CC BY
7
Челябинский физико-математический журнал. 2023. Т. 8, вып. 2. С. 173-189.
УДК.517.9 Б01: 10.47475/2500-0101-2023-18202
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АЛГЕБРЫ й/2(М) И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
М. В. Нещадим1", А. А. Симонов2 6, А. П. Чупахин3,с
1 Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск, Россия 2Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия 3Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирск, Россия "neshch@math.nsc.ru, ьa.simonov@g.nsu.ru, сchupakhin@hydro.nsc.ru
Найдены все неэквивалентные представления алгебры з/2(М) в пространстве векторных полей УесЛ М2. Для каждого из найденных представлений описаны все обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие данные представления, в терминах базиса дифференциальных инвариантов и операторов инвариантного дифференцирования. Также найдены операторы Казимира соответствующей универсальной обёртывающей алгебры, проинтегрированы уравнения, порождённые оператором Казимира, и доказана алгебраическая независимость операторов инвариантного дифференцирования и оператора Казимира.
Ключевые слова: алгебра з/2(М), групповой анализ дифференциальных уравнений, операторы Казимира, операторы инвариантного дифференцирования.
Введение
Свойства симметрии, групповые свойства позволяют строить широкие классы точных решений для уравнений с частными производными [1-9]. Для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) группа симметрии и соответствующая ей алгебра Ли зачастую определяют алгебраические и геометрические конструкции, связанные с данным уравнением. Возможно, исключительными с этой точки зрения представляются две простые алгебры Ли минимальной размерности: алгебры во3 (М) и з/2(М). Относительно первой имеется обширная литература по представлениям группы вращений и сферическим функциям. Геометрические аспекты второй также обширны. Данная работа представляет собой собрание некоторых фактов, связывающих алгебру з/2(М) и обыкновенные дифференциальные уравнения, свойства их интегрируемости и геометрические структуры. Принципиальным моментом в приложении алгебры з/2(М) к дифференциальным уравнениям является то, что разные её представления реализуют различные уравнения и связанные с ними дифференциальные инварианты.
Начнем с классического результата С. Ли, изложенного, например, в [10]. Говорят, что система обыкновенных дифференциальных уравнений
— = ^(¿,жьж2 ,...,Хп), г = 1, 2,... ,п, (1)
аъ
обладает фундаментальной системой решений, если общее решение этой системы выражается через конечное число т частных решений формулами, содержащими п произвольных констант. Имеет место следующая теорема.
Работа выполнена при финансовой поддержке программ фундаментальных научных исследований СО РАН № Ш.22.4.1 и СО РАН № Т.1.5 (проект Е,№МЕ-2022-0009).
Теорема (С. Ли). Система (1) обладает фундаментальной системой решений, если правые части представимы в специальном виде Гг = (х) +... + Тг (х)
так, что операторы Ха = £га(х)дхг, а = 1, 2,... ,г, образуют г-мерную алгебру Ли.
Алгебра з/2(К), представленная операторами
X! = ду, Х2 = уду, Хз = у2ду, (2)
даёт пример этой теоремы в виде уравнения Риккати
|Х = Р (х) + Я(х)у + Я(х)у2.
С. Ли доказал, что всякая трёхпараметрическая группа преобразований на прямой совпадает (с точностью до замены переменных) с группой проективных преобразований, порождённой трёхмерной алгеброй Ли с базисом (2).
Обыкновенные дифференциальные уравнения старшего порядка порождаются, как правило, дифференциальными инвариантами групп симметрии и соответствующих алгебр. Например, в [11] приведена таблица 7 неподобных трёхмерных алгебр Ли и инвариантных уравнений. В частности, под номером 12 находится алгебра з/2(К), представленная операторами (2), и соответствующее уравнение
У'" = 2 у + / (х)у'.
С этим уравнением связан оператор инвариантного дифференцирования для этого представления, которое содержит в чистом виде производную Шварца
у''' 3 у''2
М = —¡2 = / (х).
у' 2 у'2
Расширения групп (и алгебр) Ли связаны с геометрическими конструкциями коциклов [12], а для алгебры з/2(К) — с наличием производной Шварца.
Производная Шварца была открыта Лагранжем. Шварциан встречался также в работе Куммера, датированной 1836 годом; название ему дал Кэли. В наши дни шварциан встречается преимущественно в работах, посвящённых классическому комплексному анализу и одномерной динамике. В современной математической физике производная Шварца связана в основном с конформной теорией поля.
Производная Шварца является простейшим проективным дифференциальным инвариантом, а именно, инвариантом диффеоморфизма проективной прямой относительно естественного действия БЬ2(Ж) на КР1.
Отметим, что если с производной Шварца связать форму
2
*(/) = (/ - 3 /")
где / : КР1 ^ КР1 — некоторый диффеоморфизм, то
1) для проективного преобразования д выполнено *(д) = 0 и *(д о /) = *(/),
2) для произвольных диффеоморфизмов д, / имеем Б(д о /) = Б(д) о / + *(/), где р о / = (/'(х))2а(/(х))(^х)2, р = а(х)(^х)2 в аффинной системе координат х е Я и = КР1.
Свойство 2) означает, что * является коциклом.
Группа БЬ(2, М), соответствующая алгебре з/2(М), обладает многими замечательными свойствами, ей посвящена монография [13].
