CC BY
87
УДК 378.147.51
ПРЕПОДАВАНИЕ КУРСА ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ ВО ВТУЗЕ С УЧЕТОМ СПЕЦИФИКИ СОВРЕМЕННЫХ ТЕНДЕНЦИЙ МОДЕРНИЗАЦИИ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
© Н.Н. Зепнова1
Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Статья посвящена актуальным вопросам преподавания дискретной математики во ВТУЗе. Рассматриваются методические особенности обучения студентов технических специальностей основным разделам дискретной математики: теории множеств, Булевой алгебре, комбинаторике и теории графов. Статья может быть полезна преподавателям, работающим со студентами указанных специальностей. Библиогр. 10 назв.
Ключевые слова: методика преподавания; технический вуз; дискретная математика; теория множеств; Булева алгебра; комбинаторика; теория графов.
TEACHING DISCRETE MATHEMATICS COURSE IN TECHNICAL UNIVERSITY TAKING INTO ACCOUNT SPECIFICS OF CURRENT MODERNIZATION TRENDS OF HIGHER EDUCATION N.N. Zepnova
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The article deals with the relevant issues of teaching discrete mathematics in a higher technical university. It discusses methodological features of teaching the basics of discrete mathematics to technical students: the theory of sets, Воо^п algebra, theory of combinations and graph theory. The article can be useful for professors of technical universities. 10 sources.
Key words: teaching methodology; technical university; discrete mathematics; theory of sets; Bооlean algebra; theory of combinations; graph theory.
Тенденции развития современных технологий предъявляют высокие требования как к специальной, так и к фундаментальной подготовке инженера, поэтому важно, чтобы обучение в вузе одновременно обеспечивало высокое качество фундаментальных знаний выпускника и подготовку к профессиональной деятельности. Поэтому основными задачами высшей технической школы являются формирование у выпускников вузов системы необходимых знаний, умений и навыков, а также развитие способности и готовности применять эти знания в профессиональной деятельности. В исследованиях, связанных с модернизацией высшего технического образования, этим задачам соответствуют два направления. Первое состоит в поиске путей повышения качества фундаментальной подготовки будущего инженера - его базовых, системообразующих знаний. Второе - это компетентностный подход в обучении, направленный на формирование умения применять полученные знания в практической деятельности.
Целью компетентностного обучения является формирование не только знаний, умений и навыков студента, но и таких качеств личности (компетенций), которые обеспечивают способность и готовность применять полученные знания в профессиональной деятельности. Последнее же невозможно без фундаментального образования, в том числе без изучения высшей математики (хотя бы ее основ). Таким образом,
два указанных направления тесно взаимосвязаны и не могут существовать одно без другого.
Поэтому целью обучения математике в техническом вузе является получение студентом математической подготовки в таких фундаментальных разделах высшей математики, как алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ, дискретная математика и т.д. Именно они закладывают основу специальной математической культуры и тех математических методов, которые потребуются при работе по будущей специальности. Поэтому математическое образование нужно рассматривать как важнейшую составляющую фундаментальной подготовки будущих инженеров. Главной задачей математической подготовки, ее философским значением для инженерно-технического образования является то, что математика конструирует универсальные методы мышления, которые позволяют решать самые различные классы задач. «С точки зрения приоритета развивающей функции конкретные математические знания рассматриваются не столько как цель обучения, сколько как база для организации полноценной в интеллектуальном отношении деятельности будущих инженеров. Для формирования личности инженера, для достижения высокого уровня развития его математической культуры именно эта деятельность оказывается более значимой, чем те конкретные математические знания, которые послужили ее базой» [1].
1Зепнова Наталья Николаевна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики, тел.: 89016575067, e-mail: zepno-va.nat@mail.ru
Zepnova Natalya, Candidate of Pedagogics, Associate Professor of the Department of Mathematics, tel.: 89016575067, e-mail: zep-nova.nat@mail.ru
Современные потребности высокотехнологичного промышленного производства обязывают студентов технических вузов - будущих инженеров - приобретать не только узкоспециальные навыки, но и формировать у себя профессиональную математическую компетентность, которая представляет собой совокупность логических, аналитических, исследовательских и других компетенций.
