CC BY
69
№ 2 (44) 2013
Н. А. Сиротина, аспирант Березниковского филиала Пермского национального исследовательского политехнического университета
Преимущества регрессионных дифференциальных моделей для прогнозирования экономического развития
Автором на нескольких примерах показано преимущество рассматриваемого в статье метода по сравнению с линейными многофакторными моделями и трендами. Для реализации предлагаемого подхода разработано специальное программное средство и приведена методика его использования.
введение
В настоящее время вопросы изучения динамики экономических систем являются весьма актуальными [3, 5]. В современной практике экономического (а также экологического и социального) моделирования часто используются модели динамики вида
у (((),5(()) = а0 +Хах (() + Хь^, ((),
I к
где х (() = \((),х2 ((),...} — вектор факторов,
z(() = (()^2 ((),...} — вектор возмущений, у (•) — реакция исследуемого объекта; или
У (((0^(()) = ао + Пах (() + ПЬ^ ((),
I 1
либо для функций одного аргумента — у (х (((() ) = ао +Х ах (() +Х ь? ((),
I к
либо модели временных рядов в форме
I
у(() = ^ар. Поиск в Интернете дает не-
I=0
сколько докторских авторефератов, в которых используются подобные модели: [4, с. 29], [9, с. 27], [8, с. 10, 16] и т. п. Назначение моделей — обычно прогнозирование свойств объекта в зависимости от принятых в будущем решений х (().
Такие модели можно упрощенно «прочитать», например, так: если вкладывать в предприятия (отрасль) инвестиции по графику х1 ((), то на выходе получим чистый дисконтированный доход (или другой показатель экономической эффективности) у (х1 (((()) с учетом спроса на продукцию (возмущающего воздействия) z1 ((). Далее обычно речь идет об идентификации а1 и Ь, об учете обратных связей, выраженных некоторой функцией F(у), а точнее
у(((((()) = ао + Хах (() +
(1)
+1 (()-F(у(х(((()))
к
и т. п. При этом по умолчанию принимается предположение, что существует прямая связь между факторами и значением реакции, а единственный динамический элемент в модели — чистое запаздывание вида
У(((()) = ао +Ха1х! ((-At).
/
Однако подобное предположение не всегда близко к реальности. Например, удобряя поле по определенным правилам, можно получить рост урожая (и дальнейшие экономические или социальные бонусы). То есть из множества наблюдений достоверно известно, что внесенное количество удобрений х1 ускоряет рост урожая в каком-то диапазоне вноса удобрений:
№ 2 (44) 2013
dy (x, z,t) dt
ao + aix (()
Vt: 0 < x (()< xm
a1 > 0 , а снижение количества осадков в определенных условиях снижает скорость роста:
dy (x, z (t ),t)
dt
ao + bz (t)
-, b > 0,
^: ¿т|П < г (()< г,, Vt: г(()< 0.
Для сложных систем, особенно учитывающих естественные процессы в природе и обществе, идентификация коэффициентов связи между у(() и х1 (() приводит к порождению моделей [7], адекватно интерполирующих прошлое, но не способных к прогнозу будущего — что, собственно, и требуется от моделей поддержки принятия решений. То же можно сказать об экстраполяции у(() вперед по данным временных рядов (трендов), особенно с учетом ошибок или ненаблюдаемых внешних возмущений. Кроме того, полиномиальные модели не дают возможности рассчитывать асимптотические приближения критерия, наблюдаемые в реальности.
Попытки реализовать всеобъемлющие модели на основе дифференциальных уравнений в частных производных делались неоднократно, например [1] и [11], однако их сложность, и особенно сложность подготовки адекватных данных для их использования, порождает ряд проблем при практическом применении. Хотелось бы получить столь же простой инструмент, как регрессионная многофакторная модель, для которой не возникает серьезной проблемы идентификации, но лишенный вышеперечисленных недостатков.
