Представление законов сохранения для пористых сред с конечными деформациями связанной конфигурации Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Ю. И. Д и м и т р и е н к о, И. Д. Д и м и т р и е н к о

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ ПОРИСТЫХ СРЕД С КОНЕЧНЫМИ ДЕФОРМАЦИЯМИ В СВЯЗАННОЙ КОНФИГУРАЦИИ

Введено понятие связанной конфигурации для пористых сред с конечными деформациями и некогерентной поверхностью раздела фаз. Показано, что система законов сохранения для пористых сред такого класса может быть симметризована, т. е. представлена в едином универсальном дивергентном виде, при этом она отличается от классической системы законов сохранения для однофазных сред наличием двух дополнительных групп уравнений: уравнений движения фиктивной твердой среды, связанной с основной твердой фазой условиями идеального контакта, и уравнением совместности фиктивной среды.

Е-шаП: dimit.bmstu@gmail.com

Ключевые слова: пористые среды, конечные деформации, некогерентные поверхности, законы сохранения, связанная конфигурация, симметризация законов сохранения.

Моделирование гидрогазодинамических и физико-механических процессов в пористых деформируемых средах имеет важное значение в таких областях, как разведка и добыча углеводородов, создание фильтрующих устройств, разработка теплоизоляционных и теплозащитных эластомерных материалов, исследование биомеханических кровеносных тканей и многих других. Большинство работ [1—7] посвящено исследованию гидрогазодинамических процессов в пористых средах без учета эффектов деформируемости. Как правило, в работах по механике пористых сред с конечными деформациями [8— 11] приведены уравнения в эйлеровом описании, которые обладают известными недостатками при решении задач механики с конечными деформациями — область определения заранее не известна и устанавливается в процессе решения задачи. Двухфазные среды в ла-гранжевом описании изучают только для случая когерентных поверхностей раздела, однако в основном на практике реализуются некогерентные поверхности раздела твердой и жидкой (газовой) фаз, в которых возникает скольжение жидкого (газообразного) носителя по твердой поверхности. Численное исследование таких пористых сред с конечными деформациями в лагранжевом описании крайне затруднено из-за неопределенной границы контакта сред.

В настоящей работе предложено новое представление системы законов сохранения, основанное на введении специального лагран-

жево-эилерова описания движения пористои среды в так называемой связанной конфигурации. Система законов сохранения в этой конфигурации может быть симметризована подобно тому, как это реализуется в традиционных эйлеровом и лагранжевом описаниях. Симметризация системы уравнений играет важную роль при численном моделировании, с ее помощью можно конструировать консервативные разностные схемы, обладающие многими ценными качествами.

Кинематика двухфазной среды с конечными деформациями и некогерентной поверхностью раздела фаз. Рассмотрим в декартовой системе координат Ох1 движение некоторой сплошной среды, ко-

0

торая в начальный момент времени I = 0 занимает область V (отсчет-

0

ная конфигурация К), а в текущий момент времени I > 0 — область V (актуальная конфигурация К). Введем лагранжевы координаты

X1 материальных точек сплошной среды, связанные с эйлеровыми координатами законом движения [12]:

х1 = х1 (X1, 0, или X = х(Х1, 0, (1)

где х = х'е — радиус-вектор точек в конфигурации К (е1 — декар-

1 0 0 тов базис); х( Х] ,0) = х — радиус-вектор точек в конфигурации К.

Будем полагать, что сплошная среда является двухфазной, т. е. область V состоит из двух частей: V,, (твердая фаза) и Vg (газ), причем обе эти области являются односвязными. Если газовая фаза является идеальной, соседние материальные точки на поверхности раздела фаз, принадлежащие газу и твердой фазе в момент времени ^ = 0, в другие моменты времени (^ > 0) могут разойтись на конечные расстояния. При этом скачок величины [X1 ] Ф 0, если [х] = 0. Поверхности, для которых выполняется это условие, называют некогерентными [12]. Для описания движения двухфазной среды с некогерентными

поверхностями раздела, следуя работе [12], введем фиктивную от*

счетную конфигурацию К, которую назовем связанной. В этой кон*

фигурации твердая фаза занимает область V ^, совпадающую с обла-

0 0 *

стью Vя в конфигурации К, а газовая фаза — область Vg, в которой

*

все ее материальные точки на поверхности раздела фаз совпадают с теми точками твердой фазы, с которыми они совпадают в акту*

альной конфигурации К. Иначе говоря, в конфигурации К твердая

фаза остается все время неподвижной, а газовая фаза движется относительно твердой согласованно с ее движением в актуальной конфи-

*

гурации так, что в конфигурациях К и К контактируют одни и те же

материальные точки газа и твердой фазы на поверхности раздела.