В частности, среди общекультурных компетенций (ОК), которыми должны овладеть студенты технических специальностей, можно выделить следующие:
• способность к обобщению, анализу информации, постановке цели и выбору путей ее достижения, культура мышления (ОК-1);
• способность логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь (ОК-2);
• целенаправленное применение базовых знаний в области математических, естественных, гуманитарных и экономических наук в профессиональной деятельности (ОК-9);
• способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ОК-10).
Среди профессиональных компетенций (ПК), необходимых выпускникам ВТУЗа, можно отметить:
• умение разрабатывать математические модели составных частей объектов профессиональной деятельности методами теории автоматического управления, применять необходимые для построения моделей знания принципов действия и математического описания составных частей мехатронных и робото-технических устройств (ПК-1);
• способность выбирать аналитические и численные методы при разработке математических моделей основных технологических процессов (ПК-2);
• способность участвовать в разработке обобщенных вариантов решения проблем, связанных с автоматизацией производств, выборе на основе анализа вариантов оптимального, прогнозировании последствий решения (ПК-7);
• способность участвовать в разработке математических и физических моделей процессов и объектов машиностроительных производств (ПК-18).
Все названные компетенции указывают на то, что в процессе изучения математики в наиболее чистом виде должно быть сформировано логическое, алгоритмическое и абстрактное мышление. Эти виды мышления сами по себе связаны не только с математическим содержанием и математикой вообще, в их формировании участвуют и другие науки, однако математике, в том числе такому важнейшему ее разделу, как дискретная математика, здесь принадлежит решающая роль.
Однако анализ научных исследований, посвященных проблемам формирования и развития математического мышления учащихся, анализ состояния подготовки школьников позволяют говорить, что при всей
значимости различных математических компетенций для будущих инженеров год от года отмечается снижение уровня не только абстрактного, логического мышления, но и математического образования вообще. Собственный опыт преподавательской работы в вузе, ознакомление с мнениями других преподавателей в прессе и в сети интернет позволяют сделать вывод о крайне слабой математической подготовке большинства абитуриентов, поступающих в технические вузы, и их нежелании ликвидировать пробелы в своем образовании.
К сожалению, приходится констатировать, что в силу целого ряда причин у студентов не формируется системное представление о фундаментальных основах математики, методах математического анализа, алгебры, геометрии. Это не позволяет студентам овладевать курсом высшей математики в нужном объеме, а также вызывает проблемы и при изучении других дисциплин, непосредственно связанных с получением полноценного образования инженера (физики, начертательной геометрии, теории сопротивления материалов, теоретической механики и др.). Низкий уровень логического, абстрактного мышления не позволяет большинству студентов в достаточном объеме овладеть таким важным для будущих инженеров разделом математики, как дискретная математика.
Вместе с тем ощущается нехватка учебной и методической литературы в данной области. Сведения по дискретной математике, предлагаемые в различных учебных пособиях, либо изложены недостаточно подробно, либо слишком теоретизированы, что вызывает большие затруднения у студентов технических специальностей.
В связи с тем, что государственные стандарты для разных специальностей весьма и весьма отличаются, преподавателям, а значит и студентам, приходится выстраивать различные образовательные траектории. Наряду с переходом на новую программу обучения (бакалавриат), остались также и направления, обучающие по программе специалитета, что подразумевает различное количество учебных часов, отводимых на изучение дискретной математики. Для некоторых специальностей дискретная математика включена в курс общей математики, для других - выносится как отдельная дисциплина. В связи с этим весьма различаются и требования государственного стандарта, предъявляемые к содержанию и объему материала, изучаемого в курсе дискретной математики.
Однако сравнительный анализ требований государственного стандарта позволяет утверждать, что при существенных отличиях имеются и общие для разных специальностей разделы: теория множеств, булева алгебра, логика, комбинаторика, теория графов, теория алгоритмов. Исходя из вышесказанного и на основе собственного опыта преподавания дискретной математики в НИ ИрГТУ, мы пришли к выводу о необходимости создания учебного пособия по изучению основ дискретной математики, предназначенного для преподавателей и студентов ВТУЗа. Мы начали разрабатывать такое пособие в 2009 году, и на данный момент опубликована его первая часть: «Основы
теории множеств» [4], а вторая часть - «Элементы булевой алгебры» готова к публикации. В дальнейшем планируется публикация еще двух глав: «Комбинаторика» и «Основы теории графов».
