ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ БЕСКОНЕЧНЫМИ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ БЕСКОНЕЧНЫМИ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ Шмойлов В.И. Email: Shmoylov698@scientifictext.ru

Шмойлов Владимир Ильич - старший научный сотрудник, Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог

Аннотация: показывается, что комплексные числа представляются бесконечными вещественными последовательностями. Особо рассматривается случай представления комплексных чисел знакоположительными вещественными последовательностями. Формулируются условия сходимости таких знакоположительных последовательностей. Приводятся примеры «восстановления» комплексных чисел по вещественным последовательностям. Рассматриваются способы представления комплексных чисел бесконечными непрерывными дробями с вещественными элементами.

Ключевые слова: сходимость, непрерывные дроби, комплексные числа, вещественные последовательности, R/^-алгоритм.

ON THE REPRESENTATION OF COMPLEX NUMBERS BY INFINITE REAL SEQUENCES WITH POSITIVE ELEMENTS

Shmoylov V.I.

Shmoylov Vladimir Iliich - Senior Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG

Abstract it is shown that complex numbers are represented by infinite real sequences. The case of representation of complex numbers by sign-positive real sequences is considered in particular. Conditions for convergence of such sign-positive sequences are formulated. Examples of "recovery" of complex numbers from real sequences are given. Methods for representing complex numbers by infinite continuous fractions with real elements are considered.

Keywords: continuous fractions, complex numbers, oscillating sequences, R'^-algorithm.

УДК 517.524

Введение

В публикациях [1 - 5] показывалось, что бесконечные вещественные последовательности могут иметь комплексные значения. В [6] были сформулированы условия сходимости непрерывных дробей:

Непрерывная дробь с вещественными элементами

, , ai а2 ап bo + Т" I- -

Ь1 + Ь2+-+ „ + •••

сходится и имеет в общем случае комплексное значение , если существуют пределы

Г = limn7 Ш=11 рп/Qn I , (1)

| р0 | = 7Г lim —, (2)

п->оэ 71

где - значение -й подходящей дроби,

кп - число подходящих дробей, имеющих отрицательные значения из совокупности, содержащей п подходящих дробей.

В г/ф-алгоритме, описываемым формулами (1) и (2), находятся значения последовательностей, элементами которых выступают вещественные подходящие непрерывных дробей. Для суммирования других бесконечных вещественных последовательностей в [7] было предложено обобщение г/ф-алгоритма. Этот алгоритм, обозначаемый как Е/ф-алгоритм, имеет такую формулировку:

Бесконечная вещественная последовательность {/П}П=1 сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число , если существуют пределы

г0 = И т7ПП=ГШ, (3)

71—>

\ а> 0 \=п 11т—, (4)

п-> п

где /П - значение п-го элемента последовательности,

кп - число элементов /п, имеющих отрицательные значения, из совокупности, включающей п элементов этой последовательности.

Следует подчеркнуть, что как в г/ф-алгоритме, так в Е/ф-алгоритме, комплексные значения вещественных последовательностей определяются при условии, что часть элементов последовательностей имеет отрицательные значения. Формулы (2) и (4), устанавливающие аргумент комплексных чисел по элементам вещественных последовательностей, прямо указывают на то, что аргумент отличен от нуля, если в бесконечной вещественной последовательности будет некая фиксированная часть элементов с отрицательными значениями.

Оказалось, однако, что комплексные числа г = г0е190 могут представляться не только осциллирующими относительно нуля вещественными последовательностями, то есть последовательностями, содержащими как положительные, так и отрицательные элементы, но и представляться осциллирующими знакоположительными вещественными последовательностями [8]. Под осциллирующими знакоположительными последовательностями понимаются последовательности, элементы которых изменяются, оставаясь при этом элементами, имеющими положительные значения. Таким образом, не только знакопеременные вещественные последовательности могут «расшифровываться» как комплексные числа, но как комплексные числа могут «расшифровываться» и знакоположительные осциллирующие последовательности.

Это обстоятельство имеет значительный теоретический интерес, так как позволяет по-новому взглянуть на вопросы сходимости бесконечных вещественных последовательностей, являющиеся одними из центральных в математическом анализе

[9 - 12].

1. Представление комплексных чисел бесконечными последовательностями вещественных элементов

Корень квадратного уравнения

х2 — рх — <7 = 0 (5)

может быть записан непрерывной дробью:

Ч Ч Ч х = р+ — ; х = р-\--х = р-\--л—; ....

