CC BY
8
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
МНИМОГО АРГУМЕНТА ВЕЩЕСТВЕННЫМИ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ 1 2 Шмойлов В.И. , Коровин Я.С.
Email: Shmoylov6115@scientifictext.ru
1Шмойлов Владимир Ильич - старший научный сотрудник; 2Коровин Яков Сергеевич - ведущий научный сотрудник, НИИ многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог
Аннотация: приводится формулировка R/ф(о)-алгоритма, который используется для определения значений бесконечных вещественных последовательностей. R/qfo)-алгоритм позволяет устанавливать комплексные значения бесконечных знакопеременных и знакопостоянных вещественных последовательностей. Предлагаются критерии сходимости как вещественных, так и комплексных последовательностей.
Устанавливаются посредством R/q-алгоритма значения sin ix, cos ix и tg ix, где мнимые числа ix представляются различными бесконечными осциллирующими вещественными последовательностями.
Ключевые слова: тригонометрические функции мнимого аргумента, критерий сходимости последовательностей, R/q-алгоритмы.
REPRESENTATION OF THE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS OF AN IMAGINARY ARGUMENT BY REAL SEQUENCES Shmoylov V.I.1, Korovin Ya.S.2
1Shmoilov Vladimir Ilyich - Senior Researcher; 2Korovin Yakov Sergeevich - Leading Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG
Abstract: the formulation of the R/q^)-algorithm, which is used to determine the values of infinite real sequences, is given. The R/q^)-algorithm allows you to set the complex values of infinite alternating and constant sign real sequences. Convergence criteria for both real and complex sequences are proposed.
The values of sin ix, cos ix and tg ix, are determined by the R/q-algorithm, where the imaginary numbers ix are represented by various infinite oscillating real sequences. Keywords: trigonometric functions of an imaginary argument, a criterion for the convergence of sequences, R/q-algorithms.
УДК 517.524
Введение
В [1] была предложена формулировка условий сходимости бесконечных вещественных последовательностей (R/q(o)-алгоритм):
Бесконечная вещественная последовательность { ап]1 сходится и имеет своим значением комплексное число z = r0el90, если существуют пределы:
r0 = limn^ оо V ПП=1 I ап I , (1)
к
= п lim —, (2)
n->оо л
где ап - значение n-го элемента последовательности {ап}™=1,
кп - число элементов ап, имеющих отрицательные значения из совокупности, содержащей п элементов последовательности {ап}™=1.
Если аргумент комплексного числа ф0, устанавливаемый по формуле (2), равен нулю или п, то есть вещественная последовательность оказывается знакоположительной (знакоотрицательной), и при этом последовательность {ап}™=1 не удовлетворяет условиям сходимости Коши, то есть является расходящейся в классическом смысле, то аргумент ф0 устанавливаемого комплексного числа определяется по формуле
1ф01 = п lim —, (3)
п->оо Л
где Ьп - число элементов знакоположительной (знакоотрицательной) последовательности {ап}™=1, фиксирующих скачкообразные изменения характера последовательности (убывающая / возрастающая) из совокупности, содержащей n элементов этой последовательности.
Если установлено, что знакоположительная последовательность {ап}™=1, определяет комплексное число, то аргумент комплексного числа может определяться по формуле
|<р0| = -л lim —,
п->оо Л
где - число элементов ап знакоположительной последовательности, значения которых меньше модуля гп, устанавливаемого по формуле (1).
Во многих практически важных случаях [2-10] имеет место более простая формулировка условий сходимости вещественных последовательностей (R/q-алгоритм):
Бесконечная вещественная последовательность {ап}™=1 сходится и имеет своим значением комплексное число z = r0elVo, если существуют пределы:
г,
= Ит„_ (4)
к
\(р0\ = п\\т—, (5)
п->оо Л
где ап - значение п-го элемента последовательности {ап}'=1,
кп - число элементов ап, имеющих отрицательные значения из совокупности, содержащей п элементов последовательности {ап}'=1.
Если аргумент комплексного числа ф0, устанавливаемый по формуле (5), равен нулю или п, то бесконечная вещественная последовательность имеет вещественное значение.
В [11 - 13] рассматривались некоторые аспекты в формулировке условий сходимости последовательностей (критерия Коши), который находится в основании математического анализа [14]. Собственно, дело не в критерии Коши, которой представляет лишь более удобную запись традиционного определения сходимости последовательностей: вещественная последовательность {ап} сходится, если, и только если, существует вещественной предел элементов этой последовательности при п ^ го.
Такой подход к определению значений последовательностей был, по сути, известен еще древним грекам, его использовал Архимед в методе «исчерпывания». Но оказалось, что вещественные последовательности могут иметь как вещественные, так и комплексные значения.
Нагляднее всего показать, что вещественные последовательности могут иметь комплексные значения на примере расходящейся в классическом смысле непрерывной дроби:
11 1
е"? = 2 cos ср--- - .
2 cos ср — 2 cos ср-----2 cos ср----
Подходящие этой непрерывной дроби определяются формулой:
Рп sin(n + 1 )ср
Qn sin пер
Известен предел Никипорца:
sin (п + 1 )ср
lim-= е1<р.