Пособие охватывает основные разделы дискретной математики, общие для всех технических специальностей. Далее для разных учебных специализаций следует своя специфика, согласно которой каждый преподаватель выстраивает учебную программу, исходя из требований ФГОС. При разработке учебно-методического пособия мы ставили следующие цели:
1. Познакомить студента с максимально широким кругом понятий дискретной математики. Это позволяет сформировать у студента терминологический запас, необходимый для самостоятельного изучения специальной литературы по данной дисциплине.
2. Сообщить студенту необходимые конкретные сведения по дискретной математике, предусматриваемые стандартной программой технических высших учебных заведений. Проведение доказательств рассматриваемых утверждений и выполнение упражнений позволяет студенту овладеть методами дискретной математики, наиболее часто употребляемыми при решении практических задач.
Вместе с тем курс не ставит своей целью дать большое количество материала, имеющего фактический спрос в настоящее время. Современные технологии настолько быстро внедряются во все сферы нашей жизни, что чрезмерная детализация и привязанность к специальным фактам может привести к тому, что через 5-6 лет (а это как раз период активной деятельности студентов, обучаемых в данное время) полученные ими практические навыки окажутся бесполезными. Поэтому главной задачей нашего курса мы считаем обучение методам мышления и решения задач, характерным для дискретной математики.
По каждому из рассматриваемых разделов нами подобраны задачи, часть из которых подробно разбирается в решении примерного варианта. По теме каждого занятия предлагается набор задач для самостоятельной работы. Разработано по 20 вариантов контрольных работ по каждому разделу. В упражнения выносятся не только задачи, иллюстрирующие практическое применение материала, изученного в соответствующем разделе, но и дополнительный материал, непосредственно связанный с темой изучаемого раздела. Это позволяет студенту самостоятельно применять полученные знания к решению нетипичных задач, повышая тем самым его творческий и интеллектуальный уровень.
В первой части «Основы теории множеств» решаются задачи формирования у студентов понятийного аппарата теории множеств и навыков простейших действий с множествами, а также умений графически изображать различные комбинации множеств при помощи диаграмм Эйлера-Венна.
Прежде всего, мы предлагаем применить различные подходы к определению понятия «множество», способам задания множества, что позволит избежать формирования стереотипа у студентов. При этом мы приводим большое количество примеров различных
множеств, описывая их разными способами. Рассматриваются понятия подмножества, виды подмножеств, понятие синглетона, булеана, пустого множества, универсального множества, кардинального числа (мощности) множества и т.д. [4]. Все указанные понятия расширяют терминологический запас студентов, что позволит им без труда самостоятельно заниматься изучением теории множеств.
Различные действия с множествами (объединение, пересечение, дополнение, разность, симметрическая разность), а также их свойства иллюстрируются с помощью диаграмм Эйлера-Венна [10], что улучшает восприятие учебного материала. Аналогично доказываются основные теоремы о действиях с множествами: теоремы поглощения, склеивания, теоремы де Моргана. Доказательство некоторых свойств и теорем студентам предлагается провести самостоятельно -это хорошая тренировка применения средств дискретной математики к решению теоретических и практических задач. Наряду с применением диаграмм некоторые утверждения можно доказать исходя из аксиом операций и теорем одной переменной: это также улучшает восприятие и запоминание свойств.
После изучения основных действий с множествами и теорем мы рассматриваем теоретико-множественные преобразования, под которыми понимается выполнение таких действий с множествами, в результате которых получается новое аналитическое выражение, тождественно равное исходному, но отличающееся от него набором символов, их числом, порядком записи. Целью преобразований является упрощение формул, приводящее к уменьшению количества входящих в них знаков. Упрощенные выражения могут подвергаться дальнейшим преобразованиям с учетом каких-либо дополнительных условий: взаимосвязи между множествами, замены одного множества другим, нахождения дополнения и т.д. Все подобные преобразования осуществляются с помощью операций объединения, пересечения, дополнения, склеивания, поглощения и законов де Моргана. При рассмотрении подобных задач следует обратить внимание студентов на возможность различных путей решения: с помощью диаграмм Эйлера-Венна и методом теоретико-множественных преобразований, и особо отметить преимущества последнего.