Возникает вопрос: что же идентифицировать при построении динамической экономико-математической модели: связь между фактором и реакцией или связь между фактором и динамикой изменения реакции под воздействием этого фактора? В теории
автоматического управления, как известно, | фактор (или динамика его изменения) линеаризуется, а затем исследуется его влия- ^ ние на динамику поведения объекта. Подоб- а; ные подходы к экономико-математическим системам также разработаны очень давно. Например, в [2, с. 99] формулируется модель экологического равновесия
dy (x, y,t) dt
= У - У2 - x (()• y
0 < x (()< 1
(2а)
соответствующая по форме (1), от которой недалеко как до доходности (определяемой здесь квотой вылова х (()), так и до катастроф в развитии популяции, что, собственно, и рассматривается далее в данной работе.
Таким образом, на уровне общенаучных рассуждений получается, что в эколого-эко-номических моделях лучше использовать в качестве основы дифференциальные, а не алгебраические уравнения динамики системы. Проверим приведенные рассуждения на нескольких примерах.
Теоретический пример
Добавим в (2) возмущающее воздействие — например, сезонное (периодическое) влияние погодных условий на воспроизведение популяции вида г(() = $1п(Ь2?) и получим
ду (х, у, ?)
dt
= y - y2 - x(()• y - b1 sin(b21). (2б)
Интегрируя это уравнение, получим зависимость популяции от времени, показанную на рис. 1 сплошной линией. Попробуем спрогнозировать развитие популяции по данным 1-6 годов, проведя регрессионный анализ. Используем для этого все доступные в MS Excel модели. Получим уравнения
i
динамики вида y (() = ^ alt!, показанные
i=0
на рис. 1. Очевидно, что экстраполяция в данном случае получается неудачной.
7
№ 2 (44) 2013
Доля популяции от начальной у (0) = 1
1,6 1,4 1,2 1
0,8 0,6 0,4
Y(t)
-0,4548i + 0,9273
0,008226f2 - 0,09355i + 0,9698
-0,002270i3+ 0,02826f2--0,1388i+ 0,9874 0,9301exp(-0.5598i) 5
0,2
0 4-
£ to
5 §
§
! §
§
Ii
S
I §
iE
I
t
1
I
i t
I £
t 4
ig
0
5
1
6
u
! i
9 10
Время в годах
Рис. 1. Неудачные попытки экстраполяции зависимостями вида y (t) = X ait
Будем искать решение задачи в виде
т
у (() = а0 + X ах (()', полагая х (() = 0,2 + 0,025?
I=1
известным (ведь решение о доле вылова, принятое или планируемое ЛПР, и должно быть известным). Для этого произведем поиск решения наименьшего квадратичного
Г / т \\2
отклонения a:
У * t)- ao + X aX ((У
dy(t) dt
= a +
x ax ((y+x by (t)) =
i=1
Xa (0,2 + 0,025ty+xby (ty
(=1 i=1
для т = 1,4, п = 1,4 и начального условия у (0) = 1. Для этого используем:
1. Линейную одномерную интерполяцию для вычисления х((): ? г {} .
2. Численное решение ОДУ (метод Эйлера с небольшим шагом:
где
у* (():? е {} — полученные при помощи модели экспериментальные значения, при т = 1,4 на интервале времени с 1 по 6 годы. Спрогнозируем развитие ситуации при принятом решении х (() = 0,2 + 0,025? на период с 7 по 10 годы. Получим, вне зависимости от степени полинома, неудовлетворительные по качеству прогнозы (рис. 2).
Перейдем к моделированию воздействия факторов на динамику объекта. Подберем методом наименьших квадратов коэффициенты уравнений
+At •
y ((+ At) y (() +
m . n
o+X ax (()
+ X by ((y
i=1
t < 10.
(3)
3. Вычисление суммы квадратов отклонений S = X(y (t()-У * (t, ))2, t < 6.
4. Оптимизация методом покоординатного спуска с переменным шагом
A = {10-1,10-2,10-13,10-4,10-5},
уменьшающимся каждый раз, когда при предыдущем значении шага получен локальный минимум.
