Преобразование частоты СВЧ-излучения миллиметрового диапазона при пинч-эффекте Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Электроника СВЧ

УДК 538.566.2

В. В. Антонов, В. А. Коломейцев

Саратовский государственный технический университет

I Преобразование частоты СВЧ-излучения миллиметрового диапазона при пинч-эффекте

Исследовано преобразование частоты электромагнитного излучения миллиметрового диапазона при пинч-эффекте. Получены зависимости концентрации носителей заряда в антимониде индия от напряженностей электрического и магнитного полей. На основе указанных зависимостей получено выражение для коэффициента умножения частоты как функции частоты поля, напряженностей постоянного и переменного электрических полей.

Плазма, полупроводник, пинч-эффект, умножение частоты, СВЧ-излучение

Преобразование частоты СВЧ-излучения в плазменных умножителях частоты связано с определенным характером взаимодействия электромагнитного поля с плазмой. Строгий анализ такого взаимодействия основан на решении уравнений Максвелла совместно с уравнениями движения и непрерывности при соответствующих граничных и начальных условиях. Общее рассмотрение указанных уравнений позволяет выделить ряд основных нелинейных механизмов взаимодействия электромагнитных волн с плазмой, ответственных за генерацию гармоник, в которых ведущее место занимают эффекты зависимости концентрации носителей заряда от координаты и от напряженности электрического поля [1]. В работах [2], [3] показано, что в слабонеоднородной среде в резонансном слое при плазменном резонансе возникает генерация второй гармоники. Коэффициент трансформации первой гармоники во вторую может достигать значительной величины при достаточно малой амплитуде электромагнитного излучения. Коэффициент умножения частоты существенно зависит от степени концентрационной неоднородности плазмы.

Основной особенностью работ по исследованию умножителей частоты на неоднородной плазме является условие плазменного резонанса, необходимого для эффективной работы устройств. В газоразрядной плазме плазменные частоты соответствуют сантиметровому диапазону длин волн. Эффективность работы умножителей частоты на указанном эффекте в миллиметровом и субмиллиметровом диапазоне незначительна. Создание в полупроводнике внешними электрическим и магнитным полями значительной управляемой концентрационной неоднородности позволяет значительно увеличить эффективность преобразования частот в миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах.

Взаимодействие электромагнитного излучения частоты ю с прямоугольной пластиной антимонида индия описывается совместным решением уравнений Максвелла, движения и непрерывности:

го1 Н^ = \п + ] р +£5ЮЕ1 соб М;

(1)

80

© Антонов В. В., Коломейцев В. А., 2011

dvn/dt = - (e/m^ ) (E0 + Ejsin ю t + [un, B0 + Bd ]) - vnun - gradn (kT¡m'n ) = 0; (2) dvpjdt = (emP )(Eo + Ei sin rot + [up, Bo + Bd J ) - VpUp - gradp (kTjmp ) = 0; (3)

div jn - e (n - n0 )/трек - e dnldt = 0; (4)

div jp + e (р - P0 )/трек + e Ф/dt = ° (5)

где Hd - напряженность сжимающего магнитного поля, создаваемого током, протекающим через полупроводниковый образец; jn {jnx, jny, jnz } и jp {jpx, jpy, jpz } - плотности электрических токов электронов и дырок соответственно, протекающих в намагниченном полупроводнике под действием постоянного и переменного электрических полей; ss -диэлектрическая проницаемость решетки полупроводника; ю - частота электромагнитного поля; E1 и E0 - напряженности переменного и постоянного электрических полей соответственно; un и иp - скорости движения электронов и дырок соответственно; e - заряд

электрона; m%n и m'p - эффективные массы электронов и дырок соответственно; B0 и Bd -

векторы индукций внешнего постоянного и собственного сжимающего магнитных полей соответственно; vn и vp - частоты столкновений электронов и дырок соответственно с

узлами решетки; n и р - локальные концентрации электронов и дырок соответственно; k -постоянная Больцмана; Т - температура решетки; «0 и p0 - равновесные концентрации электронов и дырок соответственно; Трек - время рекомбинации неравновесных электронов и дырок; [•, •] - символ векторного произведения [4].

