CC BY
45
2. ЛАЗЕРНЫЕ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
2.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ ОБОБЩЁННО-ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ (АСФЕРИЧЕСКОЙ) ЛИНЗОЙ
Устинов Андрей Владимирович, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник. Институт систем обработки изображений РАН, e-mail: [email protected]
Аннотация: В данной статье приводится обзор действия класса оптических элементов, называемого обобщённо-параболической линзой. Описывается приближённо-аналитический и численный анализ преобразования излучения, выполняемого обобщённо-параболической линзой в рамках различных теорий: геометро-оптической и волновой (параксиальной и непараксиальной).
На основе геометро-оптического анализа определены типы преломляющих асферических поверхностей, описываемых степенной функцией, позволяющие формировать характерные распределения интенсивности на оптической оси. Параксиальное распространение лазерного пучка с начальной произвольной степенной фазовой функцией описано приближёнными аналитическими выражениями, которые качественно согласуются с геометро-оптическим анализом. Для показателей степенной функции 1 и 4 полученные выражения являются точными. Непараксиальный анализ выполнен на основе вычисления интеграла Рэлея-Зоммерфельда с уточняющими поправками. Показано, что существенный рост интенсивности в фокусе происходит при показателе от 1 до 2, причём в середине диапазона достигается максимальная интенсивность.
Ключевые слова: обобщённо-параболическая линза; метод стационарной фазы; распределение интенсивности на оси, глубина фокуса.
2.1. TRANSFORMATION OF RADIATION BY THE GENERALIZED PARABOLIC (ASPHERICAL) LENS
Ustinov Andrey V., PhD in Physics and Mathematics, researcher of the Image Processing Systems Institute of the Russian Academy of Sciences, e-mail: [email protected]
Abstract: An action survey of the optical elements class named by generalized parabolic lens is cited in this paper. The approximately-analytical and numerical analysis of radiation transformation realized by the generalized parabolic lens is described within the limits of different theories: geometrical-optics and wave (paraxial and nonparaxial).
The types of refracting aspherical surfaces described with power function are defined on base of the geometrical-optics analysis. The surfaces allow to form characteristic intensity distributions on an optical axis. A paraxial propagation of laser beam with an initial arbitrary power phase function is described with approximate analytical expressions which are agreed qualitatively with the geometrical-optics analysis. The obtained expressions are precision for exponents 1 and 4. A nonparaxial analysis is implemented on base of calculation of the Rayleigh-Sommerfeld integral with qualifying corrections. It is shown that essential growth of intensity in the focus happens at the exponent value from 1 to 2, at that the maximal intensity is achieved in a middle of the range.
Index terms: generalized parabolic lens; the method of stationary phase; axial intensity distribution, depth of focus.
Введение.
Более ста лет используются частные варианты рефракционных (и отражательных) осесимметричных оптических элементов: параболическая и сферическая линзы. Позднее появились другие их типы. Более полувека прошло с момента присвоения коническому элементу, формирующему протяжённое вдоль оптической оси изображение, названия «аксикон» [1]. Хотя аксиконы использовались и исследовались задолго до своего официального названия [2], именно во второй половине прошлого века этот оптический элемент вызвал повышенный интерес, связанный с бездифракционными свойствами формируемых им пучков [3]. Также имеется много других осесимметричных оптических элементов, отличающихся свойствами формируемого светового отрезка, среди которых: логарифми-
ческий аксикон [4-7], обобщённый аксикон [8] и аксилинза [9]. Если линейные дифракционные аксиконы [10], в том числе спиральные [11], используются для генерации лазерных мод Бесселя [12], то аналог логарифмического аксикона используется для формирования гипергеометрических мод лазерного излучения [13, 14], которые дольше сохраняют свои модовые свойства, чем бесселевы пучки. Интересными свойствами обладает также тандем из линзы и аксикона - линзакон [15-17], который позволяет формировать конические осевые распределения. Описываемая в статье обобщённо-параболическая линза, называемая также фраксиконом [18, 19], включает в себя аксикон и параболическую линзу как частные случаи.
Новые оптические элементы, отличающиеся от классической линзы и аксикона, используются для компенсации аберраций
[20], для улучшения продольного и поперечного разрешения [9, 21, 22], увеличения протяжённости фокуса изображающей системы [23, 24] или его смещения [25], для оптической связи в свободном пространстве [26], а также при оптическом манипулировании [27-29].
В качестве примера использования отражательного элемента можно отметить применение в конструкции мезооптическо-го микроскопа, применяемого в исследованиях в области ядерной физики [21]. Такой микроскоп позволяет получить трёхмерную информацию о следе частицы без перефокусировки по глубине, что существенно ускоряет просмотр.
Одним из классов оптических элементов являются такие, поверхность которых (в геометро-оптическом приближении) или фаза (в рамках волновой теории) описывается степенной функцией /(г) = агу + Ь. Будем называть такие элементы асферическими линзами. Также будем использовать более узкие термины в зависимости от показателя степени у: дробный аксикон при у<1, фраксикон при 1<у<2, и обобщённая линза при у>2.
