Преобразование электромагнитного импульса временным возбуждением среды в полупространстве Текст научной статьи по специальности «Физика»

Нерух Александр Георгиевич, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: нестационарная электродинамика. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40-93-72.

Рыбин Олег Николаевич, аспирант кафедры высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: распростране-

ние электромагнитных волн в нестационарных средах. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40-93-72.

Щербатко Игорь Владимирович, доцент кафедры высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: нестационарная электродинамика. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40-93-72.

УДК 537.87; 621.371

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИМПУЛЬСА ВРЕМЕННЫМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ СРЕДЫ В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

Если E o(t, x) — первичное поле в невозмущенной среде, то электрическое поле в нестационарной области описывается интегральным уравнением Воль-терра второго рода [1,2,6]:

ГО ГО

E(t, x) = E 0(t, x) + J dt' J dxK (t, t', x, x')E(t', x'), (1)

0 0

РЫБИН O.H., CAXHEHKO H.K.

Рассмотрено преобразование электромагнитного импульса, вызванное скачкообразным изменением во времени параметров ограниченной среды. Изменение представляет собой прямоугольные импульсы диэлектрической проницаемости и проводимости произвольной длительности и амплитуды. Получены и проанализированы выражения для электрического поля во всем пространстве.

1. Введение

Распространение электромагнитных волн в нестационарных средах описывается уравнениями Максвелла с зависящими от времени параметрами. Как правило, такие задачи приходится решать численными методами [1,2]. Однако основные особенности эволюции преобразования электромагнитных сигналов нестационарными средами можно получить аналитическим путем [3-9].

Наиболее простым с точки зрения аналитического исследования является случай трансформации поля при скачкообразном изменении диэлектрической проницаемости или проводимости среды. Однако, как правило, рассматривается изменение только одного параметра. В настоящей работе исследуется воздействие на электромагнитный импульс синхронного импульсного изменения диэлектрической

проницаемости e(t) и проводимости c(t) среды, которое происходит в области полупространства x > о . Изменение во времени этих параметров описывается формулами

є() = єo[0(-t) + 0(t - т) + ei[0(t) - 0(t - т)]

CT(t) = ai[0(t) - 0(t - т),

где єо — диэлектрическая проницаемость невозмущенной среды; єі и сі — диэлектрическая проницаемость и проводимость среды в полупространстве x > о на временном интервале t є (0, т); 0(t) — единичная функция Хевисайда. Среда в полупространстве x < 0 все время остается непроводящей и имеет диэлектрическую проницаемость є0.

Предположим, что первичное поле падает по нормали на границу области полупространства x > 0 , имеет только составляющую, не зависящую от поперечных координат.

Здесь K (t,t',x,x') — ядро интегрального уравнения, K(t,t',x,x') = -(s(v0(t -1') - |x-x'|)/a2(t')j x

xjc(t') + j(1 - a2(t'))-dtj, (2)

где a(t) = д/є0/є(0; v0 = C;c(t) = 2nc(tVє1; c

— скорость света в вакууме; 8(t) — дельта-функция Дирака.

В области x < 0 поле определяется с помощью того же соотношения (1), которое в этом случае представляет собой квадратурную формулу, выражающую внешнее поле через внутреннее.

Решение уравнения (1) в области x > 0 записывается через резольвенту R(t,t',x,x') :

ГОГО

E(t, x) = E 0(t, x) + J dt' J dx' R (t, t', x, x')E o(t', x'), (3)

00

которая может быть найдена из уравнения R (t,t', x, x') = K (t, t', x, x') +

ГО ГО

+ Jdt'' Jdx'K(t,t",x,x")R(t",t',x",x'). (4)

0 0

В случае, если єД) = є і, c(t) = сі, резольвента представляется с помощью обратного преобразования Лапласа

- а+ іго dp

R (t, t', x, x') = е-сіт J ^nepT[Sl(p) + S2(p)]. (5)

а- іго

Здесь

Дг2 =-2

S1(P)=^p 2-сГ [p-а - -41 e-~vrv p 2 -Ci2

2v0 (p +сі a 2

S2(p) =

Wp2 - сі2 (

2v0

і p-сі

a у p + сі

-+Ф =-2

V1 v

p -сі

e

РИ, 1998, № 1

31

где

a = д/є0М ,т = t -1' a >ai, ai = 2roai/єр vi =

Reyjp2 - ai2 > 0.