* Р+1

Р + Х

Таким образом, корень квадратного уравнения (5) представляется непрерывной дробью

^Я Я Я х = р +— — - . (6)

г р + р + -- + р + -- у '

Непрерывная дробь (6) сходящаяся, если корень действительный и, очевидно, расходящаяся, если корень комплексный.

Если корни квадратного уравнения комплексные

х1 = а + №, х2 = а — №,

то квадратное уравнение имеет вид:

х2 - 2ах + (а2 + Ъ2) = 0.

а2 + Ь2 а2 + Ь2 а2 + Ь2

х = а + ( Ь = 2а---- —-- —-- .

2а — 2а ----- 2а — •••

М О2 + Ь2 а2 + Ь2 а2 + Ь2 ,оч

(Ь = Ь е1г=а---- —- —- . (8)

2а — 2а ----- 2а — •••

Из непрерывной дроби (8) при фиксированных значениях а можно записать непрерывные дроби с действительными элементами, представляющими мнимое число I Ь. Например,

М 1 + ь2 1+ Ь2 1 + ь2 ,т

¿Ь = Ье12 = 1___________—2~_шшш . (9)

М 4 + Ь2 4 + Ь2 4 + Ь2 ,1АЧ

I Ь = Ь е12 = 2--— —— —— , (10)

2 - 2 -•• — 2 -

4 + Ь2 4 + Ь2 4 + Ь2

4 - 4 -• — 4 -

9 + Ь2 9 + Ь2 9 + Ь2

I Ь = Ь ег2 = 3--— —— —— . (11)

6 — 6 ----- 6 ----

При Ь = 1 имеем непрерывные дроби для мнимой единицы:

,— м а2 + 1 а2 +1 а2 +1 ^ = ( = 1 е12 = а--^— ^— ^— , (12)

(13)

(14)

(15)

Следует заметить, что представление мнимой единицы непрерывной дробью (13) нецелесообразно с практической точки зрения, так как среди подходящих периодически встречаются пары со значениями «0» и «да».

Используя приведенные дроби, запишем непрерывные дроби для мнимого числа

i2:

2 а — 2 а — ---- 2 а

2 2 2

= 1 -- — —

2

5 5 5

= 2 -- _ _

4 — 4----

о 10 10 10

а — ~6 -

5 5 5

~ 2 - 2-- — 2—

8 8 8

~ 4 _ 4_.. — 4 —

13 13 13

12 = 2е1г = 3 — ^ ^ .

6 — 6 —----6 — •••

Рассмотрим ещё один приём представления мнимого числа непрерывной дробью с вещественными элементами. Известна непрерывная дробь Никипорца [13]:

11 1

е"Р = 2со sp--- - . (16)

2 cos ср — 2 cos ср-----2 cos ср----

Непрерывная дробь Никипорца может быть получена из формулы Эйлера

ei<P + ei<P

cos (р =-.

т 2

Непрер^1вная дробь (16) следует также из непрерывной дроби (7), если рассматривать квадратное уравнение

х2 — 2 cos срх + 1 = 0,

имеющее корни

Подходящие непрерывной дроби (16) определяются выражением Рп sin(n + 1)ср

Qn sin пер

С использованием г/(^-алгоритма в [14] было установлено значение предела:

sinfn + 1)(B

Mm —--— = el<p . (18)

n->co sin ncp

Этот предел известен как предел Никипорца [15], названный по имени таганрогского математика А.З. Никипорца (1896 - 1972), впервые рассмотревшего этот предел.

.71

Мнимое число ib представим как be1?. Тогда, используя непрерывную дробь Никипорца, можно записать

м 7Г 1 1 1

ib = be 2=b[2со s----л --л --л ]. (19)

z 2cos-2 2cos-2 2cos-2

Мнимое число ib представляется бесконечной вещественной

последовательностью:

Р sin 2 i р sin з5 р sin(n + l)^

i = b~^. f = b—i..... f = b ■ л-..... (20)

Vi sin-2 sin2-2 Vn sinn-2

Так как в (20) встречается операция «деление на ноль», то (19) и (20) запишем

формулами, включающими малую величину е:

ib«b[2cos(|-e)---1-г--1-г_______1-].

z 2 cos Г2 — £ ) 2 cos \2~ е) 2 cos I— е )

рг sin2(|-e) р2 sin3(|-e) pn sin(n +1) - е) Gi sin(^-e) СЬ sin2(^-e) <2n sinn^-e)

Если b = 1 , то получим представление мнимой единицы бесконечной вещественной последовательностью:

nil 1

i=2cos--~-л"-л_______л. / (21)

z 2cos-2 2cos-2 2cos-2

( 7Г л00

sin(n + 1)