В результате путем решения задачи S ^ min получили коэффициенты a0, a,, bi и набор решений (рис. 3).
Данные решения позволяют сделать достаточно адекватный прогноз развития системы. Важно даже не то, что его погрешность меньше, чем раньше, а именно
8
№ 2 (44) 2013
Доля популяции от начальной у (0 ) = 1
I
о $
Эй
10
Время в годах
Рис. 2. Неудачные попытки экстраполяции у^) = f ((()) различными зависимостями
адекватность: система развивается примерно так, как получено в результате моделирования, тогда как на рис. 1 и 2 многие экстраполяции неадекватны. Кроме того, в последнем случае существует простой и понятный критерий выбора прогноза а в двух предыдущих случаях выбрать порядок интерполирующего полинома, оце-
нивая сумму квадратов отклонений, не удается.
Рассмотрим модель, учитывающую взаимное влияние управления и состояния сис-
Су гп п ■ темы вида — = ^^ а,х (()' у ((). Произведя
сt '=0 1=0
численные эксперименты, получим результаты, представленные в табл. 1.
Доля популяции от начальной у (0 ) = 1
0,95
0,85
0,75
0,65
10
Время в годах
Рис. 3. Результаты экстраполяции на основе решения ОДУ без учета взаимного влияния
состояния системы и управления
9
№ 2 (44) 2013
Таблица 1
Оценка качества экстраполяционных свойств моделей
m п S У (10) |у (10) - у*(10)| У*(10)
0 0 0,11249 0,33933 43,24%
1 1 0,0000369 0,65583 9,69%
1 2 0,0000031 0,66706 11,57%
2 2 0,0000131 0,66906 11,91%
I ^
12 §
*
I §
§ та
II I
з Е
Л
1 I
I
I
И
£
0
15
1 &
и
I
I
Интересно, что вследствие зашумления исходных данных программа, в которой реализована описанная модель, «не признает» в качестве оптимального верное решение
а01 = 1, а0:
= а11 =-1
при всех остальных
а, = 0. Квадратичная ошибка в этом случае S = 0,035783, хотя погрешность прогноза у (10) = 0,57121 составляет всего 4,46%. Адекватность моделей сохраняется во всех случаях (рис. 4).
Конечно, нельзя считать, что описанные неудачные попытки доказывают невозможность удачных аппроксимаций и экстрапо-ляций временных трендов в эколого-эконо-
Доля популяции от начальной у (0)
мическом моделировании с использованием традиционных и широко распространенных методов. Однако это хорошая иллюстрация того, что использование в качестве основы моделей ОДУ может привести к качественному росту прогнозов и, следовательно, повышению качества принимаемых решений.
Но в данном примере, более подробно рассмотренном в работе [5], в основе модели априори лежит дифференциальное уравнение первого порядка. Не удивительно, что прогнозные модели на основе полиномов приближают исходные данные хуже, чем модель на основе ОДУ.
0,95 0,9 0,85 0,8 0,75 0,7 0,65 0,6
10
Время в годах
Рис. 4. Результаты экстраполяции на основе решения ОДУ с учетом взаимного влияния состояния
системы и управления
10
№ 2 (44) 2013
Модель краевого сельского хозяйства
Применим тот же подход для прогнозирования на основе данных о состоянии сельского хозяйства Пермского края [10] (табл. 2).
Пусть в 2008 г. заданы как история развития сельского хозяйства за прошлые года у((0 при ? = 2005...2008, так и управляющие воздействия х((?), ( = 1.5. Запланировав управляющие воздействия хД) на 2009 и 2010 г., в 2008 г. спрогнозируем, какие значения примет уД) при ? = 2009.2010.
