Преобразование Френеля в моделировании голограмм Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.417: 535.421

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФРЕНЕЛЯ В МОДЕЛИРОВАНИИ ГОЛОГРАММ

Артём Левонович Пазоев

Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, магистрант кафедры фотоники и приборостроения, тел. (383)291-00-92, e-mail: shoydin@ssga.ru

Сергей Александрович Шойдин

Сибирский государственный университет геосистем и технологий, 630108, Россия, г. Новосибирск, ул. Плахотного, 10, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры фотоники и приборостроения, тел. (383)291-00-92, e-mail: shoydin@ssga.ru

В работе определены требования дискретизации при вычислении дискретного преобразования Френеля, формирующего объектную волну при записи голограмм. Рассмотрены два метода построения формируемого изображения. Обнаружено, что опознавание образа происходит с разной скоростью для амплитуды и фазы полученного преобразованием изображения. Причём, существенное значение для опознавания образа в целом и его деталей имеет сам способ суммирования матриц комплексных величин, а именно, в первом случае, отображения последовательно каждой объекта во все точки изображения, а во втором, отображение всей матрицы объекта в каждую точку изображения.

Ключевые слова: голограмма, цифровая голография, преобразование Френеля, сжатие изображений.

FRENEL TRANSFORMATION IN HOLOGRAM MODELING

Artem L. Pazoev

Siberian State University of Geosystems and Technologies, 10, Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russia, Graduate, Department of Photonics and Device Engineering, phone: (383)291-00-92, e-mail: shoydin@ssga.ru

Sergey A. Shoydin

Siberian State University of Geosystems and Technologies, 10, Plakhotnogo St., Novosibirsk, 630108, Russia, Ph. D., Associate Professor, Department of Photonics and Device Engineering, phone: (383)291-00-92, e-mail: shoydin@ssga.ru

This article shows the requirements of discretization in calculating the discrete Fresnel transform that forms the object wave when recording holograms. Two methods for constructing the formed image are considered. It is found that the identification of the image occurs at different speeds for the amplitude and phase of the resulting image transformation. Moreover, essential for the identification of the image as a whole and its details has the very method of summing matrices of complex quantities in the first case, display sequentially each point of the object at all points of the image, and in the second, display the entire matrix of the object at each point of the image.

Key words: hologram, digital holography, Fresnel transform, image compression.

При записи голограмм используются схемы, формирующие объектный и опорный пучок, обобщённый вид которых приведён на рис. 1.

4

Ф.П.{т(Е)}

Г.

и,1(х1,у1)

и1(х1,у1)

Уо* и0(х0,у0)

Рис. 1. Обобщённая схема записи голограмм:

1 - лазер, 2 - коллиматор, 3 - зеркало, 4 - объект, Ф. П. - фотоматериал, Г. - голографируемая интерференционная картина (голограмма)

Когерентное излучение элементами схемы 1, 2, 3 формирует опорный пучок и элементами 1, 2, 4 - объектный. В результате интерференции объектного и опорного пучков в плоскости фотоматериала образуется интерференционная картина, образующая голограмму [1]. Излучение, проходящее между объектом и голограммой, трансформируется по закону преобразования Френеля [2], которое используется в ряде задач голографии и оптической обработки информации [3]:

^■к ■ г

и1 (х1; У ) = -гт~ Л ио (хо; Уо )■е

i ■ а ■ г"3,3

'((х1" хо )2 +((" Уо )2

dy(

о

(1)

где и0(х0;уо) - комплексная амплитуда излучения сформированного объектом, и1(х1;у1) - комплексная амплитуда излучения от объектного пучка в плоскости голограммы, к - длина волны излучения, к=2п/к - волновое число, г - расстояние от объекта до фотоматериала, регистрирующего голограмму. При освещении тем же самым опорным пучком голограмма восстанавливает комплексную амплитуду светового поля и1(х1;у1):

и1' (х1; У1 ) = и 1 (х1; У1 )■ \г (х1; У1 ) ■*(Е)

(2)

где т(Е) - в общем случае, нелинейный фотоотклик голографического материала. В нашем случае полагаем \г(х1;у1)\=1 и т(Е)=сот1.

1 Хо

Уо* и0(х0,у0)

Г.

2

и\(хьу1)

Рис. 2. Обобщённая схема восстановления голограмм: 1 - объект, Г. - голограмма, 2 - наблюдатель

Голограмма Г., освещаемая опорным пучком г(х;у), восстанавливает комплексную амплитуду и1(х1;у1), наблюдая которую видим изображение ио(хо;уо).

