Преобразование триангуляций при помощи элементарных операций Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2009. Вып. 1

УДК 518

Н. А. Лебединская, Д. М. Лебединский

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИАНГУЛЯЦИЙ

ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОПЕРАЦИЙ*)

Триангуляции плоских областей часто используются для построения пространств аппроксимирующих функций при решении функциональных уравнений. При этом качество аппроксимации зависит и от выбранной триангуляции.

В данной статье рассматривается вопрос о преобразовании одной триангуляции в другую при помощи элементарных преобразований. Для триангуляции поверхностей решение этого вопроса приведено в приложении A.2**). Однако там триангуляции переводятся друг в друга лишь с точностью до изоморфизма, при помощи операций разбиения ребра и удаления ребра путем склеивания его вершин в одну. Здесь же рассматриваются триангуляции плоских многоугольных областей, что позволяет переводить одну триангуляцию в другую точно. Также набор элементарных операций несколько отличается: вместо удаления ребра рассматривается операция, обратная разделению ребра на два путем добавления вершины, т. е. в качестве второй элементарной операции рассматривается удаление вершины в том случае, когда эта вершина является общей вершиной четырех ребер (трех, если вершина лежит на границе области), два из которых лежат на одной прямой.

1. Элементарные операции. Элементарными операциями здесь считаем операции деления ребра (на выбранное ребро s ставится новая вершина v, добавляются ребра, соединяющие v с противолежащими вершинами треугольников, содержащих s, и эти треугольники делятся на два новыми ребрами), и обратная операция - удаление вершины с ребра.

Для удобства также рассматривается операция замены ребра (если два соседних по ребру треугольника образуют выпуклый четырехугольник F, то их общее ребро можно убрать и добавить другую диагональ F). Она может быть реализована как последовательность двух элементарных операций: сначала ставим на общее ребро новую вершину в точку пересечения диагоналей F, а затем удаляем новую вершину с ребра, образованного добавленной диагональю F, что приводит к удалению старого общего ребра соседних треугольников.

Лебединская Наталия Александровна — доцент кафедры параллельных алгоритмов математикомеханического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 7. Научные направления: локальная конечно-элементная аппроксимация, параллельные вычисления. E-mail: [email protected].

Лебединский Дмитрий Михайлович — доцент кафедры параллельных алгоритмов математикомеханического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 3. Научные направления: локальная конечно-элементная аппроксимация, параллельные вычисления. E-mail: [email protected].

+ ) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 07-01-00451 и 07-01-00269).

++) Hoppe H., DeRose T., Duchamp T. et al. Mesh optimization. Dept. of Computer Science and Engineering, University of Washington, TR 93-01-01. January 1993. 33 p.

© Н. А. Лебединская, Д. М. Лебединский, 2009

2. Основная теорема

Лемма 1. Если вершина А в триангуляции - общая для четырех и более треугольников, из них всегда найдутся два соседних, образующих выпуклый четырехугольник.

Доказательство. Пусть А - общая вершина п треугольников, п ^ 4. Тогда сумма углов многоугольника М, образованного треугольниками, одной из вершин которых является А, равна (п — 2)п. Это означает, что среди п вершин М найдутся по крайней мере 3, углы при которых ^ п. Поскольку всего таких вершин ^ 4, из них найдутся 2 не соседних В и С .А тогда углы соответствующих четырехугольников (образованные соседними треугольниками вокруг ребер АВ и АС) при вершине А не пересекаются, и, следовательно, по крайней мере один из них ^ п. Четырехугольник с этим углом и будет, очевидно, выпуклым, поскольку все его углы ^ п.

Лемма 2. Если триангуляция Ті - измельчение Т, то при помощи последовательности элементарных операций из Т1 можно получить Т2, также являющуюся измельчением Т, но дополнительные по отношению к Т вершины Т2 лежат только на ребрах Т.

Доказательство. Для доказательства леммы покажем, что при помощи последовательности элементарных операций можно убрать из Ті одну из дополнительных вершин, лежащую внутри треугольника из Т.

