Представление геометрии поверхностей с помощью квадратичных форм Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.757

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТИЧНЫХ ФОРМ

© А.А. Валов1, М.А. Гаер2, Д.А. Журавлев3

Иркутский государственный технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

Статья посвящена описанию процесса вычисления поверхностей с использованием универсального математического аппарата представления геометрии, основанного на дифференциально-геометрическом подходе. Приведены примеры вычисления как аналитически описываемых поверхностей, так и поверхностей свободной формы. Описаны возникающие погрешности вычисления, а также представлен алгоритм минимизации возникающих погрешностей методом варьирования значениями коэффициентов квадратичных форм. Ил. 9. Библиогр. 3 назв.

Ключевые слова: проектирование с учетом допусков; математическая модель поверхности; поверхность свободной формы; квадратичные формы поверхности.

GEOMETRY OF SURFACES PRESENTATION THROUGH QUADRATIC FORMS A.A. Valov, M.A. Gaer, D.A. Zhuravlev

Irkutsk State Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The article describes the calculation of surfaces using multi-purpose mathematical tools of geometry representation based on a differential geometric approach. The calculation examples of both analytically described surfaces and freeform surfaces are given. Resulting calculation errors are described. The algorithm for arising error minimization by the variation of the quadratic form coefficient values is presented. 9 figures. 3 sources.

Key words: designing within allowance for tolerances; mathematical model of a surface; free-form surface; quadratic forms of a surface.

В современном машиностроении большой интерес представляет геометрическое моделирование изделий в системах автоматизированного проектирования с возможностью моделировать трехмерные допустимые отклонения поверхностей деталей и сборок, а также проводить анализ сборок с учетом допусков еще на стадии геометрического проектирования изделий. Для реализации такой возможности необходим универсальный математический аппарат, такой, который позволял бы проводить описание и расчет поверхности независимо от ее типа, вида, рассчитываемого отклонения от номинальных размеров и форм, с использованием неизменных алгоритмов.

Такой математический аппарат реализован и используется в разрабатываемой нами экспериментальной системе автоматизированного проектирования. В основе разработанного метода описания геометрии лежит «Теория квадратичных форм поверхности», в частности фундаментальная теорема дифференциальной геометрии -«Теорема Боне», суть которой заключается в том, что всякая поверхность определена однозначно, с точностью до движения в пространстве, если заданы ее первая и вторая квадратичные формы. Другими словами, любую поверхность можно охарактеризовать и вычислить, зная 6 коэффициентов квадратичных форм в каждой точке параметрической карты поверхности. Такое задание поверхности в нашем случае очень удобно, т.к. варьируя коэффициентами квадратичных форм, можно получать реальное положение поверхности детали при каждом значении заданных на нее допусков, независимо от типа поверхности.

Однако описанный выше метод представления поверхностей относится к приближенным методам, а значит, обладает погрешностью вычислений, что особенно критично при переводе уже существующей геометрии в представление через коэффициенты первой и второй квадратичных форм. Даная статья посвящена описанию этого процесса перевода существующей геометрии, а также оценке и методам минимизации возникающих погрешностей вычисления.

Напомним геометрический смысл коэффициентов первой и второй квадратичных форм [1]. Первая квадратичная форма характеризует длины бесконечно малых дуг кривых на поверхностях и имеет вид

1Валов Александр Александрович, аспирант, тел.: 89086461139, e-mail: [email protected] Valov Alexander, Postgraduate, tel.: 89086461139, e-mail: [email protected]

2Гаер Максим Александрович, кандидат технических наук, доцент кафедры технологии машиностроения, тел.: 89021709580, e-mail: [email protected]

Gaer Maxim, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Mechanical Engineering Technology, tel.: 89021709580, e-mail: [email protected]

3Журавлев Диомид Алексеевич, доктор технических наук, профессор кафедры технологии машиностроения. Zhuravlev Diomid, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Mechanical Engineering Technology.

I = Е ■ йи2 + 2 ■ F ■ йи ■ йу + С ■ йу2.

