Представление общего решения многомерных неклассических систем уравнений высшего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №4_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.953

Д.Х.Сафаров, С.С.Мирзоев ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ МНОГОМЕРНЫХ НЕКЛАССИЧЕСКИХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

Таджикский национальный университет

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан З.Д.Усмановым 05.01.2015 г.)

В работе конструируются многомерные неклассические системы уравнений с частными производными высшего порядка, обладающих одним семейством многократных вещественных характеристик, и найдены представления их общего решения.

Ключевые слова: неклассические системы уравнений - бигармонические функции -полигармонические функции - представление общего решения - семейство вещественных характеристик.

Неклассические системы уравнений с частными производными второго (и выше) порядка и связанные с ними задачи рассматривались в работах [1-4]. В частности, в работах [3,4] рассматривалась неклассическая система уравнений второго порядка относительно вектор-функции

Щих) = (ц1,и2,—,ип)

д 2и

—и + grad (ЛУЩ = 0, (1)

—Х

оператор левой части которой вместе с оператором Лапласа Ау(Х, х) по всем переменным пространства К"+1 получаются из квадрата оператора В, определяемого левой частью следующей

системы:

Гл Г/л Г//. Г//

— + —1 + —^ + • • • + —- = 0, Г/ Гх дх2 дхп

дs ды1 _ дхх —Х

^ 'Х- = 0

—хп — '

Найдена формула представления общего решения системы (1) в виде

и(Х, х) = ^гаЛИ + ХЖ + V, (2)

Адрес для корреспонденции: Сафаров Джума Холович. 734025, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Рудаки, 17, Таджикский национальный университет. E-mail:safarovdh@mail.ru

где Н - регулярная гармоническая в Я"+1 функция, а Ж и V - произвольные достаточно гладкие в Я" вектор-функции, удовлетворяющие соотношениям

муж = 0, divv = 0,

и доказано, что задача типа задачи Дирихле в полупространстве Я"1 = {(г,х) : х е Я",г > 0} однозначно разрешима и допускает эллиптическую регуляризацию.

Четвёртая степень оператора П порождает бигармоническое уравнение А2s = 0 и систему уравнений

дЪ а4 '

^2 ^

—у +А

дг2

grad ^уи) = 0

(3)

У

с характеристическим определителем

Шестая степень оператора П порождает полигармоническое уравнение А= 0 и систему уравнений

6ТТ (л4 (л2 ^

ди

дг6

• +

д л -7 +А

дг4

д

—т + А

дг г

grad ^уи) = 0

УУ

(4)

с характеристическим определителем

=4 (4 +I ) •

Последовательно, продолжая этот процесс, убедимся, что оператор П2т порождает полигармоническое уравнение А т8 = 0 и систему уравнений

д 2( т-3)

д 2ти д?т

ЕА3

3=1

д 12(

т-Л

grad(divU) =0, т > 1

(5)

или

д^и дг2

- +

д 2(т-1) д2( т-2)

+ А—+ А2

дг2(

т-1)

дг2(

т-2)

д2( т-3) д2^

а2

grad ^уи) = 0

с характеристическим определителем

Найдём формулы представления общих решений систем (3) - (5).

Действуя оператором div по х е Я" на систему (3), получим соотношение А2^уи) = 0,

д2

где А = —- + А, А - оператор Лапласа по х е Я" . Тогда нетрудно заметить, что система

дг

—4 ,

-Г А и = 0 (6)

—Х

является следствием системы (3) и если вектор-функция и (Х, х) - решение системы (3), то она также является решением системы (6). Следуя методу, разработанному в [4], найдём формулу представления общего решения системы (3) при помощи представления решения системы (6). Всякое решение системы (6) можно представить в виде

и(Х,х) = ио(Х,х) + у0(х,х), (7)

где ио (Х, х) - бигармоническая вектор-функция, а V (Х, х) удовлеворяет системе

—V

= 0 . (8)

Выражение (7) будет решением системы (3), если бигармоническая вектор-функция и (Х, х) удовлетворяет также соотношению

4тт (я2 Л

д 4и

—х 4

0 +

—2 Л

—т + А

—Х2

grad (Л™ио) = 0,

а вектор-функция V(Х, х) - соотношению = 0, при этом ио(Х, х) = gradh, а решение системы

(8) V(Х, х) = (0(х) + Х((х) + Х((х) + Х((х) , где ^Х, х) - бигармоническая функция в

пространстве Яп+1, (к (х) - произвольные достаточно гладкие в Я" вектор-функции,

удовлетворяющие соотношениям (х) = 0, к = 0,3.

Таким образом, все регулярные в некоторой области С е Яп+1 решения системы (3) представляются в виде

3

и(Х, х) = gradh + ^ Хкщ (х) , (9)

к=0

что является аналогом формулы (2).

Теперь найдём формулу представления общего решения системы уравнений шестого порядка (4). Действуя, как и выше оператором по х е Я" на систему (4), получим следующее

соотношение:

—6о —0 +

—4 л

—7 + А

лУ

—+ А

—Х Х

А о = 0, (10)

где ( = ЛЬЮ. Упростив левую часть уравнения (10), нетрудно заметить, что из (10) следует полигармоническое уравнение А3о = 0, учитывая которое, из системы (4) как следствие получим систему

—А 3и = 0. (11)

—Х6

Аналогично предыдущему случаю общее решение системы (11) представляется в виде (7), где теперь и (Х, х) - решение полигармонического уравнения А3ио = 0, а V (Х, х) - решение уравнения

д6У .