*

Конфигурация К задается преобразованием

X = Х( х], г), или X1 = X1 (х], г), (2)

*

*

где х — радиус-вектор материальных точек в конфигурации К,

* о о

причем х(X1, г) = х(X1), если X1 е V8. Предположим, что существует взаимнооднозначное гладкое преобразование конфигураций

0 *

К и К, т. е.

* * 0

X1 = X1 (X1, г). (3)

Это преобразование в общем случае определяется неединственным

образом; уравнения для нахождения функций (3) представлены далее.

*

С помощью выражений (1) и (2) введем в конфигурациях К, К,

0

К локальные векторы базиса и метрические матрицы стандартным способом [1, 2 ]:

Г = дх( х], г) / дх1, 1°. =э Х( х1)/ дх1, 1*. = э Х( х1, г) / дх1,

0 0 0 * * * Ец = Г1 ■ 1 Ец = Г1' rl, Ец = Г1 ' г1.

0, 0,, 0 „ Введем также векторы взаимных базисов г1 = Е1 г у, г1 = Е1 г^,

г1 = е 11 г^, где е1 , е1 и Е1 — обратные метрические матрицы.

В этих конфигурациях набла-операторы ковариантного дифференцирования определяются соотношениями

д 0 0к д Д *к д

V = V = V, V = r

дхк' дхк' дхк '

0

Градиенты деформаций из конфигураций К в конфигурацию К,

0 * *

К в К и К в К представим следующим образом:

0 ■ 0*0 ■ * * ■ F = r 0 r', F = r 0 r', F = r 0 r '.

Элементарные радиус-векторы вдоль координатных направлений в конфигурациях (здесь и далее по нижним индексам суммирования нет) запишем в виде

аха (х1, г) = гааха, а X« (х!) = Г« аха, а X« (х', г) = Г« аха

и с их помощью определим элементарные объемы в конфигурациях

о *

К, К и К :

ау = ах1 • (ах 2 х ах3) = г1 • (г2 х г3)ах 1ах2 ах3 =4^ах 1ах2 ах3,

dV = л/ gdX1dX2 dX3, dV = л/ gdX1dX2 dX3.

0 * 0 * Введем плотности фаз р, р и р в К, К, К, которые связаны соотношениями неразрывности:

0 0 * * 0 0 * * pdV = pdV = pdV, pg = pg = pg.

0 0 *

(5)

С их помощью запишем интегральные формулы перехода из одной конфигурации в другую:

* * 00 I padV = I padV = I padV

(6)

* *

V(x', t)

v (x ,t)

0 0, V (x', t)

а также формулы дифференцирования интеграла по подвижному

0 *

объему в конфигурациях K, K и K :

d_ dt

f adV = - f a. J dt J \

* ' ■ V (x', t)

* *' V(x', t)

gdV = d f g dt J

0 0' V ( x', t)

g 0

fdV= g

f i t+* v

0 0. V ( x', t)

4

fdV = | [|a + (*a) IdV. (7)

g

* * ■ V (x', t)

*

0

Здесь а — произвольная дифференцируемая вектор-функция;

* * 1 0 0 1

V(х1, г), V(х1), V(х1, г) — области, содержащие одни и те же материальные точки. При выводе соотношений (7) использованы формулы дифференцирования по времени детерминанта метрической матрицы и полной производной по времени:

ё ¡7 ё (* .* * Л * * ёа ,* I . да *

=~Л п• (г2хгз) 1 = У- V, —(х1, г) = — + у-У®а. (8) ёг ёг V у ёг дг

В формулах (7) и (8) относительная скорость движения много*

фазной среды в связанной конфигурации К

*

* а х. , .

у = ^Т (х1, г),

аг

* 0

которая в твердой фазе равна нулю (у = 0, х] еVs) и в газовой фазе, вообще говоря, отлична от нуля.

Поверхностные величины в различных конфигурациях. Формулы преобразования ориентированной площадки при переходе из

*0

конфигураций К, К в конфигурацию К имеют стандартный вид:

*.*.** 0, , 0 0 п ё Е = /-1 Е_1т-II ё Е, п ё Е = Г1 Е_1т • п ё Е, (9)

о

J -

о

г-, J -g

С их помощью можно ввести поверхностные тензорные величины

* 0 * 0

В% и В% в конфигурациях К и К, если их аналоги В% определены в актуальной конфигурации К :

п* •В%ёЕ = п-В% ё Е, П- В%ёЕ = п-В%ёЕ, (10)

причем

* * * 0 0 _,

В% = Г_1 ^_1т• В%, В% = Г Е_1т• В% .