7Г

sinn-2

При использовании е:

i ~ 2 cos - е) -

2 cos £) 2 cos —£) 2 cos —£) ísin(n + 1) — £) )

шсаны

а + ib, (22)

sinn (

'n=l

Комплексные числа могут быть записаны в алгебраической, показательной и тригонометрической формах:

V а 2 + b 2eiarct3a, (23)

л/а2 +Ь2 (со s (arc tg b / а) + is in (arctg b/а) ) . (24)

Или в виде:

rel(p, r(cos cp + i sin cp), r cos cp + r sin cp. Из предела Никипорца следует, что комплексное число, записанное в показательной форме, может быть представлено бесконечной вещественной последовательностью:

rsinfn + 1 )а>

r ei <"=r\ —--— i . (25)

I sin ncp )n=1

Элементы этой вещественной последовательности имеют вид:

sin 2 <р sin Зср sin(n + l)<p

fí=r—-, f2=r———, ..., fn=r-:-, ... . (26)

sin^o sin2^£> sin nq>

Значения элементов (26) - это значения подходящих непрерывной дроби, которой представляется корень квадратного уравнения

х 2 — 2 г с о б х + г 2 = 0 . (27)

ге1(р = 2г cos ср —;

2r cos ср — 2r cos ср-----2г cos — •

/ 11 1 \

= г 2cos® - -- -- -- .

V 2 cos ср — 2 cos -----2 cos ----)

Используя (28), можно записать непрерывную дробь:

(28)

а + ib = Va2 + b2elarctaa =

= Va2Tb2 [2 со s(arctgb)----g-_---g-________r_J. (29)

2 eos (arctg—) 2 eos (arctg—) "' 2 eos (arctg—) "'

Подходящие непрерывной дроби (28):

/ 2 I , 2 sin[(n + l)arctg Ь/a]

— = V a 2+b2-—- —. (30)

Qn sin(n arctg b/a)

Комплексное число в алгебраической форме a + ib может быть представлено

бесконечной последовательностью вещественных чисел, осциллирующих

относительно нуля:

i-(sin[(n + l)arctq b/a\)°° ,- . t ,,

a + ib = Ja 2 + b 21 —---, , ' J [ = V a 2 + b2 el b/a. (31)

{_ sin(n arctg b/a) Jn=i

Из (31) можно записать бесконечные последовательности вещественных чисел,

осциллирующих относительно нуля, которые представляют мнимые числа:

i-(sin[(n + 1 )arctq Ь/а"Л°° ™

ib = V02Tb2) [(, ), / J [ -a = ge -. (32)

{_ sin (ti arctg b/a) Jn=i где а - произвольное вещественное число.

При фиксированных значениях а имеем бесконечные вещественные последовательности, осциллирующее относительно нуля, для мнимых чисел.

i-(sin[(n + l)arctq Ь1")°° ¡^

ib = V 1 + b2) —T-7- , J [ -l = be'2. (33)

l sin (ti arctg b) Jn=i

i-(sin[(n + l)arctq b/2\]°° м

ib = л/4 + Ь2 —^---.. ' — 2 = be 2,

----,, ' }■ -2=b el2. (34)

sin(ti arctg b/2) Jn=i

/-(sin[(n + 1 )arctq b/31)

ib = V 9 + b 21 —---[ -3 = b el2. (35)

v [ sm(n arctg b/3) jn=1 v ;

При b = 1, имеем бесконечные вещественные последовательности для мнимой единицы:

лГТ ' л/2 ísin^n + ^>arct91]|°° i i ¡7 36

1 ' 2( s in (n arctg 1) J 1 1 £ . (36)

V-1 = i=V5ÍS i n [(" +1} ^ 1/2 ] Г -2 = 1 Л. (37)

[ sin(n arctg 1/2) J

, |sin[(n + l)arctg l/3]j°° 3 38

1 1 1 s i n (n arctg 1/ 3 ) J 3 1 £ . (38)

Запишем бесконечные вещественные последовательности, представляющие мнимое число :

^fsin[(n + l)arctg 2]j°° \ 2 ^ 39

' 2 5( s in (n arctg 2 ) J 1 2 £ (39)

(sinfín + í)arcta ll-) °°

i 2 = V8| —-J ^ Д ] [ -2 = 2 (40)

[ sin(n arctg 1) J

^у^ |sin[(n + i)arctg 2/3]j°° 32'^ 41

12 1 3( s in (n arctg 2 / 3) J 3 2 6 ' (41)