п->со sin пер
Предел Никипорца как раз говорит о том, что комплексное число есть ни что иное, как бесконечная последовательность вещественных чисел, по которой можно некоторым алгоритмом, например, R/q-алгоритмом, восстановить с любой точностью каноническую запись комплексного числа.
В [15] был сформулирован критерий сходимости вещественных последовательностей:
Для сходимости вещественной последовательности { ап}1 к комплексному числу z = г0е19 0 необходимо и достаточно, чтобы были фундаментальными вещественные последовательности {гп}™= ги{рп}^= г,т.е:
I/ е > 0 3п£: У- п > п£ I/ т > п(е) -> \гп — гт\ < е, I/ е > 0 3п£: У- п > п£ I/ т > п(е) -» \срп — <рт\ < е.
Элементы гп и (рп устанавливаются по элементам исходной вещественной последовательности { ап}1 R/q-алгоритмом, т.е. по формулам:
= ут
\<Рп\ =
где ап- значение п-го элемента последовательности { ап}
кп - число элементов ап, имеющих отрицательные значения из совокупности, содержащей п элементов последовательности { ап}
Для определения значений последовательностей с комплексными элементами в [16] предложен алгоритм, обозначаемый как Е/фф-алгоритм, который формулируется следующим образом:
Последовательность с комплексными элементами гпе19п сходится и имеет своим значением комплексное число , если существуют пределы
п
Г0 = llm n П Гп , (6)
п ^да »i , V n=1
Ы = lim ^ + W +... + ^, (7)
п^да П
где rn - значение модуля n-го комплексного элемента последовательности,
- абсолютная величина аргумента комплексного элемента
последовательности.
1. Представления комплексных чисел вещественными последовательностями Комплексное число b + ¿х можно представить периодической непрерывной дробью [17]:
г^-т inrrt-n- b2 + х2 b2 + х2 b2 + x2 .„.
b + ¿х = V b 2 + х Varrt^ =2 b---— --— --— . (8)
2b — 2b ----- 2b ----
Следовательно, мнимое число ¿х записываются непрерывной дробью:
Ь2 + х2 Ь2 + х2 Ь2 + х2 ...
¿х = х el2 = b--—— ——— ——— . (9)
2 b - 2b ----- 2b ----
м 1+Х2 1+Х2 1 + Х2 ,1А.
П р и b = 1 : ¿х = х el2 = 1--- - . (10)
* 2-2 ----- 2 ----
4 + х2 4 + х2 4 + х2 .... П р и b = 2 : ¿х = х е12 = 2--- - . (11)
4_4 ----- 4 ----
Если комплексное число представлено в показательной форме, то имеем непрерывную дробь, аналогичную непрерывной дроби Никипорца [18]:
b + ix = ^Jb2 + x2eiarct3T> =
= Vb2 + x2(2 cos (arctg—) 11 1 (12) 2 cos {arctg ~ 2 cos (arctg 2 cos (arctg
Мнимое число ix записывается следующим образом:
ix = хеЩ. =-b + 4b2 + x2eiarct3T> =
= — b + Vb2 + x2(2 cos {arctg —)
1 1 } (13)
2 cos {arctg 2 cos {arctg
При b = 1: ¿х = х ef = - 1 + V 1 + х 2eiarc^ * =
= —1 + д/l + x2 ( 2 cos (arctg x) 1 1 1 ч (14)
2 cos (arctg x) — 2 cos (arctg x)-----2 cos (arctg x)----/'
Значения подходящих an непрерывных дробей (8) и (9) можно вычислить, используя, соответственно, рекуррентные формулы:
Ь2 + х2
an = 2 b--, ax = 2 b. (15)
an-1
b2 + x2
a„ = b — --, ai = b. (16)
" b+a^' 1 V '
Значения подходящих непрерывных дробей (12) и (13) определяются, соответственно, выражениями
х
_ sin[(n + l)arctg-r]
a„ = V b2 + x 2--F-b-, (17)
sin(n arctg
x
_ sin[(n + l)arctg-r]
a„ = — b+V b 2+x 2--—-F-b-. (18)
Бт(п агид
Комплексные и мнимые числа можно представить бесконечными вещественными последовательностями, значения которых определяется Л/ф-алгоритмом, описываемым формулами (4) и (5).
Ь + ¿х = VЬ 2 + х Vагс ^ ь = ] а„ = 2 Ь--| , а 1 = 2Ь. (19)
Г Ь2 + X2 ¿х = х е'2 = а„ = Ь---[ , а 1 = Ь. (20)
Ь + ¿х = V Ь 2+х 2ешг^ь = ) 7ь2+х2--^ [ . (21)
Бт(п агсЬд
!х Л°°
- Бт^п + Цсггс^т]
- Ь + V Ь 2 + х 2--^ . (22)
бш (п-агсЬд^) I
0 ' п=1
Непрерывные дроби (8) и (12), а также (9) и (13), эквивалентны. Эквивалентны и вещественные последовательности (19) и (21), а также последовательности (20) и (22).