—1 = 0,Г0(;,х) = у/0(х) + щ(х) + - + 1 р5(х), ot

где у/0(кх\у/1(кх\■■•,у/5(кх) - произвольные и достаточно гладкие вектор-функции переменной

х е Я". Далее, рассуждая так же, как и в предыдущем случае, запишем формулу общего представления решения системы (4) в виде (9)

5

и(Х, х) = gradH + ^ Хкщ (х) ,

к=0

где Н(Х, х) - полигармоническая функция, щк (х) - произвольные и достаточно гладкие вектор-

функции, удовлетворящие соотношениям = 0, к = 0,5.

Таким образом, из приведенного выше способа нахождения представления общего решения неклассических систем (3) - (4) легко заметить, что для нахождения представления общего решения произвольной неклассической системы (5) следует применять следующий алгоритм:

- применить операцию Лгу по х е Я" на систему (5), которая систему приводит к соотношению Ато = 0, где о = ЛгуЮ ;

- учитывая последнее, получить следствие системы (5) в виде системы

—2т

— -А ти = 0 (12)

—Х2т

и найти общее её решение вида (7), то есть

и(Х,х) = и0(Х,х) + У0(Х,х), (13)

где и (Х, х) - решение полигармонического уравнения Атио = 0, а V (Х, х) - решение уравнения

—2тУп

0 _

—Х2

= 0, (14)

удовлетворяющее соотношению = 0;

- очевидно, если вектор-функция и(Х, х) - решение системы (5), то она будет удовлетворять и систему (12);

- обратно, если бигармоническая вектор-функция ио (Х, х) удовлетворяет также соотношению

д2Ц |

а г

2m

m Я2(т-/')

уд -

у дг2{т-])

grad ) = 0,

а вектор-функция V(г, х) - соотношению = 0, то выражение (13) будет решением системы

(5), при этом С/0 (г, x) = gradQ., где x) - решение полигармонического уравнения Дт0 = 0, а общее решение системы (14) имеет вид

2 т-1

У0(г, х) =у гк ^ к (х),

к=0

где ^ (х) - произвольные вектор-функции класса С2т (Я") , удовлетворяющие соотношениям

divx¥k (х) = 0, к = 0,2т -1.

Таким образом, все регулярные в некоторой области О е Я"+ решения общей системы (5) представляются по следующей формуле:

2 т-1

и (г, х) = grad 0 + у гк ^ (х) . (15)

к=0

Из формулы (15) следует, что свойства решений неклассической системы (5) связаны со свойствами полигармонических функций многих переменных.

Известно, что некоторые свойства гармонических функций также переносятся с соответствующими изменениями на полигармонические функции (см. [5]). Для полигармонических функций любого порядка т > 1 обобщаются представления при помощи гармонических функций, известные для бигармонических функций (см. [6,7]). Например, для полигармонической функции двух переменных и(х, у) справедливо следующее представление [5]:

т-1

и(x, у) = Уг 2((х у),г2 = х2 + у2,

к=0

где (Ок(х, у), к = 0, т -1 - произвольные гармонические функции.

Поступило 07.01.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений. - М.:Наука, 1987, 416 с.

2. Бойматов К.Б. Многомерные системы дифференциальных уравнений составного типа с негладкими коэффициентами. - ДАН СССР, 1990, т. 313, №3, с. 525-528.

3. Сафаров Д.Х. Эллиптическая регуляризация системы уравнений составного типа. - ДАН СССР, 1990, т. 311, №1, с. 36-39.

4. Сафаров Д.Х. Неклассические системы уравнений. - Душанбе: Дониш, 2008, 431 с.

5. Математическая энциклопедия. Полигармоническая функция. Т. 4. - М.: Советская энциклопедия, 1984, с. 403-404.

6. Векуа И.Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. - М.-Л.: Гостехиздат, 1948, 296 с.

7. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. - М.: ИЛ, 1961, 256 с.

Ч,.Х.Сафаров, С.С.Мирзоев

ТАСВИРИ ХДЛЛИ УМУМИИ СИСТЕМАМИ БИСЁРЧЕНАКАИ ГАЙРИКЛАССИКИИ МУОДИЛА^ОИ ТАРТИБИ ОЛЙ

Донишго^и миллии Тоцикистон

Дар макола созмони системами бисёрченакаи гайриклассикии муодилах,ои дифференсиалй бо х,осилах,ои хусусии тартиби олии дорои оилаи характеристиками хдкикии бисёркарата ва формулами хдлли умумии онх,о мавриди баррасй ;арор меёбанд.

Калима^ои калиди: системауои гайриклассикии муодилауо - тасвири %алли умуми - функсияуои бигармоники - функсияуои полигармоники - оилаи характеристикауои уацщй.

D.Kh.Safarov, S.S.Mirzoev PRESENTATION OF THE GENERAL SOLUTION OF MULTI-DIMENSIONAL NON-CLASSICAL SYSTEMS OF EQUATIONS OF HIGHER ORDER

Tajik National University We find representations of the general solution of multi-dimensional non-classical systems of equations of higher order having a family of multiple real characteristics.

Key words: non-classical system of equations - representation of the general solution - biharmonic functions - polyharmonic functions - family of real characteristics.