Обращаясь к непрерывной дроби, представляющей sf—l, например, к непрерывной дроби (14), запишем:

a + i b = V a2 + b2 [ со s ^ ar c t g — j + ^ 2 —— — — ^js i n ^ arc tg — j ] . (42) Применяя непрерывную дробь (8) можно записать непрерывную дробь для i arc t g-:

a

b a2 + (arctg a2 + (arctg a2 + (arctg

iarctg— = a--Ц--— -Ц--— -Ц--—

a 2a — 2 a ----- 2 a —

Используя непрерывную дробь Никипорца (16), запишем

Ь

х = а + iarctg — =

/arctg b/a\

(43)

( b\2 a2 + larctg—J [2 cos

V a

2 cos (агуа) " 2 cos ^ctgb/aj " - " 2 cos (arCtf b/a) ~ -

Комплексное число a + iarct g b /a может быть представлено последовательностью вещественных чисел, осциллирующих относительно нуля:

Ь

а + iarctg — =

Ь\

а2 + •—<-- 1

/ й\- sin[(п д V arctg b/a] i

( arctg-) -a-\ . (44)

4 aj sinfe arctg b/a)

v a J11= 1

sin[ v" д ^ arctg b/a] | Tí

sin(— arctg b/a)

b

iarctg — =

a2+\

( b\- binL--- шади/и J

(ar С tg-) -a-\ -a. (45)

\ I я'п(д nrr-tn h/аЛ I

Определение комплексных значений бесконечных последовательностей с вещественными элементами

Далее будет рассмотрено «восстановление» двух комплексных чисел

zx = 3 ei0.2 и z-¿ = 2 e3c0s0.1 ei3sin0. 1 по последовательностям с вещественными элементами. Следует отметить, что каждое комплексное число z-y_ и z2 представляется последовательностями двух видов: последовательностями, элементы которых осциллируют относительно нуля, и знакоположительными последовательностями.

2.1. гг = 3 е10 2. R/ф-алгоритм тригонометрической формы Пользуясь непрерывной дробью Никипорца (16), запишем

3ei 0 2 = 3(2 с о sO . 2-—1—— „ * „ * ) . (46)

Ч 2 cos 0.2 — 2 cos 0.2-----2 cos 0.2----J

Значения подходящих непрерывной дроби (46) определяются формулой

Еп = 2 sin [ (п+1 0,2] (47)

Qn sin(n0,2) '

На рис. 1 показаны значения подходящих непрерывной дроби (46), представляющих комплексное число .

z = 3ei0j2

Рис. 1. Представление z = 3 el0,2 подходящими непрерывной дроби

Граф на рис. 1 включает как положительные так и отрицательные отсчёты. Граф, представляющий комплексные числа, элементы которого осциллируют относительно нуля, будем называть графом комплексности первого рода. По вещественным подходящим (47)

?! _ sin(2 ■ 0,2) QÍ ~ sin(l ■ 0,2)'

Р2 _ sin(3 ■ 0,2) В« Q2 sin(2 ■ 0,2)..... Q„

= 3

sin [(n + 1)0,2]

(48)

зт(п0,2)

которые имеют как положительные, так и отрицательные значения, Я/ф-алгоритмом, то есть формулами (3) и (4), установим комплексное значение корня квадратного уравнения .

Результаты определения комплексного корня х = 3 е' 0' 2 приведены в табл. 1.

Таблица 1. Определение значения непрерывной дроби 3eto,2 = 6 cos о.2 -■

6 eos 0.2 — 6 cos 0.2-----6 cos 0.2----

(49)

Номер, n Значения подходящих, Pn/Qn Значения модуля, rn Значения аргумента, <Рп Погрешность £г = |3 -гп\ Погрешность = 10,2 — (рп |

1 5.8803994670 5.8803994670 0 2.8803994670 0.2

2 4.3498911996 5.0575782635 0 2.0575782635 0.2

4 3.5190513978 4.3037628643 0 1.3037628643 0.2

8 2.9227891610 3.6594538757 0 0.6594538757 0.2

16 13.132926002 3.0475748128 0.1963495408 0.0475748128 0.0036504591

65536 4.0978558445 3.0000524833 0.1999927452 0.0000524833 0.0000072547

131072 3.3656033292 3.0000349101 0.1999927452 0.0000349101 0.0000072547

262144 2.7353856352 3.0000167995 0.1999927452 0.0000167995 0.0000072547

524288 3.7049828092 3.0000076707 0.1999987373 0.0000076707 0.0000012626

1048576 3.0903518702 3.0000046206 0.1999987373 0.0000046206 0.0000012626

2.2. г! = 3 е' 0 2. Шф-алгоритм тригонометрической формы Используя непрерывную дробь (9), запишем непрерывную дробь представляющую мнимое число :