Коэффициенты Е и С представляют собой квадраты первых частных производных по параметрам и и у в данной точке поверхности. Коэффициент Р выражает угол между касательными векторами Г и Г.

Вторая квадратичная форма служит для вычисления кривизны бесконечно малых дуг кривых линий на поверхностях и совместно с первой квадратичной формой определяет главные кривизны регулярной поверхности:

II = I ■ йи2 + 2 ■ М ■ йи ■ йу + N ■ йу2.

Коэффициенты 1_ и N выражают нормальную кривизну поверхности в данной точке, а коэффициент М - их сопряженность относительно осей прямоугольной системы координат. Имеем:

Е = г12-,¥ = ги'гр';С = г^-,1 = пг^-.М = = пС-

Вычислим необходимые коэффициенты квадратичных форм для цилиндра, изображенного на рис.1. Векторное уравнение цилиндрической поверхности выглядит следующим образом:

г = \ ■ Я ■ 5т(и) + } ■ Я ■ Соэ(и) + к ■у.

Получаем:

Е = Д2 = 400; = 0; С = = 20;М = 0= 0. Отсюда видно, что для данной поверхности коэффициенты первой и второй квадратичной формы будут постоянны в каждой точке и находятся в прямой зависимости от параметров поверхности, в данном случае радиуса основания цилиндра.

Рис. 1. Цилиндрическая поверхность

Далее, вычислим данную поверхность по найденным коэффициентам в соответствии с алгоритмом, описанным в [2]. Напомним, вычисление производится в процессе движения по двумерной карте поверхности от заданной начальной точки с заданным шагом. Вычисление будем производить по правилу, изображенному на рис. 2, т.е. сначала будем двигаться по карте поверхности «вправо», в направлении изменения параметра и при значении параметра у = 0, далее от каждой соответствующей вычисленной точки будем двигаться «вверх» в направлении изменения параметра у при неизменном соответствующем значении параметра и.

50

2п

и

V

0

Рис. 2. Карта цилиндрической поверхности

Вычисления производятся по следующим формулам. Движение вправо (приращение параметра по u):

и = и + hu; v = const; r(u + hu,v) = hu ■ f(u,v) + r(u,v); f(u + hu,v) = (hu ■ T111(u,v) + 1) ■ f(u,v) + hu ■ r2ng~(u,v) + hu ■ L(u,v) ■ n(u,v); f(u,v + hv) = (hv ■ Vl2(u,v) + 1) ■ f(u,v) + hv ■ Vl2g(u,v) + hv ■ M(u,v) ■ n(u,v); g(u + hu,v) = f(u,v + hv) - f(u,v) + g(u,v); n(u + hu,v) = hu (a1 (u, v) ■ f(u,v) + B1 (u, v) ■ g(u, v)) + n(u, v),

где r(u + hu,v) - радиус-вектор вычисляемой точки; f(u + hu,v) - вектор касательной в направлении u в вычисляемой точке; g(u + hu,v) - вектор касательной в направлении v в вычисляемой точке; n(u + hu,v) - вектор нормали в вычисляемой точке.

Движение вверх(приращение параметра по v):

u = const; v = v + v; r(u,v + hv) = hv ■ g(u,v) + r(u,v); f(u,v + hv) = (hv ■ Г 12(u,v) + 1) ■ f(u,v) + hv ■ Г \2 g(u,v) + hv ■ M(u,v) ■ n(u,v); g(u,v + hv) = К ■ Г22(u,v) ■ f(u,v) + (hv ■ Г22(u,v) + 1 ) ■ g~(u,v) + hv ■ N(u,v) ■ n(u,v); n(u, v + hv) = hv (a 2 (u, v) ■ f (u, v) + B2 (u, v) ■ g(u, v)) + n(u, v),

где r(u,v + hv) - радиус-вектор вычисляемой точки; f(u,v + hv) - вектор касательной в направлении u в вычисляемой точке; ~g(u,v + hv) - вектор касательной в направлении v в вычисляемой точке; n(u,v + hv) - вектор нормали в вычисляемой точке.