Фазовые оптические элементы, функция пропускания которых имеет высокий показатель степени от радиуса (у>2), используются для формирования специального вида распределения интенсивности вдоль оптической [30, 31] оси, кодирования волнового фронта с целью увеличения глубины поля изображающей системы [23, 24, 32], а также для уменьшения влияния хроматических аберраций [33]. В то же время внесение волновых аберраций, имеющих также степенную зависимость от радиуса, в острофокусирующую систему позволяет уменьшить размеры фокального пятна [34, 35].
Фраксикон (1<у<2) может заменить набор из линзы и акси-кона в различных сочетаниях [9, 10], позволяя формировать коническое распределение интенсивности вдоль оптической оси, что актуально как в метрологических задачах [19, 22], так и для компактной локализации лазерного излучения [17, 36].
Дробный аксикон (у<1) в дальней зоне дифракции является рассеивающим, а в ближней зоне обладает фокусирующими свойствами аналогично логарифмическому аксикону [7]. При этом дробный аксикон не имеет сингулярных особенностей в центральной точке, свойственных логарифмическому аксико-ну, что облегчает расчет и изготовление. Кроме того, форма волоконных тейперов и зондов ближнепольных микроскопов лучше описывается дробным, чем линейным аксиконом.
Заметим, что использование оптических элементов в ближней зоне требует для их анализа строгой электромагнитной теории, что приводит к существенным затратам вычислительных ресурсов при моделировании. Для быстрого приближённого расчёта можно использовать интегральные операторы распространения [37], а также аналитические оценки, которые затем уточняются более строгими методами.
Мы видим, что различные виды осесимметричных оптических элементов, как рефракционных, так и дифракционных, успешно используются в различных областях практического применения. При этом общего, логически завершённого описания действия такого класса элементов, как обобщённо-параболическая линза, (называемая также фраксиконом) не приводилось. В статье аналитически и численно исследуется этот класс в различных оптических моделях: геометрической и волновой, в том числе в непараксиальной области. А именно, выполняется приближённо-аналитический и численный анализ преобразования излучения, выполняемого обобщённо-параболической линзой в рамках различных теорий: геометро-оптической и волновой (параксиальной и непараксиальной).
1. Геометро-оптический анализ.
В этом параграфе рассматривается геометро-оптический анализ асферической линзы. Хотя его результат нельзя непосредственно переносить на действие ДОЭ, геометро-оптическое рассмотрение позволяет предсказать качественное поведение элементов, причём независимо от наличия парак-сиальности.
Ход лучей через произвольный осесимметричный элемент показан на рисунке 1.
г /\а1 L iC^^T"4^— Z
аД Л4^
О Кг) В j % > с
Рис. 1. Ход лучей через осесимметричный элемент
Если осевое сечение описывается функцией /(Г), то положение мгновенного фокуса от кольца радиусом г даётся выражением:
г(Г) = / (г)--!— --уЦ--Г пт] 1 - (п2 - 1)/ ,2(Г ) +1] . (1) / (Г) п - 1 ь J
Для асферической линзы /(г) = 10 - аг1 (у - положительное число, называемое показателем обобщённой параболы) и из общей формулы (1) получим:
z(r) = z0 - arY +
7^1 - a2 у2r2Y-2 (n2 -1) +1 ayrY-2 (n2 -1)
(2)
С учётом свойств этого выражения и положения границы полного внутреннего отражения, можно выделить три диапазона значений показателя у, в каждом из которых действие элемента качественно одинаково: 0 <у< 1, 1 <у< 2 и у > 2 . Зная зависимость х(т), получаем функцию распределения интенсивности на оптической оси:
dr
I (z) = 2п r--
dz
(3)
Её построение несколько затруднено, так как получение обратной функции Г(I) на основе выражения (2) не всегда возможно аналитически. Тем не менее, результаты приближённого анализа и численных расчётов позволяют сделать следующие выводы о действии элемента в соответствии с показателем степени у. (На рисунках 2-4 показано распределение интенсивности на оптической оси при а = 0,1; п = 1,5 и различных у.)
- при 0 < у < 1 (элемент имеет вогнутый профиль) центральная часть оптического элемента не пропускает лучи из-за полного внутреннего отражения, зато нет ограничений на размер элемента, кроме размера входного зрачка. При уменьшении параметра у периферийные лучи будут пересекать оптическую ось на всё большем удалении от оптического элемента.
- при 1 < у < 2 (промежуточный элемент между аксиконом и параболической линзой) лучи, проходящие через центральную часть линзы, фокусируются непосредственно в вершине линзы. Периферийные лучи фокусируются ближе к поверхности элемента, чем «средние» лучи. Заметим также, что средняя
часть такой линзы работает без аберраций и принимает участие в формировании наиболее интенсивной точки. На основе формул (2) и (3) можно доказать, что на краю фокального отрезка формируется бесконечно яркий фокус.
- при у > 2 (параболическая линза второй и выше степени) лучи, проходящие через центральную часть линзы, фокусируются дальше от элемента, чем периферийные; а вблизи элемента будет область тени. С ростом у периферийные лучи пересекают оптическую ось ближе к плоскости оптического элемента, а центральные лучи распространяются практически параллельно оси. С ростом у центральная часть оптического элемента становится всё более плоской, и всё большая доля лучей пересекает ось вдали от элемента.
