CC BY
34
УДК 519 ББК 32.81
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕХАНИЗМА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ КАК НЕМАНИПУЛИРУЕМОГО МЕХАНИЗМА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ АКТИВНОЙ ЭКСПЕРТИЗЫ1
Коргин Н. А.2
(Институт проблем управления РАН, Москва)
Доказывается, что любой механизм последовательного распределения ресурса, который является неманипулируемым на классе однопиковых функций предпочтений агентов, может быть представлен как неманипулируемый механизм активной экспертизы для класса многомерных функций предпочтений агентов с одним плато - т. е. обобщенной медианной схемы и правила устранения многозначности.
Ключевые слова: неманипулируемые механизмы
планирования, механизм последовательного распределения ресурсов, механизм многокритериальной активной
экспертизы, обобщенные медианные схемы.
1. Введение
Неманипулируемость механизма планирования (т. е. механизма принятия решений центром на основе информации, поступающей от подчиненных - агентов) - это свойство, гарантирующее, что каждому агенту нет смысла искажать
1 Работа выполнена в рамках гранта РФФИ № 09-07-00093-а
2 Николай Андреевич Коргин, кандидат технических наук, (п^^іп@іри. ги).
передаваемую центру информацию. В работах [2, 8, 12] задача построения неманипулируемых механизмов распределения ресурсов решается для случая, когда каждый агент заинтересован только в том количестве ресурсов, которые получает он. В работах [3, 5] задача распределения ресурсов была сформулирована как задача многокритериальной активной экспертизы, в которой число направлений, по которым распределяется ресурс, отличается от числа агентов, для каждого из которых существенным является распределение ресурса по всем направлениям. В рамках данной работы устанавливается эквивалентность между этими двумя классами задач, которая до этого момента была доказана только для случая двух агентов [8].
2. Основные определения и предварительные результаты
2.1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ЗАДА ЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ
Формально, задача распределения ресурсов записывается следующим образом. Организационная система состоит из одного центра и множества N = {1, ..., n} агентов. У центра имеются ресурсы в ограниченном количестве - R е М+ , которые должны быть распределены между агентами. Предпочтения каждого агента i е N относительно количества выделяемых ему ресурсов xi е [0, R] определяются однопиковой функцией
ui: М+ ^ М1:
1. Существует единственная точка пика
= arg max ut (x) Vi е N;
хеМ+
2. Vz, z' е М1, если Tt > z > z', то u(z) > u(z'), если z > z' >Ti, то u(z) < u(z').
В случае, когда ^т, > R, имеет место дефицит ресурсов.
iеN
Считается, что значения точек пика не известны центру, но являются общим знанием для агентов.
Для распределения ресурсов центр использует механизм планирования x = n(s), определяя итоговое распределение ресурсов x = {x1,..,xn}, xi > 0, ^ xt е[0,R] на основании
iеN
сообщений (заявок) агентов s = {s1,..,sn}, st е St, i е N. Si -множество допустимых заявок i-го агента. Если в качестве сообщения агента просят сообщить значение своей точки пика, то такой механизм является прямым [6].
Так как выделяемые каждому агенту центром ресурсы зависят от заявок всех агентов (которые они сообщают одновременно), то между агентами возникает игра в нормальной форме:
Го = (N, {и, (я,(s))}^,{SiU), где ni(s) - количество ресурсов, выделяемое в соответствии с механизмом n(s) агенту i е N.
Если для механизма планирования n(s) можно для каждого возможного вектора точек пика агентов т = {т1, ..., тп} определить равновесные по Нэшу заявки1 - s% * (т), то для него можно предъявить соответствующий прямой механизм й(т) :
X = h (т) = Я(^ *(т)).
Прямой механизм планирования h(T) называется
неманипулируемым, если доминантной стратегией каждого
агента является сообщение своей истинной точки пика:
Т е A rg maxut (ht (s,, s_t)) Vs_t, Vi е N, s,
где s-i обозначает сообщения всех агентов, кроме i-го.
1 Следует отметить, что равновесия может не быть вообще, или их может быть несколько. Если равновесий несколько, то необходимо ввести правило отбора равновесий, позволяющее из любого множества равновесий выбирать единственное.
Механизмы n(s) и ^(s) считаются эквивалентными, если при заданном количестве ресурсов R для любого вектора точек пика агентов эти механизмы в равновесии дают одинаковое распределение ресурсов:
Я^я * (т)) = (p(sv * (т)).
Соответствующий n(s) прямой механизм h(T) является эквивалентным n(s), если он неманипулируем.
Механизм распределения ресурсов является анонимным, если он симметричен относительно перестановок агентов - итоговое распределение ресурсов зависит только от заявок агентов.
В работах [2, 8, 11] было показано, что любой неманипулируемый, эффективный по Парето и монотонный в группах1 механизм распределения ресурсов - это механизм последовательного распределения ресурсов (МПРР). Эффективность по Парето подразумевает, что при наличии дефицита ресурсов весь имеющийся в наличии ресурс должен быть распределен полностью между агентами.
