CC BY
30
УДК 330.33.015:336.77
С. Рибальченко, асист. (КНУ iMeHi Тараса Шевченка)
ПЕРЕВАГИ СУБ'СКТИВНО! ФУНКЦИ РОЗПОД1ЛУ ПРИ МОДЕЛЮВАНН1 НЕОДНОР1ДНОГО СТРАХОВОГО ПОРТФЕЛЮ
Розглянуто та проаналiзовано складн та специфiчнi випадки структуры страхового портфелю. Визначено функци розподту, що характеризують дшсш значення показникв дiяльностi страховой' компани та ризику найбльш точно. Розроблено рекомендаци для апроксимаци суб'ективно/ функци розподту. Аналiз проведено на основi реальних показникв дiяльностi страховой компани.
Ключовi слова: страховий портфель, функця розподту, ймовiрнiсть, ризик у страхування математичне сподi-вання, дисперся, асиметрiя, ексцес.
Рассмотрено и проанализировано сложные и спецыфические случаи структуры страхового портфеля. Определены функции распределения, которые характеризуют действительные значения показателей деятельности страховой компании и риска наиболее точно. Разработаны рекомендации для аппроксимации субъективной функции распределения. Анализ проведен на основе реальных показателей деятельности страховой компании.
Ключевые слова: страховой портфель, функция распределения, вероятность, риск в страховании, математическое ожидание, дисперсия, асимметрия, эксцесс.
It is considered and analysed sophisticated and special cases of insurance portfolio structure. Distribution functions which describe the actual values of insurance company performance and risk indicators most exactly are defined. Recommendations are developed for approximation of subjective distribution function. An analysis is conducted by using of the real performance of insurance company indicators.
Keywords: insurance portfolio, distribution function, probability, risk in insurance, mean, dispersion, asymmetry, excess.
Динаммчнють економмчноТ системи загалом та сфери страхування зокрема обумовлюють необхщнють у роз-робленн методолопчноТ бази аналiзу даного виду дiя-льностк На даному етап провщш страховi компани УкраТни для дослщження своеТ дiяльностi користуються послугами европейських компанш, осктьки в нашш кра-Тн ще не розроблено дiевоТ методику актуарного аналь зу вах напрямiв страхування, яка б могла на рiвних конкурувати iз захщними аналогами. Та кожна система характеризуемся власною специфкою, тому варто зо-середитись на аналiзi та розробц релевантних методiв аналiзу страхового бiзнесу УкраТни.
В умовах непередбачуваноТ динамiчноТ економки, що склалася в нашм краТш, страхування несе надзви-чайно велику сусптьну функцю а саме: робить нас менш безпорадними перед надзвичайними ситуа^ями. У зв'язку з тим, що страховi компанiТ беруть на себе бтьшють як економiчних так i природних ризикiв, яким пщдаються юридичнi та фiзичнi особи, виникае необхщнють поспйноТ оцiнки загального ризику дiяльностi страховоТ компанiТ, адже вщ успiшностi страховоТ компани залежить кожен ТТ клiент.
Бтьшють знавав економiко-математичного моде-лювання зробили вагомий внесок у розвиток втизня-них розробок в сферi актуарноТ математики. Серед них можна видтити Черняк 0.1. (апроксимацiя ймовiрностi банкрутства компани) [14], Впгинський В.В. (вдоскона-люе методи мiри ризикiв у страхуванш) [4], Мiшура Ю. (застосування стохастичного моделювання) [8], Карта-шов М. (аналiз процесiв Маркова в страхуванш) [7].
Але переважна бтьшють втизняних робп" орiенту-еться на апроксима^ю праць зарубiжних вчених. Широкий спектр проблем страхування вже дослщжено за кордоном, найбтьша увага придтяеться обфунтуван-
| ^(х)бх = 1, | х * ^(х)бх = т, | х2
де т - математичне сподiвання, и2 - дисперсiя.
Беремо певну функ^я, що вiдповiдае умовам фор-ми розподту, наприклад:
х) = х Vх. (2)
Тепер вводимо у функцю параметри, та пщбираемо Тх таким чином, щоб виконувались вс умови та сума квадра^в похибок мiж значеннями отриманими з-за
ню вибору функци розподту ймовiрностей для моделювання страховоТ дiяльностi. Значний внесок у розвиток актуарноТ науки та моделювання загалом зробили Е. Слад [11], К. Бурнецк [3], Д. Гренделл [6], Т. Рольск [10], Н. Бауерс [2], Х. Гербер [5], 1.Т. Балабанов [1], Г.1. ФалЫ[12] та шшк
Метою роботи е дослщження властивостей портфелю страховоТ компани, що фокусуеться на двох i бтьше шшах ринку та вибiр оптимальних розподов для моделювання ризигав у страхуванш, вироблення методологи апроксимацп функци що забезпечуе найбтьшу точнють при моделюванн ризикiв страховоТ компанiТ.
Кожна фшансова страхова величина генеруеться по певному розподту, i саме вибiр адекватного роз-подiлу е центральною проблемою будь-якоТ моделi страховоТ компани.