Рис. 2. у = 0,4 (пунктирная линия), у = 0,5 (точечная), у = 0,6 (сплошная)
/ / 1 \ \ \
1 •г-., \ \ \
ПТ4^ ' ---- \ ч \ -- *■- у
о
0 5 10 15 г,мм
Рис. 3. у = 2,2 (пунктирная линия), у = 2,5 (точечная), у = 3 (сплошная), у = 5 (штрихпунктирная)
4x104
лем у соответствует комплексная функция пропускания
т(г) = ехр (- г (ка0 г)7) .
В данном параграфе рассматривается действие обобщённо-параболической линзы в параксиальной области (в рамках применимости приближения Френеля). Интеграл, выражающий собой преобразование Френеля, часто приближённо оценивают методом стационарной фазы; здесь вводим понятие модифицированного метода стационарной фазы. Частичное изменение классического метода стационарной фазы применялось в работе [38], но здесь делается дальнейший шаг: медленно меняющийся множитель не полностью выносится за знак интеграла. Если его можно представить в виде произведения двух других множителей (один из них может быть равен константе), то выносится только один множитель, а второй, выбранный таким образом, что можно вычислить интеграл аналитически, пусть и не в элементарных функциях, остаётся. Для изучаемого элемента при освещении плоским пучком провести вычисление возможно в явном виде, так как уравнение, определяющее стационарную точку, всегда разрешимо аналитически.
На основе модифицированного метода стационарной фазы получены аналитические выражения для осевого распределения, формируемого обобщённой линзой в параксиальном приближении. Два типа аналитических выражений обеспечивают высокую точность расчёта в различных диапазонах значений степени обобщённой линзы. Границы диапазонов такие же, как в геометро-оптическом подходе. При у = 1; 2;4 решения являются точными. Точные решения для у = 1;4 (но не для у = 2) получаются непрерывным переходом из приближённых для соответствующих диапазонов.
к «
и' (г) = -—exp(ikz)х |ехр|-г'Р(Г -аг2г&г, г 0
1.1-у
Р = (к а0 У , а =-,
2 га0
(4)
(ка„К )2
б) в)
Рис. 4. у = 1,2 (а), у = 1,5 (б), у = 1,9 (в)
2. Обобщённо-параболическая линза в параксиальной волновой теории.
Естественно, что для получения количественных результатов необходимо рассмотрение действия элемента в рамках волновой теории. Обобщённо-параболической линзе с показате-
и" (г) = -гЪехр(гкг) х | ехр|-г (хт/2 -Ъх)^
0
Ъ = 1/(2кга0)
Оба типа приведены в формуле (4), второй тип получается из первого заменой переменной интегрирования, поэтому при использовании квадратурных формул результат одинаковый. Но приближённо-аналитические выражения будут разными; второй тип даёт более точные результаты при у > 2; иначе точнее первый тип.
Аналитические выражения позволяют получить такие оценки, как протяжённость (глубина) фокуса, частота осцилляций, значение интенсивности в фокусе, и определить параметры, максимизирующие интенсивность. Сравнение точного и приближённого решений для аксикона позволило определить границы применимости классического и частично модифицированного метода стационарной фазы. Несмотря на различие самих выражений в разных диапазонах, уравнение средней
линии интенсивности вне области тени имеет одинаковый вид:
у
'(г) □ (кг)(2-у). Максимальное значение интенсивности для любых значений у достигается вблизи границы области тени.
В силу громоздкости мы не будем описывать вывод решений (он дан в [39]), ограничимся результатами расчётов на их основе. На рисунках 5-7 приведены графики интенсивности вдоль оптической оси при различных показателях у. Введём обозна-
/ (Г ) = -(** Г )' + £ = -Ь(г'-аг2), Го =[ 2а )'\ Г ^)'2
(г0 - ненулевая стационарная точка, гр - точка перегиба). В диапазоне ' < 1 решения выражаются формулами:
и'(г) % ехр[гкг - /р/ (г0
1 Г л (y - 2) 2 I
-expl -г-(R - r0) | -
«L-V ,2 r2-, al, (kz)ld-Y Lp(«2)di
V(2-Y) 71
(5а)
lk(2-y)
7i 7 = (R- roX
k(2 -Y) 2z
■ 2 — —
U" ( z) »- exp[ikz - iß/ (r0)]x W 2 v2-'a2-Y
7 =-r k(2 - y) 7 = R2 - r,2 /к(2 -Y)
VÊ2-T)
(kz')2(2-r) |exp(ii2)di,
(56)
jumjii и
2zalfiR'-' - k1-ß = 5/ (y+ 3),
U(z) = 2zOSi-Z^x|exp(-i-'(kaoR)Y)exp( ■ kR2 V1
(6а)
явно отличающееся от (5а), а при Л > r похоже на (5а):
exp(fe)ГГ.Mr!1j]+ exp[fa-iaf (ГЯ х
U (z) 2z' J j Y-2
xjexpUY(R-ro)2 j-exp[-iY(r, -Г')
(6б)
ij2
fc-T)
exp(ikz)exp[-ia/(r0)]xy2 Y a22 Y (kz)2(2-y) jexp(ii2)di,
ß =--1,
(Y + 3)y(y- 1)
( I Ё 1.Ш
Рис. 6. у = 1,5: I тип - синяя линия, II тип - красная, численное интегрирование - зелёная
В диапазоне 1<'<2 приближение выражения I типа по-прежнему более точное (погрешность менее 10%), чем II типа (погрешность 16%).