Решение системы уравнений получим при ориентации векторов напряженностей постоянного и переменного электрических полей вдоль оси x E0 : (E0, 0, 0); Ei: (Ei, 0, 0),

а постоянного внешнего магнитного поля вдоль оси у B0 :(0, B0, 0). Размер полупроводниковой пластины вдоль оси z значительно меньше других ее размеров. Указанное условие позволяет учесть только у-составляющую индукции Bd сжимающего магнитного поля. Разогрев носителей заряда и изменение подвижности как функции концентрации не учитывалось, так как пинч-эффект наблюдался при напряженности поля 200.. .300 В/см.

В полупроводниках типа InSb подвижность электронов цп = ej (mn vn) много больше подвижности дырок цp = ej(m'pVp). Использовав данное свойство и условие квазинейтральности jnz + jpz = 0, получим из векторных уравнений (2), (3) скалярное уравнение для определения проекции вектора суммарной скорости электронов и дырок ux на ось x:

ux (1 + ИП ИpBlp ) + v~n (duxldt) + Hn (E0 + E1 sin ®t) = [2kTHnHpBl(en)] (Sn/dz), (6) где B = B0 + Bd.

2

Оценим вклад нелинейного слагаемого рБр в уравнение (6). Проинтегрировав уравнение (1) по сечению образца S = dL (d - длина пластины по оси сжатия z; L - длина пластины по оси y), получим рБр « pj(4Lp), где /0 - сила постоянного элек-

трического тока, создающего собственное сжимающее магнитное поле с индукцией B¿. Пинч-эффект возникает при превышении магнитного давления, создаваемого током, над кинетическим давлением носителей заряда (критерий Беннета). Сила тока при пинч-эффекте достигает величины порядка 5 А [4]. При размерах пластины, соответствующих стандартному сечению волноводов диапазонов 8 и 2 мм, используемых в экспериментальных исследованиях, получим

2 _з

цицрБр «10 3 << 1.

Проведем оценку диффузионного члена, входящего в уравнение (6), используя критерий Беннета: Б^/(2цо) ^ nkTo, где ^о - магнитная постоянная; T0 - температура решетки полупроводника.

Продифференцировав последнее выражение по координате z, получим уравнение, связывающее производную напряженности сжимающего магнитного поля и производную концентрации носителей заряда по координате z: ЦоH¿ (dH¿/dz) >д(nkTo )/dz. Из него следует условие малости диффузионного члена в правой части уравнения (6) по сравнению с полевым членом цп£о После ряда преобразований получим дифференциальное уравнение для определения проекции скорости на ось x, решение которого имеет вид

ux = Aoexp -vn (l + рБ0)t + Ay + A2 cos ю t + A3 sin ю t, (7)

_ VnEo . A WnVnEl . A ^П (l + рБ0 )Е1

i _" ; a2 г; ГТ2; Аз г; ГТ2.

1 + рЩ ю2 + V2 (1 + ^В ) ю2 + у2 + ^рВ2

Частота релаксаций импульсов носителей тока в узкозонных полупроводниках

vn

—1 12 —1 10 ...10 c [4], следовательно exp

-Vn у1 + рБ0 )t

^ 0. Учитывая все при-

ближения, преобразуем уравнения (1) и (2) к системе уравнений для определения напряженности сжимающего магнитного поля и концентрации носителей заряда

дНдz = у оп + SpЮJElCOS Ш; (8)

Уо^о (Но + нй ) + 2кГо дп/дz = 0, (9)

где Уо = -еиX •

Оценки токов проводимости и смещения в миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах показали, что плотность тока проводимости электронов и дырок значительно больше модуля тока смещения. Следовательно, систему уравнений (8), (9) можно преобразовать в дифференциальное уравнение второго порядка относительно напряженности сжимающего магнитного поля Н^ :

(2кт/ уо) (а 2на/дz2)+^о (Но+н)(знй/дz) = о. (1о)

======================================Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2011. Вып. 3

Нелинейное уравнение (8) решим, введя замену переменной = dH^¡dz и проинтегрировав получившиеся дифференциальное уравнение первого порядка. Проведя необходимые преобразования, получим решение в виде

Hp + H0 =V2Q/Yi th yA/2z + C2 ), (11)

где Y1 (t) = ^0Y0 (t)/2kT. Постоянные интегрирования Q и C2 определяются из граничных условий:

Hd ( z = - d¡ 2) + Hd ( z = d¡ 2) = 0; (12)

dj 2

S[n(z=d/2) +n(z = -df2)-2щ]-d^jТрек + j (njТрек)dz = 0, (13)

-d/ 2

где S - скорость поверхностной рекомбинации.

