Преобразования аффинных систем к каноническому виду с использованием замен независимой переменной Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ МГТУ ИМ. Н. Э. БАУМАНА

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Эл № ФС77 - 48211. Государственная регистрация №0421200025. ISSN 1994-0408

электронный научно-технический журнал

Преобразования аффинных систем к каноническому виду

с использованием замен независимой переменной

# 07, июль 2013

Б01:10.7463/0713.0571094

Касаткина Т. С.

УДК 517.938

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана [email protected]

Введение

Актуальным является вопрос преобразования аффинных динамических систем

х = / (х) + g(x)u, (1)

где и — управление, к каноническому виду. В [1] приведены условия, при выполнении которых с помощью диффеоморфизма пространства состояний, система (1) приводится к каноническому виду. Однако эти условия не всегда выполняются.

Замена переменной дифференцирования (масштабирование времени) предоставляет дополнительную степень свободы при эквивалентных преобразованиях динамических систем. Эквивалентное преобразование динамической системы к линейной управляемой системе с использованием замены времени и последующей линеаризации системы обратной связью впервые было предложено в [2]. В этой работе приведены условия, при которых такое преобразование существует. Системы, удовлетворяющие этим условиям, названы линеаризуемыми обратной связью в широком смысле. Проверка этих условий сводится к поиску функции масштабирования времени и проверке условий линеаризации обратной связью для системы, записанной в новом времени. Функция масштабирования представляет собой решение нелинейной системы дифференциальных уравнений в частных производных. Поиск этого решения, особенно в случае больших размерностей пространства состояний системы, является довольно сложной задачей.

В [3, 4] изложенная выше стратегия преобразования системы к линейной управляемой системе названа орбитальной линеаризацией обратной связью. В этих работах в терминах дифференциальной геометрии сформулированы условия, которым должна удовлетворять

исходная система, для того чтобы она была орбитально линеаризуема обратной связью. Разработаны алгоритмы орбитальной линеаризации обратной связью для систем со скалярным [4, 5] и векторным управлением [6].

Масштабирование времени применяется в теории управления для поиска оптимальных траекторий, уменьшения отклонения в задачах следования вдоль заданной траектории [7, 8] и заданной кривой [9, 10, 11].

Ряд работ посвящен построению наблюдателя со скалярным [12] и векторным выходом [13]. Также масштабирование времени используется при решении задач стабилизации плоских систем при наличии сингулярностей при некоторых значениях управления [14].

В данной статье исследуется возможность преобразования аффинных систем (1) к каноническому виду с использованием замены независимой переменной (времени). Рассматривается два типа замен: интегрируемые и неинтегрируемые.

Разделы статьи организованы следующим образом. В разд. 1 изложена постановка задачи. В разд. 2 дано определение и классификация замен независимой переменной. В разд. 3 показано, что после выполнения интегрируемой замены преобразованная система не приводится к каноническому виду. В разд. 4 получен вид функции, определяющей неинте-грируемую замену, после выполнения которой система приводится к каноническому виду, который является регулярным.

1. Постановка задачи

Рассмотрим многомерную аффинную систему

х

А(х) + В(х)и, х Е П С Еп, и Е

(2)

1

где В(ж) = (ж)) — матрица типа п х т; А(ж) = (а\(х), ..., ап(х)) — вектор-функция; аг Е Сте(П); П — открытое множество в Еп; и = (и1,..., ит), г = 1, т, — управление;

х

и о I

— — дифференцирование по независимой переменной г.

Обозначим В^ (х), ] = 1, т, ^'-й столбец матрицы В (х). Здесь и далее будем ассоци-

ировать с вектор-функциями А(х), В\(х), .. ., Вт(х) векторные поля А, В1 соответствующими координатными представлениями. Аффинную систему вида

' ¿1 = 32,

¿2 = ¿3,

Вт с

(3)

¿п— 1 ¿п

к ¿п = /(¿) + g(¿)u,

называют системой канонического вида. Если д(х) = 0, то канонический вид называют регулярным.