Далее на рис. 3 и 4 представлены результаты вычисления описанной выше цилиндрической поверхности при разных значениях шага изменения параметра (hu и hv). Производится сравнение вычисленной цилиндрической поверхности с аналогичной поверхностью, полученной аналитическим способом. Как мы можем видеть, уменьшение шага вычисления значительно влияет на его точность, при этом, конечно, увеличивается и вычислительная нагрузка.

Номинальная поверхность

Шаг s направлении и = ОД Вычисленная поверхность

Рис.3. Результат вычисления при hu = 0,1

Максимальное расстояние между соответствующей номинальной точкой = 0.001273

Рис.4. Результат вычисления при ки = 0,0001

Далее рассмотрим случай, когда коэффициенты квадратичных форм различны в каждой точке поверхности и зависят от параметра. Так, например, для сферической поверхности коэффициенты квадратичных форм могут быть вычислены следующим образом:

Е = R2; F = 0; G = R2Cos2u;L = R;M = О;N = RCos2u.

Особый интерес представляют поверхности свободной формы. Для таких поверхностей не существует параметрического описания, типичными примерами являются автомобильные кузова, фюзеляжи и крылья самолетов, корпуса кораблей и т.д. Самой распространенной математической моделью для описания поверхностей такого типа является B-сплайн представление, именно такой формат описания поверхностей свободной формы используется в стандарте STEP.

Уравнение поверхности В-сплайн [3]:

п т

P(u,v) =^^PijNiik(u)Nu(v) (sk _ 1 <u< sn+1 ,tt_ i <v< tm+1),

i=o j=о

где Pij - задающие точки, расположенные в вершинах задающего многогранника; Nik(u),Nj :l(v) - функции сопряжения, используемые для построения В-сплайнов; s,,^,. . ,,sn+k и t^t^^,...,tl+m - узловые значения, определяющие функции сопряжения.

Далее произведем перевод поверхности, изображенной на рис.5, из В-сплайн представления в представление через коэффициенты первой и второй квадратичных форм. Как показала практика, наибольшие отклонения возникают на поверхностях с большими перегибами, поэтому в качестве яркого примера было решено взять именно такую экспериментальную поверхность.

Задающие точки поверхности

Рис.5. В-сплайн поверхность

В отличие от примера с цилиндрической поверхностью, в данном случае коэффициенты квадратичных форм различны в каждой точке поверхности и зависят от параметра. Это значит, что нам придется выбрать шаг, с которым мы будем вычислять поверхность (шаг изменения параметра) еще на этапе вычисления коэффициентов квадратичных форм, т.к. нам необходимо вычислить эти коэффициенты к каждой точке с тем же шагом.

Для вычисления коэффициентов квадратичных форм нам необходимо найти первую и вторую производные В-сплайн поверхности по параметрам и и V. Далее выведем формулы для нахождения этих производных.

Производная порядка г от В-сплайна имеет вид [3]:

¿гР(и) ^ Р[

( ■= £ Р[ ^к_г(и), тр,е Р[ = (к-г)±

dur

i=l-k+r+l

Производная первого порядка по u (по v аналогично):

d

du

H+k-l

. РГ"1 Ч-1

■ti'

д P(u, v)

ди

■ т d ■ m

£ Pi,0Ni,k(u) N°l i(v + du £ Pi, iNi, k(u)

■ i=0 ■ i=0

N1 i(v)+. ■

£ PimNi,k(uO

Nm, j(v)-

Коэффициент перед И0ДV) представляет собой производную В-сплайна с задающими точками Ри„. Аналогично и коэффициенты перед Ы^¡(V) ... Ит^).

Производная второго порядка по и (по V аналогично):

д2Р(и,р)_ б2

ди2 йи2

- т V й2 ■ т V

£Р1,0 N1, к(и) 1 Ък(и) N 1 , ¡(Р) +

ц=о ц=о

й2 йи2

к(и)

Коэффициент перед ¡(р) представляет собой производную второго порядка В-сплайна с задающими точками р,0. Аналогично и коэффициенты перед N¡(р)... Ът(р). Производная по ир:

д Р(и,р) б диду йи

£ Р1, оЪ, к(и)

■¡=о

й й N0 , 1(р) +

йу

йи

£ Ъ, Л, к(и)

■ ¡=0

— N ^р) + .. . + —

йу ' йи

к(и)

Следующим шагом после вычисления производных первого и второго порядка по формулам, представленным выше, будет вычисление коэффициентов квадратичных форм. Затем по полученным коэффициентам вычислим данную поверхность по алгоритму аналогично примеру для цилиндрической поверхности. На рис. 6 представлен результат вычисления с шагом изменения параметра ки и кр = 0,1, а на рис.7 - с ки и кр = 0,001.