В формулах (9), (13), (20) и (22) «Ь» - произвольное вещественное число.
2. Значения тригонометрических функций мнимого аргумента, полученные R/ф-
алгоритмом
В [19, 20] были приведены результаты определения значений тригонометрических и гиперболических функций мнимого аргумента с использованием Л/ф-алгоритма. Так как эти значения в ряде случаев отличаются от канонических значений тригонометрических и гиперболических функций мнимого аргумента, то будем использовать особые обозначения, например, со б ( ¿х) й ф.
Значения с о б ( ¿х) й ф, определяются с использованием непрерывной дроби (9), представляющей мнимое число . Выражение для определения косинуса мнимого аргумента имеет вид:
( Ь2 + х2 Ь2 + х2 Ъ2 + х2 \
с о б ( ¿х) я ,ф =с о б I Ь —2ь - -... - -...) . (23)
Косинус мнимого аргумента находится как значение бесконечный вещественной последовательности (25), устанавливаемое Л/ф-алгоритмом.
На рис. 1 показаны элементы ап последовательности (24), представляющей с о б ( ¿х) , полученной из (23) при х = 1 и Ь = 2 .
cos (И)R/q = {cos(2-^_^_____J}_
(24)
Рис. 1. Значения элементов ап последовательности (24) В табл. 1 приведены результаты определение со б (¿х) полученные как значения
вещественных последовательностей
R/q-алгоритмом при различных величинах х.
(25),
Таблица 1. Определение значений соs ( iх) ( 4 + х2 4 + х2 4 + х2
cos(ix)R/q = Ico s\ 2--_____. .
устанавливаемые
(25)
Значения аргумента х Значения модуля, г0 Значения аргумента, р 0 Погрешность , chx , £г = \— -Г0| Погрешность = | arctg{shx) ~<Ро\
0.01 0,9900841890 0,0100278001 0,0000151476 0,0000279668
0.1 0,9093794577 0,0998166092 0,0000140812 0,0000171395
0.5 0,6839378223 0,4804715449 0,0000018982 0,0000904657
1 0,5676252390 0,8656894742 0,0000424025 0,0000800090
1.5 0,5248558754 1,1317842079 0,0000376587 0,0000558626
3 0,5012575737 1,4711744612 0,0000181976 0,0001298799
4 0,5001765618 1,5342953737 0,0000088305 0,0001262294
5 0,5000421937 1,5572931013 0,0000194938 0,0000275353
6 0,4999703612 1,5658498379 0,0000327108 0,0000110053
10 0,5000940628 1,5706105713 0,0000940617 0,0000949556
Из табл. 1 следует, что значением cos (ix)R/которое устанавливается R/q-алгоритмом, является комплексная величина, определяемая формулой:
ch х
cos (ix) R /a> =-el arcta (s h (26)
'v ex
Из формулы (26) можно заключить, что
при х«1 ■ co s (ix) R/9~C-h-\ пр и х»1 ■ co s (ix) R/9 ~ ^e1? ^ i^. Каноническое значение косинуса мнимого аргумента равно [21]:
cos ix = ch х.
Эта формула может быть получена, если в формуле Эйлера
е1Х + е~1Х
cos х =-
2
аргумент х заменить на :
gi(iz) g-i(iz) gZ g-Z
cos ix =-=-= ch X.
2 2
Аналогичный результат может быть получен, если в степенном ряде косинуса вещественный аргумент x формально заменить на мнимый ¿х. Возникает, однако, вопрос о корректности таких замен.
Определим значение sin( ¿х) используя непрерывную дробь (9), представляющую мнимое число ¿х. Запишем выражение для определения синуса мнимого аргумента:
( Ъ2 + х2 Ь2 + х2 Ь2 + х2 \
sin ах) я„ =sin^ ь —— _.. . J ■ (27)
Синус мнимого аргумента находится как значение бесконечной вещественной последовательности (29), устанавливаемое Л/р-алгоритмом.
На рис. 2 показаны элементы аи последовательности (28), представляющей , полученной из (27) при и .
( ( 5 5 5 ч-)00 (28)
sinai)^=(sinl2_i_i_.. ._4_.. JL-
(sin(il)}
|| 11 1, 1 III 1 ll 1 1 1 ll . 1 , I,,, ill ll '1 ll 11,,, 1 "
1 1 '¡I 1 II ll'ljj 1 1 1 1 1 1 1 1 II 1 1 9
í 150
Рис. 2. Значения элементов аи последовательности (28)
В табл. 2 приведены результаты определения sin ( ¿x) полученные как значения вещественных последовательностей (29), установленные Л/р-алгоритмом при различных величинах .