Во-первых, это некомпактная простая группа Ли минимальной размерности, то есть простейший представитель большого семейства, включающего линейные, ортогональные, унитарные и симплектические группы над полями вещественных и комплексных чисел и телом кватернионов.
Во-вторых, группа БЬ(2, М) имеет несколько геометрических реализаций. А именно: она является группой движений плоскости Лобачевского, группой симметрии теории относительности в трёхмерном пространстве-времени (так называемая «укороченная группа Лоренца»), группой автоморфизмов любой односвязной области на комплексной плоскости, в частности единичного круга и верхней полуплоскости, группой конформных (дробно-линейных) преобразований в одномерном вещественном пространстве.
Также в [13, с. 277] приведено представление алгебры з/2(М) следующего вида:
612 м ¿1 = дх, 621 м ¿2 = (у2 - х2)дх — 2худу, а м Ь = 2хдх + 2уду.
При этом оператор Лапласа Ь = —у2(дХ + ду) = ¿3 — 1 (Ь2Ь3 + Ь3Ь2) является БЬ(2, М)-инвариантом. Это означает, что если
( а в \ ат(п тпЛ аг + в
а = их е БЬ(2, М), ах-
^х + 8
и та — оператор сдвига, та/(х) = / (ах), то таоЬ = Ьота. В этом примере реализуется другое представление и свойство инвариантности выступает в виде, восходящем к Трессе, теории дифференциальных инвариантов и операторов инвариантного дифференцирования. Основы данной теории изложены в [3, гл. VII]. Приведём основные результаты этой теории.
Оператор 8 называется оператором инвариантного дифференцирования группы Ог, если для любого дифференциального инварианта Г группы Ог выражение 8Г также является дифференциальным инвариантом этой группы.
Совокупность всех скалярных дифференциальных инвариантов группы Ог называется полем инвариантов группы Ог.
Множество операторов инвариантного дифференцирования группы Ог является алгеброй Ли над полем инвариантов этой группы.
Для любой группы Ог преобразований пространства Мп(х) х Мт(у) существует п операторов инвариантного дифференцирования, линейно независимых над полем инвариантов этой группы.
Для любой группы Ог существует конечный базис дифференциальных инвариантов, т. е. такой конечный набор скалярных дифференциальных инвариантов, что любой дифференциальный инвариант этой группы получается из инвариантов базиса с помощью конечного числа функциональных операций и операций инвариантного дифференцирования.
Определяющим свойством операторов инвариантного дифференцирования группы непрерывных преобразований является их коммутирование со всеми преобразованиями группы. Вместе с тем в абстрактной алгебре имеется конструкция центра универсальной обёртывающей алгебры, которая обладает подобными свойствами.
Так, хорошо известно [14, с. 140], что элемент а2 + 2(е12е21 + б21е12) является порождающим центра (оператор Казимира) универсальной обёртывающей алгебры
и (^(М)).
В монографии [15, с. 315] сформулировано утверждение, что алгебра з/2(К) изоморфна алгебре Л, порождённой элементами р2, д2, рд + др, где элементы р, д — порождающие алгебры Вейля Л!(К) = (р, д\\'рд — др = 1). Причём изоморфизм задаётся отображением
^ ас —а^ ^ 2(а(рд+др)+ьд2—ф2).
Изоморфизм основан на том, что в алгебре Л^К) выполнены соотношения [р2, д2] = 2(рд + др), [рд,р2] = — 2р2, [рд, д2] = 2д2.
В монографии [16] приведена классификация простых модулей для алгебры з/2(К). В [15, с. 306] приводится классификация конечномерных представлений над полем комплексных чисел трёхмерных простых алгебр Ли: з/2(К) и зо3(К).
Приведённые примеры, несомненно, являются фрагментами некоторой общей теории представлений группы БЬ(2, К) и соответствующей алгебры. В данной работе описаны конструкции, связанные с применением алгебры в12 (К) к обыкновенным дифференциальным уравнениям и дифференциальным инвариантам. Эти конструкции подчёркивают важность выбора представления алгебры для иллюстрации тех или иных свойств.
В §1 данной работы найдены все неэквивалентные представления алгебры з/2(К) в пространстве векторных полей Уее1 К2. В §2 для каждого из найденных представлений описаны все обыкновенные дифференциальные уравнения, допускающие данные представления, в терминах базиса дифференциальных инвариантов и операторов инвариантного дифференцирования. В §3 для представлений из §1 найдены операторы Казимира соответствующей универсальной обёртывающей алгебры, проинтегрированы уравнения, порождённые оператором Казимира, и доказана алгебраическая независимость операторов инвариантного дифференцирования и оператора Казимира. Все рассматриваемые функции предполагаются достаточно гладкими, и вычисления проводятся в предположении общего положения.
1. Представления алгебры (К) в пространство векторных полей Уее1 К2
Алгебра з/2(К) порождается матрицами
01 \ ( 00 \ ( 10'
612 ='00 Г 621 -110/'" V 0 -1
и имеет следующую таблицу коммутаторов:
е12 е21 а
б12 0 а — 2612
б21 —а 0 2в21
а 2в12 — 2в21 0
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Все представления алгебры з/2(К) в пространство векторных полей Уее1 К2 эквивалентны одному из следующих:
1) а = дх, 612 = §б2хдх, 621 = — 16 2хдх, где е = ±1;
2) а = дх, 612 = 62хду, 621 = 6-2х (удх + (у2 + А)ду), где А = 0, ±1.