Далее мы рассматриваем вопросы отношений на множествах. Подробно рассматриваются свойства отношений (транзитивность, рефлексивность, симметричность, тождественность, полнота, универсальность и др.). Исходя из свойств отношений, рассматриваются различные виды отношений: эквивалентность, квазипорядок, порядок, строгий порядок, полный порядок. Установление вида конкретного отношения позволяет студентам лучше усвоить свойства отношений. Особое внимание следует уделить отношению эквивалентности, ввиду его важности не только для дискретной математики.
Также следует уделить внимание изучению различных видов отображений множеств. Необходимость этого вызвана тем, что при изучении математического анализа у студентов формируется представление об
отображениях множеств только как об «одно-однозначных», тогда как существуют и другие виды отображений. Наконец, рассматривается вопрос разбиения множеств на классы с помощью отношения эквивалентности, что позволяет устанавливать мощность бесконечных множеств в дальнейшем [2].
Рассматривая бесконечные множества, мы исследуем способы определения и описания бесконечных множеств, вопрос об определении мощности бесконечных множеств и установлении отношения эквивалентности между элементами различных множеств. Здесь следует уделить внимание различным примерам бесконечных множеств, как математической природы, так и реального мира, поскольку абстрактность рассматриваемых объектов часто вызывает затруднения у студентов. Особое внимание уделяется счетным множествам ввиду важности бесконечных множеств этого класса для предмета дискретной математики. Подробно изучается вопрос установления эквивалентности произвольного бесконечного множества счетному, доказываются основные свойства счетных множеств.
В заключение приводятся определение и основные свойства несчетных множеств. Эта тема, как правило, представляет особую трудность, поскольку ее изучение требует отказаться от интуитивных представлений о реальном мире и опираться только на логические рассуждения и факты, доказанные в теории множеств. Поэтому подробно рассматривается вопрос о несчетности множества действительных чисел, принадлежащих отрезку [0, 1], и приводится логическое доказательство данного утверждения с помощью диагонального метода Кантора [5]. После доказательства данного факта целесообразно привести примеры доказательства несчетности некоторых множеств путем установления взаимно-однозначного соответствия с множеством действительных чисел, принадлежащих отрезку [0, 1].
Вторая часть пособия «Элементы булевой алгебры» включает две главы: «Операции булевой алгебры» и «Минимизация булевых функций».
Прежде чем начинать изучение основ булевой алгебры, предлагаем преподавателю напомнить студентам принцип двоичной системы исчисления и правило перехода от двоичной системы к десятичной и обратно, поскольку булевы переменные носят двоичный характер, и при кодировании булевых функций применяется указанное правило.
В первой главе «Операции булевой алгебры» студентам прививаются навыки простейших действий с булевыми переменными, которые по своей сути являются высказываниями. Поэтому мы начинаем изложение лекционного материала с определения понятия высказывания. При этом следует обратить внимание студентов на то, что в качестве высказываний можно рассматривать только те утверждения, о которых точно можно сказать, истинны они или ложны. Тогда все высказывания можно обозначить переменной двоичной величиной, принимающей значения 1, если высказывание истинно, или 0, если оно ложно. Производя различные действия с булевыми переменными, будем
получать сложные высказывания, которые записываются в виде формул, носящих двоичный характер.
Далее мы предлагаем рассмотреть основные операции над переменными в булевой алгебре (дизъюнкция, конъюнкция и инверсия). Очень важно иллюстрировать аксиомы, которыми определяются операции, необычными примерами, может быть даже не имеющими отношения к математике: это позволяет учащимся лучше усвоить особенности операций булевой алгебры и повышает интерес к предмету. При доказательстве свойств коммутативности, ассоциативности, инвариантности дизъюнкции и конъюнкции можно обойтись аксиомами этих действий. А вот свойства дистрибутивности конъюнкции относительно дизъюнкции: А(В+С)=АВ+АС и особенно дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции Л+ВС=(Л+В) (А+С) уже не столь очевидны. Для их доказательства целесообразно ввести понятие таблицы истинности.