В диапазоне '> 2 решение при выражении I типа даётся тремя формулами. При К < гр сохраняется формула (6а). При г < К < г,, г
= 2г0 - гр решение близко к (6б):
и (I) = -ехр(М ГехрГ-,242)-11 + ^ехр [- Р/ (Г0 )]х
expl-iY) (R -
■k(Y-2)/ -,
-exp| -i 2z (ro - r')
(7а)
exp(ikz)expГ ißf (r,
Y a,2 - (kz)2(2-y) Jexp(-ii2)di,
JFY) _ _
1 - - r ^=(R - ^^^
Существенное различие будет при R > ru :
* (z) = -^ [exp(-^r„2 )- - -,bf (, )]X
(7б)
k(Y- 2)
1 4 6 I 11 т
Рис. 5. у = 0,5: I тип - синяя линия, II тип - красная, численное интегрирование - зелёная Сравнение с результатом численного интегрирования выражения (4) показывает, что в диапазоне у < 1 приближение I типа более точное (погрешность менее 7%), чем II типа (погрешность 11%). Можно убедиться, что распределение интенсивности вдоль оптической оси имеет довольно равномерный характер.
В диапазоне 1<'< 2 решение следующее. Выражение II типа сохраняет вид (5б), а выражение I типа изменяется. При К < гр оно примет вид
х2Y2-' а2-' (£г)2<2-'> |ехр(-/£2)ёг, Т = (г0 - гр^
Выражение II типа похоже на (5б):
ч/2 — — ' т
и''(г)% -ехр[/кг-гр/(Г0)] . 2 х'ь' а02-' (кг|ехр(-1»2)&, ' - 2 т
Т1=-Г„ ,т2 = /к<Y^ 1 \ 8г 2 Г0 V 8г
При ' = 4 формула (7в) становится точной:
г Т2 и (г) = - 2кЮ~еХр ('кг) ехр [- Р/ (Г>)] I ехр 2)
Т. =-гп^, Т; = ^
1 Г 442
4000
(7в)
1000
б 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Рис. 7. у = 3: I тип - синяя линия, II тип - красная, численное интегрирование - чёрная
В диапазоне у> 2 более точным является приближение II типа (погрешность менее 13%), чем I типа (погрешность 15%), в отличие от у< 2 область тени теперь располагается вблизи элемента.
Анализируя результаты, можно сказать следующее.
При 0 < у < 1 обобщённая линза позволяет формировать практически равномерное распределение интенсивности. Такое действие аналогично логарифмическому аксикону, но при этом нет особенности в центральной части и не требуется экранирование.
При 1 < у < 2 фраксикон обеспечивает рост интенсивности вдоль оптической оси быстрее линейного (до области тени).
При y>2 обобщённая линза формирует интенсивность, которая имеет максимальное значение вблизи области тени, и при дальнейшем увеличении расстояния убывает.
Таким образом, при 0 < y < 1 и y>2 результаты волновой теории качественно соответствуют геометро-оптическому анализу, а при 1 < y < 2 соответствие есть с начальным участком гра-
1 Y
фика с рисунка 4. Исходя из графиков, можно попытаться объяснить, почему выражение второго типа даёт большую точность при у>2. На малом расстоянии от элемента характер ос-цилляций интенсивности вокруг средней линии, вычисленной на основе выражений обоих типов, существенно отличается, причём погрешность для второго типа больше. Однако при у>2 эта область является теневой и вносит малый вклад в общую погрешность. Кроме того, при у=4 второй тип приводит к точному решению, что означает малую погрешность при близких значениях у из соображений непрерывности.
Также проводился анализ поперечного распределения при плоском падающем пучке и дифракции Гауссова пучка на обобщённой линзе. Однако эти результаты выходят за рамки данного обзора, частично они приведены в [39, 40].
3. Обобщённо-параболическая линза в непараксиальной области.
Приближение Френеля не всегда применимо, а некоторые эффекты, предсказываемые геометро-оптической теорией, могут наблюдаться только в непараксиальной области. Поэтому естественно рассмотреть действие фраксикона и в этой области, что сделано в данном параграфе. Для этого необходимо вычисление интеграла Рэлея-Зоммерфельда, причём в его полном виде (в сумме гк -1/ г не пренебрегаем вторым слагаемым). Надо сказать, что полный вид даже удобнее для приближённо-аналитических расчётов. В этом его положительное свойство по сравнению, например, с методом ВКБ в квантовой механике [41, §9 главы VI], где желательное дополнительное слагаемое вводится искусственно, что сужает область применимости метода ситуацией, когда добавочное слагаемое мало.
