Научная статья на тему 'Представление решения уравнения Фридмана обобщённым рядом Дирихле'

Представление решения уравнения Фридмана обобщённым рядом Дирихле Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
324
46
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
УРАВНЕНИЕ ФРИДМАНА / СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ С КВАДРАТИЧНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ / ГЛОБАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ / АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ / SCALAR fiELD WITH THE QUADRATIC POTENTIAL / FRIEDMANN EQUATION / GLOBAL SOLUTIONS / ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF SOLUTIONS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Курьянович Эдуард Анатольевич

Космологическое уравнение Фридмана для Вселенной, заполненной скалярным полем с квадратичным потенциалом, сводится к системе из двух уравнений первого порядка, одно из которых является уравнением с разделяющимися переменными. Для второго уравнения ставится задача с некоторым граничным условием на бесконечности. Решение этой задачи представляется в виде обобщённого ряда Дирихле. Доказано существование классического решения в этом виде в определённой окрестности бесконечности.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Representation of Friedmann equation solution in form of generalized Dirichlet series

The cosmological Friedmann equation for the Universe, filled by scalar field with the quadratic potential, is reduced to the system of two first-order equations, one having the separable variables. The boundary-value problem with data at infinity is formulated for the second equation. The solution of this problem is represented in form of generalized Dirichlet series. The existence of classical solution in this form at the neighborhood of infinity is proved.

Текст научной работы на тему «Представление решения уравнения Фридмана обобщённым рядом Дирихле»

УДК 517.958:524.83

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ФРИДМАНА ОБОБЩЁННЫМ РЯДОМ ДИРИХЛЕ

Э. А. Курьянович

Математический институт им. В. А. Стеклова РАН,

Россия, 119991, Москва, ул. Губкина, 8.

E-mail: kurianovich@mail. ru

Космологическое уравнение Фридмана для Вселенной, заполненной скалярным полем с квадратичным потенциалом, сводится к системе из двух уравнений первого порядка, одно из которых является уравнением с 'разделяющимися переменными. Для второго уравнения ставится задача с некоторым граничным условием на бесконечности. Решение этой задачи представляется в виде обобщённого ряда Дирихле. Доказано существование классического решения в этом виде в определённой окрестности бесконечности.

Ключевые слова: уравнение Фридмана, скалярное поле с квадратичным потенциалом, глобальные решения, асимптотическое поведение решений.

Введение. В современной космологии важную роль играет изучение уравнения Фридмана для гравитационного поля, взаимодействующего со скалярным полем. В рамках инфляционной теории проводился приближённый анализ уравнений Фридмана для свободного массивного скалярного поля, см., например [1, р. 236]. В работе [2] уравнение Фридмана с произвольным потенциалом было сведено к уравнению Абеля (обыкновенному дифференциальному первого порядка, третьей степени). Были исследованы различные свойства решения этого уравнения, найдены решения для некоторых потенциалов. Однако для квадратичного потенциала решение не было получено.

В настоящей работе проводится детальное математическое исследование уравнения Фридмана для скалярного поля с квадратичным потенциалом. Доказано существование глобальных решений, построено представление решений в виде обобщённых рядов Дирихле (теорию этих рядов см. например [3]), исследовано асимптотическое поведение решений.

1. Постановка задачи. Рассмотрим систему уравнений Фридмана для Вселенной, заполненной скалярным полем с квадратичным потенциалом:

Здесь <р— скалярное поле, зависящее от времени, Н — постоянная Хаббла, М и т — действительные положительные константы. Продифференцируем второе уравнение системы по <р:

Далее выразим Н из первого уравнения системы (1) и подставим в (2):

Эдуард Анатольевич Курьянович, слушатель, научно-образовательный центр при МИАН.

(1)

(2)

ф = -2 М2Н'ф.

(3)

И, наконец, подставив (3) во второе уравнение системы (1) и сделав замены

Таким образом, при условии решения второго уравнения системы (4) первое уравнение легко интегрируется. Займёмся теперь изучением второго уравнения. Будем изучать поведение решения этого уравнения при следующих условиях:

х > 0, у > 0, у' > 0.

Более точно будем полагать, что у принимает значения, много большие х. Поставим следующую задачу:

Здесь С — положительная константа.

2. Теорема о существовании классического решения.

Теорема. Решением задачи (5) при условии х ^ Хо > тах{1п(4/С2); 0} будет являться следующий обобщённый ряд Дирихле:

Ряд (6) и ряд, составленный из производных членов этого ряда, сходятся 'равномерно и абсолютно для х ^ Хо > тах{1п(4/С2); 0}.

Н = ту/3, <р = Мл/2/Зж, t = tl/т (далее индекс 1 опускается для краткости), получим окончательно

2 - 2 I 2 /2 2 2

у =Х +Х , ух= у -х .

(4)

Как следствие

у'х =у2 -X2, ІІП1 уе х = С.