Бтьшють шоземних дослiдникiв в своТх роботах зу-пиняють свою увагу на наступн розподiли:
■ Лог-Нормальний розподт
■ розподiл Паретто
■ Гамма розподт
■ розподт Кокса
■ розподт Вейбулла
■ Розподт Бурра
Переважна бтьшють дослщниюв використовуе один з перелiчених вище розподов, хоча як показано Тхне застосування не завжди буде виправданим. Тому по-стае необхщнють у виробленн методики побудови вла-сного розподту, для кожного окремо взятого випадку. Тобто, ми маемо загальн умови для функцш розподту ймовiрностей:
f(x)dx-(j f(x)dx)2 = а2 , (1)
допомогою даного розподту i дiйсними даними були найменшими. Розв'язавши систему рiвнянь отримаемо виведену суб'ективну функцiю розподiлу релевантну саме для портфелю нашоТ компанiT.
Але це ж звичайно не межа точность Розглянемо наступну iлюстрацiю:
© Рибальченко С., 2012
~ 58 ~
В I С Н И К Ки'|'вського нацюнального унiверситету iменi Тараса Шевченка
Рис. 1. Сniввiдношення двох щiльностей функцш розподiлу
Отже, наведено наступнi двi щiльностi функцiй роз-подiлу:
Ряд 1 - 1 (х) = х * (х + а) * е1-
(3)
(4)
Ряд 2 - 1(х) = х * 1п(х +а)2 * (х -р)2 * е 6 , де а,Ь,а,р^,б - параметри.
Данi функцií характеризуются однаковими матема-тичними сподiваннями та диспераями, тобто задоволь-няють ранше висунутi умови. Опираючись на це можна зробити висновок, що обидвi функцií чудово пiдходять для моделювання страховой' дiяльностi. В той ж час, очевидно, що одна з двох зазначених функцм розподту забезпечить меншу похибку при моделюванн окремо взято'' страховой' компанп. Даний факт спричинений рiз-ним характером форми "хвост1в" розподiлiв. В результат моделювання, наприклад, страхових премiй обома фун-кцiями по черзi ми отримаемо вiдносно однаковi загальнi суми премм але абсолютно рiзнi частки премм величиною до 1000 грн. i премiй бiльших за 100000 грн.
Тод^ орiентирами при виборi бiльш вiдповiдноí фун-кцп розподiлу можуть бути наступнi способи:
• орiентацiя на показники асиметри та ексцесу,
• мiнiмiзацiя вщхилень ймовiрностей по стратам
Перший споаб являе собою фактичне додавання до
умови (1) двох умов рiвностi показниюв асиметри та ексцесу нового розподту ймовiрностей ранiше розра-
хованим аналогнним показникам для iсторичних даних компанп. Це дозволяе зробити бтьш усвiдомлений та оптимальний вибiр функци розподiлу ймовiрностей в бiльшостi випадюв, але не завжди.
Розглянемо бтьш детально рис. 1. Бачимо, що фу-нк^я, проiлюстрована рядом 2 мае два локальн екст-ремуми. Таких екстремумiв може бути дектька. Яка 'хня практична природа? Компашя може зосереджувати сво' зусилля на дегалькох основних стратах споживачiв. Це призводить до виникнення таких пшв. Наприклад, компаыя концентруеться на найбтьш широкiй стратi споживачiв - середнм, а також на премiум кпаа. Вини-кне пiк розподiлу у "хвостГ з права. Це, звичайно ж, також потрiбно змоделювати, в Ышому разi можливе виникнення катастрофiчних похибок, бо саме неперед-бачен страховi випадки в межах премiум-класу можуть стати катастрофiчними для компанп.
Тага проблеми можна виршити скориставшись на-ступним способом мiнiмiзацiя вщхилень ймовiрностей по стратам. Весь спектр показника, що моделюеться, наприклад, страхових премш розбиваеться на страти (промiжки). Найбiльш загальною ознакою стратифку-вання е величина премй Тодi будуемо пстограму страхових премiй, де отримаемо показник частоти дано' преми, який можна Ытерпретувати як ймовiрнiсть над-ходження середньо' по дашй стратi преми.
Рис. 2. Побудова щшьност функци розnодiлу та пстограми для страхових nремiй
бачити, що для страхових премм дано' компанп е хара-ктерним локальний екстремум з права.
На рис. 2. зображено пстограму для дмсних даних страхових премм - ряд 1, та щтьнють функци розподь лу, описашй спiввiдношенням (4) - ряд 2. Можемо по-
Страта №14 мае частоту рiвну 6,1%, а вщповщна ймовiрнiсть середньоТ преми по стратi е рiвною 5,64%. Отже, похибка для даноТ страти склала 0,46%. Можна поставити додатковi до (1) умови по кожшй стратi, що квадрат похибки е меншим £ (£=0,0001 як приклад). Але це значно збтьшуе розмiрнiсть такоТ системи умов i не завжди можна знайти розв'язок такоТ системи. Як пока-зуе практика таким чином можна поступати при юну-ванн двох-трьох найважливiших страт, для них i дода-ються такi умови. Якщо ж таких страт бтьше, то доць льно мiнiмiзувати суму квадратiв похибок по стратах.