Рассмотрим прогнозирование развития событий различными методами:
1. Построением временно'го ряда у (() = а • ? + Ь. (4)
2. Построением линейной модели |
у (() = а0+Х а • х ((). (5) Л
(=1
3. Построением квадратичной модели ^
5 5 5
у(() = а00+Xа0( • х+XXа • х • х. (6)
(=1 /=1 (=1
4. Построением модели на основе ОДУ ^ = ас • х (() + ае • у((). (7)
Для исключения влияния размерности нормируем данные {у, х/} и пронумеруем года. Рассчитав коэффициенты уравнения (4) по четырем и шести годам, получим практически одинаковые тренды (рис. 5).
Таблица 2
Сведения о состоянии сельского хозяйства Пермского края
Год 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Уисх(0 Продукция сельского хозяйства, млн руб . 18 127 19 010 20 238 26 971 27 352 30 056
*(*) Посевная площадь, тыс . га 999,5 959,5 935,3 914,0 867,7 795,2
х2(1) Внесено минеральных удобрений, тыс . т. 12,2 11,9 13,0 10,7 11,6 10,4
Хз( 0 Внесено органических удобрений, тыс . т. 1 542 1 339 1 050 1 053 1 052 1 009
Количество сельскохозяйственных организаций 400 403 396 380 351 353
Х5(0 Основные фонды в сельском хозяйстве, млн руб . 21 626 20 010 18 156 17 351 15 453 14 117
-ч ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА
№ 2 (44) 2013 ' -
Они, естественно, не отражают переломы в у0(^ в силу их линейности. Поэтому, несмотря на близкое соответствие между у0 (5) и у (5), использовать на практике такой прогноз затруднительно. Во всяком случае большая разница во втором и третьем годах, последних, наиболее значимых с точки зрения прогнозиста, должна привести его к предположению, что прогноз неверный.
Данные по шести годам линейной модели (5) хорошо приближают исходные (рис. 6), однако если произвести поиск коэффициентов по годам 0...3, то прогноз на 4...5-й года получается существенно отличающимся от исходных данных. Это говорит о следующем:
• выходная величина действительно может быть определена по значениям управляющих воздействий, она действительно зависит от
• однако коэффициенты влияния аI в различные года разные, они зависят от времени, и спрогнозировать по данным годов 0.3 значения коэффициентов влияния в 4.5 годах не удается.
Следовательно, применение линейной модели влияния факторов для прогноза развития, как и в [5], невозможно. Аналогичный вывод получим, пытаясь построить квадратичную модель (6).
Перейдем к поиску коэффициентов ОДУ (7). Для этого создан специальный инструментарий в Borland C Builder (рис. 7).
Пробные расчеты показали, что шести точек совершенно недостаточно для эффективной аппроксимации данных ОДУ. Связано это с тем, что большинство численных методов решения ОДУ основано на дискретизации расчетной области с небольшим шагом. Совместим дискретизацию области и увеличение количества исходных точек. Перейдем от массива нормированных значений, в программе имеющего идентификатор y0 (Г), длиной шесть точек, к массиву y(t) длиной в 51 точку, разбив каждый год на L = 10 интервалов. Это значение L выбрано достаточно произвольно, но далее показано, что при нем условие сходимости численного метода решения ОДУ выполняется, а следовательно, такую дискретизацию использовать можно.
На каждом интервале [y0(i), y0(i + 1)] вычислим методом линейной интерполяции внутренние точки y(k) (значение в k-й точке внутри отрезка интерполяции, k = 0,51) и, аналогично, ti(k) — время в k-й точке внутри отрезка интерполяции. Для факторов xi такой подход оправдан только в том случае, если достоверно известны моменты их воздействия на систему. В данном же случае,
/по 6
-д- /по 4
0 1 2 3 4 5
Время в годах (Г)
Рис. 6. Исходные данные (Уисх) и прогнозирование по линейным моделям по данным шести и четырех лет
№ 2 (44) 2013
I
о $
эй
Рис. 7. Экранная форма программы
например, возникает вопрос, как именно происходило изменение посевной площади с 999,5 тыс. га в 2005 г. до 959,5 тыс. га в 2006 г. Одна из возможностей — в течение всего 2005 г. была одна посевная площадь, а с начала 2006 г. она изменилась. Другая — площадь менялась линейно. В первом случае необходимо использовать ступенчатую интерполяцию, «распространяя» значение в начале года на весь год («левая» регрессия), во втором — линейную интерполяцию. Возможно также, что статистические данные получены в конце года, тогда надо «распространить» их на весь год «вправо». Так или иначе для каждого нормированного воздействия х, получим интерполированные значения х(к).