В [5] получена его аналитическая запись для механизмов последовательного распределения ресурсов, эквивалентных механизмам прямых или обратных приоритетов [1, 6]:
(1) x. = minT., max d,(S)R(S)}, i е N,
1 1 S cN^s 1
где R(S) = R - V т. , а функции dt (•): 2N \ 0 ^ [0,1]
jеN \ S j
определяют «вес» агента i е S в группе S с N, причем VSV е 2n \ 0 :
1. V d (S) = 1;
iеS
2. если S с V то dt (S) > dt (V).
1 Если количество ресурсов, распределяемое между группой агентов, увеличилось, то каждый из агентов этой группы получит не меньшее количество ресурсов, чем раньше.
В [1, 12] было показано, что существует единственный анонимный МПРР, аналитическая запись которого имеет следующий вид [4]:
Ях}
(2) х, = тш {г,,--} , i е N.
п - (, -1)
2.2 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ ЗАДА ЧИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ АКТИВНОЙ ЭКСПЕРТИЗЫ
Задача многокритериального коллективного выбора (частным случаем которой является задача активной экспертизы) формулируется следующим образом. Заданы множество агентов N = {1,...,п}, п > 2 и множество координат М = {1,...,m} , m > 2.
Z с Шm - множество допустимых альтернатив (результатов выбора), являющееся полноразмерным компактом. Обозначив проекцию Z на произвольную координату k е M как Zk, определим понятие минимального блока для Z:
B( Z)
= П [min Zk, max Zk ]
кеМ
Альтернативы из B(Z) \ Z являются недопустимыми.
Предпочтения агентов определяются многомерно-однопиковой функцией u, : Шт ^ Ш1:
1. Существует единственная точка пика
Т = arg max ut (x), т е Z Vi е N;
xsZ
2. Vz, z' е Шт,
[ z е B({z,Tt}) и z Ф z ] ^ [ ui (z) > ut (z)].
Обозначим класс допустимых предпочтений агентов U. Тогда функция коллективного выбора F: U ^ Z определяет выбор единственной альтернативы на основе информации о предпочтениях агентов. Функция коллективного выбора является нема-нипулируемой, если доминантной стратегией каждого агента
будет достоверное сообщение своих предпочтений. В механизмах активной экспертизы применяются функции коллективного выбора, в которых агенты сообщают Центру лишь одну альтернативу -которую они хотят видеть в качестве результата выбора.
Доказано [7], что для описанной модели функция коллективного выбора неманипулируема тогда и только тогда, когда она является обобщенной медианной схемой обладающей свойством пересечения.
Обобщенная медианная схема записывается следующим образом. Для каждой координаты k е М на Хк = [ак, Ьк ] определим систему правых коалиций ^к, которая ставит в соответствие любому zk е Хк некоторые множества групп агентов ^к (zk) такие, что:
1) у^ е (ак, ьк Ь ^к (zk) 0^^к (zk) и ^к (ак) = 2N \0;
2) если W е^к (zk) и Ж с Ж' ^ W' е^к (zk).
3) Если < < zk и Ж е ^к(zk) ^ Ж е ^к (zk).
4) УЖ с N, Уzk е Хк и любой последовательности ^‘к } с Хк такой
что Ит^со 4 = ^ верно
[У^Ж е^к (zk)] ^ [Ж е^к (Zk)].
Семейство ^ систем правых коалиций для В^) - это набор }™=1 где - система правых коалиций для Для каждой координаты к еМ , обозначим гк = (г1к,...,гкп) вектор проекций точек пиков агентов на нее. Тогда любая обобщенная медианная схема - это функция F: Хп ^ В(Х), определяемая следующим образом: У и е ип, У к е М
^(г) = тах{^ е Хк|{/'е N1 гГ > zk} е ^к(zk)}.
Важным свойством обобщенных медианных схем является то, что результат выбора зависит только от значений точек пика агентов, а не от функций предпочтений в целом.
Свойство пересечения гарантирует, что для любых возможных предпочтений агентов результат выбора будет принадлежать Х, т. е. F: Х ^ Х. Подробно о проблеме реализуемости и
свойстве пересечения см. [4, 7], т.к. в рамках данной статьи оно применяться не будет.
В работе [11] было доказано, что, если размерность пространства множества выбора больше 2 то не существует оптимальных по Парето неманипулируемых механизмов коллективного выбора.
Рассмотренная в предыдущем разделе задача распределения ресурсов может быть представлена как частный случай задачи многокритериальной активной экспертизы (п = т), в которой центру необходимо определить значение некоторого параметра из множества его допустимых значений:
п
Х = {х е Х с К” I ^ хз - Я} .