Зависимость концентрации от координаты, времени и напряженностей электрических и магнитных полей имеет вид

n = (C1/Y0 ) ch-2 Y1Q/2z + C2 ). (14)

Уравнения (10), (11) позволяют определить постоянные интегрирования Q и C2 в различные промежутки времени t. Для упрощения расчетов трансцендентных уравнений (12), (13) введем эффективное электрическое поле E, зависящее от времени t:

- (v2 sinrot-rovn cosrot)/ 9\

E = E0 ---n--f- (1+ V nV pB02 ) E1,

2 2 2 ro +vn ^ + pB0)

относительно которого определим зависимости C1 и C2 от времени и напряженностей суммарного электрического поля.

Постоянная интегрирования C2 определяет сдвиг максимума распределения концентрации к одной из граней образца в результате отклоняющей силы Холла. Из уравнения (12) следует, что значение C2 существенно зависит от индукции внешнего магнитного поля.

Система уравнений (12), (13) может быть решена только численными методами. Полученные решения позволяют построить зависимости C1 и C2 от эффективного электрического поля и постоянного магнитного поля. Из решения уравнения (13) следует линейность вольтамперной характеристики (ВАХ) при малых значениях аргумента гиперболических функций. Неоднородное распределение носителей заряда при этом отсутствует. Увеличение аргумента приводит при одном значении электрического поля E к появлению трех решений. Проведенные количественные оценки решения системы уравнений (12), (13) относительно постоянных C1 и C2 позволяют получить трехзначную функцию относительно независимой переменной E. На рис. 1 приведена зависимость тока ¡0 от напряженности постоянного электрического поля Е0 (ВАХ) при различных значениях скорости поверхностной рекомбинации S. Расчет проведен для n-InSB c ^ ~ 1014 см-3, цп = 7-105 В• см/с2,

I0, А

28

14

n -10-20 м-3

500

120 -

100

S = 4000 м/с

50

120

240

Eq, Всм

Рис. 1

6

Рис. 2

12 z, мкм

d = 30 мкм. Линейный участок полученной функции определяет линейную ВАХ. Ширина области отрицательной дифференциальной проводимости существенно зависит от скорости поверхностной рекомбинации S. Образование S-образной ВАХ и наличие большого градиента концентрации дают возможность рассчитывать на значительную нелинейность рассматриваемого взаимодействия.

Постоянная интегрирования Q на нелинейном участке аппроксимируется функцией

E~3/2. При малых значениях скорости поверхностной рекомбинации S функция Q монотонно возрастает при увеличении эффективной напряженности электрического поля E. Зависимости концентрации от координаты z при различных значениях тока, протекающего через полупроводниковую пластину в области отрицательной дифференциальной проводимости, приведены на рис. 2.

Для определения спектрального состава плотности тока разложим ее в ряд Фурье:

да

jx= X \F cos (/oot) + К/ sin (lot)], ю = 2п/ T, (13)

l=0

где Т - период электромагнитного поля основной гармоники. Коэффициенты разложения определяются интегралами

T Л T

(14)

1 T 1

F/ =— J jx cos (lot)dt; К/ =— J jx sin (lot)dt.

2T t 2T T

Введем обозначения F¡ = х/ sin Фо; K¡ = х/ cos фо и выразим плотность тока через

да

суммы синусов: jx = ^ xn sin (tot + ф/).

l=0

Значения Xl и Ф/ определяются через коэффициенты разложения (14) следующим

образом: х/ =VF/2 + К/; ф/ = arctg (F/IK/).

Для расчета излучаемой на второй гармонике мощности необходимо определить сопротивление излучения на частоте 2ю. Расчет данной величины для плазменного слоя в волноводном тракте представляет сложную задачу. В связи с этим для качественного анализа представим коэффициент преобразования мощности п через отношение модуля тока второй гармоники к модулю тока первой гармоники:

П = | j2|/| ji|.

(15)

0

0

3

9

0.32

0.16

£ = 4000 м/с

100

50

0.6 -

0.3 -

Е1 = 20 В/м

60

180

300

Е0, В/см

В см

б

Рис. 3

Выбор такого определения коэффициента преобразования связан с возбуждением потока высокочастотной энергии в волноводном тракте плотностью тока. На основе выражений для коэффициента второй гармоники из разложения (13) проведен расчет модуля плотности тока второй гармоники. Кривые зависимости коэффициента преобразования мощности (15) от напряженности постоянного электрического поля при различных значениях скорости поверхностной рекомбинации £ представлены на рис. 3. Расчет проведен для следующих параметров полупроводникового материала антимонида индия электронного типа:

2 2 20 -3 цп = 65 м /В - с, = 1 м /В с, ё = 30 мкм, щ = 10 м ,

Х = 2 мм, Трек = 10 6 с. Ри-

сунок 3, а построен для напряженности переменного электрического поля Е^ = 20 В/см, рис. 3, б - для Е^ = 100 Всм.