Будем рассматривать системы, которые не приводятся к регулярному каноническому виду в окрестности некоторой точки ж0 € П. Это означает невыполнение хотя бы одного из двух условий [1]:

1) матрица управляемости

U = (Bi, ..., Bm, adA Bi, ..., adA Bm, ..., ad^"1 Bi, ..., ad^"1 Bm

невырождена в точке x 2)распределение

0.

span {Bi, ..., Bm, adA Bi, ..., adA Bm, ..., adA 2 Bi, ..., adA 2 Bm}

инволютивно в окрестности точки x .

Здесь и далее adx У = [X, У], adX У = adA(adA-1 У), к = 2, 3, ..., и [X, У] обозначает коммутатор векторных полей X и У.

2. Замены независимой переменной

Введем новую независимую переменную т с помощью соотношения

— = h(x) = s(xy,

(4)

где 0 < в (ж) < — функция масштабирования времени [2].

Пользуясь соотношением (4), перейдем в системе (2) к дифференцированию по переменной т:

^ , ^^ X/ 1 . , . 1 , .

X ^ ~ ^ X— ^ г ^ гА(х) + тВ(ж)и. ат ат в (ж) в (ж) в (ж)

В результате преобразованная система принимает вид

x' = A(x) + B(x)u,

(5)

где

A(x) = A(x), B(x) = -Ц B(x).

s(x) ' s(x)"

Определение 1. Преобразование системы (2) к виду (5), полученное переходом к дифференцированию по переменной т c помощью равенства (4), называется заменой независимой переменной в области O е П. Замена независимой переменной (4) называется интегрируемой, если существует функция f (x) е C^(O), для которой т = f (x). Иначе замена независимой переменной называется неинтегрируемой.

3. Интегрируемые замены

Утверждение 1. Если в области О С П замена независимой переменной (4) интегрируема, т.е. т = /(х), то в этой области В./ = 0, ] = 1, т, А/ = к.

Доказательство. С одной стороны, т = к(х), с другой, так как замена интегрирует

мая, т = /(х) = А/(х) + ^ В./(х)и7-. Следовательно,

.7 = 1

к(х) = А/(х) + V В. / (х)и..

. =1

Поскольку полученное равенство верно для любых значений управлений, то к(х) = А/(х), В. /(х) = 0, ] = 1, т. Утверждение доказано.

Рассмотрим влияние интегрируемой замены независимой переменной на ранг матрицы управляемости преобразованной системы (5) в некоторой точке х0 Е О. Матрица управляемости многомерной аффинной системы (5) в точке х0 имеет вид

ц7(х°)= (В 1(х0), ..., Вт(х0), аёА В 1(х0), ..., аёА В т (х0), ...,

аё™-1 В 1(х0), ..., аё™-1 Вт(х0)).

Прежде чем сформулировать основной результат докажем вспомогательную лемму.

Лемма 1. Для любых двух векторных полей Р, Q с координатными представлениями

Р(х) = (р1 (х), . . . ,Рп(х))т, О(х) = (91 (х), . . . ,5п(х))т, где Рг, 9г Е С~(О(х0)) и функции рп(х), 9п(х) постоянны в окрестности О(х0) точки х0, их коммутатор [Р, Q] в О(х0) имеет нулевую координату с номером п.

Доказательство. Столбец координат [Р, Q] (х) векторного поля [Р, Q] в точке х Е О(х0) вычисляется по формуле

дО дР

Р Q] (х) = дОР (х) - дхо(х).

дР

Так как координаты с номером п векторных полей Р, Q постоянны, п-е строки матриц , нулевые. Следовательно,

дж

[Р, Q] (х)

/ д<?1 д^1 д<?1 \

дж1 дЖ2 ' ' джп

д^п-1 д^п-1 д^п-1

дж1 дЖ2 ' ' джп

V 0 0 . 0 /

( Р1(х) ^

Рп-1(х) Рп

/ др1 др1 др1 \

дж1 дЖ2 ' ' джп

дрп-1 дрп-1 дрп-1

дж1 дЖ2 ' ' джп

V 0 0 . 0 /

91 (х) \

91 (х

9п-1(х) 9п

(6)

Из формулы (6) следует, что п-я координата коммутатора векторных полей [Р, Q] в окрестности точки х0 равна нулю. Лемма доказана.