Таблица 2. Определение значений s ¿ n ( ¿ x)
( ( 4 + x2 4 + x2 b2 + x2 Y)0" s i n ( ¿x) ^ = |s i --— _____—4— _ , J j ( 2 <0
Значения аргумента х Значения модуля, r0 Значения аргумента, q> 0 Погрешность , shx , £г = \—-Г0\ Погрешность it = 1 2 "Vol
0,01 0,0098994077 1,5706495200 0,0000012556 0,0001468067
0,1 0,0906324730 1,5708352755 0,0000021505 0,0000389487
0,5 0,3160175171 1,5707364056 0,0000427623 0,0000599211
1 0,4323412087 1,5707753544 0,0000088503 0,0000209723
1,5 0,4751309856 1,5707753544 0,0000245198 0,0000209723
3 0,4987753816 1,5707004529 0,0000147577 0,0000958737
4 0,4997944209 1,5706315437 0,0000378478 0,0001647830
5 0,4999945512 1,5708053149 0,0000172512 0,0000089881
6 0,4999871500 1,5707903346 0,0000097779 0,0000059921
10 0,4999300759 1,5709521217 0,0000699231 0,0001557949
Из табл. 2 следует, что значения синуса мнимого аргумента, устанавливаемого Л/ф-алгоритмом, определяются формулой:
бИ х -2 бЬ х б 1 п ( ¿х) й/ф = — е . (30)
Каноническое значение синуса мнимого аргумента равно [22]:
Бт(1х) = I бКХ.
Применяя непрерывную дробь (9), представляющую мнимое число, запишем выражение для определения тангенса мнимого аргумента:
( Ъ2 + х2 Ь2 + х2 Ь2 + х2 \ ^ ^ к/ф = ^Ь —22ЬЬ~ - -..... . ; ■ (31)
Тангенс мнимого аргумента находится как значение бесконечной вещественной последовательности (33), устанавливаемое Е/ф-алгоритмом.
На рис. 3 показаны элементы ап последовательности (32), представляющей tg(¿ 1), полученной из (31) при х = 1 и Ь = 2.
Г / 5 5 5 ч-)00 (32)
Рис. 3. Значения элементов ап последовательности (32)
В табл. 3 приведены результаты вычисления ф, полученные как значения
вещественных последовательностей (33), установленные Е/ф-алгоритмом при различных величинах .
Таблица 3. Определение значений tg( ¿х) ( 4 + х2 4 + х2 4 + х2 ^ (¿х) к/ф = ] Ц 2--_____
(33)
Значения аргумента х Значения модуля, г0 Значения аргумента, р 0 Погрешность £,. = I Шх — Гп I Погрешность 71 = 1 2 ~«Ро1
0,01 0,0099985514 1,5706465239 0,0000011153 0,0098500305
0,1 0,0996640866 1,5708053149 0,0000039080 0,0998427369
0,5 0,4620559162 1,5707304135 0,0000612411 0,0000659141
1 0,7616666402 1,5707244214 0,0000724842 0,0000719053
1,5 0,9052599158 1,5708592439 0,0001116622 0,0000629171
3 0,9950480706 1,5708772203 0,0000066831 0,0000808935
4 0,9992359879 1,5707603741 0,0000933118 0,0000359526
5 0,9999047230 1,5707483898 0,0000044813 0,0000479368
Из табл. 3 можно заключить, что значения тангенса мнимого аргумента, устанавливаемого Е/ф-алгоритмом, определяются формулой:
сд(1х)к/(р = иьх,
которая совпадает с канонической формулой для :
Ьд гх = I х.
Этот результат можно рассматривать как аргумент в подтверждении корректности определения значений тригонометрических функций мнимого аргумента через нахождение Е/ф-алгоритмом значений вещественных последовательностей, представляющих эти функции.
s ¿n ( ¿x) й/ „ = —-—е 12 = (35)
3. Варианты представления мнимых чисел бесконечными вещественными
последовательностями
Выше уже отмечалось, что установленные значения тригонометрических синуса и косинуса мнимых аргументов при представлении мнимых чисел вещественными последовательностями, отличаются от канонических значений:
ch х
cos (¿x) R / =-е' arc¿ff х), (34)
IV gX
sft x sh x
Канонические значения имеют вид:
со s ¿x = eft x, (36)
sin ¿x = ¿ sft x. (37)
Принципиальные отличия в значениях с о s ¿x и s in ¿x, полученных по каноническим формулам (36) и (37), с теми, которые определены для со s ¿x и sin ¿x с использованием Л/р-алгоритма, то есть с формулами (34) и (35), вызывают необходимость в дополнительной проверки формул (34) и (35). Один из вариантов такой дополнительной проверки состоит в представлении мнимых чисел иными бесконечными вещественными последовательностями, нежели вещественные последовательности (9) и (13), которые были использованы в [19] при определении значений тригонометрических функций мнимых аргументов.
Рассмотрим другие вещественные последовательности для представлений мнимых чисел .
Запишем комплексное число 1 + ¿x в показательной форме l + ix = yjl + x2-eiarct3x.
ix = -1 + Vi + х2 ■ е1 arctaх.
Используя формулу (8), представляющую комплексное число непрерывной дробью, запишем:
1 + (arc tg x) 2 1 + (arc tg x) 2 1 + (arc tg x) 2 1 + ¿ ar c t g x = 2 (39) a 2 - 2 ----- 2 ----
1 + (arctg x)2 1 + (arctg x)2 1 + (arctg x)2
¿ arc t g x = 1--- --(40)
a 2 - 2 ----- 2 ----
Следовательно, мнимое число ¿x можно представить в виде показательной функции:
¿x = _ 1 + / 1 + x 2 ■ е' a'"ff х. 8) (3
ix = xel2 = -1 + V1 +х2 ■ eiarct3 х =
= -1 + VT+-
1+(arc¿ff х) 2 1+( arc ¿ff х) 2 1 +( arc ¿ff х) 2 (4.1)
-2 . р1" 2-2 _____ 2 V'
Определим значение как значение вещественной последовательности (42).