При рассмотрении поля на оптической оси и наличии радиальной симметрии преобразование Рэлея-Зоммерфельда выражается формулой:
E (0Д
» exp(ikVr2 + z2 , ^
I z) = -zJ Eo(r) X >\ik--,-5—jr r dr (9)
о (r + z2) ^ Vr2 + z2 )
E(0,0, z) = E0 (0) exp(ikz) - E0 (R)-pdE0(r) exP(lk^r2 + z2)
z • exp
(iWR2 + z2)
4RF
(10)
•Jd
dr
-dr
Получим выражение:
E(0,0, z) и E, (z) - izy {ka)' X A {r) exp [ r
V"{r0 )| {
J exp(ii2 )dt
E,(z) = exp(lkz) - exp(-i (ka0R)r
xp^ikJR7
■JR1 + z!
(11)
A{r ) =
f0
vi r0 ) = Wr02 +z 2 -(kar
где E0(r) - амплитуда входного поля.
Применение метода стационарной фазы (и многих других приближённых методов) напрямую к интегралу (9) в силу их приближённости не гарантирует получения решения, удовлетворяющего граничному условию limE(0,0,z) = E0(0), что существенно при анализе ближней зоны. Такого неприятного эффекта можно избежать, если произвести в (9) интегрирование по частям:
VI . 2
г + г
Для выражения (10) граничное условие выполняется независимо от погрешности вычисления интеграла. Оно похоже на интеграл Рэлея-Зоммерфельда второго типа, но отличается от него наличием внеинтегральных слагаемых.
При падении плоского пучка на обобщённо-параболическую линзу амплитуда входного поля равна Е0(г) = ехр(-г(ка0г)т). Метод стациионарной фазы применяется к интегралу в выражении (10), которое перепишем в
я
виде Е(0,0,г) = Е1(г) - гу(ка0) г • |А(г)ехр(гу(г))(1г .
¡1 = -г„4 к"(гл)|/2, ^ = (я - гл У^"(гл)/2
В (11) г0 - стационарная точка, определяемая из уравнения
(ка0 )>0?-1=(кг0)/л/гг+г2.
К сожалению, в отличие от преобразования Френеля, здесь уравнение стационарной точки разрешимо аналитически лишь в некоторых частных случаях, хотя само уравнение имеет одинаковый вид для любого показателя степени. Однако свойства функции, выражаемой этим уравнением, принципиально различаются в различных диапазонах значений показателя. При этом границы диапазонов такие же, как в геометро-оптическом подходе и преобразовании Френеля. В типичных ситуациях аналитически можно найти не саму амплитуду, а только некоторые характерные признаки распределения на оси: границу тени («естественной» или происходящей от наличия входного зрачка), позицию наибольшей интенсивности, порядок роста/убывания интенсивности в некоторой области.
Аналитические расчёты и численное моделирование, проведённые для всех диапазонов у, приводят к следующим заключениям.
Для фраксикона с 0 < у < 1 стационарная точка - единственная. Результаты, полученные численным интегрированием, показывают хорошее согласование с аналитической оценкой границы тени. На численных примерах показано, что с уменьшением значения параметра у световой отрезок, формируемый фраксиконом вдоль оптической оси, становится более протяженным и равномерным по интенсивности. При этом происходит увеличение максимального диаметра светового отрезка. Однако относительное уширение светового отрезка происходит медленнее, чем его удлинение. Это может быть использовано в приложениях, где размер светового пятна порядка одной длины волны является удовлетворительным, но требуется более длинный и равномерный световой отрезок, чем обеспечивает линейный аксикон.
В ближней зоне при 0 < у < 1 приближение метода стационарной фазы (даже модифицированного) является недостаточно точным. В этой области необходимо введение дополнительных поправок, которые позволяют согласовать аналитические и численные результаты. Их физический смысл состоит в учёте влияния затухающих волн в непосредственной близости от оптического элемента.
Численный расчет показал, что дробные аксиконы с у<1 в плоскости максимальной интенсивности формируют центральное световое пятно примерно одинакового размера ^МНМ=0,39Х). Однако с уменьшением параметра у уменьшается интенсивность светового пятна. Это связано с тем, что элементы в этом случае становятся более высокоапертурными, и основная энергия идет в затухающие волны. В ближней зоне дробный аксикон, степень которого значительно меньше единицы, позволяет формировать световое пятно, имеющее как продольный, так и поперечный размер порядка одной десятой длины волны (результаты численного моделирования показаны на рисунке 8). Заметим, что данный результат получен в скалярной теории дифракции и соответствует лишь одной компоненте электрического поля.