Принцип построения таблицы истинности состоит в следующем. Переменным придают все возможные наборы, которые они могут принимать, и вычисляют значения выражений, стоящих в левой и в правой частях доказываемого равенства при всех наборах переменных. Если при одних и тех же наборах переменных они принимают одинаковые значения, истинность утверждения доказана. Таблицы истинности применяются и далее при исследовании булевых функций. При этом необходимо объяснить студентам, что перечисление наборов значений переменных не должно быть произвольным: если набор значений переменных принять за двоичное число, то номер строки будет означать это число в десятичной системе. Например, набор 100 в пятой строке означает число 4. Поэтому первая строка имеет номер 0, и этому числу в десятичной системе соответствует набор 000 в двоичной системе. Каждый набор последующей строчки получается из предыдущего набора прибавлением 1 к двоичному числу согласно правилам сложения в двоичной системе. Следует заметить, что таких наборов для функции п переменных будет в точности 2п, и это не случайно, если вспомнить, что именно такова мощность булеана для множества, состоящего из п элементов. Это еще один пример связи между двумя рассматриваемыми разделами дискретной математики.
Далее целесообразно рассмотреть теоремы одной переменной, поскольку их доказательство вытекает непосредственно из свойств конъюнкции, дизъюнкции и инверсии. Здесь можно провести аналогию с теорией множеств (операции объединения и пересечения множества с пустым и универсальным множествами). Доказательство теорем склеивания и поглощения можно провести как с помощью свойств конъюнкции и дизъюнкции, так и с помощью таблиц истинности. А вот доказательство теоремы де Моргана возможно провести только с помощью таблицы истинности или воспользовавшись аналогией с теорией множеств. Можно предложить студентам доказать эти теоремы самостоятельно - это будет хорошим упражнением.
Во второй главе «Минимизация булевых функций» мы рассматриваем различные формы представления
булевых формул. Они могут быть записаны в виде комбинаций дизъюнкций и конъюнкций нескольких переменных. Если булева формула записана в виде дизъюнкции выражений, каждое из которых представляет собой либо отдельный элемент (с инверсией или без), либо конъюнкцию некоторых элементов, то говорят, что эта формула представлена в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ). Аналогично определяется понятие конъюнктивной нормальной формы (КНФ) булевой формулы. Следует обратить внимание студентов на то, что ДНФ и КНФ представляют собой две различные, но эквивалентные аналитические формы булевой формулы. Это означает, что из одной формы можно получить другую, используя законы булевой алгебры, что позволяет в дальнейшем выбирать ту или иную форму в зависимости от необходимости.
Запись функции в виде математического выражения с использованием букв и логических операций является аналитическим способом задания функции. Кроме аналитического способа задания булевой функции, существует еще табличный способ. В таблице перечисляются все возможные наборы значений переменных, и для каждого набора находится значение функции. Такую таблицу называют таблицей соответствия (таблицей истинности). Принцип ее построения описан выше. От таблицы соответствия можно перейти к аналитическому выражению булевой функции. Каждый набор значений аргументов, где значение функции равно 1, можно представить как конъюнкцию значений аргументов, называемую элементарной конъюнкцией (минтермом). При составлении элементарных конъюнкций используют следующее правило: если некоторый аргумент принимает на наборе значение, равное нулю, то в элементарную конъюнкцию он входит с отрицанием, а если его значение равно единице, то без отрицания. Сложив мин-термы, дающие единичное значение функции, получим совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ) данной функции.
После упрощения (минимизации) полученной СДНФ можем получить исходное выражение функции. Следует заметить, что любая булева функция имеет единственную СДНФ, тогда как минимизированных алгебраических выражений может быть несколько. Поэтому СДНФ является универсальным способом задания булевой функции.