п С 1+(arctg I)2 l+(arctg l)2 1+(arctg l)2
¿ 1 = 1 ■ е'22 = I _ 1 + V2■ е 1 2 - 2 -■ ■ ■- 2 -■ ■ ■ j . (42)
На рис. 4 показаны значения элементов an последовательности (42).
Рис. 4. Значения элементов ап последовательности (42)
Получим иные формулы, также позволяющие представлять мнимые числа ix вещественными последовательностями.
Используя непрерывную дробь (8), запишем:
71
1 + £2=2 .71
12~1~ 2-2 ----- 2 -•••'
Следовательно, произвольное мнимое число ¿х можно записать показательной функцией:
1 + 4 1 + 4 1 + 4 (43)
2 1 + 4 - 2 -1 + 4 ..._ 2 -•••' 1 + 4 (44)
1-
т2 77-2 7Г2
(45)
¿х = хе 2 = хе 2_2 ----- 2 _...■_
Полагая в (45) х = 1 , запишем вещественную знакоположительную
* . 7Г *
последовательность, представляющую мнимое число I 1 = 1 е' 2 :
„ 7Г2 „ 7Г2 „ 7Г2
1__4_ _4_ _4_ (46)
¿1 = {1 ■ е 2-2 _..._ 2 ^ '
На рис. 5 показаны значения элементов ап знакоположительной последовательности (46).
Рис. 5. Значения элементов ап последовательности (46)
В табл. 4 приведены результаты вычисления 11 по знакоположительной последовательности (47), полученные Е/ф(о)-алгоритмом, то есть по формулам (1) и (3). В формуле (3) к множеству Ь п относятся элементы ап последовательности (47), значения которых меньше модуля мнимого числа 11 , т. е. меньше единицы.
Таблица 4. Определение значения последовательности
i
1 ■ е 2 = 1 ■ t = {1 ■ е 2-2 _..._ 2 (47)
Номер элемента, n Значения элементов ап Значения модуля, г„ Значения аргумента, <Рп Погрешность Погрешность i п £<р = 1" <Pnl
1 2,7182818284 2,7182818284 0 1,7182818284 1,5707963267
2 0,4801289572 1,1424210344 1,5707963267 0,1424210344 0
4 3,7233606352 0,0735389868 1,5707963267 0,9264610131 0
8 0,7549313743 0,1455094229 1,9634954084 0,8544905770 0,3926990816
16 69,952995706 0,4031030434 1,7671458676 0,5968969565 0,1963495408
131072 0,6199557465 1,0011568140 1,5707723583 0,0011568140 0,0000239684
262144 10,395066462 1,0003869511 1,5707963267 0,0003869511 0
524288 1,9035926830 1,0001114787 1,5707903346 0,0001114787 0,0000059921
1048576 0,2029942906 1,0000709060 1,5707933307 0,0000709060 0,0000029960
1. Определение значений s ín( ¿х) При вычислении значений sin (¿1)й/,р воспользуемся выражением (41), представляющем мнимое число ¿х.
sin(ix)fi/„ = {sin(—1 + V1 + х2 ■ е1
l+(arctg ж)2 l+(arctg ж)2 l+(arct,g ж)2
(48)
На рис. 6 показаны значения элементов ап последовательности (49).
l+(arctg I)2 l+(arctg l)2 l+(ai-ctg l)2
s i n ( ¿ 1 ) R / „ = { s i n ( - 1 + V2e 5 - 5 -. . 5 -. . . ) } "=1 (49)
Кроме аргумента
Рис. 6. Значения элементов ап последовательности (49)
последовательности (48), при вычислении значений синуса мнимого может использоваться знакоположительная последовательность:
1+?2 1+?2 1+?2
4 4 _
sin(ix)fi/(p = {sin(x ■ е± 2 - 2 ----- 2 -■■■')}"= 1.
На рис. 7 показаны элементs ап последовательности (51).
7Г2 7Г2 1+Т 1+-
sin(il)fi/ = {sin(l ■ е
4
2 ----
(50)
(51)
а„ i
{sin(íl)}
II 1 1 lili , illl ,1 1 1 ii ll 1 1 II II II 1 1 I i и Ll 1 1 i и ll 1. I и
| " ' 1 1 | И 1 1 1 ■|Г
150
Рис. 7. Значения элементов ап последовательности (51)
Из рис. 7 можно видеть некую периодичность в расположении значений элементов последовательности (51), причем, график, показанный на рис. 7, имеет более сложную
структуру, чем график элементов последовательности (49), также представляющий sin (i 1 ) .
В табл. 5 приведены результаты определения значений синуса мнимого аргумента. Мнимый аргумент i1 представлен показательной функцией (42). Значение бесконечной вещественной последовательности (52), представляющей ,
определяется R/^-алгоритмом.