3 =1
В работе [3] задача распределения ресурсов рассматривалась как задача многокритериальной активной экспертизы и было показано, что при п > 3 практически не существует обобщенных медианных схем, обеспечивающих распределение всего ресурса целиком, т. е. с множеством допустимых значений результатов выбора
п
Х = {х е Х с | ^ х3 = Я} . При этом предполагалось, что пред-
3=1
почтения агентов - многомерно-однопиковые, т. е. каждому, агенту важно не только, сколько ресурсов получает лично он, но и остальные агенты.
Для одномерной задачи коллективного выбора в работе [9] было показано, что если предпочтения агентов вместо точки пика содержат плато - выпуклое множество наилучших альтернатив, то любой неманипулируемый механизм так же является обобщенной медианной схемой, дополненной немани-пулируемым правилом устранения многозначности. Функции предпочтений агентов V: К1 ^ К1 с одним плато удовлетворяют следующим требованиям:
1. [Ь;Ъ] = Аrgmax(х) У/ е N;
хеК1
2. Vz, z' є М1, если ті > z > z', то v(z) > v(z'), если z > z' > T , то v(z) < v(z' ) .
Если обозначить множество всех функций предпочтений с плато как П , то компонента правила устранения многозначности для агента І є N - это функция ti: Пn ^ М1, такая, что
1. Vv єПn tt(v) є [Ti;т];
2. W єПn если Vj є N A rg max vj (x) = A rg max vj (x), то
xєМ1 xєМ1
t, (v) = t, (v).
Неманипулируемость правила устранения многозначности означает, что Vi є N Vv є Пn, Vj є N \{i} и Vv}. є П
v;(t,(v)) > v;(t,(v,v_j)).
Обобщенная медианная схема, дополненная правилом выбора (для одномерного случая) это любая обобщенная медианная схема, в которую в качестве заявок агентов подставляются значения их компонентов правила устранения многозначности,
F(t(v)) = max{z є Z I{i є NI tt (v) > z} є ^(z)}.
Расширение данного результата на многомерный случай позволит установить, является ли МПРР частным случаем ОМС или нет.
3. Представление механизма последовательного распределения ресурса в виде обобщенной медианной схемы с правилом выбора точек пика
Для решения поставленной задачи предлагается следующая последовательность действий. Опираясь на результат [5], покажем, что любой МПРР представим в виде минимаксной схемы.
Затем покажем, что для любой полученной минимаксной схемы существует эквивалентная ОМС, дополненная многомерными правилами устранения многозначности. И докажем, что полученный механизм многокритериального выбора будет неманипулируемым.
3.1. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕХАНИЗМА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ КАК МИНИМАКСНОЙ СХЕМЫ
Результаты, полученные в [5] для МПРР, эквивалентных приоритетным механизмам, могут быть обобщены на все МПРР.
Теорема 1. Любой механизм последовательного распределения ресурсов представим в виде:
(3) х, = тт{т., тах qi(Б,Я(Б))}, / е N,
5 с N:iеS
где функции qi (•):2N \ 0х [0, R] ^ [0, R] определяют, как ресурс R(Б) = R - V т. может быть распределен между агентами в
jеN \ 5 .
группе Б с N и УБV е 2N \ 0, У/' е Б, Уг е [0,R]:
Т 1.1. V Чг (Б, г) = г;
/еБ
Т 1.2. ^(Б•г) > 0 ;
бг
Т 1.3. если Б с V то qi (Б, г - QV\Б (V, г)) = qi (V, г), где дз (V, г) = V qj (V, г).
.еБ
Доказательство теоремы 1 и других утверждений вынесено в приложение к статье.
То есть любой МПРР записывается в форме, аналогичной форме записи ОМС, что позволит доказать возможность представления произвольного МПРР в виде ОМС. Но аналитическая запись МПРР ценна сама по себе, вне контекста данной статьи, т.к. позволяет анализировать эффективность МПРР по различным критериям и другие их свойства (например, эквивалентность различных МПРР, как в [5]).
Выражение (3) позволяет записать в аналитической форме МПРР, для которого не существует эквивалентного приоритетного механизма распределения ресурсов. Приведем пример подобного механизма.
Пример 1. Я единиц ресурса делится между тремя агентами. Заявка первого агента всегда удовлетворяется полностью. Если оставшийся для второго и третьего агента
ресурс 223 — 2R / 3, то второй агент получает не более х2 = R/3 +1/5(223 -2R/3), а третий, -
х3 = R/3 + 4/5(223 -2R/3).