(5)

(6)

к=О

где

—х ,™2

1

(7)

ак^х) (2С)2к+1

е~(2к+1)х

Р2к+\{Х), к>1

т~к / \ т>2А;+1

Р2к+ііх) = ~Щк+Г)"

Доказательство. Подставим ряд (6) в уравнение (5):

сю ос к

ъ—т^т к=0 к=0 т=О

сю ос к

С2е2х + 2 Сех ^2 а'к(х) + ^ X! а'к-та'т

к=0 т=О

сю

= С2е2х + 2Сех ^ ак(х) +

к=О к=О т=О

Приравняем нулевой член первого ряда слева к сумме нулевого члена первого ряда справа и последнего слагаемого справа:

„ х

о-о = ао 2С~' (11)

Решив (11) и приравняв константу интегрирования к нулю, получим (7). Теперь приравняем в (10) сумму первого члена первого ряда слева и нулевого члена по к второго ряда слева к аналогичной сумме справа:

у _ „ , (а0 - а'о2)е~х

а1 - а1 н-------^--------• (ДА)

Решим (12), положив константу интегрирования равной нулю:

. е~3х /ж3 5х2 5х 5 \

аЛх) = ~ 8СПТ + + 32 + 128>

Далее приравняем в (10) сумму /с-того члена первого ряда слева и (к — 1)-го члена второго ряда слева к аналогичной сумме справа:

^ к— 1

а'к(х) = ак(х) + ^^2 (ак-1-т(х)ат(х) - а1к_1_т(х)а1т(х))е~х, к ^ 1. (13)

т=0

Решив (13), снова полагая константу интегрирования равной нулю, получим (9). Методом математической индукции из (7) и (9) легко получаем (8). Пусть

/у>2 1

Р‘(а;) = У + 2 + 4-

Для Р2к+\{%)-, к ^ 1, имеем

/• СО ^ 1

Лг*!+1(ж) = е(2^^2)ж / ^ (^2(*!-т)-1(Ж1)Р2т+1(Ж1)-

■'х т=0

Р2(й-т)-1(Ж1)Р2т+1(^1))е“(2;г+2):С1ЙЖ1. (14)

Пусть А2д;+1 — коэффициент при старшем члене многочлена Р2к+\{%)-, тогда из (12) и (14) следует

1 „ к - 1 , , „

^-3 — —^2А:+1 — |-А2А;_1, к ^ 2.

Далее методом математической индукции получаем

1

А

2к+1

2к(к + 1) ’

Этим заканчивается построение формального решения задачи (5).

Займёмся теперь доказательством сходимости полученного ряда и ряда, составленного из производных членов этого ряда. Введём обозначение тах{|а^|, \а!к\} = Ьк- Легко установить, что при х > 0 выполняется

1

Ьо <

2(2(7)!'

Используя это неравенство, из (9) и (13) можно показать, что при х > О

2(2С)34’ 2(2С)5'

Сделаем предположение индукции: пусть для любого п < к

^—пх^п

Ьп ^ 2(2С)2п+1(п + I)2 ’ (15)

Здесь 8 — положительная константа, подлежащая определению. Очевидно, что Ьо, Ьг, &2 удовлетворяют (15) при 8^3. Используя гипотезу (15), из (9) и (13) получаем

е-кх8к- 1(А: + 2) ^1 к "" 2(2С)2к+1(к + 1) (к — т)2(т + I)2 ’

Оценим сумму из (16) при к ^ 3:

V 1 1_ [к~1 (1х

(к — т)2(т + I)2 "" к2 х2(к — х)2

1 41п(А: — 1) 2(к — 2) ^ 7

_ ¥ + ¥ + к2(к - 1 "" ¥'

Следовательно,

^ е-кх8к~\к + 2) 7

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

- 2(2С)^+1(А: + 1) А:2' [ }

Для того чтобы гипотеза индукции была справедлива и при п = к, необходимо

Ьк ^ 2(2С)2к+1(к + I)2 ' ^

Из (17) и (18) при к ^ 3 получаем

Итак, для любого к выполняется

Ьк ^ 2(2C)2k+l(k + I)2 ’

(19)

Для сходимости ряда необходимо

. 4 Р~х

lim Kfbk ^ —2- < 1.

С—)>СО О

Следовательно,

что и требовалось доказать. □

Замечание. Решение задачи (5) при х ^ Хо > тах{1п(4/С2); 0} можно представить следующим образом:

Действительно, оценивая остаточный член ряда с применением формулы суммы геометрической прогрессии, из (19) получим

Работа была начата на спецсеминаре НОЦ МИАН. Выражаю благодарность всем участникам семинара за активное обсуждение работы. Особую благодарность хочется выразить Игорю Васильевичу Воловичу за постановку задачи и ряд ценных советов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. V. Mukhanov, Physical foundations of cosmology. Cambridge: Cambridge University Press, 2005. xx+421 pp.

2. A. V. Yurov, V. A. Yurov, “Friedman versus Abel equations: A connection unraveled” // J. Math. Phys., 2010. Vol. 51, no. 8, 082503. 17 pp., arXiv: 0809.1216 [hep-th].

3. А. Ф. Леонтьев, “Представление функций обобщенными рядами Дирихле” // УМН, 1969. Т. 24, №2(146). С. 97-164; англ. пер.: A. F. Leont’ev, “Representation of functions by generalized Dirichlet series” // Russian Math. Surveys, 1969. Vol. 24, no. 2. Pp. 101-178.

k=0

П

oo.

k-

Поступила в редакцию 01/IV/2013; в окончательном варианте — 01/V/2013.

MSC: 83F05; 30B50, 30D10, 58J32

REPRESENTATION OF FRIEDMANN EQUATION SOLUTION IN FORM OF GENERALIZED DIRICHLET SERIES

E. A. Kuryanovich

Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences,

8, Gubkina St., Moscow, 119991, Russia.

E-mail: kurianovichSmail.ru

The cosmological Friedmann equation for the Universe, filled by scalar field with the quadratic potential, is reduced to the system of two first-order equations, one having the separable variables. The boundary-value problem with data at infinity is formulated for the second equation. The solution of this problem is represented in form, of generalized Dirichlet series. The existence of classical solution in this form, at the neighborhood of infinity is proved,.

Key words: Friedmann equation, scalar field with, the quadratic potential, global solutions, asymptotic behavior of solutions.

Original article submitted 01/IV/2013; revision submitted 01/V/2013.

Eduard A. Kuryanovich, Listener, Research and Education Center.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.