В результат розбиття отримаемо:
У випадку коли розглядаеться окремо портфель страхування авто звичайно класу (Рис. 3а), то для мо-делювання використовуеться функцiя (3). Для моделю-вання портфелю страхування премiум-авто (Рис. 3Ь) використано Гамма-розподiл.
Як бачимо розбиття портфелю абсолютно не знизило похибку моделювання, а навпаки сума похибок моделю-вання окремих портфелiв значно перевищуе похибку моделювання загального неоднородного портфелю.
Враховуючи i вищу складнiсть аналiзу та моделювання окремих портфелiв отримаемо обфунтований результат переваги моделювання загального неоднорь дного портфелю виведеною суб'ективною фунщею розподiлу ймовiрностей.
Результати роботи несуть в a^i значну практичну та наукову новизну. Наукова полягае в отриманню но-вих моделей аналiзу страхового бiзнесу. А практична у отриманих результатах, що можуть прямо використову-ватись при розробленн управлшських рiшень.
1. Балабанов 1.Т. Ризик-менеджмент [Текст] / 1.Т. Балабанов - М: Ф1-нанси i статистика, 1996. - 192с. 2. N. Bowers Actuarial Mathematics Society of Actuaries [Текст] / N. Bowers, H. Gerber, J. Hickman, D. Jones C. Nesbitt|| Itasca - 1986. - №3 - p. 31-38. 3. Krzysztof Burneckil An Introduction to Simulation of Risk Processes [Текст] / K. Burnecki1, W. Hurdle, R. Weron - Hugo Steinhaus Center, Wroclaw University of Technology,2001 - 95p. 4. Вп"лЫський В.В. Ризиколопя в економщ та пщприемницв [Текст] [Моногра(фя] / В.В. ВгглЫський - К.: КНЕУ, 2004.
Якщо на гiстограмi показника локальний екстремум один, то перший та другий споаб абсолютно не супере-чать а доповнюють один одного. Тому можна користатись ними i одночасно для бтьшоТ достс^рносл Ыформацп.
Альтернативним шляхом е розбиття портфелю при моделюванн на два окремих. Тобто, якщо розглядае-мо авто страхування, то на звичайне страхування i страхування премiум-авто. Страховi випадки з авто елiтного класу несуть в собi завищений ризик лквщ-ностi, а тому контракти в премiум класi характеризу-ються вищим тарифом. Саме через змшу тарифiв i виникае другий екстремум.
Розрахуемо суму квадра^в похибок для кожного випадку (моделювання неоднородного загального портфелю i роздтених портфелiв).
- 480 с. 5. Gerber. H. Life Insurance Mathematics [Текст] / Gerber. H. // Springer-Verlag - New York, 1997. - №3. - p. 84-89. 6. J. Grandell Calculation of Ruin Probabilities when the Premium Depends on Current Reserve [Текст] / J. Grandell, R. Norberg, H. Ramlau-Hansen // Scandinavian Acturial Journal. - 1989. - № 3. - p. 147 - 159. 7. Карта-шов М.В. Процеси Маркова в актуарнш математик [Текст] / М.В. Кар-ташов - К.: ВПЦ "Ки'вський ушверситет", 2008. - 110 с. 8. Мшура Ю.С. Наближене розв'язування нескiнченно-вимiрних стохастичних дифере-н^альних |^внянь [Текст] / Ю.С. Мшура, Г.М. Шевченко - К.: ВПЦ "Кшвський ушверситет", 2006. - 320 с. 9. Рибальченко С.А. Функцп розподту параметрiв дiяльностi страховиюв [Текст] / С.А. Рибальченко//Культура народiв Причорномор'я. - 2010. - №178 - ст.176-181. 10. T. Rolski Stochastic Processes for Insurance and Finance [Текст] / T. Rolski, H. Schmidli, V. Schmidt, J.L. Teugels - Wiley, Chichester, 1999. - 550 p.
11. Eric V. Slud Statistics Program [Текст] / Eric V. Slud - Mathematics Department University of Maryland, College Park, MD 20742, 2001. - 80 p.
12. Фалин Г.И. Введение в актуарную математику [Текст] / Г.И. Фалин, А.И. Фалин - М., МГУ, 1994. - 130с. 13. P. Cizek Statistical Tools for Finance and Insurance [Текст] / P. Cizek, W. Hardle, R. Weron - SpringerVerlag Berlin Heidelberg, 2005. - 527 p. 14. Черняк О.I Оцшка ймовiрностi банкрутства страхових компанш методом послщовних наближень в марювському середовищi [Текст] / O.I. Черняк, В.В. Шпирко, Д.О. Щур // Вюник Львiвськоí державно!' фшансовоТ академп. - 2006. - №10. -С.358-365.
Надшшла до редколегп 22.12.11
Рис. 3. Щшьносп функцп розподшу та пстограми для страхових премш по авто звичайного (а) та елггного класу (b)
Таблиця 1. Похибки моделювання страхових портфел1в
Портфель Сума квадрат1в похибок
Неоднорщний загальний 0,001101
Звичайне авто 0,002806
Елте авто 0,004646