Максимальное значение коэффициента преобразования мощности достигается в области отрицательной дифференциальной проводимости, возникающей при пинч-эффекте. При скорости поверхностной рекомбинации, равной 50 м/с, он монотонно возрастает с ростом напряженности постоянного электрического поля. Так как внешнее магнитное поле уменьшает проекцию тока, создающего сжатие носителей заряда и, следовательно, препятствует образованию пинч-эффекта, расчет проведен при значении напряженности этого поля В = 0.

Представленные результаты дают основание считать механизм неоднородного распределения концентрации достаточно эффективным для умножения частоты в миллиметровом диапазоне длин волн: при большой скорости поверхностной рекомбинации коэффициент преобразования мощности стремится к единице.

Проведенный анализ умножения частоты на концентрационной неоднородности при пинч-эффекте позволяет сделать вывод о возможности преобразования частоты при шнуровании тока, возникающем из-за джоулева нагрева кристалла с примесной проводимостью внешним постоянным или импульсным полем и значительном отводе тепла с двух поверхностей пластины.

Список литературы

1. Брандт А. А., Тихомиров Ю. В. Плазменные умножители частоты. М.: Наука, 1974. 207 с.

2. Ерохин Н. С., Захаров В. Е. Генерация второй гармоники при падении электромагнитной волны на неоднородную плазму // ЖЭТФ. 1969. Т. 56. Вып. 1. С. 179-185.

П

П

0

0

а

Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2011. Вып. 3======================================

3. Ерохин Н. С., Моисеев С. С. Вопросы теории линейной и нелинейной трансформации волн // Успехи физ. наук. 1973. Т. 109. Вып. 2. С. 225-258.

4. Владимиров В. В. Плазма полупроводников. М.: Атомиздат, 1979. 254 с.

V. V. Antonov, V. A. Kolomeycev Saratov state technical university

Transformation of the frequency of millimeter range UHF-radiations under pinch-effect

Frequency transformation of the millimeter range electromagnetic radiation under pinch-effect is explored. The depending of charge carrier's concentrations into Indium antimonite from the electric and magnetic fields intensities is obtained. On the basis of this depending an expression for the frequency multiplication factor as a function offield frequency, DC and AC electric fields intensities is obtained.

Plasma, semiconductor, pinch-effect, frequency multiplying, UHF-radiation

Статья поступила в редакцию 26 июля 2010 г.

УДК 621.382.2.029.64:621.382.2.019.3

Л. Н. Сорокин

Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского

В. Г. Усыченко

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Стойкость полупроводниковых приборов различных поддиапазонов СВЧ к импульсным электрическим перегрузкам*

Показано, что стойкость сверхвысокочастотных полупроводниковых приборов к импульсным электрическим воздействиям зависит от верхней рабочей частоты прибора и от длительности импульсов. При коротких импульсах мощность выгорания снижается обратно пропорционально кубу максимальной рабочей частоты прибора, при длинных импульсах - обратно пропорционально квадрату указанной величины.

Сверхвысокочастотный полупроводниковый прибор, стойкость, выгорание, импульсные электрические перегрузки

Случайное или преднамеренное воздействие мощного СВЧ-импульса может вызвать катастрофический отказ полупроводникового прибора (ПП), стоящего на входе приемного устройства [1], [2]. В большинстве случаев причиной отказа является выгорание активной области ПП - объема, в котором выделяется, превращаясь в тепло, подавляющая часть рассеиваемой СВЧ-мощности. Количество энергии, достаточной для разрушения, зависит от амплитуды и длительности импульса, а также от геометрических размеров активной области, определяющих максимальную рабочую частоту ПП. Для практики важно знать, как стойкость прибора зависит от его верхней рабочей частоты.

Исходные положения. Опыт показывает, что выгорание полупроводниковых приборов, используемых в приемных устройствах дециметровых и сантиметровых волн (сме-

* Работа выполнена по гранту Президента РФ № МД-1.2009.10 для государственной поддержки молодых российских ученых.

86 © Сорокин Л. Н., Усыченко В. Г., 2011