Для этого рассмотрим такую вершину А. Возможны следующие случаи:

1. Она является общей вершиной для трех треугольников. Обозначим соседние с А вершины В, С, В. Тогда, чтобы убрать А, сначала добавим новую вершину Е на ребро СВ в точку пересечения СВ и продолжения АВ. Затем уберем А с ребра ВЕ (вместе с ребрами АС и АВ), и, наконец, уберем Е с ребра СВ. Очевидно, в результате таких действий вершина А исчезла, причем новых вершин не появилось.

2. Вершина А является общей более чем трех треугольников. Покажем, что можно уменьшить число ребер, концом которых является А. Для этого достаточно воспользоваться леммой 1, найдя два соседних по ребру треугольника, образующих выпуклый четырехугольник, и произвести в нем замену ребра.

Лемма 3. Если триангуляция Т1 является измельчением Т, причем все дополнительные вершины Т1 лежат на ребрах Т, то можно превратить Т1 в Т при помощи последовательности элементарных операций.

Доказательство. Покажем, что при помощи последовательности элементарных операций можно удалить одну из дополнительных вершин.

Для этого рассмотрим ребро в одного из треугольников Т и на нем ближайшую к концу А (ребра в) дополнительную вершину V триангуляции Ті. Если из вершины V исходит по одному дополнительному ребру в обоих треугольниках из Т, содержащих в, то ее можно убрать при помощи элементарной операции. Если же по крайней мере в одном из треугольников из нее исходит более одного ребра, можно уменьшить количество таких ребер по крайней мере на 1, применяя операцию замены ребра. Это следует из того, что в данном случае (когда все дополнительные вершины триангуляции Ті лежат на ребрах Т) любая пара соседних треугольников Ті внутри одного треугольника Т образует выпуклый четырехугольник.

Лемма 4. Если триангуляция Ті является измельчением Т, то Т может быть получена из Ті при помощи последовательности элементарных операций.

Доказательство. По лемме 2 при помощи последовательности элементарных операций можно из Ті получить триангуляцию Т2, являющуюся измельчением Т и не содержащую вершин внутри треугольников из Т. Далее, по лемме 3 из Т2 можно получить Т, что и доказывает лемму.

Лемма 5. Для любых двух триангуляций Т и Т\ одной и той же плоской многоугольной области существует триангуляция Т2, являющаяся измельчением как Т, так и Т\.

Доказательство. Т2 получается наложением Т на Т и добавлением новых вершин в местах пересечения ребер Т и Т\, а также новых ребер в случае, если пересечение треугольника из Т и из Т - не треугольник (оно может иметь от 3 до 6 вершин).

Теорема. При помощи элементарных операций любая триангуляция плоской многоугольной области может быть превращена в любую другую.

Доказательство. Пусть Т и Т - две триангуляции одной и той же плоской области. По лемме 5 существует триангуляция Т2, являющаяся измельчением как Т, так и Т\. Тогда по лемме 4 Т может быть преобразована в Т2, а Т2 - в Т\, что и доказывает теорему.

Summary

Lebedinskaya N. A., Lebedinski D. M. Triangulation transformation by elementary operations.

Plane domain triangulations are often used for construction of spaces of approximating functions for solving of functional equations. The quality of the approximation depends on the triangulation chosen. The problem of transformation of one triangulation into another by elementary operations is considered. For surface triangulation transformation the result is known, but it states only the possibility to transform one triangulation into another up to isomorphism. Narrowing the class of the domains being triangulated to plane bounded polygonal domains and choosing as elementary operations the operations of edge split and its inverse (the removal of a vertex common to three at the boundary of the domain or four edges inside the domain, of which two edges belong to the same strait line and the other two edges are located on the different sides with respect to that line) leads to the possibility of transforming one triangulation to another exactly. This theorem follows from the possibility to find one triangulation refinement for any two triangulations, from the possibility to transform any triangulation to every refinement of it by elementary operations, and from the fact that transformations are invertible. The proposed method of triangulation transformation is explicit, i. e., it may be implemented as an algorithm.

Key words: triangulation transformation, edge split, triangulation refinement, vertex removal.

Статья рекомендована к печати проф. Г. А. Леоновым.

Статья принята к печати 7 октября 2008 г.