В случае 223 < 2R /3 х2 = 223 / 2 и х3 = 223 / 2 . Для данного МПРР функции qi (•): 2N \ 0 х [0, R] ^ [0, R], і є N, описывающие его будут иметь следующий вид:
Чі( S є {{1,2,3},{1,2},{1,3},{1}}, 2) = 7; q2(Sє {{1,2,3},{1,2},2) = 0;
Г 2 /2, 2 < 2R /3
q2( S = {2,3}, 2) = ^ ;
^/3 +1/5(2-2R/3), 2 — 2R/3
q2(S = {2},2) = 2 ;
q3(S є {{1,2,3},{1,3},2) = 0;
Г 2/2, 2 <2R/3
q3(S = {2,3}, 2) = ^ ;
3 [R/3 + 4/5(2-2R/3), 2 — 2R/3
q3(S = {3},2) = 2 ■
3.2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МЕХАНИЗМА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ КАК ОБОБЩЕННОЙ МЕДИАННОЙ СХЕМЫ ДОПОЛНЕННОЙ ПРАВИЛОМ УСТРАНЕНИЯ МНОГОЗНА ЧНОСТИ
Покажем, что МПРР может быть представлен как ОМС, дополненная некоторым правилом устранения многозначности. Рассмотрим базовую постановку задачи распределения ресурсов из раздела 1.1. Для нее верно следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть МПРР п(т) описывается набором функций qi (•): 2N \ 0 х [0, R] ^ [0, R], і є N. Определим ОМС дополненную правилом устранения многозначности F(т):
F (г) = тах{2 є[0,Я]|{ j є N | — 2}є^і (2)}, і є N,
где
(4) ЭТ,. (2) = ^ и {і}: S с N\{і} л (^ \ S, R) — 2},
(5) s1i = шіп{ті, тах qi(S,R(S))}, ] є N\{і},
^ БсЛЛ{ У}іє.Б
Б с N \{ ;}:іє5
s, = г
ОМС, дополненная правилом устранения многозначности, F(т) эквивалентна МПРР.
Иными словами, (4) определяет систему коалиций, порождающую одномерную ОМС, с помощью которой определяется количество ресурсов, выделяемое агенту і, а (5) - это правило устранения многозначности: заявка агента ] относительно количества ресурсов для остальных агентов определяется на основе того же МПРР п(т) при условии, что самому агенту ] выдано запрашиваемое им количество ресурсов т или все R, если т > R.
Покажем, как получаются (4) и (5) для анонимного МПРР. В соответствии с (2), при упорядочении агентов по возрастанию
мум, что может получить агент / это х1 = Я / (п +1 - /) (при условии, что все агенты с индексами меньше / ничего не попросили себе вообще). Соответственно, система правых коалиций (которая будет одинаковой для всех агентов) записывается следующим образом:
Иными словами, для того, что бы агент і получил ресурс в количестве 2, число агентов, которые должны быть согласны с этим должно быть более п + 1 - R / 2. То есть, если любому агенту нужно больше чем R / 2 ресурсов, то на это должны быть согласны все остальные агенты. А гарантировано каждый может получить R / п ресурсов, что полностью согласуется с результатами функционирования анонимного МПРР.
Таким образом, ОМС, эквивалентная анонимному МПРР
(2) записывается следующим образом:
(6) хі = шах{2 є [0,R] | #{] є N | s1j — 2} > шах(п +1 - R / 2,0)} і є N.
этом макси-
ЭТ(2) = {Б с N: #{ j є N | s,j — 2} > шах(п +1 - R / 2,0)},
эт( R) = {Щ.
Полученную ОМС можно проинтерпретировать в терминах фантомных агентов, первоначально предложенных Муленом [10]. Ресурс, выдаваемый агенту - это медиана в упорядочении заявок самих агентов и фантомных агентов. Количество фан-
Я Я Я
томных агентов - п - 1. Вектор их заявок - (—,----,..., —).
п п -1 2
Правило устранения многозначности будет следующим:
Я-т, -Е ^
(7) з) = шт{т,,-------к«^-}, /, / е N,
п -1/
где I/ - номер агента I в упорядочении агентов из N \ {/} в порядке возрастания значений их точек пиков.
Пример 2. Ресурсы в количестве 10 условных единиц делятся между 5-ю агентами. Вектор сообщений агентов -(1, 2, 3, 4, 5). При использовании анонимного МПРР, на первом шаге каждому агенту будет предложено по 10 / 5 = 2 ресурсов, соответственно, будут удовлетворены заявки первых двух агентов. На втором шаге оставшиеся ресурсы в количестве 10 - 3 = 7 будут делиться между последними тремя агентам. Каждому будет предложено по 7 / 3 единиц ресурсов. Это меньше, чем заявка любого из них. Таким образом, итоговое распределение будет (1, 2, 7 / 3, 7 / 3, 7 / 3).
ОМС для анонимного механизма будет определяться фантомными агентами с точками пика (2, 10 / 4, 10 / 3, 5). Вектора заявок агентов по всем пяти направлениям распределения ресурсов в соответствии с правилом устранения многозначности (7) приведены в таблице 1. Номер строки соответствует номеру направления (кому давать), номер столбца - агенту (кто просит).
В таблице 2 приводится упорядочение заявок агентов и фантомных агентов для каждого из 5 направлений. Медиана каждого упорядочения выделена полужирным.
Таким образом, итоговое распределение ресурса при применении ОМС (6) с правилом устранения многозначности (7) будет также (1, 2, 7 / 3, 7 / 3, 7 / 3). ■
Управление большими системами. Выпуск 36 Таблица 1. Заявки агентов.