r
а) -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
3.7
3.5
3.3
0.1
-it
б) -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 Рис. 8. Поперечное распределение интенсивности на расстоянии (а) z=0,0lX, (б) z=0,lX для у=0,8 (серая линия), у=0,5 (тонкая черная линия), у=0,25 (толстая черная линия) Наиболее интересные результаты получаются в диапазоне фаза к4~г
1 < у < 2, где суммарная
Jr + z - (кa0r)Y
точку перегиба. Метод стационарной фазы предсказывает, что это свойство должно привести к особенно большому максимуму интенсивности, что доказано аналитически и подтверждено численным моделированием. Для корректного вычисления амплитуды вблизи точки фокуса необходимо в методе стационарной фазы использовать приближение более высокого порядка, чем в его традиционном использовании. Аналитически получено значение фокусного расстояния
ч1/2(т-1)
1 | 2-у
"f
2 2 у
Y ас'
Результаты моделирования приведены на рисунке 9. На нём приведены графики, показывающие, что при одинаковой числовой апертуре фраксикон обеспечивает лучшую концентрацию энергии, чем аксикон и линза. Численное моделирование показало, что при высоких числовых апертурах фраксикон с показателем степени, близким к 3/2, фактически является аналогом безаберрационной (гиперболической) линзы с функцией пропускания
с(r) = exp (-¡кф2 + f2),
которая обеспечивает наибольшую интенсивность в точке фокуса при падающем плоском ограниченном пучке. При одинаковом фокусном расстоянии f= 5,14Х размер светового пятна для гиперболической линзы равен 0,514Х, что на 1% больше, чем для фраксикона (0,51Х) при росте интенсивности на 4%.
5 00
300
100
/\
1 \ 1 \
1 1 \ : \ / у \
z/X
10 12
14
а)
500
300
100
S / \ \
/ ...• (/' \ ■х/\ Ч/
\
"^■'тТГгг -СГГ-С х/'к
-1,0
-0,5
0,5
1,0
б)
имеет
Рис. 9. Распределения интенсивности вдоль оптической оси (а) и в
плоскости максимального значения (б) для асферических линз (у=1, а0=0,95 - сплошная линия, у=1,5, а0=0,185 - штрихпунктирная линия, у=2, а0=0,087 - точечная линия)
Рассмотрено действие фраксикона с показателем степени у>2. Для частного значения у=3 получено приближённо-аналитическое выражение для комплексной амплитуды на оптической оси, а для других значений показателя - выражения, достаточно точные вблизи оптического элемента и вдалеке от него. В последнем случае приведены границы расстояний, начиная с которых эти выражения применимы. Особенностью этого диапазона является наличие теневой области вблизи элемента и очень длинный медленно тускнеющий фокальный отрезок после границы тени.
Более подробное описание действия обобщённо-параболической линзы в различных моделях приведено в работах [42-47].
Заключение.
В итоге имеем следующие результаты.
1. На основе геометро-оптического анализа определены типы преломляющих асферических поверхностей, описываемых степенной функцией, позволяющие формировать характерные распределения интенсивности на оптической оси. Приближённо равномерное распределение формируется при использовании поверхности с показателем степени у<1 (дробный акси-кон). Для формирования продольного отрезка с теоретически бесконечной интенсивностью на краю необходимо использовать поверхность с 1<у<2 (фраксикон). При у>2 распределение интенсивности вдоль оси характеризуется начальной теневой областью, после которой начинается неограниченный световой отрезок с постепенно убывающей интенсивностью.
2. Параксиальное распространение лазерного пучка с начальной произвольной степенной фазовой функцией описано приближёнными аналитическими выражениями, которые качественно согласуются с геометро-оптическим анализом. Лучшее согласование наблюдается при у<1 и у>2. Для показателей степенной функции у=1 и у=4 полученные выражения дают точный результат.
3. На основе непараксиального анализа распространения пучка со степенной фазовой функцией показано, что существенный рост интенсивности в фокусе происходит в диапазоне 1<у<2, причём в середине диапазона достигается максимальная интенсивность. Полученные аналитические выражения с уточняющими поправками основаны на вычислении интеграла Рэлея-Зоммерфельда.
Благодарности
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, а также Российского фонда фундаментальных исследований (грант 16-07-00825). Список литературы:
1. McLeod J.H. The axicon: a new type of optical element // Journal of the Optical Society of America. - 1954. - Vol. 44. - P. 592-597.
2. Jaroszewicz Z., Burvall A., and Friberg A.T. Axicon - the most important optical element // Optics & Photonics News, April 2005.
3. Durnin J., Miceli J.J., Jr., and Eberly J.H. Diffraction-free beams // Physical Review Letters. - 1987. - V. 58. - P. 1499-1501.
4. Sochacki J., Jaroszewicz Z., Staroiski L.R., and Kolodziejczyk A. Annular-aperture logarithmic axicon // J. Opt. Soc. Am. A. - 1993. - Vol. 10, N 8. - P. 1765-1768.
5. Jaroszewicz Z., Sochacki J., Kolodziejczyk A., and Staronski L.R. Apodized annular-aperture logarithmic axicon: smoothness and uniformity of the intensity distribution // Optics Letters. - 1993. - Vol. 18. - P. 1893-1895.
6. Golub I., Chebbi B., Shaw D., and Nowacki D. Characterization of a refractive logarithmic axicon // Optics Letters. - 2010. - Vol. 35. - P. 2828-2830.
7. Хонина С.Н., Балалаев С.А. Сравнительный анализ распределений интенсивности, формируемых дифракционным аксиконом и дифракционным логарифмическим аксиконом, Компьютерная оптика, 33(2), 162-174 (2009)
8. Sochacki J., Kolodziejczyk A., Jaroszewicz Z., and Bara S. Nonparaxial design of generalized axicons // Applied Optics. - 1992. - Vol. 31. - P. 5326-5330.