Поскольку каждому набору значений аргументов можно поставить в соответствие номер строки, то функцию можно представить перечнем номеров строк, где она имеет значение, равное 1, полагая, что во всех остальных строках ее значение равно 0. Представленную таким образом функцию легко впоследствии представить с помощью карты Вейча [10], или деревом двоичного кода [3]. Здесь также прослеживается взаимосвязь двух разделов дискретной математики.
При изучении вопроса алгебраической минимизации функций следует обратить внимание студентов на то, что существуют различные методы минимизации:
1. Метод непосредственных преобразований булевых функций. При применении данного метода
функция преобразуется и упрощается с использованием аксиом и теорем булевой алгебры.
2. Применение к заданной функции операции инверсии, минимизация полученной функции и повторное применение инверсии.
Мы рассматриваем множество примеров, иллюстрирующих достоинство каждого метода в различных случаях.
Для минимизации функций, содержащих большое количество переменных (4 и более), мы предлагаем ознакомить студентов с методом Квайна, достаточно несложным и интересным в применении, а также методом склеивания Вейча [10], который всегда вызывает интерес у студентов своей простотой, оригинальностью и изяществом.
В качестве контрольных заданий по данной главе мы предлагаем студентам провести полное исследование какой-либо из предложенных преподавателем функций: минимизировать аналитически заданную функцию и проверить правильность результата минимизации с помощью таблицы истинности. Записать по таблице СДНФ и минимизировать ее методом Квайна. Нанести СДНФ функции на карту Вейча и минимизировать ее путем склеивания ячеек.
В третьей части «Комбинаторика» мы предлагаем студентам познакомиться с основами комбинаторного анализа.
Прежде всего, мы рассматриваем основные правила комбинаторики (правила суммы и произведения), которые наглядно иллюстрируем достаточным количеством примеров, поскольку без усвоения четкой разницы между случаями применения одного или другого правила невозможно дальнейшее решение комбинаторных задач.
Далее необходимо познакомить студентов с основными и типичными операциями комбинаторики. Это:
1) образование упорядоченных множеств, состоящее в установлении определенного порядка следования элементов множества друг за другом - составление перестановок;
2) образование подмножеств, состоящее в выделении из данного множества некоторой части его элементов - составление сочетаний;
3) образование упорядоченных подмножеств - составление размещений.
При этом мы рассматриваем две схемы составления комбинаций: без повторения (когда элементы, выбранные из некоторого множества, не могут быть использованы снова) и с повторениями (элементы могут повторяться). Все рассмотренные комбинации иллюстрируются примерами, причем мы старались подбирать примеры, связанные не только с математикой, но и с окружающим миром, обычной повседневной жизнью, что позволяет разнообразить материал и привлекает внимание студентов.
Кроме решения задач на применение правил комбинаторики, мы предлагаем студентам решить разнообразные комбинаторные уравнения [6].
Например: СХ+1 + 2СХ-1 = 7(х -1).
Решение таких уравнений вызывает интерес к формулам комбинаторики и улучшает их восприятие и запоминание.
Далее мы рассматриваем различные способы составления разбиения множества на подмножества. Например, разбиение множества А на два равномощ-ных подмножества или на два подмножества различной мощности, а также разбиение множества на несколько подмножеств (как равномощных, так и подмножеств различной мощности) [10]. Большой интерес вызывает изучение задач, связывающих комбинаторику с другими разделами дискретной математики. Это задачи о составлении расписания учебных занятий, о подборе экипажа, задачи о кодировании (в частности - код Морзе), задача об отыскании простых чисел («решето Эратосфена»). Такие задачи вызывают живой интерес у студентов и повышают интерес к изучаемому предмету.
Последний раздел предлагаемого курса - «Основы теории графов».
Прежде чем приступать к изучению этого раздела, мы предлагаем дать студентам историческую справку о возникновении этой интереснейшей науки. Первые задачи теории графов были связаны с решением математических развлекательных задач и головоломок (задача о кенигсбергских мостах, задача о расстановке ферзей на шахматной доске, задача о перевозках, задача о коммуникациях, задача о коммивояжере и другие). Приведенные исторические факты, а также примеры применения теории графов к решению практических задач повышают интерес студентов к изучаемому предмету.