Будем интегрировать ОДУ (7) модифицированным методом Эйлера первого порядка, расчетная формула которого
y * ((+ At ) = y (t) +At • f (y (t ),x (t ),t)
y ((+ At ) = y (() +At • f
y^) ,x (()/
(8)
или, переходя к дискретным по времени массивам, получим аналогичный (8) алгоритм
Уг (0) = У , (0)- Уо (0) y; = Уг (к) + (((к +1)-1 (k ))•
5
ao+Х a • x (k)+a • Уг (k)
/=1
Уг (k +1) = Уг (k) + (((k +1)-1 (k ))•
ao+X a • x (k)+a6
Уг (k) + y* 2
После интегрирования вычислим сумму квадратичных отклонений от исходных интерполированных значений
S =Х (((k)- Уг (k ))2 (9)
k =1
и поставим задачу минимизации
a : S1 (amin,/ = 0,6. (10)
При этом верхний индекс в (6) будет принимать значение km = 51 — для аппроксимации по годам 0.5, km = 41 — для аппроксимации по годам 0.4 и прогнозу 5-го года, km = 31 — для аппроксимации по годам 0.3 и прогнозу 4.5-х годов (исходная задача) и т. п.
=v 13
=1
№ 2 (44) 2013
I
to
а
12 §
I §
§ та
I!
S
I §
iE
I t i I
I
I
f
£
0
s
1
&
U
! I
Коэффициенты at ищем, исходя из решения задачи (10) или аналогичной ей задачи
51
S2 = yi (k) - yr (k)| ^ min . Выбор между S1
k=1
и S2 осуществляется в интерфейсе программы. Предварительно массив yr[] заполняется значениями, рассчитанными модифицированным методом Эйлера.
Функция расчета критерия возвращает значение функции оптимизации, в которой реализован следующий модифицированный для ускорения сходимости алгоритм покоординатного спуска:
1. Задать начальную точку A = {a0, a1, ... a6}, установить начальное значение критерия S0 >> 0, максимальное количество итераций.
2. Сбросить глобальный признак продолжения расчета.
3. Установить максимальное значение шага Aa и сбросить признак продолжения расчета.
4. По каждой координате k произвести расчет серии из ±R значений критерия S, расположенных от -R Aa до + R Aa:
4.1. вычислить текущее значение ak;
4.2. вычислить S (A);
4.3. если S < S0, то
4.3.1. S0 = S;
4.3.2. запомнить ak*;
4.3.3. установить признак продолжения расчета и глобальный признак продолжения расчета.
5. Присвоить ak = a*.
6. Конец цикла п. 4.
7. Если признак продолжения расчета
Aa н
не установлен, уменьшить шаг Aa = —1.
8. Пока шаг больше минимального и количество итераций меньше максимального, перейти к п. 4.
9. Пока установлен глобальный признак продолжения расчета и количество итераций меньше максимального, перейти к п. 2.
1 В ходе эксперимента при выполнении п. 7 использовались значения Z = 2 и Z = 10, причем существенной разницы в полученных результатах обнаружено не было.
10. Алгоритм завершен, найдена точка A: S ^ min.
Такой алгоритм позволяет также «выходить» из локальных минимумов за счет увеличения шага поиска при переходе от п. 9 к п. 2.