9. Davidson N., Friesem A.A., and Hasman E. Holographic axilens: high resolution and long focal depth // Optics Letters. - 1991. - Vol. 16, Issue 7. - P. 523-525.
10. Vasara A., Turunen J., and Friberg A.T. Realization of general nondiffracting beams with computer-generated holograms // J. Opt. Soc. Am. A. - 1989. - Vol. 6. - P. 17481754.
11. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Soifer V.A., Shinkaryev M.V., Uspleniev G.V. Trochoson // Opt. Commun. - 1992. - Vol. 91. - No. 3-4. - P. 158-162.
12. Khonina S.N., Kotlyar V.V. Bessel-mode formers // Proceedings of SPIE. - 1994. -Vol. 2363. - P. 184-190.
13. Kotlyar V.V., Skidanov R.V., Khonina S.N., and Soifer V.A. Hypergeometric modes // Optics Letters. - 2007. - Vol. 32, No. 7. - P. 742-744.
14. Khonina S.N., Balalayev S.A., Skidanov R.V., Kotlyar V.V., Paivanranta B., Turunen J. Encoded binary diffractive element to form hyper-geometric laser beams // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. - 2009. - Vol. 11. - P. 065702.
15. Koronkevich V.P., Mikhaltsova I.A., Churin E.G., and Yurlov Yu.I. Lensacon // Applied Optics. - 1993. - Vol. 34(25). - P. 5761-5772.
16. Parigger C., Tang Y., Plemmons D.H., Lewis J.W.L. Spherical aberration effects in lens axicon doublets: theoretical study // Applied Optics. - 1997. - Vol. 36(31). - P. 8214-8221.
17. Хонина С.Н., Казанский Н.Л., Устинов А.В., Волотовский С.Г. Линзакон: непараксиальные эффекты // Оптический журнал. - 2011. - Т. 78, № 11. - C. 44-51.
18. Хонина С.Н., Волотовский С.Г. Фраксикон - дифракционный оптический элемент с конической фокальной областью // Компьютерная оптика. - 2009. - Т. 33, №4. - С. 401-411.
19. Khonina S.N., Ustinov A.V., Volotovsky S.G. Fractional axicon as a new type of dif-fractive optical element with conical focal region // Precision Instrument and Mecha-nology. - 2013. - Vol. 2, Iss. 4. - P. 132-143.
20. Mezouari S., and Harvey A.R. Phase pupil functions for reduction of defocus and spherical aberrations // Optics Letters. - 2003. - Vol. 28, No. 10. - P. 771-773.
21. Батусов Ю.А., Сороко Л.М. История зарождения мезооптики // Физика элементарных частиц и атомного ядра. - 2009. - Т. 40, № 2. - С. 457-496.
22. Хонина С.Н., Устинов А.В. Формирование конической фокальной области при острой фокусировке // Известия Самарского научного центра РАН. - 2013. -Т.15, №6 - С. 23-30.
23. Dowski E.R., Jr. and Cathey W.T. Extended depth of field through wave-front coding // Applied Optics. - 1995. - Vol. 34, N 11. -P. 859-1866.
24. Khonina S.N., Demidov A.S. Extended depth of focus through imaging system's phase apodization in coherent and incoherent cases // Optical Memory and Neural Networks (Allerton Press). - 2014. - V. 23, No. 3. - P. 130-139.
25. Li J., Gao X., Zhuang S., Huang C. Focal shift and focusing properties generation by radial cosine phase masks // Optik. - 2010. - Vol. 121. - P. 821-825.
26. Jia J., Zhou C., Liu L. Superresolution technology for reduction of the far-field diffraction spot size in the laser free-space communication system // Opt. Communications - 2003. - Vol. 228. - P. 271-278.
27. Котляр В.В., Ковалёв А.А., Скиданов Р.В., Хонина С.Н. Некоторые типы гипергеометрических лазерных пучков для оптического микроманипулирования // Компьютерная оптика. - 2008. - Т. 32, № 2. - С. 180-186.
28. Ahlawat S., Verma R.S., Dasgupta R., Gupta P.K. Long-distance optical guiding of colloidal particles using holographic axilens // Applied Optics. - 2011. - Vol. 50, N 13. -P. 1933-1940.
29. Скиданов Р.В., Хонина С.Н., Морозов А.А. Оптическое вращение микрочастиц в гипергеометрических пучках, сформированных дифракционными оптическими элементами с многоуровневым микрорельефом // Оптический журнал. -2013. - Т. 80, № 10. - C. 3-8.
30. Хонина С.Н., Устинов А.В. Расчёт линз для формирования параксиального продольного распределения в соответствии с их пространственным спектром // Компьютерная оптика. - 2013. - Т. 37, № 2. - С. 193-202.
31. Khonina S.N., Ustinov A.V. Lenses to form a longitudinal distribution matched with special functions // Optics Communications. - 2015. - Vol. 341, - P. 114-121.
32. Khonina S.N. and Ustinov A.V. Generalized apodization of an incoherent imaging system aimed for extending the depth of focus, // Pattern Recognition and Image Analysis. - 2015. - Vol. 25, N 4. - P. 626-631.
33. Wach H., Dowski E.R., and Cathey W.T. Control of chromatic focal shift through wavefront coding // Applied Optics. - 1998. - Vol. 37. - P. 5359-5367.