Доказательство. Рассмотрим случай представления алгебры з/2(М) в пространство векторных полей Уес1 М1. Можно считать, что а = дх. Пусть 612 = адх, 621 = вдх, где а, в — некоторые функции переменной х. В силу коммутаторных соотношений получаем
[612, 621] = (ав' — а'в)дх = дх, [612, а] = —а'дх = —2адх, [621, а] = —в'дх = 2вдх.
Следовательно, а = ао62х, в = во6-2х, 4аово = — 1, где ао, во — константы. Полагая, ао = 2, во = — , р = 0, получим
а = дх, 612 = р62хдх, 621 = — т16-2хдх. 2 2Р
Замена переменных х = у — уо приводит операторы к виду
а = ду, 612 = 2 62у 6-2у0 ду, 621 = — 2р6-2у 62у0 ду.
Положим р6-2у0 = е = ±1. Тогда операторы а, 612, 621, после замены переменной у на х, примут вид
а = дх, 612 = е62хдх, 621 = — е6-2хдх.
Рассмотрим случай представления алгебры з/2(М) в пространство векторных полей Уее1 М2, не сводящиеся к представлению в Уее1 М1. Можно считать, что а = дх. Пусть
612 = адх + вду, 621 = 1дх + 8ду,
где а, в, 7, 8 — некоторые функции переменных х, у. Также считаем, что в = 0 или 8 = 0. В силу коммутаторных соотношений [а,612] = 2612, [а,621] = — 2621 получаем
612 = 62х(а1дх + в1ду), 621 = 6-2х(71дх + 81ду),
где а1, в1, 71, 81 — некоторые функции переменной у.
Пусть в1 = 0. Выпрямим оператор а1дх + в1ду. Из уравнения характеристик
в,х йу а1 в1
находим инвариант р = х — / ^ву. В переменных р, у операторы а, а1 дх + в1ду примут вид др, в1ду соответственно. Так как х = р + / ^ву, то
612 = 62Р+/ ^Лув1ду = 62рв2ду,
где в2 = 0 — функция переменной у.
Введём переменную х = х(у): в2х'(у) = 1. Тогда в переменных р, х:
а = др, 612 = 62рдх, 621 = 6-2р(^2др + &2дх),
где 72, 82 — некоторые функции переменной х. Итак, можно считать, что
а = дх, 612 = 62хду, 621 = 6-2х(71дх + 8^),
где Yi, — некоторые функции переменной у.
Из коммутаторного соотношения [e12, e21] = a получаем
Yidx + ($1 - 2yi)dy = dx.
Следовательно, y1 = 1, $1 — 2y1 = 0. Отсюда y1 = У + Y2, $1 = У2 + 2^/2у + $2, где y2, $2 — некоторые константы. Замена переменных у + y2 ^ У приводит операторы к виду
a = dx, e12 = e2xdy, e21 = e-2x(ydx + (у2 + A)dy),
где A — некоторая константа. Кроме того, показано, что если в = 0, то и $ = 0. Далее заметим, что замена переменных
p = x + p0, q = ye2p0, q0 = const
не меняет вид операторов a, e12, а оператор e21 преобразует к виду
e21 = e-2p(qdp + (q2 + Ae4p0 )дд).
Действительно, a(p) = 1, a(q) = 0, e12(p) = 0, e12(q) = e2xe2p0 = e2p, e21(p) = e-2xy = e-2pq, e21(q) = e-2x(y2 + A)e2p0 = e-2p(q2 + Ae4p0). Если A = 0, то выбираем p0 так, чтобы Ae4p0 = ±1. □
Замечание 1. Все представления для алгебры sl2 (R) в пространство векторных полей Vect R2, полученные в теореме 1, не являются сильно эквивалентными [17]. Действительно, представления 1) и 2) не являются сильно эквивалентными, так как они имеют разный ранг — представление 1) имеет ранг r = 1, а представление 2) имеет ранг r = 2.
Далее, пусть представления
a = dx, e12 = 2 e2xdx, e21 = — 1 e-2x dx,
и
a = dx, e12 = — 2 e2xdx, e21 = 2 e-2x dx,
сильно эквивалентны. Тогда существует замена переменных p = p(x, у), q = q(x, у), такая, что операторы
a = dx, e12 = 2 e2xdx, e21 = —1 e-2x dx, в переменных p, q имеют вид
a = dp, e12 = — 2 e2pdp, e21 = 2 e-2pdp.
Но тогда a(p) = px = 1, e12(p) = 2e2xpx = — 1 e2p — противоречивая система равенств, так как рассматриваются замены переменных над полем вещественных чисел.
Рассмотрим представление 2). Пусть замена переменных p = p(x^), q = q(x^) сохраняет вид операторов a, e12, т.е. a(p) = 1, a(q) = 0, e12(p) = 0, e12(q) = e2p. Тогда p = x + p0, q = ув2р0 + q0, где p0, q0 — некоторые константы. Следовательно, e21(p) = e-2xy = e-2p(q — q0). Так как e21(p) = e-2pq, то q0 = 0. Далее
e21(q) = e-2x(:x)2 + A)e2p0 = e-2p(q2 + Ae4p0).