Такими поверхностными тензорными величинами являются: В2 = = Т — тензор напряжений Коши; В3 = Т • V - q ( q — вектор теплового потока); В4 =-q/в (в — температура); В6 = рГт ® V. В конфигу-

0 0 0 рации К этим величинам соответствуют: В2 = Т — первый тензор

о

напряжений Пиолы—Кирхгофа; q — вектор теплового потока в от-

0 о *

счетной конфигурации, В6 = р Е ® V. В конфигурации К появляются

* * * *

новые величины: В2 = Т = У-1 Г-1-Т — условный тензор напряже-

* * * * *-1 ний, q — вектор потока в конфигурации К и Вб = рГ • Г ®V, поскольку, согласно (5), (8), (9),

п- рГ ® vd Ъ = р У п • Г-1 • Г ® vd Ъ = и -р Г-1 • Г ® vd Ъ.

Система законов сохранения для двухфазной среды в связанной конфигурации. Запишем систему законов сохранения для фаз

двухфазной среды в интегральной форме в связанной конфигурации

*

К. Представим ее в актуальной конфигурации К [1]:

— J pA^dV = J n • B^dI + J pC^dV. dt

V(x', t) I(x', t) V(x', t)

(11)

Здесь Л^, В5, С5 — обобщенные координатные столбцы:

Г 1 ^

V

e + — 2

Л u

F т

Г 0 ^ Г 0 ^

T f

T • v - q f • V + 4m

-q/в W */в + qm/в-q •ve/e2

0 pv

vpF ® v у l 0 J

(12)

где е — плотность внутренней энергии; V = V • V; // — плотность энтропии; и — вектор перемещений; в — температура; Г — плотность массовых сил; qm

плотность массовых источников тепла;

Ж — функция диссипации. К системе (12) добавим определяющие соотношения для фаз, которые, согласно работе [12], запишем в виде

Т = ^ п)(Г,в),

где индекс п соответствует номеру энергетической пары тензоров напряжений и деформаций, п = I...У; индекс G — классу модели определяющих соотношений, G = А, В, С, Б . Тензорная функция

^п)(Г, в) в общем случае имеет достаточно сложный вид, наиболее просто ее можно записать для идеальной жидкости (газа):

^п)(Г, в) = -рЕ, р = р(р, в), и для моделей класса AV (п = V, G = А) [12] изотропных упругих сред:

^п)(Г,в) = Г • ^(С, в) • Гт, (13)

0

^(С, в) = 3(щЕ + щС + щ3С2 ), С = Гт • Г, щ = ( + ( +PзI2, -Щ = ( + (зIl, Щ = ( (Ра=^Т, («=4", Щ = Щ(Л(С), 12(С), 13(С), в),

®а а

где р = р(р, в) — давление; 1а (С) — главные инварианты правого тензора деформаций Коши—Грина С; щ — упругий потенциал, зависящий от главных инвариантов тензора С и температуры в.

С помощью формул (6) и (10) систему законов (12) можно запи-

*

сать в связанной конфигурации К:

— | рА^йУ = | П • В с й Т + | *рСсё¥, (14)

* * * * * *

У (х1,/) Т (х1 ) У (х1 )

* *.

причем области У(х1, $) и У(х1, $) будут содержать одни и те же материальные точки фаз. Используя правило дифференцирования (6) и

*

формулу Гаусса—Остроградского в конфигурации К, получаем

( * ^ д р Аг * * *

£+V-(р v ® А^)

* *

V (xl ,t)

dt

V

dV =

J V . B£ dV + J pC£dV. (15)

* * * * V(x' ,t) V(x' ,t)

В силу произвольности области V (14) искомая дифференци-

*

альная система законов сохранения в связанной конфигурации К имеет вид

*

дрЛг * (* * * Л

^ Л^ -ЯЛ = Сс. (16)

Система уравнений (16) в связанной конфигурации по сравнению

с системой (10) в актуальной конфигурации содержит дополнитель-

* *

ные неизвестные: скорость V и градиент Г, поэтому к системе (16) необходимо присоединить дополнительные уравнения для вычисления этих величин.

*

Отметим, что при выводе уравнения для градиента Г конфигура-

* о

цию К по отношению к конфигурации К можно рассматривать как

0 *

фиктивную актуальную, поэтому для градиента Г в координатах х1 используют такое же уравнение совместности деформаций, как и для

градиента Г в координатах X, т. е.

* о

д рГ

* 0

т * f * * 0 * 0

dt

-+V-

V

pv ®Fт-pF® v = 0. (17)

Это уравнение следует дополнить соотношением градиентов, вытекающим из выражения (4):

* о Г = Г- Г -1.

*

Скорость V, как и преобразование координат (3), вообще говоря,

определяется неоднозначно. Для их определения предложим следу* *.