Формула (5) в отсутствие S2(p, x,x') — резольвента безграничной задачи. Слагаемое S2(p, x,x') учитывает влияние границы полупространства x > о.

Полученная резольвента позволяет рассматривать воздействие импульсного возбуждения среды для любого первичного поля.

2. Реакция поля на возбуждение ограниченной области пространства (промежуток времени

1 є с°,т) )

Пусть первичное поле E о (t, x) представляет собой прямоугольный импульс

E°(t,x) = 9(v°(t - ti) - x) - 0(v°(t -12) - x)), t i < 12 < 0-

Подставляя (5) в (3) и используя теорему о вычетах и теорему Эфроса [10], получаем, что поле в области нестационарного полупространства x > ° имеет вид

Ei(t,x) = a20(-x - v°ti)9(x + v°t2)e-2CTit +

2

+ Z (-i)i-i[Eii(t, x) + E 2i(t, x) + E bi(t, x)]. (6)

i=1

Здесь

E ji(t, x) = (a/2)9(-x - v°ti)9(vi(t + ti/a) + x) x

x<|l°(5r^/t2^(tp/a7xVi)2) -

-ae-CTi(t +t;/a+Vvi) - F°(t,-(ti/a + x/vi))}e-CTit;

Eii(t, x) = (a/2)9(x + v°ti)9(vi(t -ti/a) - x) x x<|l°(5:^/t2^(tp/a7xvi)2) +

+ae-CTi(t-ti/a-x/Vi) + F°(t, t i/a + x/vi)}e-CTit;

Ebi(t,x) = (a/2)9(vi(t + ti/a) - x)e-ait x

) - (i - a2)2(2a)-i

-(i+a2)|i-a2| ai(t+t^a-x/v^ xe 1 1 +

+e-ai(t +^ф-Vvi) + ZFk(t,-(ti/a - Vvi))[;

k=i

x

где

t _i2

F°(t,b) = aaibJdx e-ai(t-t)(2 - b2)

b 1 1

t

xJ dT e

-(i+a2)|i-a2| ai(t-t) j _

Ii(CTWt2 -b2), Fi(t,b) = -4a2(i - a2) iai x

<jl°(an/x2^"b2) -

-(t - (i + a2)(2a)-ib)(T2 - b2)-i/2 x xIi(an/t2 -b2)j. F2(t,b) = aaib x

x J dT e-ai(t-t)(t 2 - b2)-i/2Ii(ai>/ t2 - b2). b

Поле в области полупространства x < ° на временном интервале t є(°, т) найдем, подставив выражение (6) в формулу (1):

E2(t,x) = E0(t,x) + a2 jai + 2(i - a2)|z(-i)i x

x{9(v°(t + ti/a) + x)(Vai)sh(ai(t + ti/a + x/v°)) + +((i/ai)sh((t + ti/a + Vv°)) + 2(1 - a2)-i x x((3 + a2)a-i - (i + a2)(i - a2)-i)(t +1i/a + x/v°) x

-(i+a2)i-a2 ai(t +ti/a +x/v°)

xe 1 1 +

(7)

+ Z Fk (t + x/v°,ti/a) k=3

Здесь

,-ai(t + Vv°)

F3(t,b) = -b J dT sh(i(t - t))t2 - b2)

2ч-i/2

-b

<Ii(an/t2 - b2). F4(t,b) = -

i - a 2

U , „2 1 , „2 1 ^i+o2 '

x J dT

2a i

t ^ 3 + a 2, i + a2 1 -(i+a 2)|i-a 2| ai(t-t)

-b

<(t - t)

V

a

b+

i - a2 у

Щац/,2 -ьЬ. f5((,b) = ^32L x

VT2

- b 2

i - a 2

t , -(i+a 2)|i-a 2 I ai(t-TC X- I 2 , 2X

J dt (t -T)e 1 1 I°(aWt - b ).

-b

X

Анализ формул (6) и (7) удобно проводить с использованием пространственно-временной диаграммы, как это было сделано в [7], где рассматривался скачок проводимости среды в полупространстве. Основным качественным отличием данной диаграммы является неравенство углов “падения” и “отражения” от квазиплоскости t = ° , в то время как в работе [7] данные углы совпадают. Мировые линии, соответствующие выражениям для полей (6) и (7),

32

РИ, 1998, № 1

расположены на рисунке слева от линии t = т , соответствующей моменту скачкообразного возвращения параметров в области пространства x > 0 к первоначальным значениям.