Так как A = 0, ±1, то p0 = 0. Итак, три представления 2) не являются сильно эквивалентными.
2. Обыкновенные дифференциальные уравнения,
связанные с найденными представлениями алгебры в12 (М)
Получим классификацию обыкновенных дифференциальных уравнений для каждого из найденных представлений алгебры в/2(М) в терминах базиса дифференциальных инвариантов и операторов инвариантного дифференцирования.
Теорема 2. 1. Базис дифференциальных инвариантов для представления
а = дх, 612 = е62хдх, 621 = — 2 6-2х дх,
где е = ±1 составляют,
г у''' + 2 3(у'')2
У, 1 = +
(у')3 (у')2 2 (у')4 •
Оператор инвариантного дифференцирования имеет вид
8 = А д
у'
где Д — оператор полной производной по переменной х и все ОДУ порядка п + 3, п = 0,1, 2,..., допускающие данное представление алгебры в/2(М), имеют вид
Ф(у, 1,81,..., 8п1) = 0
для некоторой функции Ф.
2. Базис дифференциальных инвариантов для представления
а = дх, 612 = 62хду, 621 = 6-2х (удх + (у2 + А)ду) ,
где А = 0, ±1, составляет
3 = 1(в2 + 4А)-3/2 + 6 ^в2 + 4А)-3/2вв + 24^ (в2 + 4А)-5/2вв
где в = у' — 2у, í = у" — 4у. Оператор инвариантного дифференцирования имеет, вид
8 = (в2 + 4А)-1/2Д,
где Д — оператор полной производной по переменной х и все ОДУ порядка п + 2, п = 0,1, 2,..., допускающие данное представление алгебры в/2(М), имеют вид
Ф(3,83,...,8п3) = 0
для некоторой функции Ф.
Доказательство. Пусть V = £дх + г/ду, где £ = £(х,у), п = п(х,у), — некоторый линейный дифференциальный оператор. Тогда его продолжения на пространство М(х, у, у', у",..., у(п),...) находятся по следующим реккурентным формулам:
Vl = V + щду', где П1 = Д(п) — у' Д(£),
V2 = Vl + ц2ду11, где П2 = Д(П1) — у''Д(£), Vз = V2 + пзду'", где пз = Д(щ) — у'''Д(£),
и т. д. Если построено п-е продолжение Уп, то (п + 1)-е продолжение Уп+1 находится по формуле Уп+1 = Уп + Пп+1ду(п+1), где Пп+1 = Б(цп) — у(п+1) Б(£). Все продолжения оператора а совпадают с ним самим. Докажем вспомогательное утверждение.
Лемма 1. Если оператор У имеет вид У = ерхдх, р € К, то его п-е продолжение находится по формуле Уп = Уп-1 + цпду(п), где пп = -ерх((р + Б)п — Пп)у'.
Доказательство. База индукции п =1. Имеем
П1 = Б(п) — у'Б(£) = Д0) — у'Б(ерх) = —ерх((р + Б) — Б)у'. Шаг индукции п ^ п + 1:
Пп+1
Б(Пп) — У(п+1)Б(^) = Б (—ерх((р + Б)п — Бп)у') — у(п+1)Б(ерх)
= —рерх((р + Б)п — Бп)у' — ерх((р + Б)пБ — Бп+1)у' — рерхБпу' = = —ерх (р(р + Б)п + (р + Б)пБ — Бп+1) у' = —ерх ((р + Б)п+1 — Бп+1) у'.
□
Для того, чтобы найти базис дифференциальных инвариантов, в соответствии с общей теорией [3] надо операторы а, е12, е21 продолжить к раз, где число к определяется условием: к — наименьшее, такое, что ранг г к к раз продолженных операторов равен 3. Тогда базис дифференциальных инвариантов составляют инварианты (к + 1)-го продолжения.
Рассмотрим операторы
а = дх, 612 = ^е хд:
е21
— 2 е-2х дх,
где е = ±1. Вычисления показывают, что к = 2, т. е. надо взять 3-е продолжение операторов, которое выглядит следующим образом (знак е не влияет на вычисление продолжения операторов и нахождение инвариантов, поэтому он не присутствует в таблице):
е п П1 П2 Пз
дх 1 0 0 0 0
е2хдх е2х 0 — 2е2ху' —е2х (4у' + 4у'') —е2х(8у' + 12у'' + 6у''')
е-2хдх е-2х 0 2е-2ху' —е-2х(4у' — 4у'') е-2х(8у' — 12у'' + 6у''')
Ясно, что г1 = 2, г2 = 3 = г3.
Так как присутствует оператор дх, то инварианты не зависят от переменной х. Поэтому инварианты надо искать в пространстве К(у,у',у'',у'''). Переменная у является инвариантом. Для нахождения ещё одного инварианта рассмотрим операторы
Ь1 = у'ду + 2(у' + у'')ду, + (4у' + 6у'' + 3у"')ду"',
Ь2 = у'ду/ + 2(—у' + у'')ду// + (4у' — 6у'' + 3у'")ду/",
которые получены из продолженных операторов е2хдх, е-2хдх очевидным образом. Далее возьмём их линейные комбинации
■ = 1(Ь1 + Ь2) = у'ду/ + 2у''ду» + (4у' + 3у"')ду"', ■ = 1 (Ьх — Ь2) = у'ду, + 3у"душ.