Номинальная поверхность

Рис.6. Результат вычисления при ки и к„ =0,1

Максимальное расстояние между соответствующей номинальной точкой = 1,44

Рис. 7. Результат вычисления при ки и к0 = 0,001

Как видно, аналогично примеру с цилиндрической поверхностью уменьшение шага вычисления положительно сказывается на точности результата. Однако в данном случае из-за специфики вычисления В-сплайн поверхности уменьшение шага вычисления создает гораздо более высокую вычислительную нагрузку, чем в примере с цилиндрической поверхностью. Таким образом, для получения требуемой точности вычисления В-сплайн поверхности с помощью аппарата квадратичных форм уменьшение шага вычисления не является эффективным методом.

Как отмечалось ранее, представление поверхностей через коэффициенты квадратичных форм позволяет получать новые положение и форму поверхности, варьируя значениями коэффициентов. Воспользуемся данной возможностью еще на этапе перевода геометрии, изменим посчитанные значения коэффициентов таким образом, чтобы вычисляемая поверхность полностью совпала с аналогичной поверхностью, полученной аналитическим способом. На рис. 8 показан пример отклонения вычисленной поверхности от номинальной в конкретной точке.

Рис.8. Влияние коэффициентов квадратичных форм

Так, в данном конкретном случае задача сводится к тому, чтобы изменить коэффициенты квадратичных форм в точке А таким образом, чтобы максимально минимизировать длину отрезков СС1 и ВВ1. Для этого необходимо, чтобы соответствующие длина и направление векторов АС, АС1 и АВ, АВ1, а также углы между ними были идентичны. В рассматриваемом примере за длину вектора АВ1 отвечает коэффициент E, а за длину вектора AC1 - коэффициент G. Таким образом, будем увеличивать или уменьшать значение данных коэффициентов в точке А, пока длины соответствующих векторов не будут равны или будут незначительно отличаться от номинальных. Изменение коэффициентов E и G ведет также к изменению угла между векторами AC1 и AB1, т.к. коэффициенты первой квадратичной формы связаны следующим соотношением с углом между векторами:

cosW = v^f

Поэтому далее необходимо, варьируя значениями коэффициента F, изменить угол между векторами AC1 и AB1 на допустимо равный углу между векторами AC и AB. Далее путем изменения коэффициентов второй квадратичной формы приближаем к нулю углы между векторами AB и AB1, AC и AC1. В нашем примере за угол между векторами AB и AB1 отвечает коэффициент L, а за угол между векторами AC и AC1 - коэффициент N. Так, применяя описанные действия для каждой точки поверхности, можно значительно увеличивать точность вычисления поверхности. На рис.9 представлен результат при шаге вычисления hu и hv = 0,05.

Рис.9. Результат вычисления после вариации коэффициентами квадратичных форм

Механика и машиностроение

Таким образом, мы показали, что, несмотря на дискретность используемого нами универсального метода описания и вычисления поверхностей, существует возможность достижения требуемой точности вычисления поверхностей как при создании новой, так и при импорте уже существующей геометрии из других САПР.

Библиографический список

1. Филлипов В.А. Основы геометрии поверхностей оболочек пространственных конструкций. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 192 с.

2. Гаер М.А., Калашников А.С., Шабалин А.В., Квадратичные формы при моделировании сборок с допусками // Материалы региональной научно-практической конференции «Винеровские чтения». Иркутск, 2004. С. 64-68.

3. Ли К. Основы САПР(CAD/CAM/CAE). СПб.: Питер, 2004. 560 с.