CC BY
45
УДК 519.688
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПОЗИЦИЙ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Ключевые слова: тригонометрические функции, композиция функций, компьютерная алгебра.
Приводятся алгоритмы преобразования композиции функций, которые содержат тригонометрические функции. Алгоритмы основаны на тригонометрических тождествах и дробно-рациональных преобразованиях. Алгоритмы используются в системе компьютерной алгебры МаЛраг.
1 Введение
Одной из важных задач компьютерной алгебры является задача преобразования композиций трансцендентных функций к определённым видам. Композицию функций можно рассматривать как функциональное дерево. Преобразование функции сводится к некоторой стратегии обхода такого дерева и преобразования его поддеревьев с помощью функциональных тождеств. Будем рассматривать следующие два способа преобразований.
1. Преобразование стоящее в тождественной замене суммы или произведения композиций трансцендентных функций одной трансцендентной функцией или числом. Будем называть такой способ симплификацией.
2. Преобразование, обратное симплификации будем называть разложением.
В этой работе мы рассмотрим преобразования функций, содержащих тригонометрические функции. Для симплификации будем использовать следующие тождества.
© Д. И. Шляпин
1 = 8щ2(а) + со в2 (а),
соз(а: ± /3) = соз(а) сов(/?) 8т(а) зт(/3),
соз(2а) = сов2 (а) — 8т2(а),
8т(а ± /?) = 8т(а) сов(/3) ± соз(а) 8т(/3), зт(2о:) = 2 8т(а)сов(а).
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
2 Переход от композиции трансцендентных функций к рациональной функции многих переменных
Пусть дана функция Г(хх,..., хп), которая является композицией трансцендентных функций. «Листьями» дерева этой функции являются дробно-рациональные функции переменных XI,. .. ,хп.
Выделим все различные трансцендентные функции, которые расположены на верхнем уровне дерева данной функции. Каждая функция, входящая в композицию, является поддеревом дерева данной функции. Заменим каждую из функций новой переменной щ, г = 1,..., к. В результате получим дробно-рациональную функцию Р(хх,... ,хп,щ,... ,ик) от переменных XI, ... , Хп, и\, ..., щ . Преобразуем функцию Р к отношению двух полиномов. Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя, сократим дробь на него. Сохраним его, чтобы учесть в области определения данной функции. После сокращения получим функцию Р = % , где N и й — полиномы.
3 Алгоритм симплификации
Пусть дана композиция функций F.
1. Перейдём от функционального дерева к рациональной функции многих переменных Р = ^ , где N и О — полиномы.
2. Будем упрощать отдельно многочлены N и Б.
Представим многочлены N и £) в виде N = N1 + N2 и Б = + Л2 , где и £>1
содержат одночлены, в которых хотя бы одна переменная является тригонометрической функцией. Полиномы N2 и В2 не содержат переменных, соответствующих
тригонометрическим функциям. Далее преобразовывать будем только N1 и £>1.
0
3. Рассматриваем всевозможные полиномы, образованные парами мономов полинома N1. Каждый из них раскладываем на полиномиальные множители. Если сомножитель содержит более двух мономов, то применяем рекурсивно алгоритм симплификации. Если сомножитель содержит два монома, то пытаемся найти соответствующее тригонометрическое тождество и применить его.
Если можно выполнить симплификацию (1) — (4), то выполняем её и получаем вместо пары один новый моном.
4. Возвращаемся к шагу 3 и повторяем, пока есть хотя бы одно преобразование.
5. Проверяем возможность преобразования по формуле (5) всех мономов полученного многочлена. Если есть хотя бь1 одно преобразование, то выполняем преобразование и возвращаемся к шагу 3.
6. Шаги 3 — 5 выполняем для многочлена .
7. Вводим обратную замену.
4 Алгоритм разложения.
п
Пусть дана функция F = П sin(aj) cos(/3j). Аргументы а* и (Зг являются композиция-
t=i
ми трансцендентных функций, і = 1,... ,п. Если аргументы а* и являются суммами, разностями или делятся нацело на два, то к ним применяются тождества (2) — (5).
1. Аргументы oti и /Зі представим в виде a* = a + 6 и /% = с + d, где а и с — первые мономы соответствующего аргумента, bud — остальные часть аргументов. Применим соответствующие тригонометрические тождества к sin(a + 6) и cos(c+d).
2. Будем повторять шаг 1 до тех пор, пока применимы тождества (2) — (5). Выполняем обратную замену.
5 Примеры
Пример 1. Упростить функцию
sin(?/) cos(x) cos(z) + ln(x) + tg(y) + cos(y) sin(x) cos(z) 4- sin(z) cos(y + x) + x3.
В результате выполнения алгоритма факторизации, получим
.т3 + sin(z + у + х) -f 1п(х) + tg(у).
Пример 2. Представить в виде композиции функцию cos(x3 + х2 + х).
В результате применения к данной функции алгоритма разложения, получим
cos(x3)(cos(x2) cos(x) — sin(x2) sin(x)) — sin(x3)(sin(x2) cos(x) + cos(x2) sin(x)).
Пример 3. Представить в виде композиции функцию cos(cos(x) + sin(x)).
В результате применения к данной функции алгоритма разложения, получим
cos(sin(x)) cos(cos(x)) — sin(sin(x)) sin(cos(x)).
Пример 4. Представить в виде композиции функцию cos(cos(x + 1) + sin(x)).
В результате применения к данной функции алгоритма разложения, получим
(cos(sin(x) sin(l))(cos(sin(x)) c‘os(cos(x) cos(l)) - sin(sin(x)) sin(cos(x) cos(l)))-
(-1) sin(sin(x) sin(l))(sin(sin(x)) cos(cos(x) cos(l)) + cos(sin(x)) sin(cos(x) cos(l)))).
ЛИТЕРАТУРА
1. Хабибулин И. Самоучитель Java 2. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.
2. Ноутон П., Шилдт Г. Java 2. СПб.: БХВ-Петербург, 2008 г.
3. Малашонок Г.И. О проекте параллельной компьютерной алгебры // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Том 14. Вып. 4. 2009. С. 744-748.
4. Малашонок Г.И. Компьютерная математика для вычислительной сети // Вестник Тамбовского университета. Сер.: Естественные и технические науки. Том 15. Вып. 1. 2010. С. 322-327.
5. Малашонок Г.И. О вычислении ядра оператора, действующего в модуле // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. Том 13. Вып. 1. 2008. С. 129-131.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 12-07-00755-а) и программы «Развитие потенциала высшей школы» (проект 2.1.1/10437).
Поступила в редакцию 20 февраля 2012 г.
TRANSFORMATION OF COMPOSITIONS OF FUNCTIONS CONTAINING
TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
© Dmitry Igorevich Shlapin
Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Internatsionalnaya, 33, Tambov, 392000, Russia, Post-graduate Student of Mathematical Analysis Department, e-mail:
shlapin. dmitry@gmail .com
Key words: trigonometric functions, function composition, computer algebra Mathpar. Discusses the algorithms for converting the compositions of functions, which contain trigonometric functions. We use the basic trigonometric identities and rational-fractional transformations. These algorithms are used in computer algebra system Mathpar.