Инвариантами оператора и^ являются выражения
= = у''' + 2у'
р (у')2' 9 (у')3 •
В переменных у', р, д операторы и^, и2 принимают вид
и = у' ду, и2 = у1 (др + Эрдд )•
Следовательно, выражение I = д — |р2 является искомым дифференциальным инвариантом. Подставляя выражения для р, д, получаем
. = +2 3 (у'')2
1 / о +
(у')3 (у')2 2 (у')4 •
Остаётся найти операторы инвариантного дифференцирования. Для этого, в соответствии с общей теорией [3], надо рассмотреть второе продолжение операторов а, б12, 621. Обозначим эти продолжения соответственно:
и1 = дх, и2 = 62хдх — 2б2ху'ду/ — 4б2х(у' + у'')ду/,
из = б-2хдх + 2б-2ху'ду/ — 4б-2х(у' — у'')ду/ и найдём функцию Л = Л (ж, у, у', у''), такую, что
и1(Л) = ЛД(1), и2(Л) = ЛД(б2х), из(Л) = ЛД(б-2х).
Тогда оператор инвариантного дифференцирования можно взять в виде 8 = ЛД. Вычисления показывают, что Л = , где <^(у) — произвольная ненулевая функция. Полагая <^(у) = 1, получим оператор инвариантного дифференцирования
8=у Д.
у'
Рассмотрим операторы а = дх, е12 = е2хду, е21 = е-2х (удх + (у2 + А)ду), где А = 0, ±1. Вычисления показывают к = 1, т. е. надо взять 2-е продолжение операторов:
£ П
дх 1 0
б2хду 0 б2х
6-2х (удх + (у2 + А)ду) — 2х 6 у б-2х(у2 + А)
П1 П2
0 0
2б2х 4б2х
2б-2х (—2у2 — 2А + 4уу' — у'2) б-2х(4у2 + 4А — 12уу' + 6у'2 + 6уу'' — 3у'у'')
Ясно, что г1 = 3 = г2.
Так как присутствует оператор дх, то инварианты не зависят от переменной ж. Поэтому инварианты надо искать в пространстве К(у,у',у''). Рассмотрим операторы Ь1 = ду + 2ду/ + 4ду//,
62 = (у2 + А)ду + (—2у2 — 2А + 4уу' — у'2)ду + (4у2 + 4А — 12уу' + 6у'2 + 6уу'' — 3уУ')ду/,
которые получены из продолженных операторов е2хду, 6 2х (удх + (у2 + А)ду) очевидным образом. Далее возьмём их линейные комбинации
Ь1 = ду + 2ду/ + 4ду//,
■2 = (—4у2 — 4А + 4уу' — у'2)ду/ + (—12уу' + 6у'2 + 6уу'' — 3у' у'')ду//. Инвариантами оператора Ь1 являются выражения
в = у' — 2у, * = у'' — 4у.
В переменных у, в, £ операторы Ь1, ■2 принимают вид
Ь1 = ду, ■ = —(в2 + 4А)д3 + (6в2 — 3в*)д4.
Вычисления показывают, что инвариант имеет вид
./ = г(.2 + 4А)-3/2 + 6 / (82 + 4А)"3/2^й + 24 /+ 4А)-5/2Л.
(Независимо от того, А = 0 или А = 0).
Остаётся найти операторы инвариантного дифференцирования. Для этого в соответствии с общей теорией [3] надо рассмотреть первое продолжение операторов а, е12, е21. Обозначим эти продолжения соответственно:
■1 = дх, ■2 = е2хду + 2б2хду/,
■з = е-2худх + 2е-2х(у2 + А)ду + е-2х(—2у2 — 2А + 4уу' — у'2)ду/ и найдём функцию Л = А(х,у,у'), такую, что
■1(Л) = ЛБ(1), Ш2(Л) = ЛБ(0), ^з(Л) = АБ(е-2х у).
Тогда оператор инвариантного дифференцирования можно взять в виде 8 = ЛБ. Вычисления показывают, что Л = С (в2 + 4А)-1/2, где С — произвольная ненулевая константа. Полагая С =1, получим 8 = (в2 + 4А)-1/2Б — оператор инвариантного дифференцирования. □
Пример 1. Рассмотрим уравнение
у''' 2 3 (у'')2
Перепишем его в виде Положим г = у': Разделим на гг':
(у')3 (у')2 2 (у')4
у'''у' + 2у'2 — 2 у''2 = 0.
г''г + 2г2 - 3г'2 = 0.
г _ г 3 г ^ / 2 3,-,,» _
-Т + 2-:---= 0, (1п г')' + --- — (1п г)' = 0,
г' г' 2 г ' 1 ; (1п г)' 21 ; '
2 3 2 1
(1п(г '/г) + 1п г)' + — — 2(1п г)' = 0, (1п(1п г)')' + — — 2(1п г)' = 0.
Положим и = (1п г)':
и' „ . .2 1
— + (1п г)' +--- и = 0.
и и 2
Отсюда
/ 1 2
и' = -и2 - 2.
Последовательным интегрированием находим
61 , п
У = 2х , г> + 6з' е2х + 62
где 61, 62, 63 — произвольные константы.