Необходимо обратить внимание студентов на то, что результаты и методы теории графов применяются при решении многих практических задач: из всех математических объектов графы занимают одно из первых мест в качестве формальных моделей реальных систем. Графы нашли применение практически во всех отраслях научных знаний: физике, биологии, химии, математике, истории, лингвистике, социальных науках, технике и т.п. Наибольшей популярностью теоретико-графовые модели пользуются при исследовании коммуникационных сетей, систем информатики, химических и генетических структур, электрических цепей и других систем сетевой структуры.
Мы знакомим студентов с очень широким кругом определений и понятий. Причем некоторые понятия мы трактуем с разных точек зрения (в частности - понятие графа, изоморфизма графов и др.). Это позволит студентам не растеряться при самостоятельном изучении каких-либо вопросов теории графов, поскольку пока нет единого подхода к определению понятия графа и разные авторы определяют его по-разному.
Мы подробно рассматриваем различные виды графов: ориентированные и неориентированные, псевдографы и мультиграфы, подграфы и надграфы, простые, полные и элементарные графы и др. При изучении данных видов графов мы привлекаем методы комбинаторики. Детально изучается вопрос о матрицах смежности и инцидентности ориентированных и
неориентированных графов как еще один способ их задания. Этот вопрос очень важен для студентов технических специальностей, поскольку такой метод задания графов используется для обработки данных на ЭВМ. Особое значение имеет вопрос связности графов. Это обусловлено тем, что наряду с проблемами, носящими общий характер, в теории графов имеются специфические виды задач. Например, при анализе надежности сетей связи, электронных схем, коммуникационных сетей возникает задача о нахождении количеств непересекающихся цепей, соединяющих различные вершины графа.
Очень большое значение в теории графов имеет понятие изоморфизма, поскольку оно позволяет отождествлять разные по виду, но идентичные по структуре графы. И в решении этого вопроса нам помогает матрица смежности, поскольку графы G1(V1, X!) и G2(V2, Х2) называются изоморфными, если существует взаимно однозначное отображение ф: V! ^ V2, сохраняющее смежность [3]. А для определения количества изоморфных друг другу графов, построенных на одних и тех же вершинах, применяются методы комбинаторики, что опять же выявляет связь между различными разделами дискретной математики, и позволяет рассматривать ее как единую науку, а не как набор различных теорий, что часто воспринимается студентами. Также мы рассматриваем вопросы отыскания простых и кратчайших путей ввиду их особой значимости в вопросах экономики.
Большое значение в теории графов имеет вопрос о планарности графов. Доказано, что в 3-мерном пространстве любой граф можно представить в виде укладки таким образом, что линии, соответствующие ребрам (дугам) не будут пересекаться во внутренних точках. Для 2-мерного пространства это, вообще говоря, неверно. Ввиду важности вопроса планарности графов мы подробно изучаем критерии планарности, в частности теорему Понтрягина-Куратовского.
Далее мы рассматриваем особый вид графов -деревья. Деревья особенно часто возникают на практике при изображении различных иерархий. Например, популярны генеалогические деревья. Ввиду особого интереса к деревьям в вопросах программирования, мы рассматриваем метод кодирования произвольных деревьев, предложенный А.Кэли, а также деревья так называемого двоичного кода, которые позволяют применять методы теории графов к изучению булевых функций.
Хочется еще раз отметить важность изучения теории графов ввиду их практической значимости для решения различных задач. Перечислим некоторые типовые задачи теории графов и их приложения: задача о кратчайшей цепи (замена оборудования; составление расписания движения транспортных средств; размещение пунктов скорой помощи; размещение телефонных станций); задача о максимальном потоке (анализ пропускной способности коммуникационной сети; организация движения в динамической сети; оптимальный подбор интенсивностей выполнения работ; задача о распределении работ); задача об упаковках и покрытиях (размещение диспетчерских пунктов город-
ской транспортной сети); раскраска в графах (распределение памяти в ЭВМ; проектирование сетей телевизионного вещания); связность графов и сетей (проектирование кратчайшей коммуникационной сети; синтез структурно-надежной сети циркуляционной связи; анализ надежности стохастических сетей связи); изоморфизм графов и сетей (структурный синтез линейных избирательных цепей; автоматизация контроля при проектировании информационных сетей) и др.