3. Остаточные явления после снятия возбуждения среды

+ -(1+a2)

F7 (t, b) = -e

1-a2

CTj(t - b)

+ c

h(oi(t - b)) +

_ t -(1+a2)

+cti J e b

1-a2

-1

CT/(t-'%) _ Г2 2

iq(ctW r - b2) +

Электрическое поле во всем пространстве, после t +ст/Ь J d2 1 ( -1 k

скачкообразного возвращения параметров среды в полупространстве x > 0 к первоначальному состоя- /_ ч -(1+a ) ch(<CT/(t -2))- e 2 1-a 2 CTi(t-2)

нию, выражается формулой b V )

E(t, x) = Eo(t, x) - (1 a2)ja1 +1(1 - a2) ^

F8(t,b) =

т <X

x jdt' Jdx' 5(v0(t -1') - |x - x'|)E1(t', x').

0 -да

(8)

После подстановки (6) получим значение E(t, x) = 9(x + vo(t - t))Eo(t, x) + (1/2ct/) x

x|ct1 + |(1 - a2)JtJz(-l)i-1{E3i(t,X) +

+E4i(t,x)} + 9(t + x/vo)9(vo(1 - т) - x)E2(t.x).

(9)

Здесь

E3i(t,x) =9(x + vo(t -1)) x

x{9(f(t, x))e-2°lT - (l/2)9(-f(t, x))e-CTl(f(1’xVvo +т) x

x(1 - ea/(f(1,xVvo +т) + 2e(1+a2)M +т)) -

-1 -

-9(-f(t, x))a ct/

1 - a2

=-cti

l(f(t,x)/v0 +'c)F6('t,f(t,x)/v1) --9(-f(t,x))9(v1T + f(t,x))e-CT/T F+(т,-f(t,xVv1) --9(v/t + g(t, x))e-CT/XF-(т,- g(t, x)/v/)} + 9(x + vo(t - т)) x

(l/2)9(-q(t, x))9(q(t,x) - v^le-2^^^/^+т) +1 -+ 9(q(t, x))9(v/x - q(t, x))e-CTFF8(x, q(t, x)/v/) -

-2е-2ст1т

-(1/2)9^/т - h(t,x))e CTli:F9(i;,h(t,x'

где

f(t,x) = vo(1 - т - 1і) - x, g(Xx) = x + vo(t - t - 1і), h(t,x) = vo(т -1 + ti) - x, q(t,x) = x + vo(1 + 1і - т);

а также

b

F6(t, b) = J d| e 0

(1+a 2)

1-a2

CTi(t-^> (CT 2) i0(ct1^).

= sh(CTi(t - b))

t

+ ст/b J d§ sh(ct/(1 -O)

b

F9(t, b) =

1 - a2

, 2 2 1 + 3a2

3 + az - az------

1 - a2

-(1+a 2)|1-a2 CT1(t-b) _

xe

(t - b)

-1 t

xe

-(1+a2)|l-a2|-1CT/(t-2)Г

+ 2ct/(i - a2) J d2

' 0

(3 + a2) - a 1 + 3a2 2

1 - a2 )

ii(ctuS2 - b2)(2 - b

e2 u2

-1

■ (CT^a)I0(CT^/2

^ ./s2 _ u2

- b2) k

2

x

Выражение E 3i(t, x) описывает составляющую электрического поля для случая, когда возвращение параметров среды нестационарного полупространства к исходным значениям происходит после того, как обратный импульс ad, образовавшийся при расщеплении первичного импульса, достиг границы x = 0 . Анализ областей существования каждого слагаемого выражения для E 3i(t, x) показывает, что в момент скачкообразного возвращения параметров среды ограниченной области к первоначальным значениям каждая мировая линия, образовавшаяся до этого момента, расщепляется на две. В результате образуются два прямых импульса (Ьк и ue, рисунок) и два обратных (bp и eh, рисунок). Используя условия постоянства аргумента неоднородных амплитуд F7 ± и F8 данного выражения, получаем, что фазы поля после снятия возбуждения зависят от пространственной и временной координат. Поэтому у образовавшихся импульсов будет иметь место “диффузия” поля через задний фронт, что соответствует возбуждению непрерывного спектра волн в области позади задних фронтов импульсов. Область между образовавшимися импульсами заполнена преобразованным непрерывным спектром волн, обусловленным “диффузией” поля через задние фронты импульсов, образовавшихся в результате расщепления первичного импульса.