Теорема 1. Если в системе (2) в области О с П сделана интегрируемая замена независимой переменной, то ранг матрицы управляемости преобразованной системы (5) меньше п в области О.

Доказательство. Прежде чем в системе (2) перейти к дифференцированию по новой независимой переменной, сделаем замену переменных состояния, которая является невырожденной. Поскольку Af (х) = §гаё f (х) ■ А(х) > 0 при х € О, то вектор-функция §гаё f (х) не является нулевой. Значит, она имеет хотя бы одну ненулевую координату в точке х0 € О. Без ограничений общности будем считать, что это координата с номером п.

Рассмотрим соотношения

¿1 = хь ..., гп-1 = х„_1, гп = f (х), (7)

которые задают отображение Ф : Кп ^ Кп. Матрица Якоби системы функций (7) имеет вид

Ф'(х) =

{ 1 0 0 ... 0 \

0 10 ... 0

д/(ж) д/(ж) д/(ж) д/(ж)

\ дж1 джг '' джп-1 джп /

Определитель матрицы Якоби (8) в точке х0 не равен нулю:

(8)

ае1(Ф'(х0))

к „о^ _ д/(ж)

джп

= 0.

Следовательно, в некоторой окрестности точки Ф(х0) существует обратное отображение Ф-1, определяемое соотношениями

х1 = ¿1, ..., хп_1 = ¿п_1, хп = Ф(г),

и соотношения (7) задают гладкую невырожденную замену переменных в окрестности точки х0. После замены переменных (7) система (2) принимает вид

т _ _

¿3 = а(¿1,... ,^п_1, Ф(г)) + ¿1,... ,^п_1, Ф(г))м, 3 = 1, п - 1;

г=1 (9)

¿п = /(¿1, . . . ^п_1, Ф^)) .

Сделав в системе (9) интегрируемую замену независимой переменной

Т = f (х) = f (¿1,...,2п_1, Ф(¿)),

—„.0

х=х

получаем систему

a(zi,... ,zn-i,

+Е

bji (zi,...

/ (zi,...,z„-i, Ф(г)) ^ /(zi,...,z„-i, Ф(*))

j = ^ n - 1;

zn =1.

Столбцы координат векторных полей А, В7, у = 1, т, системы (10) имеют вид

BBj (z)

( bij (zi,...,zn-i, Ф(г)) \ /(zb...,z„—i, Ф(*))

bn — i ,j (zb . . . Ф(*)) f (zi,...,Zn— i, Ф(*))

A(z) =

( ai(zi,... ,zn—i, Ф(-г)) \ f (zi,...,zn—i, Ф(г))

(zi,...

Ф(*))

f (zi,...,z„—i, Ф(г))

(11)

01

Векторные поля А, В7 с координатными представлениями (11) удовлетворяют условию леммы в окрестности точки х0. Следовательно, координаты с номером п векторных полей аёд В7, у = 1, т, равны нулю в окрестности точки х0. Продолжая рассуждения таким

образом, заключаем, что координаты векторных полей ао~ В7, у = 1, т, к = 2, п — 1, с номером п равны нулю в окрестности точки х0. Итак, строка с номером п матрицы управляемости С/(^1,..., £п-1, Ф(^))) в точке Ф-1(х0) состоит из нулевых элементов, поэтому

rank/(Ф—^x0)) < n

(12)

Так как система функций (7) задает гладкую невырожденную замену переменных состояния в окрестности точки x0, отображение Ф является диффеоморфизмом в этой окрестности. Следовательно, с учетом (12) rank U(x0) < n. Теорема доказана.

Следствие 1. Если в системе (2) в области O С П сделана интегрируемая замена независимой переменной, то преобразованная система (5) не приводится к каноническому виду в области O.

z

4. Преобразование трехмерных аффинных систем к каноническому виду

Рассмотрим частный случай системы (2) при п = 3:

С = Л(£) + АКСК С Е П С К3, т Е К, (13)

т — управление. Если вектор-столбец В0(С) в некоторой точке С0 ненулевой, то в некоторой окрестности этой точки существуют невырожденная замена переменных состояния х = х(С) и замена управлений V = ^(С, т), которые приводят систему (13) к форме

х = А(х) + В(х^, (14)

где

/7i(x)\ 0

A(x) = f2(x) , B (x) = 0

V 0 /

w

Исследуем условия преобразования системы (14) к каноническому виду (3) при п = 3:

(15)

Z2, Z3,

¿3 = f (¿) + ^¿К

где дифференцирование осуществляется по переменной т, введенной с помощью неинте-грируемой замены (4).