3. Операторы Казимира, операторы инвариантного
дифференцирования и операция продолжения операторов алгебры симметрии дифференциального уравнения
Предложение 1. Порождающий X центра универсальной обёртывающей алгебры и (^(К))
1) для представления а = дх, е12 = |е2хдх, е21 = — |е-2хдх, е = ±1, тривиален, т. е. X = 0,
2) для представления а = дх, е12 = е2хду, е21 = е-2х (удх + (у2 + А)ду), А = 0, ±1, имеет вид X = дх + 4удхду + 4(у2 + А^ + 8уду + 2дх.
Доказательство. Порождающий X центра универсальной обёртывающей алгебры и(з/2(К)) имеет представление [14, с. 140] X = а2 + 2(е12е21 + е21е12).
Пусть и = и(х,у) — некоторая функция. Для представления 1) получаем
(а2 + 2(в12в21 + ецец))^ =
дх2 + 2 (|е2хдх) о (—|е-2хдх) + 2 (— |е-2хдх) о (|е2хдх)) и =
= ихх — 1(е2х(е-2хих )х + (е-2х(е2хих)х) = ^х — 2(ихх — 2и + ихх + 2их) = 0.
Таким образом, X = 0.
Для представления 2) получаем
(а2 + 2(в12в21 + бцбц))™ = = ихх + 2е2х (е-2хуи + е-2х(у2 + А)иу)у + 2е-2ху(е2хи)х + 2е-2х(у2 + А)(е2хиу)у = = ихх + 2(их + уиху + 2уиу + (у2 + А)и>уу) + 2(2уиу + уиху + (у2 + А)иуу) = = ихх + 4уиху + 4(у2 + А)и>уу + 8уиу + 2их. Итак, X = дх + 4удхду + 4(у2 + А)ду + 8уду + 2дх. □
Предложение 2. Уравнение Xw = ихх + 4уиху + 4(у2 + А)иуу + 8уиу + 2их = 0 в подходящей системе координат принимает вид ит+Аигг = 0 и, соответственно, интегрируется.
Доказательство. Пусть оператор V имеет вид V = дх + 2уду. Тогда уравнение принимает вид V2(и) + 4Аиуу + 2V(и) = 0. Введём переменные р = х — 11пу, 5 = 2 1п у. Тогда V(р) = 0, V(в) = 1 и уравнение принимает вид
и^ + 4Аиуу + 2и8 = 0.
Если А = 0, то и33 + 2и« = 0 и и = ^(р) + у^(р), где ^(р), ^(р) — произвольные функции.
Пусть А = 0. Пересчитаем производную иуу в переменных р, в. Имеем
11 1 . 1 .
ту = -—ир + 2^^«, иуу = —(ирр - 2ирз + и««) + 2у2(ир - щ8).
Так как у2 = е4«, то уравнение принимает вид
и.3з + 2и« + Ае-4« ((ирр - 2ир.3 + и««) + 2(ир - и«)) = 0
или ((52 + 25«) + Ае-4«((5Р - 5«)2 + 2(5Р - 5«))) и = 0. В переменных а = р + 5, в = р уравнение принимает вид (иаа + 2иа) + Ае-4(а-в) (иде + 2ив) = 0 или
е4а (иаа + 2и„) + Ае4в (ивв + 2ив) = 0, (е2а5«)2и + А(е2в 5в )2и = 0.
Введём переменные q = - 2е-2а, г = - 2е-2в. Тогда
е2а5«(д) = 1, е2а5«(5) = 0,
е2в 5в (д) = 0, е2в 5в (в) = 1
и уравнение принимает вид ияя + Аигг = 0. Если А = -1, то это волновое уравнение, и его общее решение имеет вид и = f (д + г) + #(д - г), где f (•), $(•) — произвольные функции одного аргумента. Если А = 1, то это уравнение Лапласа (и — гармоническая функция), и его общее решение имеет вид и = И.е(£(¿0), где £(¿) — произвольная аналитическая функция аргумента г = д + ¿г. □
Предложение 3. Для операторов Х2 = 5у, Х2 = у5у, Х3 = у25у базис дифференциальных инвариантов составляют выражения
Т=у:_ з
х и 3 = у' 2 у'2,
а оператор инвариантного дифференцирования 5 равен оператору полной производной Б: 5 = Б. Отметим, что 3 — производная Шварца.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.
Предложение 4. 1. Порождающий Z центра универсальной обёртывающей алгебры и(з/2(Е)) для представления предложения 3 тривиален Z = 0.
2. Порождающий Zте центра универсальной обёртывающей алгебры и(з/2(Е)) для бесконечно продолженного представления предложения 3 имеет вид
те те п
= 2 ^ уку15к5[ - 2 ^ ^ СПукуп-к5п5о,
к,1=0 п=0 к=0
где
уп = у(п), 5п = 5уп, п = 1,2,..., уо = у, 5о = 5у. Доказательство. Используя изоморфизм
е12 м-Хз, е21 м Х1, а м 2X2,
получаем, что оператор Казимира — порождающий центра универсальной обёртывающей алгебры и(5/2(К)), для данного представления имеет вид
X = 2Х22 - (Х1Х3 + Х3Х1).
Подставляя представление для операторов Х1, Х2, Х3, получаем, что X = 0. Первое продолжение операторов Х1, Х2, Х3 имеет вид
Хм = ду, Х2,1 = уду + у'ду, Х3,1 = у25у + 2уу'5у/.