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 5 / 3 4 / 3
3 7 / 3 7 / 3 3 5 / 3 4 / 3
4 7 / 3 7 / 3 2 4 4 / 3
5 7 / 3 7 / 3 2 5 / 3 5
Таблица 2. Применение обобщенной медианной схемы.
*1 1 1 1 1 1 2 10 / 4 10 / 3 5
*2 4 / 3 5 / 3 2 2 2 2 10 / 4 10 / 3 5
*3 4 / 3 5 / 3 2 7 / 3 7 / 3 10 / 4 3 10 / 3 5
*4 4 / 3 2 2 7 / 3 7 / 3 10 / 4 10 / 3 4 5
*5 5 / 3 2 2 7 / 3 7 / 3 10 / 4 10 / 3 5 5
3.3. АНАЛИЗ СВОЙСТВ МЕХАНИЗМОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ ДЛЯ СЛУЧАЯ, КОГДА АГЕНТЫ ЗАИНТЕРЕСОВАНЫ В РЕСУРСАХ ПО НЕСКОЛЬКИМ НАПРАВЛЕНИЯМ
Важным свойством любого МПРР была оптимальность по Парето. В то время как неманипулируемые механизмы многокритериального выбора, при размерности пространства выбора больше 2 этим свойством не обладают, если у всех агентов функции предпочтения зависят от всех координат. В рамках данной статьи не будем проводить полноценного исследования этого вопроса, ограничившись лишь иллюстрацией того, что если у агентов присутствует заинтересованность в том, сколько ресурсов будет выделено более чем на одно направление, и по одному направлению несколько агентов считают оптимальным разное количество ресурсов, то не существует анонимного механизма коллективного выбора, оптимального по Парето. Так как
анонимный МПРР один, то если показать, что он не применим в описанной постановке задачи, то это будет значить, что для нее нет анонимных, эффективных по Парето и неманипулируемых механизмов распределения ресурсов. Для этого приведем пример, в котором он даст недопустимое распределение ресурсов.
Модифицируем рассмотренный в предыдущем разделе анонимный МПРР следующим образом. Правило устранения многозначности (7) будет применяться только для тех направлений, количество выделяемых на которое ресурсов агенту безразлично.
Пример 3. Я ресурсов делится между п направлениями на основе заявок от п агентов с помощью ОМС (6) с правилом устранения многозначности (7). Агенту 1 существенны два направления - свое и агента 2:
Остальные агенты требуют отдать весь ресурс себе. Очевидно, что в этом случае правило (7) определит, что заявки каждого агента по другим направлениям, будут нулевыми.
Тогда по второму направлению упорядочение точек пиков реальных агентов и фантомных, соответствующих ОМС (6), будет следующим:
где 0 сообщают п - 2 агентов. Медианой этого упорядочения будет Я / (п - 1). По остальным направлениям, легко убедиться, что медианой будет Я / п.
Таким образом, механизм (6) с правилом устранения многозначности (7) даст недопустимое распределение ресурсов, т.к.
Иными словами, механизм будет нереализуем. Следует отметить, что ОМС (6) была бы нереализуема в данном примере не зависимо от того, какое правило устранения многозначности в ней используется. ■
т11 = (п - 2)R / (п -1), т12 = R / (п -1).
3. Заключение
Основным результатом статьи является доказательство того, что неманипулируемые механизмы распределения ресурсов являются частным случаем неманипулируемых механизмов многокритериального выбора. Это позволяет распространить результаты, полученные для последних на первые, например анализ степени манипулируемости различных механизмов распределения ресурсов, который на данный момент удалось провести только для анонимного случая. Полученная аналитическая запись для механизмов последовательного распределения ресурсов ценна сама по себе, т.к. позволяет анализировать различные свойства данных механизмов, например, такие как их эквивалентность.
Отдельным перспективным направлением представляется полноценное расширение результатов, полученных для одномерных задач коллективного выбора для функций предпочтения агентов с плато [9] на многомерные задачи коллективного выбора.
4. Приложение
Доказательство теоремы 1. Обозначим:
1 є[1,...,п] - номер шага алгоритма работы механизма последовательного распределения ресурса п(т);
1 ■ і
qi - предлагаемое агенту г на шаге 1 количество ресурсов;
К с N - множество агентов, чьи заявки удовлетворяются на шаге 1 (і є К1 :ті < qli);
Nl с N - множество агентов, чьи заявки остаются неудовлетворенными (і є Ы1: ті > qIi);
Ri - доступные для распределения на шаге 1 ресурсы,
Перед началом работы алгоритма К0 = 0, = N , Я1 = Я .