Проверим для системы (14) выполнение условия 2 приведения системы к регулярному каноническому виду (см. разд. 1). Инволютивность распределения, порожденного векторными полями В, adA В, равносильна тому, что коммутатор [В, adA В] принадлежит линейной оболочке этих векторных полей.

Вычислим координаты коммутаторов:

adA B(x)

dB(x) ч dA(x) ч v -A(x)--B(x) = -

dx

dx

( dfi(x) \

дхз df2(x) дхз 0

[B, adA B] (x)

д adA B(x) . dB(x) , . A ()B(x) - д-^-Z adA B(x)

dx

dx

( d2fi(x) \

дх3 d2f23x) дх3

03

V

/

Векторное поле [В, adA В] принадлежит линейной оболочке векторных полей В, adA В тогда и только тогда, когда существует функция ^(х) € Сте(П), такая, что в окрестности точки х0 выполнено равенство

[В, adA В] (х) = ^(х) adA В(х).

Таким образом, если выполнено неравенство

дД(х) д^(х) 5f2(x) д2fl(х)

dx3

dx3

dx.3

dx3

= 0,

(16)

то распределение А = span {B, adA B}, порожденное векторными полями B, adA B, не является инволютивным. Это означает, что система (14) не приводится к каноническому виду.

После перехода в системе (14) к дифференцированию по переменной т, введенной с помощью соотношения (4) в области О с П, получим систему

х31

УЮФОг^

/"2 (х) 5 (х) ,

Вводя новое управление м = в(х)^, получим систему

х

х3

х

А + ВМ,

(17)

где

( ^(х)в(х) \ 0

А(х) = /^2(х)5(х) , В(х) = 0

V

0

/

1

Выясним, при каких условиях на функцию з(х) распределение А = span {В, adA В, порожденное векторными полями В, adA В преобразованной системы (17), инволютивно в окрестности заданной точки х0 с О. Пусть

adA В(х0) = 0

(отметим, что это условие является необходимым для невырожденности матрицы управляемости системы (17) в некоторой окрестности точки х0). Тогда необходимым и достаточным условием инволютивности распределения А в некоторой окрестности О(х0) точки х0 является выполнение в этой окрестности равенства

д(5(ж)/1(ж°)) д2(5(ж)/1(ж))

дж3 дж23

д(в(ж)/2(ж)) д2(5(ж)/2(ж))

дж3

дж23

0.

(18)

Для удобства введем следующие обозначения:

д (5(Х)/1(Х))

¿1

дх3

^2

д (5(Х)/2(Х)) дхз '

В этих обозначениях условие (18) имеет вид

- ^ —1 = 0.

дх3 дх3

Записанное равенство в предположении, что ^1(х) = 0, х € О(х0), эквивалентно соотношению

д =0. (19)

дхз \

Уравнение (19) означает, что функция не зависит от х3, т.е. для некоторой функции

f (х1, х2) имеет место равенство

-(5(Х)/2(Х)) -(5(Х)/1(Х))

дх3

дх3

^ (х1,х2 ),

(20)

Для учета соображений симметрии функцию / представим в следующем виде

~ а1(х1,х2)

(х1, х2) =---Г.

«2(х1,х2)

Тогда равенство (20) можно записать в виде

02(ж1,Ж2) + а] (х], х2) = 0. (21)

дх3 дх3

Проинтегрировав (21) по х3, получим

в(х)а2/2(х) + в(х)а1/1(х) = с(хьх2), откуда следует, что функция в(х) имеет следующее представление:

С(х1,х2)

г(х) =-

«1(х1,х2)/1(х) + а2(х1,х2)/2(х) '

или, более коротко

с

5 «1/1 + а2 /2.