РИ, 1998, № 1

33

Составляющая E 4i(t, x) выражается в виде

E4i(t,x) = 0(x + vq(t-t))e °lT x

0(-f (t, x))eCTlT т -1- -21-a2 Oi(f(t,x)/vo +т) 1 - 2e

_ _

x 0(f(t, x)) - 0(-f(t, x))0(vj t + f(t, x))F7+ (т,- f(t’x)) +

7 v1

+0(f(t, x))0(vit - f(t, x))F+ (t, f(t’ X))| + 9(x + vo(t - t)) x x|0(-q(t,x))^1-e 2CTlTj +0(q(t, x))0(viT- q(t, x))e °lT x xF8(t, q(t^x)) - 0(-q(t, x))0(vit + q(t, x))e-°lT F8(t,- q(t^X))l

v1 v1 J

описывает случай, когда обратный импульс ad “не успел“ переотразиться от границы x = 0 до снятия возбуждения ограниченной среды. Данный случай качественно отличается от предыдущего тем, что импульс ed не образуется и расщеплению подвергаются мировые линии обратного импульса ad.

Первое слагаемое в выражении (9) показывает, что в случае, когда до момента времени т первичный импульс не успел полностью перейти через плоскость x = 0, после снятия возбуждения среды “оставшаяся” часть продолжает распространяться в пространстве (данный момент не отражен на рисунке).

Последнее слагаемое в (9) описывает поле в стационарной области до скачкообразного возвращения среды в исходное состояние.

4. Заключение

В работе показано, что скачкообразное изменение параметров среды в ограниченной области приводит к расщеплению мировых линий фронтов произвольного импульса на две линии. В результате образуются импульсы с неоднородными пространственно-временными координатами и амплитудами. Взаимодействие первичной волны с границей возбужденной области полупространства характеризуется неравен -ством углов “падения” и “отражения” от квазиплоскости t = 0 , что является следствием наличия скачка диэлектрической проницаемости. Также показано, что распределение поля после снятия возбуждения пространства зависит от соотношения длительностей возбуждающего и обратного импульсов. Последний возникает в результате расщепления первичного.

Авторы выражают глубокую признательность профессору Неруху А.Г. за помощь, оказанную им при написании данной статьи.

Литература: 1. Nerukh A.G., Scherbatko I.V., Nerukh D.A. Using evolutionary recursion to solve an electromagnetic problem with time-varying parameters // Microwave and Optical Technology Letters. 1997. Vol. І4, N1. P. 31-36.

2. Nerukh A.G., Scherbatko I.V., Rybin O.N. The direct numerical of an integral Volterra equation for an electromagnetic signal in a time-varying dissipative medium // Journ. of Electromagnetic Waves and Applications. 1998. Vol. 12, N1. P.163-176. 3. Аверков С.И., БолдинВ.П. Волны в не диспергирующих неоднородных средах // Изв. вузов Радиофизика. 1980. T.23, N9. С. 1060-1066. 4. Борисов В.В. Неустановившиеся электромагнитные волны. Л.: Изд-во ЛГУ, 1987. 240с. 5. Борисов В.В. Трансформация электромагнитного поля при изменении проводимости среды во времени // Геомагнетизм и аэрономия. 1989. T.29, N5. С. 730-737. 6. Нерух А.Г.,ХижнякН.А Современные проблемы нестационарной макроскопической электродинамики. X.: НПО Тест-Радио. 1991. 280c. 7. Нерух АГ, Шаворыкина И.Ю. Расщепление электромагнитного импульса при скачке проводимости ограниченной cреды // ЖТФ. 1992. T.62, N5. С. 108-118. 8. HarfoushFA, TafloveA Scattering of electromagneticwaves by a materuial halfspace with a time-varying conductivity // IEEE Trans. on Antennas and Propag. 1991. Vol.39, N7. P. 898-906. 9. Барсуков К.А., Григорьева Н.Ю. К вопросу об излучении в нестационарной и неоднородной полубесконечной среде // ЖТФ. 1996. T.66, N7. С. 134-140. 10. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1976. С. 465.

Поступила в редколлегию 18.02.98

Рыбин Олег Николаевич, аспирант кафедры высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: распространение электромагнитных волн в нестационарных средах. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40-93-72.

Сахненко Наталья Константиновна, ассистент кафедры высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: распространение электромагнитных волн в нестационарных средах. Адрес: 310726, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40-93-72.

34

РИ, 1998, № 1