На каждом шаге каждый агент i е Nl_1 может получить ресурсы
х1 = min{тI., qIi} . В итоге работы алгоритма (подробное описание алгоритма приведено [2, 4, 6]) за число шагов k < п формируется множество агентов К = ^К1 (т.н. диктаторы), чьи заявки
I <k
были удовлетворены, и множество агентов ^, каждый из которых получает ч*: V qк = R - V т .. Очевидно, что К и Nk = N,
.еК
К о Nk = 0. Из требования монотонности в группах, предъявляемого к МПРР следует, что VI < k V/ е Nl ql < q2 < ... < .
То есть для того, чтобы определить механизм, необходимо VS е 2N \ 0 определить qi (Я, г) - количество ресурса, предлагаемое агенту / если группа неудовлетворенных агентов составит S и для распределения в ней будет доступно количество ресурса г. Тогда итоговое распределение ресурса может быть записано в форме минимаксной схемы:
п(т) = тт{т., тах ч (Я,г)}.
Я^Ы:/еЯ
Определим требования, которые должны предъявляться к
q,(S, г).
Необходимость.
Во-первых, любое количество ресурса, доступное любой группе должно полностью предлагаться к распределению внутри группы, т. е.:
Т 1.1. VS е 2N \ 0 , V/ е S, Vz е [0, R] V Ч, (Я, г) = г .
/еЯ
В том числе V/ е N qi({/},г) = г .
Во-вторых, требование монотонности в группах означает, что
VS е 2N \ 0 , V/ е Я, Vz е [0, R] (Я, г) должна не убывать по г,
т. е.
Т 1.2. VS е 2N \ 0 , V/ е Я, Vz е [0,R] ^(Я, г) > 0 .1
&
1 Но производная может быть разрывной по г.
Следует отметить, что из условий Т 1.1. и Т 1.2. очевидным образом следует непрерывность ч,(Я, г) по г.
Перейдем к условию Т 1.3. Пусть для некоторых групп
V с N и Я с V Зk е Я т.ч. при некотором г < R (Я, г - QV\Я (V, г)) Ф (V, г). Рассмотрим ситуацию, когда предпочтения агентов удовлетворяют следующим условиям
а. V/ е N \ V т < (N,R) и V Т = R - г ;
iеN XV
б. V/ е V т{ > (N,R);
в. V/ е V \ Я т{ = (V, г);
г. V/ е Я тг > (V, г) и т > (Я, г - Qv\я (V, г)).
Для данного набора точек пиков агентов по результатам первого шага работы МПРР N1 = V , R2 = г . После второго шага
V/ еV х2 = (V, г), соответственно, все агенты из V \ Я полу-
чают ровно столько, сколько просили и ^ = Я, R3 = г - Qv\Я (V, г). Следует отметить, что на втором шаге агенты из Я в сумме получали QS (V, г) = г - QvхЯ (V, г) - т. е.
R3 = QS(V,г). На третьем шаге алгоритм остановится, т.к. N3, = N2 и V/ е Я получат по х3 = qi (Я, г - Qv7Я (V, г)).
Если (Я, г - QvхЯ (V, г)) < (V, г) то это означает, что
х3 < х2, что противоречит свойствам МПРР. Если (Я, г - Qv\Я (V, г)) > (V, г), то из того, что количество ресур-
сов, распределяемое между агентами из Я на втором и третьем шаге одинаковое, следует, что найдется хотя бы один агент . е Я, такой, что х3 < х2.
В заключение покажем, что для неманипулируемости механизма распределения ресурсов, определяемого (3) функции (•) не могут зависеть от заявок агентов. В [8] доказано, что любой неманипулируемый механизм распределения ресурсов должен быть представим в виде х1 = тт{т,bi(и {)}, / е N, где bi(и {)
должны обеспечивать ^ хі = R . Следовательно, V/ є N функция qi(•) не должна зависеть от и, т. е. от заявки самого агента.
Предположим, что Зк, ] є N т.ч. для некоторого множества агентов Б с N: k є Б qk(•) зависит не только от г, но и от и;-.
Если і є S то, в соответствии с условием Т 1.3. V/ є {к, j} Чі ({к, Л, г - \{к ^(Б, г)) = qi (Б, г). То есть для множества аген-
тов {к, _/} так же должна зависеть от и. Но, так как Vг є [0, R] Чк({k, Л,г) + 4-і({k, j},г) = г , то ч;(^) для множества {k, j} зависит от и;, что недопустимо.
Если і ё S, то рассмотрим множество агентов £ = { і} и £ . Так как чк (Б, г - Л(£, г)) = чі (Б, г), то для £ чк(^) так же зависит от и}-. Далее повторим выкладки предыдущего абзаца.
Таким образом, V/ є N функция ч(^) не может зависеть от заявок агентов, следовательно чі(•): 2N \0х[0,R] ^[0,R]. Достаточность.
Пусть задан набор функций чі (•): 2N \ 0 х [0, R] ^ [0, R], удовлетворяющий условиям Т 1.1.—Т 1.3. Необходимо показать, что механизм (3), определяемый этими функциями, является МПРР.
Проанализируем, на каких Б с N может достигаться тах{ч. (Б,R(S))}. Зафиксируем произвольную группу агентов
Б :ієБ
Б с N.