Из приведенных выкладок вытекает, что если выбрать функцию 5 по формуле (22), где с, а1, а2 не зависят от х3, то будет выполняться условие (18), т.е. распределение А будет инволютивным.

Пример. Рассмотрим систему

х1 = х2^(х), х2 = х3^(х), х3 = V. (23)

В случае ^(х) = х2 + х2 + х2 система (23) не приводится к регулярному каноническому виду, так как для нее выполнено условие (16). Зададим с(х1,х2) = х2, а1(х1,х2) = 1, а2(х1, х2) = 0. Тогда в области К3 \ {0}

5(х) = .

После перехода к новой независимой переменной т система (23) принимает вид

х1 = х2, х'2 = х3, х'3 = и. (24)

Таким образом, хотя исходная система в области К3 \ {0} не приводилась к регулярному каноническому виду, преобразованная система (24) оказывается системой регулярного канонического вида в той же области.

Рассмотрим условия, при которых система (17) с функцией з(х), имеющей вид (22), в некоторой окрестности данной точки х0 преобразуется к каноническому виду. Для этого достаточно выполнения следующих условий:

1)аёА В(х0) = 0;

2) матрица управляемости и = (В, аёд В, аёА В) в точке х0 невырождена.

При выполнении первого условия, как показано, распределение span {В, adA В} инво-лютивно, так что будут выполнены условия 1-2 из разд. 1, достаточные для того, чтобы система (17) приводилась к регулярному каноническому виду. Отметим, что первое условие необходимо для выполнения второго, поэтому можно ограничиться выполнением лишь второго условия.

Учитывая вид векторных полей А, В, для системы (17) получаем

adJA В(х) = к(х)

( —а \

а1 0

где

к(х) =

с(/1хз т— У2ж з fl) (а1Т + а2 /^2)2 '

Условие adJA В(х0) = 0 эквивалентно выполнению в точке х0 € П неравенства /1Х3 f2 —

— /2Х3 f1 = 0, что равносильно неравенству

т)

/1/ Х3

(25)

а также выполнению неравенства с(х0,х2) = 0 и одного из неравенств а1 (х0) = 0, а2(х0) = 0. Зададим

с = с(х2), а1 = 1, а2 = 0,

с

тогда 5(х) = —. Рассмотрим множество О3 с П, на котором функция з(х) не имеет л

неустранимых особенностей. На этом множестве

«и В = кдх

о Г\

ad2д В = + к

2 дх2

А,

д -дх2-

В результате

0

и=

к дс дж2

\

0 к А(к) — 1 0 0

/

не является вырожденной в каждой точке х0, в которой к(х0) = 0 и

дс(ж0) дж2

= 0.

Итак, если для системы (14) функции Т и Т2 в точке х0 одновременно не обращаются в нуль и также верно условие (25), то можно подобрать такую замену времени Т = з(х), что преобразованная система приводится к регулярному каноническому виду. Например, если /1(х0) = 0, то достаточно выбрать масштабирование времени з(х) в виде (22), где а1 = 1, а2 = 0, а с — произвольная функция, зависящая только от переменной х2 и удовлетворяющая условиям с(х°) = 0, с'(х°) = 0.

0

Заключение

Доказано, что при использовании интегрируемых замен независимой переменной (времени), аффинная система не приводится к каноническому виду. Получен вид масштабирующей функции, задающей неинтегрируемую замену независимой переменной, после выполнения которой аффинная система третьего порядка со скалярным управлением приводится к регулярному каноническому виду.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 11-01-00733,12-01-31303)и Программы Президента РФ по поддержке ведущих научных школ (проект НШ-3659.2012.1).

Список литературы

1. Краснощеченко В.И., Крищенко А.П. Нелинейные системы: геометрические методы анализа и синтеза. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2005. 520 с.

2. Sampei M., Furuta K. On Time Scaling for Nonlinear Systems: Application to Linearization // IEEE Trans. Autom. Control. 1986. Vol. 31, no. 5. P. 459-462. DOI: 10.1109/TAC. 1986.1104290.