Обратимся вновь к вопросу выбора аппроксимирующей зависимости для факторов между годовыми значениями. В программе сделан выбор вида интерполяции по всем факторам и исследована погрешность прогнозирования от нее. Получено, что последний фактор должен быть аппроксимирован «слева», а остальные — «справа», при этом достигается погрешность прогнозирования 0,535%. Кроме того, получено еще несколько хороших вариантов настроек видов регрессии, далее обозначенных следующим образом: «0» — правая, «1» — левая, «Л» — линейная, «X» — фактор исключен из модели.
Поскольку погрешность исходных статистических данных неизвестна, но точно не нулевая, проверим приведенные выше выводы построением модели по шести известным точкам (табл. 3) для лучших вариантов настройки регрессий. При этом в качестве основного критерия качества модели разумно использовать значение критерия (6), поскольку он характеризует погрешность полученной модели на всем протяжении модельного времени.
Таким образом, предварительно выбранный вид регрессии факторов «00001», определенный по четырем известным точкам, оказывается наилучшим и при переходе к шести известным точкам. То есть предположения о виде регрессии факторов, принятые по подмножеству известных точек, не изменяются существенно при расчете всего множества известных точек. Определить наилучшее сочетание видов регрессий факторов несложно прямым перебором, так как количество факторов невелико, и допустимо всего три вида их регрессии.
Сравним модули значений коэффициентов ai в (7), найденных описанным способом. При полученной ранее установке регрессии «000001» получим погрешность про-
14
№ 2 (44) 2013
Таблица 3 §
£ о
Установка вида регрессии Погрешность по 4-м исходным точкам Погрешность по 6-ти исходным точкам Значение критерия(9) по 6-ти точкам
10000 3,15% 4,55% 0,01896
00010 0,703% 3,37% 0,01802
00001 0,535% 2,19% 0,01436
00011 3,84% 2,31% 0,01544
10001 2,33% 1,96% 0,01612
000Л1 3,11% 2,63% 0,01561
Зависимость погрешности аппроксимации и прогноза от установки вида регрессии факторов
гноза у (6), равную 1,73% и коэффициенты а0 = -0,0493; а1 = 0,0657; а2 = 0,0978; а3 = 0,4554; а4 = -0,5002; а5 = - 0,0818; а6 = 0,3515. Наименьшие по модулю значения имеют коэффициенты а1, а5 и а2. Произведем прогнозирование, «выключая» факторы х1, х5 и х2 и (х1, х5) одновременно. Получим прогнозы, представленные на рис. 8.
Таким образом, предположение о ничтожности факторов оказалось в данном случае неверным: «выключение» любого фактора приводит к существенному (не ме-
нее чем в 10 раз) росту погрешности прогнозирования.
Модель развития лесозаготовки
Рассмотрим для проверки созданного метода прогнозирования еще одну задачу: прогнозирование развития лесозаготовки в Пермском крае на основании данных [10] (табл. 4).
Это значительно «худшие» данные, чем в задаче о динамике сельского хозяйства.
5 6
Время в годах (Г)
Рис. 8. Прогнозирование с попеременным отключением факторов
15
№ 2 (44) 2013 ' -
Во-первых, следует ожидать, что влияние фактора 4 скажется на возможности лесоразработки только через несколько десятков (или сотен) лет. Во-вторых, интуитивно понятно следующее:
• факторы 5 и 6 не являются независимыми: невозможно вывезти древесины больше, чем вырублено;
• выбранная реакция системы, вероятно, также является линейной функцией фактора 6: невозможно произвести деловую древесину, пока она не вывезена с вырубов.
Однако задача сводится к выяснению следующего:
• возможно ли применение модели на основе ОДУ для данной системы;
• лучше или хуже модель на основе ОДУ (7), чем линейная модель (6);
• какие аппроксимации факторов принять для модели на основе ОДУ;
• можно ли отбросить незначимые факторы и как при этом изменится погрешность прогноза.
Исследуем возможность применения линейной модели (6). Произведем прогнозирование по четырем точкам с учетом всех факторов. Результат прогноза неудовлетворительный (погрешность свыше 33%). «Выключив» сомнительный фактор 4, получим значительно лучший прогноз (рис. 9). Фактор 5 имеет значительно меньшее влия-
ние, чем все остальные. «Выключив» и его тоже, повторим моделирование.