1. Покажем, что Vi, к є Б
Чг(Б,ВД)<Чг(Б\{к},\{к}) « тк <чк(Б,R(S)):
Чг (Б, R(S))? чг (Б\{к}, R(S\{к})1
^ в соответствии с условиями Т 1.1. и Т 1.3.,
ч, (Б\{к}, R(S) - Чк (Б, R(S)))? Чг (Б\{к}, R(S)-Тк),
1 Знак ? обозначает искомое отношение между левой и правой частями (<, > и т.д.).
ф в соответствии с условием Т 1.2.,
R(Я) - Чк(Я,R(S))?R(S)-Тк ,
Ф
тк ? Чк (Я, R(S)).
Следовательно, V/ е N max{q. (Я,R(S))}достигается, когда
Я :/еЯ
Vk е Я \{/} тк > ч, (Я, R(S)).
2. Покажем, что если т{ > qi(Я,R(S)), т. е. все множество Я
состоит из не-диктаторов, то во множестве Я \ / так же не возникнет новых диктаторов. Рассмотрим произвольного агента / е Я \ /. По построению т. > ч. (Я, R(S)). Так как
Т > qi (Я, R(S)), то из условия 2 следует, что
Ч. (Я \ {/},R(S) - т) < Ч. (Я \ {/},R(Я) - Чг (Я,R(S))).
Из условия 3 получаем, что
Ч. (Я, R(S)) > Ч. (Я\{/}, R(S\{/})).
Следовательно, VS ' с Я, V. е Я ' т. > ч. (Я', R(S')), т. е. в
любом подмножестве Я не найдется новых диктаторов.
3. Однако, если т1 < qi (Я,R(S)), то возможно, что Зк е Я \ /, такой, что тк > чк (Я,R(S)) но тк < чк (Я \{/},R(Я \{/})). Это соответствует ситуации, когда для некоторого шага алгоритма I агент к ё и К. , но к е К1 в то время как агент / е ^ К. . То есть
3<1 3<1
для агентов-диктаторов тах^(Я)^. (Я)} может достигаться на
Я :/еЯ
таком Я с N, в которое входят другие диктаторы. Однако, так как тк < чк(Я \{/},R(Я \{/})), то тт{тк,тах^(Я^к(Я)}} = тк ,
что соответствует работе алгоритма МПРР.
Таким образом, (3) определит единственную группу Я * с N, т.ч.:
1. V/ е Я * Я * = а^ тах {ч, (Я, R(S))} и тг > (Я*, R( Я*));
Я с ^геЯ
2. V. е N \ Я * т. < Ч. (Я * и {/}, R(S * и {/})).
Что соответствует работе алгоритма МПРР.
Таким образом, рассматриваемый механизм (3) в котором функции qi(•): 2N \0х[0,R] ^[0,R], / еN удовлетворяют
условиям Т 1.1.-Т 1.3., является механизмом последовательного распределения ресурсов.
Доказательство теоремы 2.
Эквивалентность механизмов означает, что при одинаковых заявках механизмы дают одинаковое распределение ресурсов и механизм F(т) неманипулируем.
I. Покажем, что (4) удовлетворяет требованиям, предъявляемым к системам правых коалиций:
1) Vz е (0, R]:
^(z) Ф0, т.к. чг({/},R) = R;
0^^,. (z), т.к. VW е'К,.(z) / еЖ;
<ЯІ (0) = 2N \ 0 по определению.
2) В соответствии с теоремой 1 если Ж е "К,. (z) и Ж с Ж' то ^ Ж' е'К,.(z) т.к.
({/} и N \ Ж' , R) < ({/} и N \ Ж, R).
3) Если z' < z и Ж е^,.(z) ^ Ж е^,.(z') т.к.
({/} и N \ Ж, R) > z > z'.
4) VW с N, Vz е 2 и любой последовательности
{г*} с 2 такой что Нт(zt = z верно
5) ^,Ж еЭТ,. (zt)] ^ [Ж еЭТ,. (z)] т.к.
[Vt, ({/} и N \ Ж,R) > zt)] ^ [ч, ({/} и N \ Ж, R) > z]. То есть (4) определяет ОМС, в соответствии с которой, для того, чтобы х, = z, необходимо:
1. z <т;
2. Я = {/ е N \{/}: s,j > г} удовлетворяла условию
Ч, (N \ Я, R(N \ Я)) > г .
II. Исследуем как формируются вектор sJ■, / е N в соответствии с (5). Обозначим К = {/ е N: п. (т) = т.}.
Покажем, что V/ е N и V/ е К из (5) получаем, что s1J■ = п (т). Для произвольного вектора точек пиков агентов т = (т1,...,тп) обозначим п3(т .) - механизм, распределяющий ресурсы R - х. между агентами из N \ {/} , и получаемый на основе тех же (•), / е N \{/} что и п(т), где X/ = п.(т). В соответствии с условием монотонности по группам, которому удовлетворяет МПРР, V/,/ е N п. (т .) = п1 (т). То есть
п (т) = тт{т,., тах (Я, R - п. (т) - £ тк)}.
