в процессе развития материального производства. Системой - предшественницей операции умножения была операция сложения. У этой операции была проблема, связанная, например, с определением площадей, и состоявшая в необходимости многократного сложения одинаковых слагаемых.
Техническое противоречие (понятие ТРИЗ): «с увеличением точности вычислений неизбежно возрастает время на их выполнение». Противоречие преодолено по содержащемуся в ТРИЗ закону развертывания-свертывания (в части свертывания) и по принципу объединения: многократные операции сложения отдельных слагаемых свертываются, объединяются в операции умножения, отраженные в таблице, хорошо известной любому школьнику. Разумеется, в те времена, когда люди «создали» операцию умножения, наука ТРИЗ еще не существовала, названные принципы еще не были известны, и были применены неосознанно. Но операция умножения именно потому оказалась эффективной, что возникла, как проявление объективной закономерности, ныне известной в ТРИЗ.
Аналогично можно сказать, что еще на заре математики дробные числа возникли вследствие стихийного применения принципа дробления к целым числам. Отрицательные числа - результат стихийного применения принципа инверсии к положительным числам. Позднее иррациональные числа возникли, как результат применения к рациональным числам принципа непрерывности полезного действия: числа занимают непрерывно всю числовую ось. Комплексные числа - результат применения к вещественным числам принципа перехода в другое измерение (расширение вещественной числовой оси до комплексной плоскости). Переменные величины - результат применения к постоянным величинам закона повышения динамичности и управляемости и принципа динамичности. Функция одной переменной - это бисистема, а функция многих переменных - это полисистема по отношению к одной переменной.
«Переизобретение» математических объектов, изучаемых в инженерном образовании, рассмотрим после метода изобретения знаний.
Метод изобретения знаний
При обучении методом изобретения знаний каждая изучаемая система (по любой учебной программе) рассматривается, как результат преодоления по закономерностям, известным в ТРИЗ, противоречий в системе - ее предшественнице. (Например, у двигателя внутреннего сгорания предшественник - паровой двигатель, у теории относительности Эйнштейна - механика Ньютона, у арифметической операции умножения - операция сложения, у птиц - земноводные и т. п.). Эти противоречия были преодолены, в результате чего и появилась система, которая изучается согласно программе. Хотя прежде люди не знали ТРИЗ и решали проблемные задачи методом проб и ошибок, тем не менее, стихийно, «по озарению», даже не осознавая этого, они преодолевали противоречия в соответствии с теми закономерностями, которые теперь известны, как «интеллектуальные инструменты» ТРИЗ. Преподавателю при подготовке занятия нужно вскрыть эти противоречия и найти те методы, известные теперь в ТРИЗ, которыми они были преодолены. Обучаемому на занятии нужно с помощью педагога найти названные противоречия и применить методы ТРИЗ, в результате чего прийти к идее создания изучаемой системы. Таким образом, одновременно обучаемые используют материал любой учебной программы для изучения ТРИЗ и используют ТРИЗ для лучшего понимания и усвоения содержания этой программы.
На рис. 2 приведена графическая схема метода изобретения знаний на примере «переизобретения» комплексных чисел.
Числа Числа
Вещественные числа Сложно рассчитывать колебательные процессы, например, в электрических цепях. С увеличением точности неизбежно возрастают сложность и время вычислений. 7-Ч Принцип перехода [ в другое измерение V ух Комплексные числа (на комплексной плоскости) Существенно упрощаются расчеты колебательных процессов. Существенно упрощаются анашз и синтез колебательных систем.
Модуль, знак. Вещественная и мнимая части.
Рис. 2. Метод изобретения знаний (на примере комплексных чисел)
Схема имеет вид таблицы. Столбцы слева и справа совпадают с левым (прошлое) и центральным (настоящее) столбцами системного оператора (9-экранной схемы талантливого мышления, созданной Г.С. Альтшуллером). В последовательности сверху вниз указаны надсистемы, изучаемые системы и их подсистемы. В центральном овале указаны закономерности, известные теперь в ТРИЗ, по которым были преодолены противоречия в системах-предшественницах.
В методе изобретения знаний ТРИЗ изучается контекстуально, одновременно с темами других дисциплин. Разумеется, если университет имеет возможность предоставить определенное количество часов на изучение ТРИЗ (например, в университетах, внедряющих систему CDЮ, в курсе «Введение в инженерную деятельность»), то это будет способствовать более быстрому контекстуальному усвоению ТРИЗ.
Примеры изучения математических понятий методом изобретения знаний
Рассмотрим изучение ряда Тейлора и определенного интеграла.
Ряды Тейлора широко используются для вычисления значений трансцендентных функций: тригонометрических, экспоненциальных и логарифмических, интегралов вероятности, функций Бесселя и многих других. В файлах - библиотеках стандартных функций различных языков программирования есть программные модули, вычисляющие значения этих функций с помощью рядов Тейлора. Эти модули подключаются к программе пользователя на этапе сборки программы.