При численном моделировании процесса записи голограмм возникают проблемы дискретизации представления объекта (и0) и его френелевского образа (и1), которые приводят к ограничению разрешения объекта [4] и образа, что в свою очередь приводит к появлению дублей изображения. Подбором параметров к и г, можно увести эти дубли за пределы поля видимого наблюдателем изображения.

I ■ кл ■ г ( I-к

и1 (Пы)=^ ио(т)е

у

1'кЛ ( V

—• к )

V J

и, = £ и, (пи),

к1

(3)

(4)

где и0(т^ = и0(х0;у0) - комплексная амплитуда излучения сформированного объектом, и1(пк1)=и1(х1;у1) - комплексная амплитуда излучения от объектного пучка в плоскости голограммы, кк=2п/к - волновое число.

В работе проверялось два метода дискретного формирования преобразования Френеля. Первый заключался в определении амплитуды (1) и фазы (1) в каждой точке образа (из рис. 1) по сумме всех (тгу) точек объекта, каждая из которых умножена свой комплексный коэффициент из ядра преобразования Френеля, а второй в определении всего поля точек (пгу) образа последовательным суммированием вклада в их образ Френеля каждой из точек объекта.

На рис. 3 показаны исходный объект (а - амплитуда, б - фаза) и результат преобразования Френеля (в - амплитуда, г - фаза). Исходный объект представ-

ляет собой массив комплексных чисел вида (и0вхр(1ф)), где и0 - амплитуда светового поля, а ф - его фаза. Интенсивность показана на рис. 3а, как квадрат и0. В вычислениях (3,4) использовалась амплитуда и0. Фаза волны, рассеянной объектом, показана на рис. 3б. Результат суммирования (4) по случайной последовательности всех точек объекта Шу приведён на рис. 3в.

а) б)

г)

Рис. 3. Объект (а - амплитуда; б - фаза); Результат преобразования Френеля (в - амплитуда; г - фаза). Представленные результаты суммирования соответствуют 0.00024% (10 точек), 12% (500415 точек), 25% (1041475 точек), 50% (2081975 точек), 75% (3122475 точек), 100% (4161600 точек) объекта размером (ш=/;Д соответственно. В нашем случае, ш равнялась 2040x2040.

Изображение вычислялось размером (и=к7=204х204)

Другой случай, когда сразу формируется матрица пк1 изображения от каждой из Шу точек объекта, приведён на рис. 4. Видно, что изображение появляется как набор значений амплитуды и фазы в заданной точке, а набор этих точек, в нашем случае определялся случайным образом.

Причём, в первом случае контуры изображения быстрее узнаются по фазе преобразования Френеля (ср. 3г2 и 4г2), а во втором - по амплитуде (ср. 4а2 и 4б2) Одновременно заметим, что детали изображения быстрее появляются

в амплитуде преобразования Френеля, в первом методе (см. рис. 3в3), чем во втором методе (рис. 4а4). Это отчасти проливает свет на вопросы информационного содержания в изображениях. По крайней мере, ставит вопрос об их информационном содержании.

б)

Рис. 4. Результат преобразования Френеля (а - амплитуда; б - фаза). Представленные результаты суммирования соответствуют 0.024% (10 точек), 12% (5007 точек), 25% (10404 точек), 50% (20820 точек), 75% (31245 точек), 100% (41616 точек) изображения, размером (и=к7=204х204)

Рассмотренные варианты преобразования Френеля могут быть использованы для моделирования процессов записи голограмм и распознавания образов, а также является первым шагом в рассмотрении процессов сжатия комплексных (3Б) изображений.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Денисюк Ю. Н. Об отображении оптических свойств объекта в волновом поле рассеянного излучения. - ДАН СССР. - 1962. - Т. 44. - С. 1275.

2. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. - М. : Наука, 1973.

3. Шойдин С. А. Методы оптической обработки информации. - Новосибирск : СГГА, 2008. - 124 с.

4. Шойдин С. А., Пазоев А. Л. Определение требований к вычислительной системе для синтеза голограмм // Интерэкспо ГЕО-Сибирь-2017. XIII Междунар. науч. конгр. : Магистерская научная сессия «Первые шаги в науке» : сб. материалов в 2 т. (Новосибирск, 17-21 апреля 2017 г.). - Новосибирск : СГУГиТ, 2017. Т. . - С. 49-53.

© А. Л. Пазоев, С. А. Шойдин, 2018