3 kеN\(fи{j}
Следовательно,если п . (т) = т., то
пг (т) = min{тI тах аг (Я, Щ))} .
Я с N\{/},еЯ
То есть sj = п,. (т) если / е К и sj определяется из (5).
Таким образом, V/ е К sj■ = п(т). Из приведённых выкладок так же следует, что V/ е N \ К , V/ Ф / s1j■ < п1 (т) т.к.
т/ > п/(т).
III. В соответствии с (5) получаем, что V/, / е N:
1. sг■ = п.(т) еслип (т) = т.или / = /
2. s^^. < п{ (т) если п. (т) < т. .
Отсюда получаем, что V/ е N
^(т) = тт{т,., ^ \ К,R(N \ К))} = п1 (т).
То есть, если агенты достоверно сообщают свои точки пиков, то Vт : и е ип имеем F(т) = п(т).
IV. Покажем, что механизм F(т) неманипулируем. То есть,
V/ е N в случае, если ^(т) Ф т не существует т{ т.ч.
иг (F (т,,т-, )) > иг (F■ (т)) .
В соответствии с (4) возможен только случай, когда Ъ (т) < т,.. Что означает, что V/ Ф / sj. < т,.. Это означает, что V/ Ф / тах (Я, R(S)) < т,.. Поэтому, сообщая т,. > т1, агент /
Я с N\{ /'}:,'еЯ
не сумеет изменить заявки других агентов, а сообщая Т <Т -может только уменьшить. То есть при сообщении Т Ф тполучаем, что ut(Ft(fi,z_i)) < ut(Ft(t)) .
Таким образом, получаем, что ОМС F(t), дополненная правилом устранения многозначности, эквивалентна МПРР п(т).
Литература
1. БУРКОВ В.Н., ГОРГИДЗЕ И.И., НОВИКОВ ДА., ЮСУПОВ Б.С. Модели и механизмы распределения затрат и доходов в рыночной экономике. - М.: ИПУ РАН, 1997. -61 с.
2. БУРКОВ В.Н., ДАНЕВ Б., ЕНАЛЕЕВ А.К. и др. Большие системы: моделирование организационных механизмов. -М.: Наука, 1989. - 248 с.
3. БУРКОВ В.Н., ИСКАКОВ М.Б., КОРГИН НА. Применение
обобщенных медианных схем для построения
неманипулируемого механизма многокритериальной активной экспертизы // Проблемы управления. - 2008 г. -№4 - С. 38-47.
4. КОРГИН Н.А. Анализ реализуемости результатов
многокритериальной экспертизы - применение "свойства пересечения” // Проблемы управления. - 2009 г. - №6 -С. 18-27.
5. КОРГИН Н.А. Эквивалентность и неманипулируемость
неанонимных приоритетных механизмов распределения
ресурсов // Управление большими системами. - 2009 г -№ 26.1 - С. 319-347.
6. НОВИКОВ Д.А. Теория управления организационными системами. 2-е издание. - М.: Физматлит, 2007. - 584 с.
7. BARBERA S., MASSO J., SERIZAWA S. Strategy-proof
voting on compact ranges // Games and Economic Behavior -1998. - Vol. 25. - P. 272-291.
8. BARBERA S., JACKSON M., NEME A., Strategy-Proof Allotment Rules // Games and Economic Behavior - 1997. -Vol. 18, Issue 1. - P. 1-21.
9. BERGA D., Strategy-proofness and single-plateaued preferences // Mathematical Social Sciences - 1998. - Vol. 35., Issue 2. - P. 1О5-12О.
10. MOULIN H. On strategy-proofness and single-peakedness. // Public Choice - 198О - Vol. 35. - P. 437-455.
11. NEHRING K., PUPPE C. Efficient and strategy-proof voting rules: A characterization, Games and Economic Behavior. -2ОО7, vol 59, Issue 1. - P. 132-153.
12. SPRUMONT Y., The division problem with single-peaked preferences: A characterization of the uniform rule // Economet-rica - 1991, vol 59. - P. 5О9-519.
REPRESENTING SEQUENTIAL RESOURCE ALLOCATION MECHANISM IN FORM OF STRATEGY-PROOF MECHANISM OF MULTI-CRITERIA ACTIVE EXPERTISE Nikolay Korgin, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, Cand.Sc., leading researcher ([email protected]).
Abstract: We prove that any sequential resource allocation mechanism, which is strategy-prooffor the domain of single-peaked preferences, may be represented as a strategy-proof mechanism of active expertise for the domain of multidimensional single-plateaued preferences - a generalized median voter scheme with a tie-breaking rule.
Keywords: strategy-proof mechanisms, sequential resource allocation mechanism, mechanism of multi-criteria active expertise, generalized median voter scheme.
Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии В. Н. Бурковым