Ряды Тейлора можно назвать серьезным изобретением в развитии математики. Их создание решило проблему использования арифметических операций: сложения, вычитания, умножения, деления при вычислении значений функций, которые напрямую не сводятся к совокупности этих операций.
При создании рядов Тейлора были стихийно применены:
- закон развертывания-свертывания в части развертывания: вычисление значения функции «развернуто» в бесконечный ряд;
- принцип частичного или избыточного действия: для избежания бесконечных вычислений находится результат «немного больше или меньше» (на величину допустимой погрешности е) истинного значения.
Схема «переизобретения» ряда Тейлора (т. е. идеи разложения функции в бесконечный ряд) показана на рис. 3.
Трансцендентная функция Трансцендентная функция
Запись в виде условного обозначения Невозможно вычислить с помощью арифметических действий. Необходимо применить арифметические действия, и невозможно это сделать. / > / Закон развертывания- \ 1 свертывания (в части развертывания) \Принцип частичного или / избыточного действия / _ Степенной ряд Становится возможным вычисление трансцендентных функций с помощью арифметических- действий.
Условное обозначение. Множество членов ряда.
Рис. 3. «Переизобретение» ряда Тейлора
Определенный интеграл был «изобретен», как способ решения ряда задач, сводящихся к задаче о нахождении площади под кривой (площади криволинейной трапеции), например, нахождения пройденного пути при неравномерном движении, скорости и ускорения тела с переменной массой, объема фигуры сложной формы и т. п.
Файлы - библиотеки функций различных языков программирования часто содержат программные модули вычисления определенных интегралов. Алгоритмы вычисления определенного интеграла основаны на его определении, как предела интегральной суммы (вычисляют интегральную сумму с заданной точностью).
Определенный интеграл решил проблему использования формул площадей фигур с прямолинейными сторонами для нахождения площади фигуры с криволинейной стороной. Проблема решена путем стихийного применения:
- принципа дробления: «разделить объект на независимые части»;
- закона перехода на микроуровень (бесконечно малые фигуры, на которые «раздроблена» криволинейная трапеция);
- принцип частичного или избыточного действия (так же, как для ряда): для избежания бесконечных вычислений находится результат «немного больше или немного меньше» (на величину допустимой погрешности е) истинного значения.
Схема «переизобретения» интеграла показана на рис. 4.
Криволинейная трапеция ------ Криволинейная трапеция
Аппроксимация криволинейной стороны прямой или ломаной линией Низкая точность Предел интегральной суммы Высокая точность
/ Принцип дробления ^ Закон перехода на \ микроуровень , __Уц
Графическое изображение. Множество бесконечно малых фигур с прямолинейными сторонами.
Рис. 4. «Переизобретение» определенного интеграла
Следует отметить, что подобный подход был использован Архимедом при решении задачи об объеме короны, но тогда принцип дробления был стихийно применен к измерительному средству, каким явилась вода.
Заключение
Описан способ формирования изобретательского инженерного мышления в преподавании математики в парадигме изобретающего образования. Приведено решение задачи выбора нематериальных объектов «переизобретения», что позволило распространить метод изобретения знаний на математику, одновременно улучшая усвоение обучаемыми системы математических понятий.
Литература
1. Гилфорд, Дж. Три стороны интеллекта / Джой Гилфорд // Психология мышления.
- М.: Прогресс, 1965. - С. 434-437.
2. Альтшуллер, Г. С. Найти идею. / Г. С. Альтшуллер. - М.: Альпина Бизнес Букс, 2007. - 400 с.
3. Альтшуллер, Г. С. Творчество как точная наука / Г. С. Альтшуллер. - 2 изд., дополн. - Петрозаводск: Скандинавия, 2004. - 208 с.
4. ТРИЗ-педагогика / И. Л. Викентьев, А. А. Гин, А. В. Козлов // Сборник творческих задач по биологии, экологии и ОБЖ: пособие для учителя / С. Ю. Модестов. - СПб.: АКЦИДЕНТ, 1998. - С. 162-165.
5. Гин, А. А. 150 творческих задач о том, что нас окружает. / А. А. Гин, И. Ю. Андржеевская - М.: Вита-Пресс, 2010. - 216 с.
6. Методы изобретения знаний и инновационных проектов на основе ТРИЗ / Т. В. Погребная, А. В. Козлов, О. В. Сидоркина. - Красноярск: ИПК СФУ, 2010. - 180 с.
7. Development of creativity in engineering education using TRIZ / A.A. Lepeshev, S.A. Podlesnyi, T.V. Pogrebnaya, A.V. Kozlov, O.V. Sidorkina // 3rd Interdisciplinary Engineering Design Education Conference (IEDEC), Santa Clara, CA, USA, 2013. IEEE Conference Publications. 2013, Pages: 6 - 9.
8. Козлов, А. В. Изобретающее образование / А. В. Козлов, Т. В. Погребная, О. В. Сидоркина. / Форум технологического лидерства России «Технодоктрина-2014».
- [Электронный ресурс]. - URL: http://vpk.name/news/124611_izobretayushee_ obrazovanie.html.