34. Khonina S.N., Pelevina E.A. Reduction of the focal spot size in high-aperture focusing systems at inserting of aberrations // Optical Memory and Neural Networks (Information Optics), Allerton Press. - 2011. - V. 20, No. 3. - P. 155-167.
35. Khonina S.N., Ustinov A.V., and Pelevina E.A. Analysis of wave aberration influence on reducing focal spot size in a high-aperture focusing system // J. Opt. - 2011. -Vol. 13. - P. 095702 (13pp)
36. Хонина С.Н., Волотовский С.Г. Исследование применения аксиконов в высо-коапертурной фокусирующей системе, Компьютерная оптика. - 2010. - Т. 34, № 1.
- С. 35-51.
37. Totzeck M. Validity of the scalar Kirchhoff and Rayleigh-Sommerfeld diffraction theories in the near field of small phase objects // J. Opt. Soc. Am. A. - 1991. - Vol. 8(1).
- P. 27-32.
38. Голуб М.А., Казанский Н.Л., Сисакян И.Н., Сойфер В.А., Харитонов С.И. Дифракционный расчёт оптического элемента, фокусирующего в кольцо // Автометрия. - 1987. - № 6. - С. 8-15.
39. Устинов А.В., Хонина С.Н. Обобщённая линза: анализ осевого и поперечного распределения // Компьютерная оптика. - 2013. - Т. 37, № 3. - С. 305-315.
40. Хонина С.Н., Устинов, А.В. Дифракция Гауссова пучка на обобщённой линзе // Компьютерная оптика. - 2013. - T. 37, № 4. - C. 443-450.
41. Мессиа, А. Квантовая механика, том 1, пер. с франц., М., Физматлит - 1978.
42. Устинов А.В., Хонина С.Н. Геометро-оптический анализ обобщённой рефракционной линзы // Известия Самарского научного центра РАН. - 2012. - Т.14, №4 - С. 28-37.
43. Устинов А.В., Карсаков А.В., Хонина С.Н. Сравнительный анализ параболической линзы и аксикона в моделях геометрической и скалярной параксиальной оптики // Вестник Самарского государственного аэрокосмического университета. - 2012. - Т.35, №4 - С. 230-239.
44. Устинов А.В., Хонина С.Н. Анализ дифракции плоского пучка на рассеивающем фраксиконе в непар-аксиальном режиме // Компьютерная оптика. -2014. - Т. 38, №1 - С. 42-50.
45. Устинов А.В., Хонина С.Н. Расчёт дифракции плоской волны на рассеивающем дробном аксиконе с учётом затухающих волн // Известия Самарского научного центра РАН. - 2014. - Т.16, №4 - С. 34-41.
46. Устинов А.В., Хонина С.Н. Фраксикон как гибридный элемент между параболической линзой и линейным аксиконом // Компьютерная оптика. - 2014. - Т. 38, № 3. - С. 402-411.
47. Устинов А.В. Теоретический анализ действия фраксикона с большой глубиной фокуса в рамках волновой модели // Известия Самарского научного центра РАН. - 2014. - Т. 16, №6. - С. 32-37.
РЕЦЕНЗИЯ
на статью «Преобразование излучения обобщённо-параболической (асферической) линзой» автора А.В. Устинова
Различные осесимметричные оптические элементы широко используются в практических приложениях. Одним из крупных классов таких элементов является обобщённо-параболическая (асферическая) линза, характерным параметром которой является показатель степени в уравнении, описывающем её форму. Действие таких линз уже описывалось в ряде статей, в том числе и того же автора. Но это были либо некоторые конкретные элементы (например, конический акси-кон), либо рассматривался диапазон значений показателя, но только в одной модели. Таким образом, тема статьи является актуальной, и в ней дано общее описание действия обобщённо-параболических линз.
Научный уровень представляемой статьи достаточно высокий. Выполнен теоретический анализ преобразования излучения в рамках различных теорий: геометро-оптической и волновой (параксиальной и непараксиальной). Разделение на три класса в зависимости от значения показателя степени произведено не произвольно, а на основании свойств математических выражений, описывающих действие линзы. При расчёте амплитуды поля в волновой теории применялся модифицированный метод стационарной фазы, результаты которого при необходимости корректировались. В параксиальной теории для некоторых значений показателя приближённо-аналитические выражения для амплитуды являются точными. Многие теоретические выводы подкреплены результатами численного моделирования.
В качестве недостатка можно отметить ограниченность вычислением амплитуды только на оптической оси, хотя в тексте есть упоминание о распределении амплитуды и в поперечной плоскости. Это в определённой мере можно объяснить обзорным характером данной статьи и ограничением редакции на объём. В целом статья производит положительное впечатление.
Статья хорошо оформлена, включает достаточное количество теоретических выводов и рекомендуется к публикации в журнале «Computational nanotechnology».
Руководитель Института систем обработки изображений РАН - филиала
Федерального государственного учреждения
«Федеральный научно-исследовательский центр
«Кристаллография и фотоника», Российской академии наук»,
д-р физ.-мат. наук, профессор
Казанский Н. Л.