1 + 0,04 1 + 0,04 1 + 0,04 ¿0,2 = 1--

Следовательно, можно записать:

2 -----

1+0,04 1+0,04

2

Зе'0'2 = Зе 2 - 2 ----- 2 -■■■'

Аппроксиманты выражения (51) имеют вид:

Д = Зе1 = 8,154843 ...,

1+0,04

/2 = Зе1 г- = 4,848222 ...,

„ 1+0,04 1+0,04

2 - 2 = 4,038645

(50)

(51)

/з = 3е

1,04 1,04

1,04 - 2

/„ = 3 е " 2 - 2 -■ ■ ■ - 2 . (57)

Аппроксиманты для построения вещественной последовательности,

представляющей комплексное число , могут быть даны в ином, более удобном для программирования виде, если воспользоваться для записи мнимых чисел формулой (32). Например,

sin [(n+l)arctg 0,2] l J7 — Зб? ' sin(n arctg 0,2)

Следует отметить, что выражения (49) и (51), представляющие одно и то же комплексное число, равное , принципиально отличаются друг от друга.

Подходящие непрерывной дроби (49), определяемые формулой (47), очевидно, принимают как положительные, так и отрицательные значения, в то время как аппроксиманты выражения (51) положительны, так как значения показательной функции положительные.

На рис. 2 показаны значения аппроксимант показательной функции (51), которая также, как и дробь (49), представляет комплексное число

z = Зе'0,2

Рис. 2. Представление z = Зе10,2 аппроксимантами показательной функции

В табл. 2 приведены результаты вычисления показательной функции (53), представляющей то же комплексное число 3 е' 2 , которое вычислялась г/ф-алгоритмом с использованием непрерывной дроби (49).

Таблица 2. Определение значения показательной функции

1.04 1.04 1.04

3 е'°2 = 3 е 1 "2-2-. . -2-. . . . (53)

г0 = 3 ,ср0 = 0.2.

Номер, n Значения аппроксимант, fn Значения модуля, гй Значения аргумента, <Рп Погрешность £,. = |3 -гп\ Погрешность = 10,2 — <р„ |

1 8.1548454853 8,1548454853 0,0000000000 5,1548454850 0,2000000000

2 4.8482232065 6,2878065434 0,0000000000 3,2878065430 0,2000000000

4 3.6581063470 4,9161216952 0,0000000000 1,9161216950 0,2000000000

8 2.9949831910 3,9623119471 0,0000000000 0,9623119470 0,2000000000

16 60.256610769 6,2715872350 0,1963495408 3,2715872350 0,0036504591

65536 2.1854460886 2,9982514370 0,1973562157 0,0017485629 0,0026437842

131072 2.7274005369 2,9995785246 0,1973801841 0,0004214753 0,0026198158

262144 3.5286841165 2.9997296470 0.1973921684 0.0002703529 0.0026078315

524288 2.8764294292 3.0000190743 0.1973921684 0.0000190742 0.0026078315

В колонке 2 приведены значения приближений или аппроксимант /й показательной функции (53). Все значения /й положительные в отличие от значений подходящих непрерывной дроби (49), представляющей то же комплексное число З е' 0 2. Значения модуля г„ и аргумента <рй комплексного числа, которое представляет показательная функция (53) с вещественными элементами, определялись R/qy(+)-алгоритмом, который имеет следующую формулировку:

Бесконечная вещественная знакоположительная последовательность {/й}П=1 , для которой не выполняется критерий сходимости Коши, т.е. знакоположительная последовательность, расходящаяся в классическом смысле, сходится к комплексному числу z = г0е' 90, если существует пределы

ro = lim„ _ ТШЗ, (54)

| 0 | = 7Г lim —, (55)

п->оо Л

где /й - n-й элемент знакоположительной последовательности {/й}П=: , kn - число элементов знакоположительной последовательности {/й}П= 1, изменяющих характер последовательности (возрастающая/ убывающая), из совокупности, содержащей n элементов этой последовательности.

Так как R/й-алгоритм использует подходящие вида sin ^ + 1 19 , то этот алгоритм

sin п<р

будем называть R/q-алгоритмом тригонометрической формы. В К/ф(+)-алгоритме

sin(n+i)<p

аппроксиманты вида е s inn<P , поэтому будем именовать этот алгоритм R/q-алгоритмом показательной формы.

На рис. 2 показана ниспадающая «пила» значений fn, которая однако прерывается, после чего «пила» значений fn поднимается вверх. На рис. 2 отчётливо видны «особые» точки, в которых изменяется характер последовательностей. Изменения значений аппроксимант fn периодически повторяются, что прослеживается на рис. 2.