Таблица 5. Определение значения s i n( í 1)
l+(arctg 1)2 l+(arctg 1)2 l+(arctg 1)2
smi)R/(p ={sin(-l + V2-e " 2 _ 2 _..._ 2 -■)}£=! (52)
Номер элемента, n Значения элементов ап Значения модуля, г„ Значения аргумента, <Рп Погрешность . sh 1 £-- = | — " г„ 1 Погрешность = |тг/2 - <Рп\
1 0,2929986455 0,2929986455 0 0,1393337128 1,5707963267
2 0,6539792390 0,4377385421 0 0,0054061837 1,5707963267
4 -0,635674944 0,1880884230 1,5707963267 0,2442439353 0
8 -0,185742098 0,3130448103 1,5707963267 0,1192875480 0
16 0,7658776506 0,3145021354 1,7671458676 0,1178302229 0,1963495408
32 -0,441950097 0,3704590842 1,7671458676 0,0618732741 0,1963495408
65536 0,2639768596 0,4374658996 1,6478788613 0,0051335413 0,0770825345
131072 0,7060988483 0,4374039275 1,6479028298 0,0050715691 0,0771065030
262144 -0,763496653 0,4374267075 1,6477949718 0,0050943491 0,0769986450
524288 0,8847284761 0,4374280544 1,6477949718 0,0050956960 0,0769986450
1048576 -0,221468823 0,4374265398 1,6477799915 0,0050941814 0,0769836647
В табл. 6 приведены результаты определения значений синуса мнимого аргумента. Мнимые аргументы ix представляются показательной функцией (41). Значения бесконечных вещественных последовательностей (53), представляющих sin (ix) , определяются R/^-алгоритмом.
Таблица 6. Определение значений s í n ( í x)
__1+(arctg x)2 1+(arctg x)2 1+(arctg x)2
sm(ix)R/(p = {sin(-l + Vl + x2 ■ e " 2 _ 2 _..._ 2 _...)}»i (53)
Значения аргумента, х Значения модуля, г0 Значения аргумента, q> 0 Погрешность , shx , £г = \— -Г0| Погрешность ev = \п/2 — (р0\
0.01 0,0098961221 1,5697836597 0,0000045412 0,0010126670
0.1 0,0901830913 1,5640522042 0,0004515321 0,0067441225
0.5 0,3097656003 1,5439127142 0,0062946790 0,0268836125
1 0,4374265398 1,6477799915 0,0050941814 0,0769836647
1.5 0,4646602439 1,5530656660 0,0104462218 0,0177306607
2 0,4851973417 1,5795298306 0,0056448388 0,0087335038
3 0,5002010409 1,6435046192 0,0014404170 0,0727082925
4 0,5057171327 1,6792745345 0,0058848640 0,1084782077
5 0,5071408914 1,6845595777 0,0071635914 0,1137632509
6 0,5096158346 1,6959116348 0,0096189067 0,1251153080
8 0,5109395432 1,7227233419 0,0109395995 0,1519270151
10 0,5139662798 1,7100440320 0,0139662809 0,1392477052
4.2. Определение значений cos ( ix)
Значения со s (ix) R^ определяются как значения последовательности
с о б( ¿х) й / «р = {с о б(х-е 1 2 - 2 -■ ■ ■- 2 -■ ■ ■ ) } 1, (54) На рис. 8 показаны значения элементов последовательности (55)
л2
^ 1+- 1+- 1+т
4
с о б ( I 1 ) й/ «={с о б ( 1-е - 2 - 2 -■ ■ - 2 -■ ■ ■ ) } "= 1. (55)
Рис. 8. Значения элементов ап последовательности (55)
В табл. 7 приведены результаты определения значений косинуса мнимого аргумента. Мнимые аргументы ¿х представляются показательной функцией (45). Значения бесконечных вещественных последовательностей (56), представляющих с о б ( ¿х) , определяются Л/ф-алгоритмом.