ющий метод: пусть в области Vg (х1, ^), занятой газовой фазой, имеется некоторая фиктивная твердая среда с определяющими соотношениями упругой среды типа (13), и уравнением движения

* *

д р V * ( * * * Л \ * *

+ 1 р V0 V-'! \ = р{, (18)

где Т — тензор напряжений фиктивной среды, он может быть задан в виде (13).

Уравнения (17) и (18) имеют дивергентный вид, их можно присоединить к общей системе законов сохранения (16) в связанной конфигурации, тогда координатные столбцы в этой системе принимают вид

Г 1 > Г 0 ^

v * T

V 2 e + — 2 * * T- v - q

*

Л * - q/ в

u , B; = 0

F т * * 1 p F - F ® v

0 F т * 0 * pF® v

*

l v J T l A J

Граничное условие для фиктивной среды таково: поскольку в актуальной конфигурации совпадают декартовы координаты контактирующих материальных точек, по лагранжевым координатам твердой фазы с помощью закона движения можно найти соответствующие им лагранжевы координаты газовой фазы:

xS (Xj, t) = 4 (Xg, t) ^ Xg = Yj (Xj, t).

*■ 0-

Переходя для твердой фазы к координатам х' = х' , получаем уравнение, определяющее движение материальных точек газовой фазы и фиктивной твердой среды по поверхности твердой фазы в связанной конфигурации

Xj = Yg

Xj (X ), t

Граничные условия на поверхности раздела фаз. Если записать интегральную систему законов сохранения (14) для области, со*

держащей поверхность раздела фаз Е (^), и стянуть эту область к

точке в соответствии с методом, изложенным в [1], получим следующую систему соотношений для скачков функций на некогерентной поверхности раздела фаз в связанной конфигурации:

[рАс] Б - п [р V ® Ас] + п • [Вс ] + СсТ = 0.

*

Здесь Б — нормальная скорость движения поверхности раздела фаз в связанной конфигурации:

* * * *. *. d * D = c- n, c = c' e., c' = — x ' dt

где Xg (t) = Xj

Xg (t)_

лагранжевы координаты поверхности разде-

^sg (t)

ла фаз, совпадающие с лагранжевыми координатами твердой фазы и изменяющиеся во времени только за счет фазовых превращений; С^ — скачки функций на границе раздела фаз.

Таким образом, введено понятие связанной конфигурации для пористых сред с конечными деформациями и некогерентной поверхностью раздела фаз, которая позволяет симметризовать систему законов сохранения для пористых сред такого класса путем построения специальной фиктивной твердой среды, связанной с основной твердой фазой условиями идеального контакта и находящейся в области жидкой фазы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972.

2. Желтов Ю. П. Механика нефтегазоносного пласта. М.: Недра. 1975.

3. Николаевский В. Н. Геомеханика и флюидодинамика. М.: Недра, 1996.

4. Д и м и т р и е н к о Ю. И., Г л а з и к о в М. Л. Моделирование процессов фильтрации в периодических пористых средах // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. № 1. 2003. С. 59-71.

5. Д и м и т р и е н к о Ю. И., Л е в и н а А.И., Б о ж е н и к П. Конечно-элементное моделирование локальных процессов переноса в пористых средах // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2008. № 3. С. 90-104.

6. Д и м и т р и е н к о Ю. И., И в а н о в М. Ю. Моделирование нелинейных динамических процессов переноса в пористых средах // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. № 1. 2008. С. 39-56.

7. Д и м и т р и е н к о Ю. И., Л е в и н а А. И., Г а л и ц ы н А. Конечно-элементный анализ локальных газодинамических процессов в трехмерных пористых структурах // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. Спец. выпуск Математическое моделирование. 2011. С. 50-66.

8. D i m i t r i e n k o Y u. I. Mechanics of Porous Media with Phase Transformations and Periodical Structure. Part 1. Method of Asymptotic Averaging // European Journal of Mechanics. A: Solids. 1998. Vol. 17. № 2. P. 305-322.

9. D i m i t r i e n k o Y u. I. Mechanics of Porous Media with Phase Transformations and Periodical Structure. Part 2. Solutions of Local and Global Problems. European Journal of Mechanics. A: Solids. 1998. Vol. 17. № 2. P. 323-337.

10. D i m i t r i e n k o Y u. I. Dynamic Transport Phenomena in Porous Polymer Materials Under Impulse Thermal Effects// Journal of Transport in Porous Media.-Vol. 35. № 2. 1999.

11. Д и м и т р и е н к о Ю. И. Разрушение композиционных материалов при высоких температурах и конечных деформациях // Механика композит. материалов. 1992. № 1. С. 43-55.

12. Д и м и т р и е н к о Ю. И. Механика сплошной среды. В 4 т. Т. 2. — Универсальные законы механики и электродинамики сплошных сред. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011.

Статья поступила в редакцию 03.07.2012.