В третьей колонке табл. 2 приводятся значения модуля , получаемые по значениям аппроксимант с использованием формулы (54). Из анализа числа «особых» точек, в которых достигаются частные минимумы значений и изменяется характер хода элементов знакоположительной последовательности, по формуле (55) определяются значения аргумента (pn. Результаты вычислений значений аргумента (pn по формуле (55) приведены в четвертой колонке табл. 2.

Основное отличие Шф(+)-алгоритма от R/да-алгоритма состоит в том, что в R/p(+)-алгоритме используется только знакоположительные аппроксиманты, а не осциллирующие относительно нулевого уровня подходящие. Это обстоятельство несколько осложняет определение значения аргумента комплексного числа, которое представляется бесконечной знакоположительной вещественной

последовательностью.

2.3. z = 2 е3cos0ле13Sln 0 Ч R/q-алгоритм тригонометрической формы

Построим вещественную последовательность представляющие комплексное число z = 2 е3(coso■ 1+teln о■ i) = 2 е3cos0■ ie'3s'n о■ i

z = r0el9» , r0 = 2e3cos0■ 1 = 39 ■ 543443..., p„ = 3sin0, 1 = 0 ■299 5 0. . . (56)

Используя непрерывную дробь Никипорца (9), представим показательную функцию мнимого аргумента непрерывной дробью с вещественными

элементами:

50 ■ ^ 2 с о s ( 3 s i n0 ■ 1 )--1- -1- ) (57)

V 4 ' 2 cos(3 sin 0.1) — 2 cos(3 sin 0.1)----J v 7

;0 ■ 1 rs;m]jn+13Sn£1l) °° (5g)

l sin(n3 sin 0.1) Jn=1"

Подходящие непрерывной дроби (57) определяются формулой:

Pn , П, sin[(71 + 1)3 sin 0,1]

TT =2e 0s01 r ч ■ n n ' J ■ (59)

Qn sin|n3 sin 0,1J

На рис. 3 показаны значения подходящих непрерывной дроби (57), представляющей комплексное число .

PJQr,

Illlllh iiiiii ...... lili Iiiiii Iiiiii iiiiii Hin Iii Him ...... ...... lim llinii n

1 i 150

Рис. 3. Представление г = 2 е3С05° . 1е31!!1п 0. 1; В табл. 3 представлены результаты определения значения непрерывной дроби (57).

Таблица 3. Определение значения непрерывной дроби 2e3cos0.1e3isin0.1 =2e3cos0.1 2 C0s(3 Sin 0.1)

1 1

(60)

2 cos(3 sin 0.1) — 2 cos(3 sin 0.1) — rn = 2e3cos01 = 39.573443 ..., cp0 = 3 sin 0.1 = 0,299500....

Номер, n Значения подходящих, Pn/Qn Значения модуля, гп Значения аргумента, <Рп Погрешность £г = \г0 ~ гп\ Погрешность р сср = \<Ро-<Рп\

1 75.623694623 75.623694623 0 36.О5О19565О О.2995ОО2499

2 54.915О81684 64.442853502 0 24.869354528 О.2995ОО2499

4 42.378О77263 53.658844762 0 14.О85345788 О.2995ОО2499

S 25.167327748 41.498664075 0 1.9251651О22 О.2995ОО2499

16 36.88О3О3373 42.514532110 0.1963495408 2.941О331368 О.1О315О7О9О

32 11О.51816ОО2 40.078812183 0.2945243112 О.5О53132О95 О.ОО49759386

65536 21.543829922 39.573543139 0.2994618119 О.ОООО441655 О.ОООО38438О

131О72 33.S67S397S9 39.573804192 0.2994857803 О.ООО3О52189 О.ОООО144695

262144 53.122521526 39.573652176 0.2994977646 О.ООО1532О24 О.ООООО24853

5242SS 41.О15191581 39.573591069 0.2994977646 О.ОООО92О961 О.ООООО24853

1О48576 18.134816253 39.573490200 0.2994977646 О.ООООО87725 О.ООООО24853

Значения модулей и аргументов , помещённых, соответственно, в колонках 3 и 4 табл. 3, определялись г/ф-алгоритмом, т. е. формулами (1) и (2). Из табл. 3 следует, что комплексное число

представленное вещественной последовательностью (58) подходящих дробей {Ри/ <2И} 5 7 6 , восстановлено с высокой точностью Я/ф-алгоритмом тригонометрической формы, задаваемым формулами (3) и (4). 2.4. г = 2 е 3 сох01е 3 'х'п 0 1 . R/ф-алгоритм показательной формы Построим знакоположительную вещественную последовательность, представляющую комплексное число