При этом достигается погрешность прогноза: при удалении фактора 4-4,84%; при удалении факторов 4 и 5-9,79%, что приемлемо для большинства практических приложений.
Тем не менее исследуем возможность прогнозирования развития данной системы при помощи модели на основе ОДУ (7). Изложенным выше методом подберем аппроксимацию факторов, сначала пробуя изменить аппроксимацию одиночных факторов, затем — комбинаций тех факторов, при одиночном изменении которых получен наибольший рост точности. Уточнение аппроксимации одиночных факторов не имело большого эффекта. Наилучшим оказалась «правая» аппроксимация х5, поэтому далее произведен перебор видов аппроксимации остальных факторов в комбинации с нею. Найдена лучшая комбинация аппроксимаций «101Х10», при которой погрешность прогноза несущественная. Наименьший по модулю — коэффициент а6. Попытка принудительно установить его в 0 (выбор аппроксимации «101Х1Х») не приводит к существенному росту погрешности, при этом остальные коэффициенты получаются одного порядка, а визуально прогнозные линии при этих трех наилучших аппроксимациях почти неразличимы (рис. 10).
I ^
12 §
*
I §
§ та
I
з Е
Л I 1
I
£
I
I
£
I
И
0
15
1
&
и
I
I
Таблица 4
Сведения о состоянии лесозаготовки в Пермском крае
Год 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Уисх(0 Производство деловой древесины, тыс . м3 2 679,2 2 762 2 824,2 2 188 1 934,1 1 629,2
Х() Среднегодовая численность работников, тыс . чел . 8,7 6,8 6,5 5,9 4,3 3,4
Х() Инвестиции в основной капитал, млн руб . 134,7 56 75,5 97,7 57,1 45,2
т Число предприятий и организаций (на конец года) 617 598 519 569 582 607
т Лесовосстановление, тыс . га 26,4 25,8 25,2 25,5 21,2 22,9
Х() Фактическая рубка, тыс . м3 5 097,8 5 053,1 5 108,1 6 720 6 578,3 6 284,5
Х6(0 Вывозка древесины, тыс . м3 3 685 3 742,4 4 228,3 2 920,2 2 550 2 556
№ 2 (44) 2013
УР)
1,2
- по все - - - - без а4 - - - - без а4 и а5
I
О $
эй
0,4 -
0,2 -
0 1 2 3 4 5 6
Время в годах (1)
Рис. 9. Результат прогнозирования по линейной модели с удалением факторов
уР)
1,2
1
0,8 0,6
0,2 0 -0,2
— по -- 000100 ----001X10 ----101X10
Время в
0 1 2 3 4 5 6
Рис. 10. Результат прогнозирования по дифференциальной модели с разной аппроксимацией и удалением факторов
С экономической точки зрения полученный результат означает, что не только лесо-восстановление, но и вывозка леса не оказывают существенного влияния на динамику лесозаготовки. Коэффициент при у (^ получился отрицательный, что вполне объяснимо — действительно, лес является медленно восстанавливаемым ресурсом, и увеличение заготовок ведет к их замедлению вследствие ухудшения доступности леса, износа основных фондов и других причин. Коэффициент при факторе 2 (инвестиции) положительный, что также не противоречит здравому смыслу и т. д.
Выполнив поиск коэффициентов по всем шести точкам с установленной аппроксима-
цией «101Х1Х», как было бы сделано при попытке спрогнозировать развитие лесного комплекса на годы после 2010-го, получим коэффициенты, незначительно отличающиеся от полученных по четырем годам. Это говорит о том, что предположение о возможности отброса факторов 4 и 6 и о характере аппроксимации остальных факторов — верное.