Соответствующий оператор Казимира есть
х = 2x2,1 - (^1,1X3,1 + Х3,1X1,1) = 2у/2д;,.
Таким образом, оператор Казимира для данного представления алгебры Ь может быть равен нулю, а оператор Казимира для продолженного представления алгебры Ь не равен нулю.
Далее найдём бесконечное продолжение операторов Х1, Х2, Х3 и соответствующий оператор Казимира. Введём обозначения
Уп = У(п), д„ = дуп, п =1, 2,..., уо = у, до = ду.
Тогда
те
А = Х1,те = до, В = Х2,те = ^Упд„.
п=0
А для нахождения оператора С = Х3,те воспользуемся формулой Лейбница дифференцирования произведения
М(п) = £ СП м(%(п-й),
й=0
где СП = ^¡(тп- fc)! — биномиальный коэффициент. Имеем
п
Яп(у2) = £ С^УйУп-л. й=0
Следовательно,
те п
С = Х3,те = £ £ СЛУйУп-йд5
п=0 й=0
Соответствующий оператор Казимира имеет вид
Хте = 2В2 - (АС + СА) =
те \ 2 те п те п
= 2 | ^ Упдп I - д0 о ^ ^ С^УйУп-йдп - ^ ^ С„УйУп-йдпд0 = \п=0 / п=0 й=0 п=0 й=0
те те те те
2 УйУгдйдг + 2 ^ ^ Упдп - 2 ^ ^ Упдп - 2 ^ ^ С^УйУп-йдпд,
й,г=0 п=0 п=0 п=0 й=0
тете = 2 ^ УйУгдйд - 2 ^ ^ С^УйУпдпд0.
й,1=0 п=0 й=0
Итак,
те п
ik y
упУкУп-кк-'пк-
k,l=0 n=0 k=0
= 2 ^ ykyidkд - 2 E СПVkVn-kdndo.
□
Замечание 2. Оператор инвариантного дифференцирования $ = Б является дифференциальным оператором первого порядка и действует в бесконечномерном пространстве у, у1,...):
5 = дх + Е Уп+А
ух
n=0
Кроме того, выполнены равенства [$, А] = [$, В] = [$, С] = 0. Следовательно, [$, = 0. Также А] = В] = С] = 0 и оператор ^ является дифференциальным оператором второго порядка.
Предложение 5. Операторы и $ алгебраически независимы над полем инвариантов алгебры з/2(Е) для представления предложения 3.
Доказательство. Заметим, что ) = 0 и
= п(п - 1)уп, п =1, 2,....
Так как = 2В2 - (АС + СА) и А(3) = В(3) = С(3) = 0, то ) = 3
и, более того, )) = ) для любых многочленов <^(у), ) с
постоянными коэффициентами.
Пусть f (р,д) — ненулевой многочлен от переменных р, д с коэффициентами из поля инвариантов алгебры з/2(К) для данного представления. Запишем его по степеням д:
т
,.1.
f = Е ql gi(p).
Имеем
l=0
m m
f ^,5)(ynJ) = £5lgl(Z^)(ynJ) = £5l (gi(Z^)(yn)J)
уте/\У "У / " Vi" V теу l=0 l=0
m
E E Clk 5k (gl^)(yn))5l-k (J) = (gm^)(yn))5m(J) + S, l=0 k=0
где слагаемое S содержит производные y(s) порядка меньше, чем m + 3. Кроме того, если многочлен gm(p) = 0, найдётся такое натуральное n, что gm(Z^(yn) = 0. Итак, оператор f (Z^ 5) не является тождественно нулевым, поэтому операторы Zте и 5 алгебраически независимы над полем инвариантов алгебры s/2(R) для данного представления. □
Список литературы
1. Чеботарев Н. Г. Теория групп Ли. М.; Л. : ГИТТЛ, 1940.
2. MiuraR. M. Backlund transformations. Heidelberg : Springer, 1976.
3. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М. : Наука, 1978.
4. Поммаре ^К. Системы уравнений с частными производными и псевдогруппы Ли. М. : Мир, 1983.
5. Ибрагимов Н. Х. Группы преобразований в математической физике. М. : Наука, 1983.
6. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М. : Мир, 1989.
7. Виноградов А. М. Симметрии и законы сохранений уравнений математической физики. М. : Факториал, 1997.
8. Виноградов А. М. Когомологический анализ уравнений с частными производными и вторичное исчисление. М. : МЦНМО, 2021.
9. Капцов О. В. Методы интегрирования уравнений с частными производными. М. : Физматлит, 2009.
10. Ибрагимов Н. Х. Азбука группового анализа // Математика, кибернетика. 1989. № 8. C. 3-44.
11. Ибрагимов Н. Х. Опыт группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений // Математика, кибернетика. 1991. № 7. C. 3-47.
12. Овсиенко В. Ю., Табачников С. Л. Проективная дифференциальная геометрия. Старое и новое: от производной Шварца до когомологий групп диффеоморфизмов. М. : МЦНМО, 2008.
13. ЛенгС. SL2(R). М. : Мир, 1977.
14. ^Келобенко Д. П. Основные структуры и методы теории представлений. М. : МЦНМО, 2004.