Используя непрерывную дробь (9) для мнимого числа , запишем: 1 + (3 этО.!)2 1 + (3 этО.!)2 1 + (Ззт0.1)2

Í3sin0,l = 1 — -

1+(3 sin 0.1) 1+(3 sin 0.1) e¿3sin0,l _ g1 2 - 2

l+(3 sin 0.1) - 2

Следовательно, можно записать:

„ l+(3sin0.1)2 l+(3sin0.1)2 3eos0.1gi3sin 0.1 _ 2g3eos0.1^g1 2-2

Аппроксиманты показательной функции (63):

Д = 2e3cos01e,

1+(3 sinO.l)2 _ 2g3coso.i 1 -

1+(3 sin 0.1) - 2

(61) (62)

(63)

/2

/2 = 2e3cos01

l+(3 sin 0.1) l+(3 sin 0.1) 2-2

fn = 2e3

l+(3 sin 0.1) l+(3 sin 0.1)

1+(3 sin 0.1) - 2

Аппроксиманты /й для построения знакоположительной последовательности, представляющей комплексное число z = 2 е3 eos0 ■ хе'3 sm 0 ■1, могут быть записаны в ином виде, если воспользоваться формулой (32). Например, при а = 1 можно записать значения аппроксимант:

fn = 2e3

Vi+(3 s

—sin[(n+l)arctg(3sin0,l)] l ' sin[n arctg(3 sin 0,1)] '

На рис. 4 показаны значения аппроксимант (64) показательной функции (63), которая, как и непрерывная дробь (60), представляет комплексное число

Рис. 4. Представление г = 2е3с0550. 1е1 3 5 1п 0.1 аппроксимантами (64)

В табл. 4 приведены результаты вычисления показательной функции (62), представляющей то же комплексное число , которое выше

определялось г/^-алгоритмом с использованием непрерывной дроби (66)

Таблица 4. Определение значения показательной функции

l + (3Sin0.l)2 l + (3Sin0.l)2 l + (3Sin0.l)2

2е3

Ке

(66)

Номер, n Значения аппроксимант, fn Значения модуля, rn Значения аргумента, <Рп Погрешность = ko - rn 1 Погрешность £<Р = \<Ро - <Рп 1

1 107.57192314 107.57192314 0 67.99842417 0.2995002499

2 62.384040193 81.919296734 0 42.34579776 0.2995002499

4 45.023976135 62.614164604 0 23.04066563 0.2995002499

8 29.817546501 47.043985126 0 7.470486153 0.2995002499

16 40.248572975 58.299450660 0.1963495408 18.72595168 0.1031507090

32 2.8153669391 43.679442658 0.1963495408 4.105943684 0.1031507090

32768 56.602995875 41.931205482 0.2909769807 2.357706508 0.0085232692

65536 41.754059789 39.164442116 0.2909769807 0.409056856 0.0085232692

131072 17.615833027 39,598526301 0.2909769807 0,025027328 0.0085232692

262144 19.359876101 39,578125912 0.2909769807 0,004626939 0.0085232692

В колонке 2 табл. 4 приводятся значения аппроксимант (64) показательной функции. Характер изменения значений этих аппроксимант виден на рис. 4. Можно отметить периодичность в значениях аппроксимант с изменением их номеров. Точнее говорить не о «периодичности» в значениях , а о «квазипериодичности», так как аргумент комплексного числа , порождающего вещественные

аппроксиманты , равен , то есть равен величине которая не к числу . Это

обстоятельство не позволяет иметь периодичности в значениях аппроксимант.

В колонке 3 табл. 4 показаны значения модуля комплексного числа «восстанавливаемого» по вещественным аппроксимантам с использованием формулы (54) Шф(+)-алгоритма.

Из данных колонки 3 следует что модуль исходного

комплексного числа «востановлен» по знакоположительным аппроксимантам «восстановлен», хотя и с невысокой точностью. Здесь можно сказать о характере технических сложностей, возникающих при определении модуля комплексного числа по аппроксимантам на компьютере.

Как следует из формулы (32), определяющей значения, степени показательной функции (66), эти значения могут быть при некоторых номерах n как сколь угодно

большими, так и сколь угодно малой отличающееся от нуля. Это отчетливо видно если формулу (32) записать в виде:

sin[(ra+l)y]

/n = k е si п<р (6/)

Поэтому при вычислениях /П и rn на компьютере следует не допускать выхода их значений /П и rn за некоторые границы.