Заключение
Для решения задачи, имеющей известное аналитическое решение, и двух задач, основанных на реальных данных, разработано программное средство, реализующее модель многофакторной системы на основе
17
-ч ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА
№ 2 (44) 2013 ' -
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, а также методика его использования согласно следующему алгоритму:
1. Проанализировать факторы в доступных данных, предварительно наметить возможные для отбрасывания.
2. Проверить возможность прогноза по линейной многофакторной модели (2), установив линейную аппроксимацию всех факторов. Если результат удовлетворительный, проверить, нельзя ли отбросить факторы с наименьшим по модулю коэффициентом влияния.
3. Проверить возможность прогноза <g по дифференциальной многофакторной мо-§ дели:
<| 3.1. задать «левую» аппроксимацию всех g факторов;
§ 3.2. попробовать каждому из факторов | (по одному) провести «правую» аппрокси-| мацию;
| 3.3. если найден один фактор, «правая» § аппроксимация которого улучшает точность ! прогноза, попробовать всем другим факто-^ рам (по одному) провести «правую» аппрок-| симацию;
<5 3.4. если найдены два фактора с пред-^ почтительной «правой» аппроксимацией, ^ попробовать третий и т. д.; is 3.5. если есть сомнительный (-ые) фак-Ц тор (-ы), попробовать отбросить их и повто-Ц рить пункты алгоритма 3.1-3.5; i 3.6. если модуль одного из коэффициен-| тов значительно меньше, чем у других, по-=с пробовать отбросить его и повторить пункты & алгоритма 3.1-3.5.
Ц 4. Проверить, что коэффициенты не измерз няются значительно, если принять во внима-jg ние все имеющиеся данные (по всем годам). | 5. Сделать вывод о значимости (и знаке) У факторов на динамику развития системы. ¡2 Полученные в ходе вычислительного экс-та перимента результаты позволяют основную <3 идею работы — о предпочтительности диф-Ц ференциальных моделей по сравнению с ли-I нейными — считать состоятельной. Предел ложенный метод моделирования и прогно-
зирования может после уточнения видов регрессий факторов применяться для прогнозирования поведения многофакторных социально-экономических систем.
Список литературы
1. Акаев А. А. Анализ решений общего уравнения макроэкономической динамики // Экономика и математические методы. 2012. № 44/3.
2. Арнольд В. И. Теория катастроф. М.: Наука. 1990.
3. Глазьев С. Ю. Тенденции и проблемы экономического развития России // Современная конкуренция. 2007. № 2-3.
4. Дзюба С. А. Модели управления подсистемами предприятия в сфере среднего бизнеса и их инструментальное обеспечение: автореферат дисс. ... докт. экон. наук. 2011. Электронный ресурс: режим доступа http://econom.nsc.ru/ieie/ news/zashiti/avtoref/mart12/dzuba.pdf.
5. Затонский А. В. Преимущества дифференциальных моделей в эколого-экономическом моделировании // Известия Томского политехнического университета. 2012. № 5.
6. Киселкина О. В. Проблемы развития быстрорастущих компаний в российской экономике // Современная конкуренция. 2013. № 1 (37).
7. Лосев К. С. Мифы и заблуждения в экологии. М.: Научный мир, 2010.
8. Миролюбова А. А. Методология моделирования инвестиционного процесса в реальном секторе экономики региона: автореф. дисс. . докт. экон. наук. 2012. Электронный ресурс: режим доступа http://vak.ed.gov.rU/common//img/ uploaded/files/MirolubovaAA.docx.
9. Мицек Е. Б. Эконометрическое моделирование инвестиций в основной капитал экономики России: автореф. дисс. ... докт. экон. наук. 2011. Электронный ресурс: режим доступа http://vak.ed.gov.ru/common/img/uploaded/files/ MitsekEB.doc.
10. Пермьстат — федеральная служба государственной статистики. Электронный ресурс: режим доступа http://permstat.gks.ru.
11. Файзрахманов Р. А. Моделирование и управление материальными потоками производственной системы с учетом факторов неопределенности и риска. Пермь: Изд-во Перм. гос. ун-та. 2002.