15. Кириллов А. А. Элементы теории представлений. М. : Наука, 1978.
16. Гишарде А. Когомологии топологических групп и алгебр Ли. М. : Мир, 1984.
17. Михайличенко Г. Г. Групповая симметрия физических структур. Барнаул : Барнаул. гос. пед. ун-т, 2003.
Поступила в 'редакцию 08.06.2022. После переработки 23.12.2022.
Сведения об авторах
Нещадим Михаил Владимирович, доктор физико-математических наук, доцент, заведующий лабораторией обратных задач математической физики, Институт математики СО РАН имени С.Л.Соболева, Новосибирск, Россия; email: neshch@math.nsc.ru Симонов Андрей Артёмович, кандидат физико-математических наук, доцент, Новосибирский государственный университет, Новосибирск, Россия; e-mail: a.simonov@g.nsu.ru Чупахин Александр Павлович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией дифференциальных уравнений, Институт гидродинамики СО РАН имени М. А. Лаврентьева, Новосибирск, Россия; e-mail: chupakhin@hydro.nsc.ru.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2023. Vol. 8, iss. 2. P. 173-189.
DOI: 10.47475/2500-0101-2023-18202
REPRESENTATIONS OF ALGEBRA s/2(R) AND ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
M.V. Neshchadim1", A.A. Simonov26, A.P. Chupakhin3,c
1Sobolev Institute of Mathematics of Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, Russia
2Novosibirsk State University, Novosibirsk, Russia
3 Lavrentyev Institute of Hydrodynamics of Siberian Branch of the Russian Academy of Sciences, Novosibirsk, Russia
"neshch@math.nsc.ru, ba.simonov@g.nsu.ru, cchupakhin@hydro.nsc.ru
We describe all nonequivalent representations of the algebra sZ2 (R) in the space of vector fields Vect R2. For each of these representations all ordinary differential equations admitting representation data were found in terms of a basis differential invariants and operators of the invariant differentiation. We also found the Casimir operators of the corresponding universal enveloping algebra, the equations generated by the Casimir operator are integrated and the algebraic independence of the operators of invariant differentiation and Casimir operator are proved.
Keywords: algebra sZ2(R), group analysis of differential equations, Casimir operator, operator of the invariant differentiation.
References
1. Chebotarev N.G. Teoriya grupp Li [Li groups theory]. Moscow, Leningrad, GITTL, 1940. (In Russ.).
2. MiuraR.M. Backlund Transformations. Heidelberg, Springer, 1976.
3. Ovsyannikov L.V. Group Analysis of Differential Equations. New York, Academic Press, 1982.
4. PommaretJ. Systems of Partial Differential Equations and Lie Pseudogroups. New York, Gordon and Breach Science Publ., 1978.
5. Ibragimov N.H. Transformation Groups Applied to Mathematical Physics. Dordrecht, D.Riedel Publ., 1985.
6. Olver P.J. Application of Lie Groups to Differential Equations. New York, Springer, 2000.
7. Vinogradov A.M. (ed.). Symmetries of Partial Differential Equations: Conservation Laws, Applications, Algorithms. Dordrecht, Boston, London, Kluwer Acad. Publ., 1989.
8. Vinogradov A.M. Cohomological Analysis of Partial Differential Equations and Secondary Calculus. American Mathematical Society, 2001.
9. Kaptsov O.V. Metody integrirovaniya uravneniy s chastnymi proizvodnymi [Methods of Integration of Equations with Partial Derivatives]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2009. (In Russ.).
10. Ibragimov N.H. Azbuka gruppovogo analiza [ABC of group analysis]. Matematika, kibernetika [Mathematics, cybernetics]. 1989, no. 8, pp. 3-44. (In Russ.).
11. Ibragimov N.H. Opyt gruppovogo analiza [Group analysis experience]. Matematika, kibernetika [Mathematics, cybernetics]. 1991, no. 7, pp. 3-47. (In Russ.).
The work was carried out with the financial support of the programs of fundamental scientific research of SB RAS No. III.22.4.1 and SB RAS No. I.1.5 (project FWNF-2022-0009).
12. Ovsienko V.Yu., Tabachnikov S.L. Proyektivnaya differentsial'naya geometriya. Staroye i novoye: ot proizvodnoy Shvartsa do kogomologiy grupp diffeomorfizmov [Projective differential geometry. Old and new: from the Schwarzian derivative to the cohomologies of diffeomorphisms groups]. Moscow, MTsNMO, 2008. (In Russ.).
13. LangS. SL2(R). Reading, Addison-Wesley Publ., 1975.
14. Zhelobenko D.P. Osnovnye struktury i metody teorii predstavleniy [Basic structures and methods of representation theory]. Moscow, MTsNMO, 2004. (In Russ.).
15. KirillovA.A. Elements of the Theory of Representations. Berlin, New York, SpringerVerlag, 1976.
16. Gisharde A. Kogomologii topologicheskikh grupp i algebr Li [Cohomologies of topological groups and Lie algebras]. Moscow, Mir, 1984. (In Russ.).
17. Mikhalichenko G.G. Gruppovaya simmetriya fizicheskikh struktur [Group symmetry of physical structures]. Barnaul, Barnaul State Pedagogical University, 2003. (In Russ.).
Article received 08.06.2022.
Corrections received 23.12.2022.