Дальнейшее изучение рассматриваемых разделов дискретной математики выходит за рамки учебной программы ВТУЗа. Однако если данные темы вызвали интерес у студентов или есть необходимость в более
глубоком их изучении, мы можем посоветовать обратиться к источникам, приведенным в библиографическом списке. Что же касается данного курса, то материал, излагаемый в нем, полностью соответствует учебной программе технических специальностей и государственному стандарту. Курс подтвердил свою эффективность, поскольку при государственном интернет тестировании студенты, прошедшие обучение по предлагаемому курсу, ответили на вопросы, касающиеся рассмотренных разделов. Преподавание дискретной математики в предлагаемом контексте вызывает интерес у студентов и облегчает усвоение учебного материала.
Библиографический список
1. Битнер Г.Г. Деятельностный подход в формировании математической культуры будущих инженеров // Тезисы докладов Российской Школы-конференции с международным участием «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании». Проблемы образования. М.: РУДН, 2009. С.250-256.
2. Горбатов В.А., Горбатов А.В., Горбатова А.В. Дискретная математика: учеб. для студентов ВТУЗов. М. : ООО «Изд-во АСТ»: ООО «Издательство Астрель», 2003. 447 с.
3. Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории графов. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1990. 383 с.
4. Зепнова Н.Н. Дискретная математика. Основы теории множеств: метод указания к изучению раздела «Теория множеств». Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2012. 52 с.
5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и
функционального анализа: учеб. для вузов, 6-е изд., испр. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. 624 с.
6. Кузьмин О.В. Перечислительная комбинаторика: учеб. пособие. М.: Дрофа, 2005. 110 с.
7. Мельников О.И. Обучение дискретной математике. М.: Изд-во ЛКИ, 2008. 224 с.
8. Палий И.А. Дискретная математика: курс лекций. М.: Экс-мо, 2008. 325с.
9. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Элементы дискретной математики: учебник. М.: ИНФРА-М, Новосибирск: изд-во НГТУ, 2002. 280 с.
10. Шевелев Ю.П. Высшая математика 5. Дискретная математика. Ч.1: Теория множеств. Булева алгебра (для автоматизированной системы обучения): учеб. пособие. Томск: Том. гос. ун-т систем управления и радиоэлектроники, 1998. 114 с.
УДК 94
ЗЕМЕЛЬНЫЕ СПОРЫ В ПРИАНГАРЬЕ ПОСЛЕ ОБРАЗОВАНИЯ БУРЯТ-МОНГОЛЬСКОЙ АВТОНОМИИ
© В.В. Иванов1
Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Показано, что, утвердив свою власть в Иркутской губернии в 1920 г., советское руководство приступило к перестройке административно-территориальных границ. Большевики сделали ставку на поддержку национальных меньшинств, обещая удовлетворить их интересы в обмен на их политическую поддержку. Подтверждено, что образование Бурят-Монгольской автономии вызвало споры о границах, привело к неустраненной чересполосице на границе между республикой и Иркутской губернией, приграничное население лишилось части земельных наделов и прав. Библиогр. 3 назв.
Ключевые слова: административно-территориальное деление; автономия; землеустройство; конфликты; национальная политика.
LAND DISPUTES IN THE ANGARA REGION AFTER BURYAT-MONGOL AUTONOMY FORMATION V.V. Ivanov
Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.
The article shows that after establishing their authority in the Irkutsk region in 1920 the Soviets began to rearrange administrative and territorial borders. The Bolsheviks relied on the support of national minorities having promised them to meet their interests in exchange for their political support. It is confirmed that the formation of the Buryat-Mongolian autonomy caused border disputes and resulted in the strip holding on the border between the Republic and the Irkutsk province that was not eliminated, whereas the near-border population was deprived of the part of land allotments, and their rights.
1Иванов Вячеслав Владимирович, аспирант, тел.: 89641146860, e-mail: vyachivan@mail.ru Ivanov Vyacheslav, Postgraduate, tel.: 89641146860, e-mail: vyachivan@mail.ru