3. Respondek W. Orbital Feedback Linearization of Single-Input Nonlinear Control Systems // Proceedings of IFAC NOLCOS'98. Enschede, The Netherlands, 1998. P. 499-504.

4. Guay M. An Algorithm for Orbital Feedback Linearization of Single-Input Nonlinear Affine Systems // Systems Control Letters. 1999. Vol. 38, no. 4-5. P. 271-281.

5. Fang B., Kalker G. Exact Linearization of Nonlinear Systems by Time Scale Transformation // Proceedings of the 2003 American Control Conference, 4-6 June 2003, Denver, Colorado, USA. IEEE, 2003. Vol. 4. P. 3555-3560. DOI: 10.1109/ACC.2003.1244097.

6. Guay M. Orbital Feedback Linearization of Multi-Input Control Affine Systems // Proceedings of the 2001 American Control Conference, 25-27 June 2001, Arlington, VA, USA. IEEE, 2001. Vol. 5. P. 3630-3635. DOI: 10.1109/ACC.2001.946198.

7. Kiss B., Szadecky-Kardoss E. On-Line Time-Scaling Control of a Kinematic Car with One Input // Proceedings of the 15-th Miditerranean Conference on Control and Automation. MED'07, 27-29 July 2007, Athens, Greece. IEEE, 2007. P. 1-6. DOI: 10.1109/MED. 2007.4433947.

8. De Luca A., Oriolo G., Samson C. Feedback control of a nonholonomic car-like robot // In: Robot Motion Planning and Control / J.-P. Laumond (ed.). Springer, 1998. P. 171-253. (Ser. Lecture Notes in Control and Information Sciences; vol. 229). DOI: 10.1007/BFb0036073.

9. ГилимьяновР.Ф., Пестерев А.В., Рапопорт Л.Б. Управление движением колесного робота в задаче следования вдоль криволинейного пути // Известия РАН. Теория и системы управления. 2008. Т. 47, №6. С. 158-165.

10. Hoffner K., Guay M. Geometries of Single-Input Locally Accessible Control Systems // Proceedings of the American Control Conference. ACC'09, 10-12 June 2009, St. Louis, MO. IEEE, 2009. P. 1480-1484. DOI: 10.1109/ACC.2009.5160678.

11. Пестерев A.B. Синтез стабилизирующего управления в задаче следования колесного робота вдоль заданного пути // Автоматика и телемеханика. 2012. № 7. С. 25-39.

12. Respondek W., Pogromsky A., Nijmeijer H. Time Scaling for Observer Design with Linearizable Error Dynamics // Automatica. 2004. Vol. 40, no. 2. P. 277-285.

13. Wang Y., Lynch A. Multiple Time Scaling of a Multi-Output Observer Form // IEEE Trans. Autom. Control. 2010. Vol. 55, iss.4. P. 966-971. DOI: 10.1109/TAC.2010.2041616.

14. Rouchon P., Fliess M., Levine J. Flatness, Motion Planning and Trailers Systems //Proceedings of the 32nd IEEE Conf. on Decision and Control, 15-17 December 1993, San Antonio, USA. IEEE, 1993. Vol. 3. P. 2700-2705. DOI: 10.1109/CDC.1993.325686.

SCIENTIFIC PERIODICAL OF THE BAUMAN MSTU

SCIENCE and EDUCATION

EL № FS77 - 48211. №0421200025. ISSN 1994-0408

electronic scientific and technical journal

Affine system transformations to the canonical form

using change of the independent variable

# 07, July 2013

DOI: 10.7463/0713.0571094

Kasatkina T. S.

Bauman Moscow State Technical University 105005, Moscow, Russian Federation [email protected]

Change of the independent variable (time-scaling) gives an additional degree of freedom for equivalence conversions of dynamical systems. Affine system transformation to the canonical form is a standard technique in the design of nonlinear control systems. In this paper transformations of a stationary affine system to the canonical form, using time-scaling, were investigated. Integratable and non-integratable changes of the independent variable were considered. It was shown, that the affine system can't be transformed to the canonical form using integratable time-scaling. Conditions of the possibility of transformation to the regular canonical form using non-integratable time scaling were obtained for single-input affine systems of the third order.