Таблица 7. Определение значений со 5 ( ( х) д/ «
С05((х)д/<р = {««(х ■ е 2 _ 2 _..._ 2 _...-)} (56)
Значения аргумента, х Значения модуля, г0 Значения аргумента, ф 0 Погрешность , скх , £г = \—~Го\ Погрешность £ч> = = | агЬд^кх) — <р0\
0.01 0,9071507544 0,1616312412 0,0829485822 0,1516314079
0.1 0,8269374283 0,3023799706 0,0824279481 0,2025462219
0.5 0,6826507985 0,5958227056 0,0012889219 0,1154416265
1 0,6084657173 0,8384283586 0,0407980757 0,0273411246
1.5 0,5783913535 0,9998229114 0,0534978193 0,1319054337
2 0,5652536817 1,1053679802 0,0560958622 0,1963923558
3 0,5548377623 1,2165426385 0,0535983862 0,2547617025
4 0,5504432697 1,2661483415 0,0502755384 0,2680208028
5 0,5479032364 1,2904223890 0,0478805365 0,2668982476
6 0,5457309730 1,3064033529 0,0457279009 0,2594354796
8 0,5427542833 1,3236336723 0,0427542271 0,2464917292
10 0,5405361768 1,3343685418 0,0405361758 0,2363369851
Значения могут устанавливается также с использованием
показательной функции (42):
_ 1+ (.агЛд ж)2 1+ (аг^д ж)2 1+ (аг^д ж)2
со б (¿х) й /« = {со б (- 1 + 7 1+х 2е - 2 - 2 -■ . . - 2 -■ . . ) }со= 1 (57)
На рис. 9 показаны значения элементов ап последовательности (58)
)п/<р
1+(агад I)2 1+(агЛд I)2 1+(агс<:д I)2
со5(11)й/„ = {со5(-1 + л/2е " 2 _ 2 _..._ 2 -..)}»=1. (58)
(cos(tl)}
II1 1 1 11 II ll 11 III 1 ill 1 1 ll 1 III 1 11 1 1,1 1 1 ll 1 11 III n
1 '1 1 г II II || 1 1 II 1 1 1 1 1 1
1 150
Рис. 9. Значения элементов an последовательности (58)
В табл. 8 приведены результаты определения значений косинуса мнимого аргумента. Мнимые аргументы ix представляются показательной функцией (41). Значения бесконечных вещественных последовательностей (59), представляющих с о s ( ix) R i p, определяются R/^--алгоритмом.
Таблица 8. Определение значений со s ( i x) R| ^
l+(arctg A")2 l+(arctg x)2 1+(arctg x)2
cos(ix)R/(p = {cos(-l + Vl + X2 ■ e " 2 _ 2 -...- 2 _...)}» 1 (59)
Значения Значения Значения Погрешность Погрешность
аргумента, х модуля, r0 аргумента, q> 0 ch х £г = \—Г~Гп\ | artg(shx) — <Po\
0.01 0,9915505769 0,0073163693 0,0014512402 0,0026834640
0.1 0,9231752671 0,0736460580 0,0138098905 0,0261876906
0.5 0,7313247478 0,3528095891 0,0473850272 0,1275714900
1 0,6257319730 0,7362987939 0,0580643314 0,1294706892
1.5 0,5874209233 0,8133663482 0,0625273891 0,3183619969
2 0,5656341333 0,9518081143 0,0564763139 0,3499522216
3 0,5500363594 1,0943484854 0,0487969833 0,3769558557
4 0,5429674478 1,1486789690 0,0427997165 0,3854901753
5 0,5398376187 1,2007833828 0,0398149187 0,3565372538
6 0,5363065880 1,2097176225 0,0363035159 0,3561212100
8 0,5323506145 1,2398759244 0,0323505582 0,3302494770
10 0,5240829949 1,2605606966 0,0240829939 0,3101448302
4.3 Определение значений t g ( i x )
Функция tg ( ix) Rпредставляется последовательностью
tg(ix)R/<p
__1+(arrtg 1) 2 1+(arctg 1) 2 1 +( arc t,g 1) 2 (60)
= {tg(-l + Vl + X2 ■ e1- 2 - 2 -- 2 —■)}"=!■
На рис. 10 показаны значения элементов an последовательности (61).
tg(H)R/<P = {tg(-l + V2-e1
l+(arctg l)2 1+(arctg l)2 l+(arctg l)2
(61)
2 -■■)}"=!.
Рис. 10. Значения элементов ап последовательности (61) Функция tg(¿х) й / « определяется также последовательностью:
„ 77^ , 7ГZ
1+Т 1+Т
1 4 4 4 (62)
= М* " е 2 " 2 -- 2 -■■)}"=!.
На рис. 11 показаны элементы последовательности (62) при .
Рис. 11. Значения элементов последовательности (62) при
В табл. 9 приведены результаты определения значений . Мнимые
аргументы ¿х представляются показательной функцией (41). Значения вещественной последовательности (63), представляющей ( ¿х) , определяются Л/ф-алгоритмом.