В четвертой колонке табл. 3 показаны значения аргумента <рп также устанавливаемые по значениям аппроксимант /П с использованием формулы (60) К/ф(+)-алгоритма, которая также опирается на цикличность в значения аппроксимант, представляющих комплексные величины.

Таким образом, формула (67) ответственная за цикличность в значениях

аппроксимант, - это ключ к формуле (60) Е/ф(+)-алгоритма, устанавливающей

значение аргумента «определяемого» комплексного числа. Аналогично формула

Р„ Sinfn + 1)(0

— = —--— ■ (68)

Qn sin пер

является основополагающей при построении формулу (4) определяющей аргумент в R/ф-алгоритме.

Заключение

Приведём каноническое определение условий сходимости бесконечных вещественных последовательностей [16]:

Для сходимости бесконечной вещественой последовательности {ап}^= 1 необходимо и достаточно, чтобы эта последовательность была фундаментальной, то есть выполнялся критерий Коши:

\t г > 0 3n£: \ап — ат\ < е I/ n£, m >п£.

Определение сходимости бесконечных вещественных последовательностей лежит в основании математического анализа. Все теоремы о сходимости, например, теоремы о сходимости непрерывных дробей, опираются на эту теорему, в которой жестко фиксируется необходимые и достаточные условия сходимости бесконечных вещественных последовательностей.

В самом деле, если бесконечная вещественная последовательность удовлетворяет критерию Коши, то это является достаточным условием для сходимости этой последовательности к вещественному числу. Но приведенная теорема утверждает, что необходимым условием сходимости вещественной последовательности является условие выполнения для этой последовательности критерия Коши. А это утверждение оказалось неверным.

Предложенный ранее R/^-алгоритм [17 - 20] использовался для определения комплексных значений бесконечных вещественных последовательностей, включающих как положительные, так и отрицательные элементы, причем, значения аргумента комплексного числа определялось как раз некоторой фиксированной частью отрицательных элементов в последовательности.

Показано, что комплексные значения могут иметь бесконечные вещественные знакоположительные последовательности, которые не сходятся в классическом смысле, то есть для них не выполняется критерий сходимости Коши. R/ç(+) -алгоритм позволяет по элементам бесконечной вещественной знакоположительной последовательности, расходящейся в классическом смысле, установить комплексное значение этой последовательности.

Рассмотренные алгоритмы определения значений бесконечных вещественных последовательностей могут быть использованы при решении так называемых расходящихся БСЛАУ, когда системы с вещественными матрицами имеют комплексные решения [21, 22].

Список литературы /References

1. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.

2. Шмойлов В.И., Слобода М. З. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Меркатор, 1999. 820 с.

3. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и г/-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.

4. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2015. Т. 55. № 4. С. 559-572.

5. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Суммирование рядов непрерывными дробями. М.: Физматлит, 2019. - 683 с.

6. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.

7. Шмойлов В.И. Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей. // Вестник науки и образования. №16 (51). Часть 1, 2018. С. 10-24.

8. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. О представлении комплексных чисел бесконечными вещественными последовательностями с положительными элементами. // Вестник науки и образования. №19 (97). 2020. С. 5-19.

9. Смирнов В.И. Курс высшей математики, Т. 1. М.: ГИТТЛ, 1956. 478 с.

10. Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т.1. М.: Наука, 1967. 704 с.

11. ШиловГ.Е. Математический анализ, ч. 1, М.: Наука, 1969.

12. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Определение значений одного класса бесконечных вещественных последовательностей // Вестник науки и образования №18 (96). Часть 1. 2020. С. 5-19.

13. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.

14. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.

15. Шмойлов В.И., Чирун Л.В. Непрерывные дроби и комплексные числа. // Нац. Акад. Науки Украины, Ин-т приклад. Проблем механикой и математики. Львов. 2001. 564 с.

16. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. М.: «Высшая школа», 1970. 588 с.

17. Шмойлов В.И. Определение значений расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей посредством маркера комплексности. // Вестник науки и образования. №22 (76). 2019. С. 6-17.

18. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Определение бесконечных комплексных последовательностей. // Вестник науки и образования. №4 (58). 2019. С. 10-23.

19. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непре-рывных дробей. // Докл. РАН, Том 474, Номер 4, 2017, С. 410-412.

20. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. - Ростов-на-Дону, Изд-во: ЮФУ, 2018. 524 с.

21. Шмойлов В.И., Редин А.А., Никулин Н.А. Непрерывные дроби в вычислительной математики. -Ростов-на-Дону: Изд-во: ЮФУ, 2015. 228с.

22. Шмойлов В. И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби и маркеры комплексности. Таганрог: Изд-во НИИ МВС ЮФУ, 2020. 450с.