References

1. Krasnosh'echenko V.I., Krishchenko A.P. Neline'nye systemy: geometricheskie metodianaliza i sinteza [Nonlinear Systems: geometrical methods of analyses and synthesis]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2005. 520 p.

2. Sampei M., Furuta K. On Time Scaling for Nonlinear Systems: Application to Linearization. IEEE Trans. Autom. Control, 1986, vol. 31, no. 5, pp. 459-462. DOI: 10.1109/TAC. 1986.1104290.

3. Respondek W. Orbital Feedback Linearization of Single-Input Nonlinear Control Systems. Proceedings of IFAC NOLCOS'98. Enschede, The Netherlands, 1998, pp. 499-504.

4. Guay M. An Algorithm for Orbital Feedback Linearization of Single-Input Nonlinear Affine Systems. Systems Control Letters, 1999, vol. 38, no. 4-5, pp. 271-281.

5. Fang B., Kalker G. Exact Linearization of Nonlinear Systems by Time Scale Transformation. Proceedings of the 2003 American Control Conference, 4-6 June 2003, Denver, Colorado, USA. IEEE, 2003, vol. 4, pp. 3555-3560. DOI: 10.1109/ACC.2003.1244097.

6. Guay M. Orbital Feedback Linearization of Multi-Input Control Affine Systems. Proceedings of the 2001 American Control Conference, 25-27 June 2001, Arlington, VA, USA. IEEE, 2001, vol. 5, pp. 3630-3635. DOI: 10.1109/ACC.2001.946198

7. Kiss B., Szadecky-Kardoss E. On-Line Time-Scaling Control of a Kinematic Car with One Input. Proceedings of the Miditerranean Conference on Control and Automation. MED'07, 27-29 July 2007, Athens, Greece. IEEE, 2007, pp. 1-6. DOI: 10.1109/MED.2007.4433947.

8. De Luca A., Oriolo G., Samson C. Feedback control of a nonholonomic car-like robot. In: Laumond J.-P. (ed.). Robot Motion Planning and Control. Springer, 1998, pp. 171-253. (Ser. Lecture Notes in Control and Information Sciences; vol. 229). DOI: 10.1007/BFb0036073.

9. Gilim'anov R.F., Pesterev A.V., Rapoport L.B. Upravlinie dvizheniem kolesnogo robota v zadache sledovania vdol' krivolineinogo puti [Motion Planning in the Tracking Problem]. Izvestia RAN. Ser Teoria I systemu upravlenia [Journal of Russian Academy Science. Ser. Control Systems and Theory], 2008, vol. 47, no. 6, pp. 158-165.

10. Hoffner K., Guay M. Geometries of Single-Input Locally Accessible Control Systems. Proceedings of the American Control Conference. ACC'09, 10-12 June 2009, St. Louis, MO. IEEE, 2009, pp. 1480-1484. DOI: 10.1109/ACC.2009.5160678.

11. Pesterev A.V. Sintez stabiliziruyuch'ego upravlenya v zadache sledovan'ya kolesnogo robota vdol' zadannogo puty [Synthesis of a stabilizing control for a wheeled robot following a curvilinear path]. Avtomatika I telemehanika, 2012, no. 7, pp. 25-39. (Trans. version: Automation and Remote Control, 2012, vol. 73, iss. 7, pp. 1134-1144. DOI: 10.1134/S000511791207003X.)

12. Respondek W., Pogromsky A., Nijmeijer H. Time Scaling for Observer Design with Lineariz-able Error Dynamics. Automatica, 2004, vol. 40, no. 2, pp. 277-285.

13. Wang Y., Lynch A. Multiple Time Scaling of a Multi-Output Observer Form. IEEE Trans. Autom. Control, 2010, vol. 55, iss. 4, pp. 966-971. DOI: 10.1109/TAC.2010.2041616.

14. Rouchon P., Fliess M., Levine J. Flatness, Motion Planning and Trailers Systems. Proceedings of the 32nd IEEE Conf. on Decision and Control, 15-17 December 1993, San Antonio, USA. IEEE, 1993, vol. 3, pp. 2700-2705. DOI: 10.1109/CDC.1993.325686.