Таблица 9. Определение значений ( ¿х)
I +(агсЛу а")2 I +(агсЛу х)1 I +(агсЛу х)1
Ьв{1Х)к1ч>={1д{-1 + УТ + ^-е" г - 2 _..._ 2 _...)}]Т=1 (63)
Значения аргумента, х Значения модуля, Го Значения аргумента, ф 0 Погрешность £,. = | Ш X — Г01 Погрешность = |тг/2-<Ро1
0.01 0,0099804512 1,5721745126 0,0000192154 0,0013781858
0.1 0,0976879413 1,5865615746 0,0019800532 0,0157652478
0.5 0,4235677806 1,6486967847 0,0385493765 0,0779004579
1 0,6990637504 1,6117853720 0,0625304055 0,0409890452
1.5 0,7910175233 1,7626727556 0,1141307302 0,1918764289
2 0,8577936037 1,8002163362 0,1062339762 0,2294200094
3 0,9093963196 1,8048811958 0,0856584339 0,2340848690
4 0,9313949386 1,8175934623 0,0679343611 0,2467971355
5 0,9394322919 1,8136896011 0,0604769123 0,2428932743
6 0,9502322850 1,7922648030 0,0497554266 0,2214684762
8 0,9597801322 1,7977865346 0,0402196426 0,2269902078
10 0,9806963492 1,7746449963 0,0193036466 0,2038486695
Заключение
Следует отметить, что определение значений тригонометрических функций мнимого аргумента, полученных при замене мнимых аргументов бесконечными вещественными последовательностями
IX
(64)
_ 1+(агсЬд ж)z 1+(агс1д ж)z 1+(агсЬд ж)z
+ + х2 ■ е 2 - 2 -- 2 _...}-=1>
„ 7Г2 „ 7Г2 „ 7Г2
1 (65)
¿х = {х ■ е 2 - 2 -- 2 -...-}»=1 ^ ;
реализуется со значительно меньшей точностью, нежели при представлении мнимых чисел вещественными последовательностями
Такой результат легко объясним. В случае последовательностей (64) и (65) имеем дело с элементами последовательностей, которые определяются значениями показательных функций. Значения показательных функций (64) и (65) при некоторых n могут иметь как чрезвычайно большие, так и чрезвычайно малые значения, что, собственно, обуславливает невысокую точность в определении тригонометрических функций мнимого аргумента с привлечением R/q-алгоритма. Важно, однако, отметить, что при вычислении тригонометрических функций мнимого аргумента с использованием различных вещественных последовательностей при представлении мнимых величин получены результаты одного порядка. Это дает основания полагать, что методом R/q-алгоритма получены верные значения тригонометрических функций мнимого аргумента. Вместе с тем, окончательные выводы относительно истинности полученных формул делать преждевременно. Поэтому, как уже отмечалось, значения тригонометрических функций мнимого аргумента, полученные с использованием R/q-алгоритма, будем обозначать символами, отличными от канонических:
и . Выше было установлено, что значения
, т.е. совпадает с каноническим значением . Подчеркивалось, что этот результат можно рассматривать в качестве довода в пользу корректности предложенного способа определения тригонометрических функций мнимого аргумента.
1. Шмойлов В.И. О критерии сходимости вещественных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 3 (106). Часть 1, 2021. С. 11-24.
2. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.
3. Шмойлов В.И., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Меркатор, 1999. 820 с.
4. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.
5. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.
6. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.
7. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015. Т. 55. № 4. С. 559-572.
8. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непре-рывных дробей. // Докл. РАН, Том 474. № 4, 2017. С. 410-412.
9. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Ростов-на-Дону. Изд-во ЮФУ, 2017. 382 с.
Список литературы /References
10. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Решение систем линейных алгебраический уравнений. Ростов-на-Дону. Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.
11. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа, Т. 1. М.: Физматгиз, 1963. 344 с.
12. Шмойлов В. И. Непрерывные дроби и г|-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.
13. Шмойлов В. И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби и маркеры комплексности. Таганрог: НИИ МВС ЮФУ, 2020. 450с.
14. Canchy O. Analyse algebrique, 1821.
15. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. О представлении комплексных чисел бесконечными вещественными последовательностями с положительными элементами. // Вестник науки и образования. №19 (97). Часть 1, 2020. С. 9-21.
16. Шмойлов В.И. Алгоритмы суммирования бесконечных комплексных последовательностей. // Вестник науки и образования. №14 (68). Часть 1, 2019. С. 5-19.
17. Шмойлов В.И. Представления комплексных чисел бесконечными вещественными последовательностями. // Вестник науки и образования. № 20 (98). Часть 1. 2020. С. 5-17.
18. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону. Изд-во ЮФУ, 2018. 524 с.
19. Шмойлов В.И. Определение значений тригонометрических функций мнимого аргумента посредством R | -алгоритма. // Вестник науки и образования. № 7 (110), 2021. С. 11-24.
20. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Определение значений гиперболических функций мнимого аргумента посредством -алгоритма. // Вестник науки и образования. № 10 (113), 2021. С. 5-20.
21. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716 с.
22. Янпольский А.Р. Гиперболические функции. М.: Физматлит, 1960. 196 с.
SUCCESSIVE APPROXIMATION METHOD FOR SOLVING BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH ONE-SIDED NONLINEAR
BOUNDARY CONDITIONS
12 3
Baymuratova K.A. , Erejepova Sh.K , Baltabaeva R.B.
Email: Baltabaeva6115@scientifictext.ru
1Baymuratova Klara Amangeldievna - Assistant;
2Erejepova Shiyrin Kurbanazarovna - Assistant,
DIFFERENTIAL EQUATIONS DEPARTMENT;
3Baltabaeva Rano Bekbaulievna - Assistant, DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS AND INFORMATICS, KARAKALPAK STATE UNIVERSITY, NUKUS, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: in this paper, we study the issues of justifying the applicability of the numerical-analytical method of successive approximations [1, 2] to the approximate construction of a solution to a boundary value problem for differential equations with nonlinear boundary conditions. One of the most numerous methods for solving boundary value problems is the numerical-analytical method of A.M. Samoilenko [1,2], which has a large number of applications. This article explores the application of this method to solving boundary value problems with one-sided nonlinear boundary conditions.
